parabola per i tre punti P 0,5 P 5,30 P 10,5 oppure parabola di vertice V 5,30

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1 Problemi di simulazione della seconda prova di maemaica Esami di sao liceo scienifico 5 febbraio 15 Lo sudene deve svolgere un solo problema a sua scela Tempo massimo assegnao alla prove re ore Problema 1: Una collisione ra meeorii Marco e Luca, durane la visia guidaa ad un museo scienifico ineraivo, osservano su un monior la simulazione della collisione ra due meeorii, effeuaa da un videogioco. Sul monior sono rappresenae la raieoria del primo meeorie e il grafico della sua velocià in funzione del empo, mosrao in figura. In base alle loro conoscenze di maemaica, discuono sul ipo di curva geomerica rappresenaa dal grafico e cercano di deerminarne l equazione, necessaria per procedere nella simulazione. 1. Aiua Marco e Luca a deerminare l equazione che rappresena la curva, spiegando il procedimeno seguio. Svolgimeno. v v 1 5 parabola per i re puni P,5 P 5, P 1,5 oppure 1 parabola di verice V 5, e passane per,5 P. Dopo che Marco e Luca hanno scrio sul erminale l equazione rovaa, il videogioco si complimena con loro e sul monior appare la seguene espressione: 1 s 5 5 con

2 Viene quindi chieso loro di verificare se la funzione daa rappresena lo spazio percorso dal meeorie in funzione del empo (legge oraria del moo).. Aiua Marco e Luca a verificare che la funzione apparsa sul monior rappresena la legge oraria del moo, spiegando il procedimeno seguio. Svolgimeno. La legge oraria del moo è ' v( ) s Per rispondere al quesio è sufficiene verificare che le due funzioni 1 s 5 5 soddisfano ale relazione. 1 Essendo s' 5 5, la relazione è verifica. v 1 5 e N.B. In alernaiva si può osservare che la legge oraria del moo equivale alla relazione (forma inegrale della legge) Essendo e poso s(), si oiene s s v s ds 1 1 s s s 1s 5ds s s 5s 5s 5 5 che risponde affermaivamene al quesio. A queso puno sul monior appare un secondo meeorie, la cui raieoria inerseca quella del primo meeorie in un puno P. Il videogioco chiede quale condizione deve essere verificaa affinché avvenga l uro.. Aiua Marco e Luca a rispondere in modo qualiaivo. Svolgimeno. Condizione necessaria e sufficiene affinché avvenga l'impao fra due corpi in movimeno è la simulaneià nel empo e nello spazio ovvero i due corpi si rovino nello sesso isane in un puno comune alle due raieorie. Precisamene, denoae con x1 x1 y1 y1 x x y y le rispeive posizioni (in coordinae parameriche) dei due corpi nel empo, gli evenuali puni di impao sono deerminai dalle soluzioni del sisema x1 x y1 y Ciascuna soluzione, x, y sarà cosiuia dall'isane ove ale eveno si verifica. dell'impao e dal puno P x, y Marco e Luca rispondono correamene e il primo meeorie viene colpio dal secondo e devia dalla raieoria originaria modificando il suo moo. Dopo l uro il monior indica che il primo meeorie si muove ora con la nuova legge oraria: 5 s Il videogioco chiede quindi di deerminare il empo uro in cui è avvenuo l uro.

3 Aiua Marco e Luca a: 4. deerminare il empo uro; Svolgimeno. Alla luce di quano viso nel puno precedene, per deerminare il empo uro dobbiamo innanziuo calcolare le soluzioni dell'equazione Osservao che l'equazione ammee re soluzioni reali: si può facilmene dedurre che, 1, secondi. uro 5. sudiare la legge oraria del primo meeorie nell inervallo ra e ˑuro secondi, evidenziando la presenza di evenuali puni di disconinuià e/o di non derivabilià e racciandone il grafico. Svolgimeno. Si raa di sudiare la funzione s Coninuià. la funzione è coninua almeno in ui i puni diversi da 1. Essendo la funzione è coninua anche in s1 lim s lim 1 1 Derivabilià. La funzione è derivabile in ui i puni del dominio, ranne evenualmene 1, e risula s' Per sudiare la derivabilià in 1 occorre discuere il limie del rapporo incremenale in ale puno: - derivaa sinisra in ' lim s lim lim derivaa desra in ' s 1 lim lim 6 65 Si deduce quindi che la funzione non è derivabile in 1. Passiamo a deerminare l'equazione delle ree angeni (desra e sinisra) nel puno

4 - equazione angene sinisra: y s 1 ' 5 s 1 1 y 5 y s 1 ' 15 s 1 1 y - equazione angene desra: N.B. Osservao che la funzione è coninua in 1 e derivabile in ui gli alri puni, avremmo pouo deerminare la derivaa desra e sinisra in 1 calcolando i limii 1 s ' 1 lim s ' lim s ' lim s ' lim Massimi/minimi. Si prova facilmene che '( ) s per ogni, 1, quindi la funzione è crescene. Di conseguenza il minimo è assuno nell'esremo sinisro, menre il massimo è assuno nell'esremo desro min s s max ss 185. Derivaa seconda. Ovviamene la funzione ammee derivaa seconda in, 1 e risula s" Flessi. Sudiamo il segno della derivaa seconda: s" La funzione è perano convessa in,5 1, e concava alrove, di conseguenza 5 è un flesso ascendene. Grafico. (N.B. rea angene nell'origine y 5). 1 Proposizione (sul calcolo della derivaa). Sia f : a, b R una funzione coninua ale che f x f x i) f è derivabile in ] ab, [ ii) f ' ammee limie in a. Allora lim lim f ' xa x x xa La dimosrazione è una immediaa applicazione del eorema de L'Hospial applicao al rapporo di infiniesimi x f x f x La proposizione è raa dal volume Brandi-Salvadori, "Calculus in conex: segmeno per gli esami di sao", 15, o appear. x x

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6 Problemi di simulazione della seconda prova di maemaica Esami di sao liceo scienifico 5 febbraio 15 Lo sudene deve svolgere un solo problema a sua scela Tempo massimo assegnao alla prove re ore Problema : Un mappamondo prezioso Lavori in un laboraorio d'are veraria e il responsabile del museo civico della ua cià i chiede di progeare un esposiore avene forma conica che possa conenere un prezioso e anico mappamondo. Il mappamondo ha raggio R e l'esposiore deve essere ermeicamene chiuso, per impedire che il mappamondo prenda polvere. Il uo collega Mario dice che, per cosruire l'esposiore, si porebbe uilizzare il quarzo ialino ma, daa la preziosià del maeriale, per risparmiare è necessario deerminarne le dimensioni oimali. Inolre per proeggere l'esposiore dalla polvere decidee di ricoprirlo con una soile pellicola rasparene di nuova generazione e piuoso cososa. 1. Trascurando lo spessore dell'esposiore e araverso un opporuna modellizzazione geomerica, deermina l'alezza h e il raggio di base r dell'esposiore affinché sia minima la sua superficie oale, allo scopo di uilizzare una quanià minima di pellicola1. 1 Ricorda che la superficie oale S di un cono è daa dall espressione: S r r r h. Fornisci una spiegazione adeguaa e convincene del procedimeno seguio, evenualmene anche con rappresenazioni grafiche. Svolgimeno. Considerai i due riangoli HAB e OTA, essi sono simili in quano reangoli con un angolo (acuo) in comune, di conseguenza i lai corrispondeni sono in proporzione: HB : OT AH : AT AB : OA Essendo AH h, HB TB r (segmeni angeni da un puno eserno alla circonferenza), OT R, OH h R, AT AB r risula r : R h : AB r AB : h R Dalla prima e seconda relazione si deduce: Rh r r : R h : AB r AB r

7 r h R menre dalla prima e erza si ha: r : R AB : h R AB R Rh r rh R Rr in conclusione per confrono risula h. r R r R Abbiamo così oenuo una espressione che descrive l'alezza h in funzione di r e del paramero R. Sosiuendo ale espressione nella formula dalla superficie oale, si oiene S S r 4 r r R ove rr. Per sudiare i puni esremali della funzione, calcoliamo la sua derivaa e discuiamo il segno di r S ' r 4 r R r R S ' : S ' r r R r R Possiamo quindi concludere che la funzione decresce in RR, e cresce in R,, per cui r R è il puno di minimo. Ora u e Mario dovee scegliere la pellicola da sisemare sulla superficie eserna dell'esposiore. La scela va faa ra due pellicole che hanno lo sesso coso uniario ma diverse proprieà: la prima ogni anno perde il % della resisenza all'usura che ha a inizio anno, menre la seconda ogni anno perde il % della resisenza all'usura iniziale.. Aiua Mario nel capire quale pellicola convenga scegliere in funzione della duraa, enendo cono del fao che enrambe hanno la sessa resisenza di parenza e che una pellicola va cambiaa quando la sua resisenza all'usura risula inferiore al % della sua resisenza di parenza. Modelliamo separaamene la resisenza delle due pellicole, al variare del empo. Si raa di un fenomeno di "decadimeno" che è naurale descrivere con un modello discreo (cfr. noa finale). Denoiamo quindi con a la resisenza iniziale della pellicola e con a n quella dopo l'n-esimo anno. Prima pellicola: poiché "ogni anno perde il % della resisenza all'usura che possiede a inizio anno", il fenomeno è descrio dal processo ieraivo a sar a a,a,97 a n1 n n n n,1,,... Scopriamo così che il fenomeno evolve secondo una progressione geomerica di ragione,97, che ammee la formula chiusa,97 n an a n,1,,... I modelli di decadimeno (discrei e coninui) sono raai in Brandi-Salvadori, "Prima di iniziare. Conoscenze e compeenze di base per l'universià", ed. Acquaplano, 11, pp.1

8 Per sabilire in quale anno la pellicola deve essere sosiuia, valuiamo quando la sua resisenza all'usura scende al di soo del % di quella di parenza risolvendo la disequazione: n n log, an,97 a,a,97, n 9,5 anni log,97 In alri ermini la prima pellicola si maniene efficiene per circa 4 anni. Seconda pellicola: in queso caso " la pellicola ogni anno perde il % della resisenza all'usura iniziale ", quindi il fenomeno è descrio dal processo ieraivo a sar a a, a n1 n n,1,,... Ora la successione delle ierae è un progressione arimeica di ragione,a, che ammee la seguene formula chiusa a a, na 1, n a n n,1,,... Per sabilire in quale anno la pellicola va cambiaa, valuiamo quando la sua resisenza all'usura scende al di soo del % di quella di parenza risolvendo la disequazione:,7 nn 1, n a,a 1, n, n 5 anni, La seconda pellicola si maniene perano efficiene per 5 anni. Conclusione: La prima pellicola è preferibile alla seconda in quano maniene più a lungo le sue caraerisiche all'usura. I modelli lineari (discrei e coninui) sono raai in Brandi-Salvadori, "MATH MAPS. iinerari per le compeenze", Ed. Univ. Bocconi, Prisem 15, pp. 14.

9 N.B. In enrambi i casi, il risulao è indipendene dalla resisenza iniziale della pellicola. N.B. Per descrivere il fenomeno di perdia di resisenza della pellicola si poeva adoare un modello coninuo, invece che discreo. Denoao con R è la resisenza iniziale ed assuna come variabile il empo (anni), si avrebbe prima pellicola: poiché "ogni anno perde il % della resisenza all'usura che ha a inizio anno", il residuo di resisenza è del 97%, quindi il fenomeno è descrio dalla funzione: f ( ) R,97 seconda pellicola: " la pellicola ogni anno perde il % della resisenza all'usura iniziale ", quindi la resisenza residua è descria dalla funzione: g( ) R, R

10 Indicaori di valuazione porai a conoscenza dello sudene: Comprendere Analizzare la siuazione problemaica, rappresenare i dai, inerprearli e radurli in linguaggio maemaico. Individuare Meere in campo sraegie risoluive araverso una modellizzazione del problema e individuare la sraegia più adaa. Sviluppare il processo risoluivo Risolvere la siuazione problemaica in maniera coerene, complea e correa, applicando le regole ed eseguendo i calcoli necessari, con l evenuale ausilio di srumeni informaici. Argomenare Commenare e giusificare opporunamene la scela della sraegia applicaa, i passaggi fondamenali del processo esecuivo e la coerenza dei risulai