m = y x x S lim y x = dove: t = t t t = dove: x = x x

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1 L uso di derivae, differenziali ed inegrali definii nelle definizioni di grandezze fisiche. Grazie alla scienza, colui che sa scopre ue le verià in una sola, sviluppandone ue le conseguenze. (Ploino Ploino LA DERIVATA: In fisica, è sovene oggeo di sudio la rapidià con cui varia una deerminaa grandezza nel empo oppure nello spazio. Ad esempio, consideriamo le segueni definizioni:. La velocià di un oggeo è la rapidià con cui varia la posizione di un oggeo nel empo o più correamene la variazione della posizione nell unià di empo. 2. La pendenza di una srada è la variazione della quoa nella unià di lunghezza. 3. La poraa di un fiume è indice della rapidià con cui l acqua araversa una sezione e più precisamene viene definia come il volume di acqua che araversa una sezione nell unià di empo. 4. L inensià di una correne elerica, analogamene, è la quanià di carica elerica che araversa la sezione di un conduore nell unià di empo. 5. Il gradiene di emperaura è la rapidià con cui varia la emperaura, quando ci si sposa da un puno ad un alro dello spazio e dunque la variazione di emperaura nell unià di spazio. 6. Il gradiene di velocià sarà la rapidià con cui varia la velocià delle acque quando ci si sposa dalla riva al cenro del fiume oppure quando si scende dalla superficie in profondià. - visa in piana - - visa in sezione Se la variazione di quese grandezze è cosane nel empo, per definirle in modo operaivo come variazione che avviene nell unià di empo (o di spazio non ci serve mola maemaica! Basa calcolare il rapporo ra la variazione della grandezza in quesione, misuraa in un cero inervallo di empo (o di spazio e l inervallo sesso! Così, riferendoci ai primi due esempi, risula: velocià scalare: S v ; pendenza: m ripeo: nel caso di velocià cosane (nel empo e pendenza cosane (soineso nello spazio. Qualora la velocià non fosse cosane ossia le variazioni di posizione non risulassero sempre le sesse in ui gli inervalli di empo, (idem per la pendenza, i suddei rappori anche chiamai Rappori Incremenali, rappresenerebbero solano una velocià media ed una pendenza media: S v media ; m media In queso caso è possibile definire una uleriore grandezza fisica, definia (e dunque misurabile in ogni singolo isane oppure in ogni singolo puno; definiamo dunque:. velocià isananea nell isane : 2. pendenza nel puno : m v S dove: is. ; dove: in.

2 In generale dunque si definisce velocià isananea di variazione della grandezza fisica G( la derivaa della funzione G( rispeo al empo : VELOCITA DI VARIAZIONE DI G G Analogamene (esempi 5,6, se la grandezza G è funzione della posizione si definisce la velocià di variazione nello spazio della grandezza G, che di solio viene chiamaa Gradiene della grandezza G (o meno frequenemene velocià punuale di variazione: GRADIENTE DI G G Abbiamo deo che siamo definendo delle grandezze fisiche; allora, siamo ceri che quese definizioni siano operaive ossia: è possibile definire (e quindi misurare ovviamene enro il margine di incerezza - in modo univoco una velocià isananea o un gradiene? La risposa è affermaiva e la esaminiamo considerando sempre il problema della velocià. Occorre dire innanzi uo che la definizione di velocià isananea come ie equivale a definire operaivamene la velocià isananea come velocià media misuraa in un inervallo infiniesimo ( molo piccolo; allora sembrerebbe che quesa definizione faccia dipendere il valore della grandezza in quesione dalla capacià ecnologica misurare disanze e relaivi inervalli di empo sempre più piccoli, cosa evidenemene non acceabile! Quando Galileo pensava alla velocià isananea, non aveva cero a disposizione celle fooeleriche ed orologi aomici per misurarla (il che, ripeo, non risolve il problema!; eppure aveva chiaro nella sua mene il conceo di velocià in un ben deerminao puno (o isane: Egli definiva operaivamene, e dunque misurava, la velocià isananea all isane come segue: velocià isananea velocià alla quale si dovrebbe muovere l oggeo se da quell isane in poi si muovesse di moo uniforme. Misurare una velocià isananea consise allora nel rasformare, in un cero puno, il moo dell oggeo in moo uniforme e nel misurarne la velocià (ora agevolmene perché non si deve più ricorrere ad inervalli infiniesimi. Ad esempio se si vuole misurare la velocià orizzonale isananea di una sferea che roola su un piano inclinao AB in un cero puno P è sufficiene cosruire un piano di lunghezza AP ed ugual pendenza, lasciando che la pallina cada nel vuoo: a causa delle basse velocià l ario dell aria risula rascurabile e dunque dal puno P in poi la componene orizzonale della velocià rimane cosane. A A P P P B Esercizio: Calcolare la velocià f( con cui varia il volume della camera di scoppio di un cilindro di sezione S4π cm 2, il cui pisone di muove di moo armonico con legge oraria ( [ 2 + 8sin(2π ] cm. 2 Y ( 4 2

3 2 IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE F( IN (Per il filosofo e lo sudioso una definizione è soddisfacene se è perinene alle cose che definisce e solo a quelle. Ma nell insegnameno non è così: una definizione è soddisfacene solo se lo sudene la capisce - H. Poincaré Problema: consideriamo la grandezza fisica Area F(X,Y X * Y ; nel caso in cui enrambe le misure di base ed alezza siano errae per difeo, moliplicandole si commeerà un errore sull area che si calcola rascurando l area del reangolino chiaro; infai ano più sono piccole le incerezze sui lai ano più è rascurabile il conribuo di queso reangolino. Più precisamene, l area del suddeo reangolino risulerà essere sempre almeno di un ordine di grandezza inferiore alla somma delle aree dei due reangoli scuri. Per esempio, se X m ± 3 m e Y 5 m ± 2 m, risula: δ (X * Y 3 * 5+2 * 35 m 2 menre l area del reangolino ha valore di 3 * 2 6 m 2 che è di un ordine di grandezza (l esponene della più vicina poenza di al numero inferiore. δ(y Y X δ (X da Y * δ(x+x * δ(y Def. (qualiaiva: Si definisce Differenziale di una funzione F l incremeno che subisce il valore di una funzione, quando le variabili variano per valori molo piccoli e si indica con d F. E ovvio che, se le variabili, variano di parecchio, non è più vero che l area del reangolino risula di un ordine di grandezza inferiore e dunque non posso uilizzare il differenziale df al poso dell incremeno F. Dunque l incerezza sul valore di una grandezza fisica che sia funzione di alre grandezze si può quindi calcolare con la formula del differenziale di ale funzione, in quano le incerezze srumenali sulle variabili sono comunque molo più piccole rispeo alle misure (di almeno uno o due ordini di grandezza. * * Se non si conoscono le regole del calcolo differenziale è possibile deerminare di vola in vola, con meodi geomerici, il differenziale delle funzioni, come nel caso dell area, e dunque l incerezza assolua; ad es. se G(X sen( risula: d G cos( * δ: Se δ, AB ende ad essere al raggio OB e la sua lunghezza ende alla lunghezza dell arco δ A Quindi endono ad essere uguali gli angoli TÂB e BÔH essendo angoli con lai ordinaamene. T B Quindi AT δ(sin AB * costâb δ * cos. δ? O H incerezze : * * Sudiamo ora se è possibile rovare una regola generale per calcolare, secondo la def., i differenziali delle funzioni, iandoci a funzioni di una variabile. Considero la funzione F( in un puno e scrivo l equazione della rea angene al grafico della funzione sessa: 3

4 Y m(x Ossia : Y f( f ( (X Dove Y e X sono le coordinae di un puno apparenene alla rea angene r: f f( Y( f( R Y df X Posso anche scrivere, ponendo Y Y : Y f ( (X E chiaro dalla figura che più è vicino ad e più sarà piccola la differenza ra R F - Y R * Y Risula dunque: F Y + R con R quando è pur vero che anche Y (anzi in risula R Y ; però è evidene dalla figura che al endere di ad, R risula molo più prossimo a zero rispeo al valore di Y (di almeno un ordine di grandezza! R(, In effei si riesce a dimosrare che : quindi al ie (ossia secondo la definizione di Y (, ie R è nullo rispeo a Y (ossia F- Y <ε. Risula dunque provao che la differenza F - Y può essere resa piccola a piacere purchè si scelga un sufficienemene vicino ad. Abbiamo dunque ricavao una espressione che rispea la richiesa della def., anzi permee di chiarire meglio e quanificare il senso di quel molo piccolo. Poniamo dunque il nosro differenziale pari al Y: a df f (. ( o anche df f (. d per deerminare l incerezza su f, ossia δf, sarà necessario prendere il valore assoluo della derivaa in : δf f ( δx dove δ rappresena l incerezza, soliamene srumenale, sulla misura della grandezza. Dal puno di visa maemaico si dirà quindi che una funzione è differenziabile in quando esise una espressione df, funzione sia di che di, ale per cui: R(, f df + R(, con df(, F F N.B. per le funzioni di due variabili f(, [v.esercizio n.2] risula df d + d ; ad es. il differenziale della funzione area A(, * risula proprio da d + d, come ricavao in precedenza. 4

5 3 L INTEGRALE DEFINITO ( io ho imparao più maemaica sui libri di fisica che su quelli di maemaica E. Fermi Ogni vola che una grandezza fisica è definia come il prodoo di una grandezza A per una seconda grandezza B che dipende dalla prima è necessario, per valuarla, calcolare un area. Pensiamo alla deerminazione della disanza s percorsa da un oggeo che si muove alla velocià v: la velocià esprime lo spazio percorso nell unià di empo, ad es, in un secondo; se queso valore è cosane nel empo la disanza complessiva risula ovviamene pari alla disanza percorsa in un secondo per il numero di secondi; quindi s v * ; se il valore della velocià varia ma rimane cosane a rai come nel grafico della figura di desra, allora baserà sommare gli spazi percorsi nei successivi inervalli di empo: a S v * + v 2* 2 + v 3* 3 a bbbbbbbb v( v 3 v v 2 v 2 3 E dunque chiaro dal disegno che lo spazio percorso s è numericamene uguale all area della regione di piano compresa ra l asse dei empi ed il grafico della velocià in funzione del empo e queso capia ogni vola si moliplichi una grandezza A per una grandezza Bf(A. Se infine la velocià, o in generale la seconda grandezza, non fosse cosane nemmeno a rai, ma variasse isane per isane (in generale puno per puno poremmo sempre suddividere l inervallo di empo complessivo in ani inervallini almene piccoli da poer considerare cosane in essi la velocià e nuovamene sommare ui gli spazi percorsi: S v * + v 2* 2 + v 3* 3 b + + v n* n. Il numero A che roveremmo (funzione di n sarà ovviamene solo una approssimazione della disanza cercaa, che risulerà essere ano migliore quani più inervallini si avrà voglia di considerare. A queso puno ci viene in aiuo la n maemaica: è sao dimosrao che il valore A(n v aumena al crescere di n ma la successione A(n è monoona ma anche iaa e quindi si può dire che lo spazio percorso sarà uguale alla somma degli infinii inervallini che si oengono facendo endere n a + : ma quesa non è alro che la definizione (secondo Cauch dell inegrale definio ra zero e della funzione v(: i i a s n n v i i v( * * d a i n ( -, ecc 5

6 Proviamo a risolvere subio un problema più difficile perché la sraegia di risoluzione è universale e la si mee in praica ogni qual vola una grandezza varia con coninuià: supponiamo di conoscere la lunghezza L e l area A della sezione di una sbarrea di cui è noa anche la densià che cambia puno per puno man mano che ci allonaniamo dagli esremi: ebbene vogliamo calcolarne la massa. Dai: A 5 cm 2 ; L 3 cm; d( 2 +, 2, dove è la disanza da uno dei due esremi. Per risolvere quesi problemi è bene fare uno sforzo di fanasia e risolvere ue le vole il problema immaginando che la funzione, in queso caso densià, sia una funzione cosane a rai: allora la siuazione divena gesibile: basa sommare le masse dei vari cilindrei, ciascuno di densià cosane. M M 2 M n A... n am M + M M n ρ * V + ρ 2* V ρ n* V n ρ * A * + ρ 2* A * ρ n* A * n raccogliendo a faor comune l area della sezione A e facendo il ie per che ende a zero (cioè suddividendo la sbarra in ane masserelle sempre più piccole, oeniamo il valore della massa oale perché la roviamo come somma delle infinie masse soilissime (pensae ad un mazzo di care! ciascuna nella posizione con densià ρ( che varia cioè puno per puno. Ma queso ie è proprio l inegrale ra ed L: M A ρ * i i A ρ( n + n L * L d L 2 3 A ( 2, d A 2 5cm2 96g / cm Alri esempi:. Il lavoro, definio come prodoo ra F // (funzione di e lo sposameno. * 48g 2. Il lavoro di un sisema ermodinamico pari P(V. V, dove V è il volume e P la pressione del sisema. 3. Il lavoro necessario a caricare un condensaore, pari a V(q. q dove V è la d.d.p. ra le armaure. 4. Il momeno d inerzia rispeo ad un asse pari al prodoo ra il quadrao della disanza di una massa m dall asse di roazione e la massa sessa; se abbiamo più masse m i a disanze i allora I Σm i* i2 ; ecc. 5. La poraa di una conduura di sezione A, noa la velocià del liquido in ogni puno della superficie sessa (poraa area * velocià ESERCIZI di fisica risolvibili con applicazione di derivae, differenziali ed inegrali:. Calcolare la carica Q che passa in una sezione di conduore percorso da una correne di inensià variabile nel empo secondo la legge I( /(+ 2 in s. (maurià scien. Ialiana all esero Calcolare la giaa eorica G ed il margine d incerezza di una zampillo di acqua che esce da un foro praicao ad una alezza di (8,±, cm dalla base di un cilindro alo h (2,±,cm e colmo fino all orlo, con la formula: G f(,h 2 * ( h. 3. Calcolare il lavoro compiuo da una mole di gas che si espande a emperaura cosane T 3 K da un volume di 2 dm 3 ad un volume di 3 dm 3 (R 8,3 J/mole. K. 4. Calcolare la poraa di una condoa avene una sezione circolare di raggio R 5 cm araversaa da una correne che si muove con velocià v( +(25-2 m/s dove è la disanza dall asse del ubo. 5. Calcolare la v( con cui varia il volume della camera di scoppio di un cilindro di alesaggio d 8cm 2, il cui pisone, che ha una corsa di 2 cm, si muove di moo armonico con frequenza di 5Hz. 6. f( ( e N è la forza a cui e soggeo un puno P libero di muoversi lungo l asse ; essendo f( du/d, calcolare l energia poenziale U e rappresenarla nel caso U( -. Per quali valori di il puno P e in equilibrio, ossia la forza è nulla? Per ali valori di quali valori assume U? Specificare il ipo di equilibrio. (maurià scienifica ord