2. Determinare la velocità v di impatto al suolo del sasso, e commentare se è maggiore o minore di quella di lancio;

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1 1 Esercizio Un uomo lancia in alo, vericalmene luno l asse z, un sasso da un alezza h 0 = m dal suolo, con una velocià di 10 m/s. Il sasso si muove di moo uniformemene accelerao, con un accelerazione di modulo = 9.81 m/s, direa verso il basso. 1. Deerminare l alezza massima z max raiuna dal sasso;. Deerminare la velocià v di impao al suolo del sasso, e commenare se è maiore o minore di quella di lancio; 3. Calcolare l andameno nel empo della quanià E p = mz (dea eneria poenziale ), dove m è la massa del sasso e z è l alezza del sasso dal suolo ad un isane enerico; rappresenare raficamene come varia E p () allo scorrere del empo; 4. Calcolare l andameno nel empo della quanià E k = 1 mv (dea eneria cineica ); rappresenare raficamene come varia E k () allo scorrere del empo; 5. Calcolare e disenare l andameno nel empo della quanià E = E p + E k (dea eneria meccanica ).

2 SOLUZIONE Il moo del sasso avviene luno l asse z (orienao verso l alo). Risula naurale sceliere come isane iniziale = 0 quello in cui l uomo lancia il sasso. Dal eso sappiamo che il moo è uniformemene accelerao, con accelerazione (dove il seno - iene cono del fao che ale accelerazione è direa verso il basso); l alezza iniziale da cui pare il sasso è h 0 = m; la velocià iniziale con cui pare il sasso è v 0 = 10 m/s; Da quesi elemeni possiamo dedurre cha la lee oraria del sasso luno l asse z è: Conseuenemene, la lee oraria della velocià vale z() = h 0 + v 0 1 (1) v() = dz d = v 0 () 1. La lee oraria (1) descrive come varia l alezza z del sasso al rascorrere del empo. Per deerminare l alezza massima che il sasso raiune, dobbiamo calcolare il massimo della funzione z = z(). A ale scopo imponiamo l annullameno della derivaa dz d = v() = v 0 = 0 (3) Tale condizione è soddisfaa all isane Il valore di ale massimo è dao = v 0 z max = z( ) = = h 0 + v 0 1 = (5) v 0 = h 0 + v 0 1 ( ) v0 = (4) Sosiuendo i valori abbiamo = h 0 + v 0 m 100 s/ z max = m m = s/ = 7.10 m (7) (6). Calcoliamo ora l isane in cui il sasso impaa il suolo. Possiamo procedere in due modi: Primo modo Denoiamo ale isane (inoo) con. Per definizione ale isane è quello per cui si ha z( ) = 0 h 0 + v 0 1 = 0 1 v 0 h 0 = 0 (8)

3 3 che ha due soluzioni 1 = v 0+ v 0 +h 0 > 0 = v 0 v 0 +h 0 < 0 Siccome ci ineressa solo la soluzione nel fuuro (nel passao il sasso non era in moo, ma in mano all uomo), scariamo la soluzione e eniamo solo la soluzione 1. Quindi = v 0 + v 0 + h 0 La velocià di impao al suolo è per definizione la velocià che il sasso possiede all isane in cui impaa il suolo. E dunque v = v( ) = v 0 = (9) (10) = v 0 v 0 + v0 + h 0 = = v0 + h 0 (11) Osserviamo che è neaiva perché chiaramene quando il sasso impaa il suolo la sua velocià è direa verso il basso. Sosiuendo i valori abbiamo v = v0 + h 0 = 100 m = s m s m = = ( ) m s = = 11.8 m/s (1) Osserviamo che v è maiore (in modulo) della velocià di lancio iniziale v 0. Secondo modo: Diseniamo in Fi.1 la lee oraria della velocià, daa dall Eq.(). v v 0 il sasso sale verso l'alo (v>0) il sasso cade verso il suolo (v<0) v Fiure 1: Lee oraria della velocià per il moo del sasso.

4 4 Sfruiamo ora la formula enerale z = z( ) z( 1 ) = 1 v() d (13) che vale per qualunque coppia di isani 1 e, e la applichiamo al nosro caso. In paricolare sceliamo come isane 1 l isane in cui il sasso raiune la massima alezza, e dunque z( ) = z max e v( ) = 0 perché in ale isane la velocià del sasso è per definizione nulla; sceliamo come isane l isane in cui il sasso impaa il suolo, e dunque z( ) = 0 e v( ) = v (inconia); perano z = z( ) z( ) = 0 m z max = z max. Perano abbiamo z( ) z( ) = z max = v() d = base alezza = area rianolo (col seno) = = ( ) v (14) D alra pare l accelerazione non è alro che la pendenza della curva v(), che può scriversi come a = v = v 0 m/s = v a = v (15) Sosiuendo (15) in (14) abbiamo z max = v v = z max v = z max (sceliamo il - perché fisicamene dev essere verso il basso) [uso ora (6)] ( ) v = h 0 + v 0 v = v0 + h 0 (16) che coincide con quano rovao in (11) nel primo modo. E dunque sosiuendo i valori

5 5 abbiamo nuovamene v = v0 + h 0 = 100 m = s m s m = = ( ) m s = = 11.8 m/s (17) 3. Dalla lee oraria (1) di z() abbiamo che l andameno nel empo della quanià chiamaa eneria poenziale vale E p () = mz() = = m (h 0 + v 0 1 ) = = mh 0 + mv 0 1 m (18) Il rafico di E p () in funzione del empo, mosrao in Fi. a sinisra, è una parabola rovesciaa verso il basso. 4. Dalla lee oraria () per per la velocià v() abbiamo che l andameno nel empo della quanià chiamaa eneria cineica vale E k () = 1 mv () = = 1 m (v 0 ) = = 1 m(v 0 + v 0 ) = = 1 mv 0 mv m (19) Il rafico di E k (), mosrao in Fi. a desra, rappresena una parabola verso l alo, che occa E p E k mh 0 1 mv 0 Fiure : Andameno nel empo dell eneria poenziale (a sinisra) e dell eneria cineica (a desra). l asse dei empi al isane =, in cui v = 0 E k = 0.

6 6 5. Calcolando la somma di quese due quanià osserviamo che E() = E p () + E k () = = mh 0 + mv 0 1 m + 1 mv 0 mv m = = mh mv 0 (0) non dipende dal empo. Perano, menre sia l eneria poenziale che l eneria cineica, separaemene, dipendono dal empo, la loro somma (eneria meccanica) è una cosane nel empo, ossia si conserva. E mh mv 0 Fiure 3: Menre l eneria poenziale e l eneria cineica, separaamne, variano nel empo, la loro somme E rimane cosane nel empo.