Meccanica Cinematica del punto materiale

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1 Meccanica 8-9 5

2 Moo circolare Caso paricolare di moo curilineo nel piano raieoria: circonferenza Modulo della elocià (in enerale) non uniforme Coordinae polari: Anolo aio r( ) Coordinaa curilinea Posizione misuraa luno la raieoria: s( ) θ ( ) cos. ( ) O ( ) ( ) P s( ) Coordinae caresiane: ( ) cosθ ( ) ( ) sinθ ( )

3 Velocià anolare (isananea): Velocià anolare in funzione di e : ω θ dθ θ ds dθ ds Moo circolare + Consideriamo il puno P in due isani, θ s Sposameno anolare: Definiamo la elocià anolare media: θ θ θ θ ω θ m θ dθ ω lim θ ( + ) θ Deriaa rispeo al Velocià anolare: Proporzionale al modulo della elocià Inersamene proporzionale a ω + empo dell anolo

4 dr Moo circolare: elocià Velocià: forma enerale per moo curilineo: dθ ur + r uθ d θ uθ Modulo della elocià: La elocià anolare è cosane ω cos. ω cos. a u N Accelerazione: solo cenripea r( ) (cosane) ω u θ ω (elocià anolare) ( ) ( ) ω( ) Moo circolare uniforme Accelerazione: a a ( ω) ω Moo circolare ( ) cosane d a( ) u + u N ω u θ P θ () u r

5 ( ) ( ) Moi proieai suli assi: ( ) cosθ ( ) ( ) sinθ ( ) Moo circolare uniforme P a s( ) θ s s( ) cos( ω +θ ) sin( ω +θ ) Accelerazione: ω a u N Moo circolare uniforme: moo periodico Periodo: π Moi armonici (sfasai di π/) con pulsazione pari alla elocià anolare del moo circolare ωp ω π ω Descriiamo il moo luno la raieoria: Sappiamo che s( ) s + θ + ω ω cosane

6 Saellii di Gioe Velocià? Accelerazione? Ganimede Calliso Europa Gioe Io Assumiamo orbie circolari e co-planari S Da erra ediamo il moo proieao ω ( ) α( ) ( ) sin( ω) ( ) h anα hα sin( ω) α h h Dall osserazione possiamo facilmene oenere: - aio dell orbia: - Periodo: α Ma h h Disanza erra-gioe (noa) α Ma Galileo Galilei (69) h erra

7 Saellii di Gioe Velocià? Accelerazione? Europa Io Ganimede Calliso Assumiamo orbie circolari e co-planari Dalle osserazioni: Io Europa Ganimede Calliso 4 8 km,77 iorni 67 km 3,55 iorni 7 4 km 7,6 iorni 88 7 km 6,69 iorni Misure per Io Velocià anolare? Velocià anenziale? ω ω π π 4. s (4. s )(4. km) 7 km/s Accelerazione cenripea? a ω 5 (4. s )(7km/s).7m s

8 Moo circolare: accelerazione O ω Accelerazione anenziale e normale in funzione di quanià anolari ω d a an a α u +ω d a u + ( ) ω( ) u N u N a + a N se aria aria ω, e iceersa Per un moo circolare possiamo definire una accelerazione anolare media ω ω ω α m ω dω α lim ω / In enerale: a a e accelerazione anolare (isananea) ω a dω an ω ( αu + ω u ) N d N α a

9 θ () α() + ω( ) ω α + ω θ ω( ) ( ) + + a ( ) + a dθ Moo circolare Moo circolare uniformemene accelerao: Accelerazione cenripea a ( ) a reilineo ω( ) ω + α( ) eore α ω + ω + α α ( ) θ + ω + α θ + ω + α ω ( ω +α) a N analoia dω s ( ) ω( ) ( ω + α) a ( ) αu + ( ω + α) u circolare + θ ω( ) ( ) θ ( ) ( θ + ω + α ) α cosane Accelerazione cenripea N a α (Per moo uniforme)

10 d θ ω Modulo: ω Velocià anolare quanià scalare Noazione eoriale per la elocià anolare dθ Direzione: oroonale alla circonferenza Verso: il moo appare aniorario iso dalla puna di ω Con quesa ω r definizione abbiamo: π ω sin ω La relazione rimane alida per qualunque scela di O sull asse z: ω r ω r sinφ ω ω z φ O' r ω z O

11 Moo nei pressi della superficie erresre u O Consideriamo il moo di un puno maeriale lanciao da erra con una cera elocià iniziale Equazione del moo? raieoria? a u Alezza massima? Giaa? Velocià finale? u θ Accelerazione (noa) Velocià Posizione: (), () ( ) ( ) r ( ) r ( ) + + a( ) ( ) u u Il moo si maninene nel piano (, ) ( cos ) θ ( sin ) θ cosθ sinθ ( cos θ ) reilineo uniforme ( sin θ) uniformemene accelerao

12 Moo nei pressi della superficie erresre u O u θ Equazione del moo: a u ( ) sinθ cosθ cos ( ) (an θ ) cos θ ( ) ( cos θ) ( ) ( sin θ) raieoria? θ Eliminiamo il empo da ), ( ) Equazione di una parabola con asse ericale cosθ ( ) ( Direzione iniziale (erifica): d anθ d cos d anθ d θ raieoria in O anene al eore elocià iniziale

13 Moo nei pressi della superficie erresre a u ( ) anθ cos θ u O u θ Giaa? G cos anθ ( ) θ G cos θ anθ cosθ sinθ sin( θ) sin( α) sinα cosα G Fissao per quale anolo iniziale si ha la iaa massima? sin( θ) Ma π ( θ ) 45 ( ) Ma 4 G