TRASFORMATE DI LAPLACE

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1 CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gesione Indusriale e della Inegrazione di Impresa hp:// Trasformae di Laplace Gli esempi visi di sisemi dinamici hanno mosrao che la loro evoluzione nel empo può essere rappresenaa da modelli maemaici lineari sazionari del ipo TRASFORMATE DI LAPLACE equazioni differenziali lineari ordinarie di ordine n. Per lo sudio di ali sisemi, è quindi necessario essere in grado di risolvere una equazione di queso ipo, cioè di sapere calcolare una funzione y() che la verifica. Ing. Luigi Biagioi Tel luigi.biagioi@unibo.i hp://www-lar.deis.unibo.i/~lbiagioi E indispensabile quindi la conoscenza delle proprieà e dei procedimeni di soluzione delle equazioni differenziali lineari, in paricolare delle equazioni differenziali ordinarie a coefficieni cosani. PROCEDIMENTO DIFFICILE Inroduzione -- 2 Trasformae di Laplace Un modo più semplice per risolvere equazioni differenziali è quello di fare ricorso all'uilizzo delle Trasformae di Laplace, per le quali peralro si deve inrodurre l'uso dei numeri complessi e delle funzioni di variabile complessa. Funzioni di variabili complesse Nello sudio delle rasformae di Laplace, si uilizzano variabili. I numeri complessi si possono rappresenare come puni di un piano (piano di Gauss), i cui assi coordinai si dicono asse reale ed asse immaginario. Le rasformae di Laplace, olre a permeere di risolvere in modo relaivamene semplice equazioni differenziali ordinarie come la (1), permeono di porre in srea connessione la soluzione delle equazioni differenziali con ecniche di analisi armonica, alro srumeno molo imporane per l'analisi di siemi dinamici. Trasformae di Laplace: risoluzione di equazioni differenziali funzioni di rasferimeno risposa all'impulso risposa al gradino comporameno dinamico dei sisemi lineari (anche non lineari) Un numero complesso s si può esprimere come: Inroduzione -- 3 Inroduzione -- 4

2 Funzioni di variabili complesse Nella forma caresiana: èla pare reale: èla pare immaginaria: Nella forma polare: è il modulo: èl argomeno: Dalla relazione si deducono le segueni formule per il passaggio dalla forma polare alla forma caresiana e viceversa Funzioni di variabili complesse Delle due funzioni che legano l'argomeno alle pari reale e immaginaria, la seconda è la più conveniene quando, cioè per valori di. Comunque, esse sono enrambe inesae perché le funzioni rigonomeriche sono biunivoche (inveribili) solo in opporuni inervalli di misura, menre la conoscenza di e consene di deerminare univocamene il valore di nell'inero inervallo, lungo, corrispondene al valore principale. L'uso della prima espressione per il calcolo dell'argomeno non consene di disinguere, nella forma polare, fra un numero complesso e il suo opposo di segno, menre l'uso della seconda non consene di disinguere fra un numero complesso e il suo simmerico rispeo all'asse immaginario. Inroduzione -- 5 Inroduzione -- 6 Funzioni di variabili complesse Una funzione di variabile complessa viene assegnaa specificando le due funzioni di variabile reale e, che ne rappresenano la pare reale (u) e la pare immaginaria (v), e sabilisce una corrispondenza biunivoca fra i puni di due piani: il piano di Gauss della variabile indipendene s e quello della variabile dipendene w. Trasformae di Laplace Per la soluzione delle equazioni differenziali sono di noevole uilià le rasformazioni funzionali, cioè le rasformazioni che associano funzioni a funzioni, in paricolare la rasformazione di Laplace. Le rasformazioni funzionali sabiliscono una corrispondenza biunivoca fra funzioni oggeo, normalmene funzioni del empo, e funzioni immagine di diversa naura. Operazioni eseguie sulle funzioni oggeo, come per esempio la derivazione, corrispondono ad operazioni più semplici sulle funzioni immagine e al problema oggeo viene ad essere associao un problema immagine di più facile soluzione. Dalla soluzione immagine si passa poi alla soluzione oggeo eseguendo sulle funzioni immagine l'operazione di anirasformazione o rasformazione inversa. Problema Soluzione Trasformazione funzionale Trasformazione inversa Corrispondenza sabilia da una funzione di variabile complessa Problema immagine Soluzione immagine Ad esempio, mediane la rasformazione di Laplace un'equazione differenziale o inegro-differenziale nelle funzioni oggeo si rasforma in un'equazione algebrica, di più semplice soluzione, nelle funzioni immagine. Inroduzione -- 7 Inroduzione -- 8

3 Trasformae di Laplace La rasformazione di Laplace associa in modo biunivoco a una generica funzione del empo f() a valori reali o complessi una funzione F(s) a valori in genere complessi e definia per valori di s pure complessi. Trasformae di Laplace La rasformaa e l'anirasformaa di Laplace sono definie dalle relazioni Si usa la noazione che ha il significao: F(s) è la rasformaa di Laplace di f(). Per la biunivocià della corrispondenza, si può scrivere Dove si può dimosrare che se l'inegrale in (2) esise per s 0 = σ 0 + j ω 0, esso esise per ogni valore s = σ + j ω con σ σ 0. La rasformaa è perano definia in un dominio del piano s avene come conorno una rea parallela all'asse immaginario, che può non apparenere al dominio. Esso si dice dominio di convergenza e l'ascissa σ c di ale rea ascissa di convergenza. ω D con il significao: f() è l anirasformaa di Laplace di F(s) σ c σ Inroduzione -- 9 Inroduzione Condizioni per l esisenza l della rasformaa di Laplace Esempio: Gradino uniario u(), valuao per s reale (s = σ): si ha convergenza per σ > 0 σ c = 0. Le condizioni soo le quali una daa funzione f() è rasformabile secondo Laplace sono abbasanza esensive: in praica risulano soddisfae da qualunque funzione del empo che rivesa ineresse nell ambio dell analisi dei sisemi. Condizioni sufficieni perché una funzione a valori in generale complessi ammea rasformaa di Laplace sono: 1. f() nulla per <0; 2. limiaa al finio, cioè per ogni valore finio esise una cosane reale ale che 3. coninua a rai per >0, cioè con un numero finio di puni di disconinuià in ogni inervallo di empo di lunghezza finia; Inroduzione Condizioni per l esisenza l della rasformaa di Laplace 4. di ordine esponenziale per endene all infinio, cioè ale che esisano due cosani reali e e un valore per cui sia Infai, deo il maggiore fra ed e il maggiore fra e 0, si può scrivere e perano da cui risula che la funzione è rasformabile e la sua ascissa di convergenza è non superiore a β. Inroduzione -- 12

4 Proprieà delle rasformae Linearià Proprieà delle rasformae Traslazione nel empo Traslazione nella frequenza Convoluzione nel empo Messa in scala Inroduzione Inroduzione Proprieà delle rasformae Convoluzione nella frequenza Proprieà delle rasformae Inegrazione Teorema del valore iniziale Derivazione Teorema del valore finale Inroduzione Inroduzione -- 16

5 Trasformae di Laplace Trasformae di Laplace Impulso δ() Parabola uniaria 2 /2 Gradino uniario u() 1 Esponenziale a > 0 e a a = 0 a < 0 sin ω Rampa uniaria Sinusoide Inroduzione Inroduzione Trasformae di Laplace Trasformae di Laplace Cosinusoide cos ω Tabelle delle Trasformae di Laplace La quasi oalià delle rasformae di Laplace di uso più correne nell'analisi dei sisemi lineari si può dedurre dalla relazione fondamenale dove n è un generico numero inero posiivo a è una cosane reale o complessa Viene soineso che l'espressione della funzione di cui si considera la rasformaa sia relaiva a valori del empo non negaivi e che per valori del empo negaivi la funzione sessa sia idenicamene nulla: di conseguenza può essere presene una disconinuià nell'isane = 0. Inroduzione Inroduzione -- 20

6 Trasformae di Laplace - Esempi 1) Si consideri la funzione Funzione di rasferimeno Un modello maemaico di un sisema dinamico lineare e sazionario può essere espresso mediane una equazione differenziale del ipo Ricordando la proprieà di linearià, e uilizzando le abelle, è immediao oenere 2) Sia dao il segnale di figura f() Dao un segnale f(), la rasformaa di Laplace per la sua generica derivaa i-esima è daa da con la noazione compaa Il segnale può essere pensao come somma di un gradino riardao e di una rampa (riardai di 5 sec) Si prende in esame la rasformazione dell'equazione differenziale, riscria come f 1 () f 2 () Inroduzione Inroduzione Funzione di rasferimeno Trasformando (eorema delle derivae) si oiene Funzione di rasferimeno Da quesa risula che la rasformaa di Laplace Y(s) della soluzione dell'equazione differenziale è daa dalla somma delle due funzioni con da cui che si possono riconoscere come le rasformae dell'evoluzione libera e dell'evoluzione forzaa. Inroduzione Inroduzione -- 24

7 Funzione di rasferimeno Si è oenua la relazione Funzione di rasferimeno Spesso nell'ambio dei conrolli auomaici si fa riferimeno a sisemi inizialmene in quiee, cioè con ue le condizioni iniziali nulle. dove La rasformaa di Laplace del segnale di uscia si oiene semplicemene moliplicando quella del segnale di ingresso per la funzione di rasferimeno del sisema La funzione di rasferimeno di un sisema è una funzione G(s) della variabile s, moliplicando la quale per la rasformaa di Laplace X(s) della funzione di ingresso si oiene la rasformaa di Laplace dell'evoluzione forzaa X(s) G(s) Y(s) Inroduzione Inroduzione Funzione di rasferimeno - Esempio Funzione di rasferimeno - Esempio Si considerano le condizioni iniziali e si applica all'ingresso un gradino di ensione di ampiezza V 0. Trasformando ambo i membri, si oiene Per queso circuio, si può scrivere l'equazione (legge di Kirhhoff): Noando che è si deduce poi da cui Nel caso in esame Inroduzione Inroduzione -- 28

8 Funzione di rasferimeno - Esempio Per la soluzione complea dell'equazione differenziale occorre nauralmene anirasformare l'espressione oenua. In queso caso, l'anirasformazione non presena alcuna difficolà: ciascuno dei due ermini a secondo membro è un rapporo di polinomi in s, facilmene anirasformabile con il procedimeno che verrà descrio in seguio. Da considerando nulle le condizioni iniziali CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gesione Indusriale e della Inegrazione di Impresa hp:// Trasformae di Laplace FINE si oiene e si può noare che la funzione di rasferimeno di queso sisema è daa da Ing. Luigi Biagioi Tel luigi.biagioi@unibo.i hp://www-lar.deis.unibo.i/~lbiagioi Inroduzione -- 29