( x) Soluzione. Si consideri la figura sottostante, che rappresenta la questione geometrica:

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1 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Soluzione Si consideri la figura soosane, ce rappresena la quesione geomerica: Il riangolo APB, essendo inscrio in una semicirconferenza è reangolo, per cui AP r sin, PB r cos. Ora PH HC con HC HB BC PB cos r r cos CP e PH PB sin r sin cos. Il rapporo ricieso è r cos [ sin cos cos cos ] cos cos sin r CP r y AP * PB sin cos sin cos r r sin cos cos sin cos cos sin cos

2 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Ora ricordiamo ce sin an cos,cos, per cui il rapporo può essere an an così scrio: cos an an y an an co an sin cos an an an an con la resrizione geomerica raggio ma solo funzione dell angolo.,. Si noa come il rapporo ricieso sia indipendene dal Sudiamo la funzione Dominio: y an an : nell inervallo [, ] an, Z e paricolareggiando all inervallo di sudio [ ], il dominio sarà:,,,,. Inersezioni con gli assi: non ci sono inersezioni con gli assi; an an an Evenuali simmerie: f f per cui an an an la funzione è dispari; Posiivià: Asinoi vericali: an > an y >,, ; an,,,,, an an an, an an an an an

3 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 an an an an an an an an [ an co an ] [ an co an ] [ an co an ],, [ an co an ] Quindi le ree di equazione,,,, sono asinoi vericali; Asinoi orizzonali ed obliqui: non ce ne sono; Crescenza e decrescenza: ' sin cos an y per cos sin sin cos sin cui nel dominio di definizione an y ' > an > an > an le cui soluzioni sin nell inervallo [, ] sono: arcan arcan arcan arcan Quindi la funzione presena i massimi nei puni arcan,, arcan, ; minimi nei puni arcan,, arcan, ed i La derivaa seconda è sin 8cos sin 8cos y' ' per cui essa non si cos sin sin cos annulla mai, cioè la funzione non presena flessi. Il grafico è soo presenao:

4 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 an Dalla figura soprasane emerge ce il rapporo y nell inervallo, assume an valore minimo per arcan '. L area riciesa è rappresenaa nella figura soosane con A:

5 Sessione sraordinaria LS_ORD Tale area è pari a: [ ] [ ] 9 ln ln 8 9 ln cos sin ln ln sin ln cos sin cos cos sin an co an d d A

6 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Soluzione Sudiamo la funzione ln y. > Dominio: >,, Inersezione asse delle ascisse: ln ± 5 y ; Inersezione asse delle ordinae: non esisono viso il dominio di definizione; Evenuali simmerie: la funzione è pari viso ce ln f y ln ; Posiivià: > > > 5 > 5 y ln > 5 > 5 ; Asinoi vericali: ln ln ln sono asinoi vericali; per cui le ree ± Asinoi orizzonali: non ce ne sono; infai ln ± Asinoi obliqui: non ce ne sono; infai, se esisessero avrebbero equazione ln H nel nosro caso m, q [ ln ] ± ± ± Crescenza e decrescenza: la funzione ln scria come ln y la cui derivaa è definizione,, ; y m q, ma y nel dominio di definizione può essere y ', per cui nel dominio di la funzione risula essere sempre crescene; la derivaa ; 6

7 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 seconda è pari a sono flessi. Il grafico è soo presenao: y '' ed essa non si annulla mai, per cui non ci Dobbiamo calcolare le angeni nei puni 5,, A 5, B. Le due angeni avranno equazioni s : y f ' 5 5 e : y f ' 5 5 con 5 5, f ' 5 5 f ' per cui le angeni saranno 5 s : y 5 5 e : y 5 5 come soo rappresenao: 5 7

8 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Le due angeni di equazione s : y 5 5 e : y 5 5 si inersecano nel puno 5 *5 D, 5 per cui l area del riangolo ABD sarà: A ABD 5 5. La derivaa prima è y ' g, per cui sudiamo la funzione derivaa prima. Dominio:,,, ; Inersezione asse delle ascisse: g ; Inersezione asse delle ordinae: y ; Evenuali simmerie: la funzione è dispari, infai g ; Posiivià: >,, Asinoi vericali:,, g g ; 8

9 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 per cui le ree ± sono asinoi vericali; Asinoi orizzonali : ± per cui la rea y è asinoo orizzonale; Asinoi obliqui: non ce ne sono; infai, se esisessero avrebbero equazione ma nel nosro caso m ; ± ± Crescenza e decrescenza: definizione la funzione è '' y m q, g ' per cui nel dominio di y ' g è sempre decrescene; la derivaa seconda g per cui, è un flesso. Il grafico è di seguio presenao: L area da calcolare è soo rappresenaa con S: 9

10 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Tale area sarà pari a: S ln ln ln d.

11 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Soluzione Il dominio della funzione In realà la funzione in y è dao dalla risoluzione del sisema seguene: > >,,, y è prolungabile per coninuià da desra in e da sinisra : infai,.

12 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Dobbiamo calcolare il ie. Esso può essere risolo sia senza applicare il eorema di De L Hopial ce applicandolo. Risolviamolo in ambo i modi: Senza applicare de L Hopial: poniamo per cui Appliciamo de L Hopial: H Appliciamo la definizione di derivaa nel puno alla funzione f : ' f f f

13 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Per vedere se i calcoli effeuai sono giusi possiamo calcolare la derivaa direamene senza passare per il ie del rapporo incremenale: ' ' f f Si consideri la figura soosane: Calcoliamo i puni C e D dai dall inersezione dell ellisse con la rea di equazione, y : D C y y D C,,, :, ± L area del rapezio isoscele ABCD è : * CH CB AB S dove CH CD AB, 6 6, per cui l area sarà:, * CH CB AB S. Per la massimizzazione dell area calcoliamo la derivaa prima: [ ] ' S Sudiamo la monoonia: sapendo per ipoesi ce allora [ ] ' > > S, per cui va risola quesa disequazione irrazionale >. Tale disequazione a come soluzione l unione delle soluzioni dei due

14 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 sisemi segueni: > Quindi il massimo dell area lo si a per e l area vale 9 A. 5 Si consideri la figura soosane: Per il eorema di Piagora si a c b a per cui moliplicando ambo i membri per si a c b a cioè la somma delle aree dei cerci di raggi pari ai caei è pari all area del cercio di raggio pari all ipoenusa. Per cui la proposizione è vera.

15 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 6 Si vuole sudiare la coninuià della funzione nel puno. sin f sin Calcoliamo il ie seguene : sin sin sin sin. Ora, essendo la funzione seno iaa ed in paricolare sin, allora per possiamo scrivere sin e passando al ie si a sin sin e per il eorema del confrono o dei sin sin carabinieri si a, per cui sin sin sin sin. Analogamene sin sin 7 Il volume ricieso, per il eorema di Guldino, è: per cui la finzione f è coninua nel puno. V d sin d [ cos ] sin 8 Dobbiamo ricavare i coefficieni a,b in modo ce la funzione rea y. Si deve imporre: a 6 y preseni come asinoo la b Per cui la funzione è delle ascisse in 6, a 6 6 a a m b a b ± ± b b a 6 6 q ± a b a ± a a 6 y. Tale funzione presena come dominio R {}, inerseca l asse ±, quello delle ordinae in,, è posiiva per 6 6 >, a 5

16 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 come asinoo vericale la rea, come asinoo obliquo la rea y, a l ascissa del massimo in e l ascissa del minimo in e non presena flessi. Il suo grafico è soo presenao: 9 Il eorema di Lagrange o del valor medio afferma ce se una funzione reale di variabile reale è coninua in un inervallo [a; b] e derivabile in a; b, esise almeno un puno inerno all'inervallo in cui la angene al grafico della funzione è parallela alla rea ce congiunge i puni del grafico corrispondeni agli esremi dell'inervallo [a;b]. Quesa è l inerpreazione geomerica del eorema di Lagrange. In modo più formale: Sia f :[ a, b] R coninua in [a, b] derivabile in a, b ' allora in quese ipoesi c a, b : f c f b f a. b a La funzione y 8, è coninua e derivabile in uo R ed in paricolare nell inervallo [,] per cui ad essa è applicabile il eorema di Lagrange, cioè 6

17 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 c ', : f c f f Ora f 8, f, f ' c c per cui si deve risolvere l equazione c c ± di cui solo c è acceabile percé inerno all inervallo [,]. In al caso la angene alla curva 8 9 y 8 all ascissa : y. 9 Lo sesso discorso vale se ci meiamo nell inervallo [-,] in cui il eorema di Lagrange sarà valido per c, acceabile percé inerno all inervallo [-,]. In al caso la angene alla 8 9 curva y 8 all ascissa sarà s : y. 9 sarà In ambo i casi il grafico soo presenao conferma l inerpreazione geomerica del eorema sesso: Calcoliamo l inegrale [ cos cos ] d cos d cos sin d cos d d cos d cos sin d cos cos sin d cos d d sin sin K cos d d d d 7

18 Sessione sraordinaria LS_ORD 7 Quindi i coefficieni riciesi per confrono sono a. b 8