[8.1] [8.1,a] Nel caso di uno spostamento angolare (moto di un pendolo) ξ = (coordinata angolare) [8.1.b]

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1 U n i v e r s i à d e g l i S u d i d i C a a n i a - C o r s o d i s u d i o i n I n g e g n e r i a I n f o r m a i c a - D i p a r i m e n o d i F i s i c a e s r o n o m i a MOI OSCILLOI - Moo armonico semplice Simple rmonic Moion (SHM) Uno dei più imporani esempi di moo periodico è il Moo armonico semplice in cui qualche grandezza fisica varia con legge di ipo sinusoidale Una paricella si muove di moo armonico semplice quando il suo sposameno è dao in funzione del empo dalla relazione: ξ ξ ξ sin π [8.1] ξ ( ) ampiezza periodo / 3/ Osservazione imporane La variabile ξ indica uno sposameno generico rispeo all origine del sisema di coordinae scelo Nel caso di uno sposameno reilineo (moo di una massa aaccaa ad una molla) ξ = (coordinaa lineare) sin π [8.1,a] - + Nel caso di uno sposameno angolare (moo di un pendolo) ξ = (coordinaa angolare) sin π [8.1.b] prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 8 pag 5 di 51

2 U n i v e r s i à d e g l i S u d i d i C a a n i a - C o r s o d i s u d i o i n I n g e g n e r i a I n f o r m a i c a - D i p a r i m e n o d i F i s i c a e s r o n o m i a MOI OSCILLOI - Moo armonico semplice () Consideriamo una massa puniforme m la cui posizione sia individuaa da una sola funzione scalare dal empo e la sua legge oraria sia del ipo [8.1.a]: [8.1.a] sin π [m] (>) = ampiezza (o elongazione massima) è la lunghezza del segmeno O o del segmeno OC O ( = ) = cenro di oscillazione ( = - ) = puno di inversione del moo C ( = +) = puno di inversione del moo [s] = periodo (inervallo di empo in cui avviene un'oscillazione complea) La funzione sin è periodica: cioè il valore della funzione all'isane è lo sesso che all'isane successivo ' = + O C ( ) ( ) () sin sin rigonomeria sin () def 1 = f = frequenza (s -1 Hz): numero di oscillazioni nell unià di empo [8.] def = pulsazione o frequenza angolare (rad s -1 ) [8.3] Un'oscillazione al secondo (1Hz) corrisponde ad una frequenza angolare di rad s -1 Osservazione imporane La frequenza angolare si indica con per disinguerla dalla velocià angolare (Sforunaamene lo sesso simbolo si usa per la velocià angolare nel moo circolare. Nel moo circolare uniforme la velocià angolare è uguale alla frequenza angolare, ma nel moo non uniforme la velocià angolare non è cosane. La frequenza angolare nel moo armonico semplice è invece cosane per definizione) prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 8 pag 6 di 51

3 U n i v e r s i à d e g l i S u d i d i C a a n i a - C o r s o d i s u d i o i n I n g e g n e r i a I n f o r m a i c a - D i p a r i m e n o d i F i s i c a e s r o n o m i a MOI OSCILLOI - Moo armonico semplice (3) vendo definio la frequenza e la frequenza angolare l'equazione oraria del moo armonico semplice si può scrivere in re modi equivaleni: O C in s π sin π sin [8.4] Dall'nalisi Maemaica (eoria della risoluzione delle equazioni differenziali) si sa che la [8.4] è una soluzione paricolare delle equazioni del moo armonico (equazioni differenziali lineari del secondo ordine, in cui la derivaa seconda della variabile dipendene è proporzionale all'opposo della variabile dipendene) e che la soluzione generale è in realà una combinazione lineare di funzioni sin e cos, cioè: C D in cos s [8.5] dove i coefficieni C e D sono delle cosani che dipendono dalle condizioni iniziali Dall'nalisi Maemaica si sa, inolre, che la [8.5] si può ahe scrivere: cos [8.6] ( +) = fase [rad] = fase iniziale [rad] Se all isane iniziale (=) la paricella si rova in puno qualsiasi = si può immediaamene verificare che: () cos cos arccos [8.7] prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 8 pag 7 di 51

4 U n i v e r s i à d e g l i S u d i d i C a a n i a - C o r s o d i s u d i o i n I n g e g n e r i a I n f o r m a i c a - D i p a r i m e n o d i F i s i c a e s r o n o m i a MOI OSCILLOI - Moo armonico semplice (4) Nel grafico soosane sono rappresenae re curve del ipo [8.6] per re valori di = curva [] = () = cos ( ) passane per (,) cioè la massa m all'isane zero si rova in y = = - /3 rad (= - 6 ) curva [-6] = () = cos ( - ) passane per (, ) cioè la massa m all'isane zero si rova in y = cos = + /4 rad (= + 45 ) curva [45] = () = cos ( - ) passane per (, ) : + -6 cioè la massa all'isane zero si rova in y.77 posizione - /4 / 3/4 empo N..: l variare di la curva rasla: verso desra per < verso sinisra per > prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 8 pag 8 di 51

5 U n i v e r s i à d e g l i S u d i d i C a a n i a - C o r s o d i s u d i o i n I n g e g n e r i a I n f o r m a i c a - D i p a r i m e n o d i F i s i c a e s r o n o m i a MOI OSCILLOI - Moo armonico semplice (5) Derivando rispeo al empo la [8.6] si calcola la velocià v della massa che si muove di moo armonico semplice cos sin cos d d v v() d d Derivando rispeo al empo la [8.8] si calcola l accelerazione a della massa che si muove di moo armonico semplice [8.8] dv d a a() d d sin cos [8.9] iassumendo la [8.6], [8.8] e [8.9]: [8.6] = () = cos ( + ) [8.8] v = v() = - sin ( + ) [8.9] a = a() = - cos ( + ) in paricolare dalle [8.6] e [8.9] si ha: a = - cos ( +) = - [ cos ( +)] = - e quindi generalizzando a [8.1] CEISIC DEL MOO MONICO SEMPLICE: L accelerazione è (isane per isane) proporzionale all opposo della posizione prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 8 pag 9 di 51

6 U n i v e r s i à d e g l i S u d i d i C a a n i a - C o r s o d i s u d i o i n I n g e g n e r i a I n f o r m a i c a - D i p a r i m e n o d i F i s i c a e s r o n o m i a MOI OSCILLOI - Moo armonico semplice (6) Confroniamo in un grafico (per = ) le re funzioni: [8.6] [8.8] [8.9] () cos v v() sin a a() cos cos v sin a cos / 3/ = cos v = - sin a = - cos / 3/ prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 8 pag 1 di 51

7 U n i v e r s i à d e g l i S u d i d i C a a n i a - C o r s o d i s u d i o i n I n g e g n e r i a I n f o r m a i c a - D i p a r i m e n o d i F i s i c a e s r o n o m i a MOI OSCILLOI - Moo armonico semplice (7) icordando un elemenare relazione di rigonomeria la [8.6], si può scrivere = cos ( +) = [(cos ) (cos ) - (sin ) (sin )] = [ cos ] cos - [ sin ] sin dalla [8.7] si ha che: cos = ( = posizione iniziale) se all isane iniziale (=) la paricella ha una velocià v = v, dalla [8.8] si può immediaamene verificare che perano la [8.6], si può scrivere: prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// sin sin v() v v v v () cos sin In maniera analoga ahe le [8.8] e [8.9] si possono scrivere in funzione delle condizioni iniziali e della pulsazione iassumendo: le equazioni del moo armonico semplice possono essere espresse in funzione delle condizioni iniziali ( = posizione iniziale e v = velocià iniziale) della pulsazione (o evenualmene del periodo o della frequenza ) () v v() a a() [ cos sin cos v v v sin cos sin [8.11] Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 8 pag 11 di 51 ]

8 U n i v e r s i à d e g l i S u d i d i C a a n i a - C o r s o d i s u d i o i n I n g e g n e r i a I n f o r m a i c a - D i p a r i m e n o d i F i s i c a e s r o n o m i a MOI OSCILLOI - Considerazioni su Moo armonico semplice È imporane non confondere la LEGGE OI con la IEOI! LEGGE OI = () = MX cos ( ) = () = MX cos ( ) = cos ( ) / 3/ = () = MX cos ( ) = cos ( ) IEOI f(,y,z) = y = f(, z) - + prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 8 pag 1 di 51

9 Universià degli Sudi di Caania - Corso di sudio in Ingegneria Informaica - Diparimeno di Fisica e sronomia EMODINMIC - Calori specifici dei gas ideali Per i gas ideali a emperaure ordinarie, sperimenalmene, è sao rovao: gas ideali c c P MONOOMICI He, Ne, r, vapori di Na, vapori di Hg, ecc. IOMICI H, CO, NO [9.41] alri IOMICI e POLIOMICI O, F, Cl, r, NO CO, NH 3, CH 4 prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 9 pag 6 di 69

10 Universià degli Sudi di Caania - Corso di sudio in Ingegneria Informaica - Diparimeno di Fisica e sronomia EMODINMIC - Cosani ed unià di misura Come già viso (cap. 9 - slide 4 e 43) l'unià di misura del lavoro, del calore e dell'energia inerna è il joule [J] Esisono, e sono aor oggi adoperae, alre unià di misura al di fuori del Sisema Inernazionale caloria [cal] Caloria [Cal] o grande caloria [Cal] o kilocaloria [kcal] liro amosfera [ am] 1 am = (1-3 m 3 ) ( Pa) 11.3 J 4. cal nome alro nome simbolo faori di conversione caloria piccola caloria cal 1 cal = J Caloria grande caloria Cal 1 Cal = J 1 Cal = 1 cal [9.4] kilocaloria kcal 1 kcal = J 1 kcal = 1 cal 1 kcal = 1 Cal liro amosfera l am 1 l am = J 1 l am = 4, cal 1 l am = 4, 1-3 Cal La cosane universale dei gas (o cosane del gas ideale) assume valori differeni a secondo delle unià di misura adoperae unià di misura adoperae joule caloria Caloria J/mol K cal/mol K Cal/kmol K [9.43] kilocaloria kcal/kmol K liro amosfera.81 l am / mol K prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 14/15 cap 9 pag 61 di 69

11 Universià degli Sudi di Caania - Corso di sudio in Ingegneria Informaica e Ingegneria Eleronica - Diparimeno di Fisica e sronomia EMODINMIC - Diagrammi -S (4) appresenazione nel piano (,S) una rasformazione isocora reversibile icordiamo la [1.3]: Q ds In una rasformazione isocora d e quindi si può scrivere: Q ds Q cos S cos C S S d 1 ds d 1 ds ln ln 1 S S ln ln 1 S S ln ln S S e e e e S S essendo n > e c > e generalizzando si ha: (S) e SS [1.35] Nel piano (,S) una rasformazione isocora reversibile è rappresenaa da una funzione esponenziale crescene prof. Filippo Falciglia FISIC I hp:// Diaposiive proieae nell.. 15/16 cap 1 - pag 61 di 85