Corso di Fisica. Lezione 4 La dinamica

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1 Corso di Fisica Lezione 4 La dinamica

2 Lo scopo della dinamica La dinamica si occupa di sudiare perché e come si muovono i corpi. Parlare di movimeno di un corpo significa che il corpo sesso cambia la sua posizione nel empo. Il primo problema è allora quello di capire come si esprime la posizione e la sua variabilià nel empo, ovvero la velocià Corso di Fisica 2

3 Il sisema di riferimeno Iniziamo col considerare un sisema di re assi con le proprieà di essere caresiani ed orogonali Ricordiamo qui che orogonali significa che i re assi formano, ra di loro, sempre un angolo reo menre caresiani indica che sui re assi si uilizza la sessa unià di misura. Corso di Fisica 3

4 La posizione di un puno Consideriamo un generico puno P nello spazio. La sua posizione può essere espressa grazie alle sue proiezioni sui re assi. Scriveremo allora P = (x P, y P, z P ) e chiameremo coordinae le re grandezze x P, y P e z P. Possiamo osservare quindi che la posizione di un puno è un veore le cui componeni sono appuno i re valori x P, y P e z P. Corso di Fisica 4

5 Il puno maeriale Quello che abbiamo fao è deerminare la posizione di un puno, che geomericamene sappiamo avere una dimensione nulla. Ma noi siamo ineressai ad analizzare oggei reali che, invece, hanno dimensioni non nulla. Per iniziare conviene avere a che fare con i sisemi più semplici possibili, ovvero quelli le cui dimensioni sono molo piccole, almeno rispeo alle alre disanze in gioco. Parleremo, in queso caso, di puni maeriali Corso di Fisica 5

6 La misura della posizione La posizione di un corpo è, come ue le grandezze fisiche, una grandezza misurabile di ipo lunghezza e perano per essa occorre definire una unià di misura. Nel sisema MKS l unià di misura è il mero (m) definio inizialmene come un soomuliplo della lunghezza di un meridiano erresre, aualmene viene deerminao come lo spazio percorso dalla luce nel vuoo in un empo di 1/ di secondo. Corso di Fisica 6

7 Alre unià di misura della lunghezza Olre l unià di misura ufficiale del sisema MKS esisono alre unià di misura spesso usae. Qui di seguio ne indichiamo alcune con i relaivi faori di conversione inch (pollice) 1", in 1 in = 2.54 cm foo (piede) 1', f 1 f = 12 in = m yard (iarda) yd 1 yd = 3 f = m miglio marino nau mi 1 nau mi = km Miglio erresre US mi 1 mi = km ångsröm Å 1 Å = m anno luce a.l. 1 a.l m parsec pc 1 pc m a.l Corso di Fisica 7

8 La posizione come veore Per quano deo precedenemene, preso un puno maeriale ed un paricolare sisema di riferimeno, si può deerminare la sua posizione, o per meglio dire, il suo veore posizione s x, y, Vediamo che di regola il veore posizione è ridimensionale ma nel seguio, per semplificare la raazione, faremo uso di casi paricolari a minor numero di dimensioni, cioè a due od addiriura ad una sola dimensione. Ciò a semplificare la rappresenazione analiica e grafica. z Corso di Fisica 8

9 La velocià media Prendiamo in considerazione un puno maeriale ed osserviamo la sua variazione di posizione al variare del empo (caso unidimensionale). Dall esperienza comune sappiamo che misurando lo spazio percorso in un deerminao inervallo di empo si può calcolare la velocià velocià media spazio percorso empo impiegao Noiamo però che quesa velocià rappresena solo il suo valore medio durane lo specifico inervallo di empo: x v media Corso di Fisica 9

10 La velocià isananea Possiamo ridurre l inervallo di empo enro cui misuriamo lo spazio percorso ma in ogni caso oeniamo sempre un valore della velocià media. Per deerminare il valore della velocià isananea dovremmo ridurre l inervallo di empo sino a farlo divenire nullo ma allora anche lo spazio percorso diverrebbe nullo e l operazione di divisione velocià isananea spazio percorso empo impiegao non si porebbe più fare assumendo esso un valore indefinio. 0 0 Corso di Fisica 10

11 La velocià media graficamene Per risolvere il problema osserviamolo graficamene. Su un sisema di due assi orogonali indichiamo il empo e lo spazio. Calcolare la velocià media significa deerminare la pendenza della rea secane alla curva: v media x an Corso di Fisica 11

12 La velocià isananea graficamene Quando facciamo endere i due puni di inersezione della secane ad uno solo la secane sessa si rasforma, per definizione, nella angene. Di conseguenza possiamo scrivere che x visananea lim an 0 Con linguaggio maemaico diremo di aver deerminao la derivaa della posizione rispeo al empo. Corso di Fisica 12

13 Possiamo ora affermare che La velocià di un corpo La velocià di un puno maeriale è definia come la derivaa prima della posizione rispeo al empo dx v d Per calcolare quesa velocià possiamo far uso delle proprieà maemaiche dell operaore derivaa oppure, nei casi più semplici, possiamo uilizzare l inerpreazione geomerica e perano deerminare la pendenza del grafico orario, ovvero della curva che rappresena la variazione della posizione al variare del empo. Corso di Fisica 13

14 Calcolo della velocià di un corpo fermo Consideriamo un corpo fermo, ovvero ale che la sua posizione non varia al variare del empo: x x 0 cosane In queso caso il grafico orario è rappresenao da una rea orizzonale e la angene in qualunque suo puno è la curva sessa, inclinaa di un angolo 0 rispeo all asse del empo. Di conseguenza v 0 Corso di Fisica 14

15 Moo a velocià cosane Consideriamo un corpo la cui posizione cambia in maniera cosane al variare del empo: x x 0 k In queso caso il grafico orario è rappresenao da una rea inclinaa e la angene in qualunque suo puno è la curva sessa, con pendenza k rispeo all asse del empo. Di conseguenza v v 0 k Corso di Fisica 15

16 Moo reilineo uniforme Osserviamo ora alcune proprieà del moo appena considerao. L equazione del moo ridimensionale è x x v y y v z z v 0 x 0 y 0 Cambiamo ora il sisema di riferimeno facendo in modo che il veore velocià del corpo coincida con uno dei re assi. Risulerà allora v v,0,0 L equazione oraria diviene allora x x0 v y y0 z z0 e di conseguenza il moo avviene solo lungo l asse x. Si dice che il corpo di muove di moo reilineo uniforme z Corso di Fisica 16

17 Moo reilineo uniformemene accelerao Consideriamo un corpo la cui posizione cambia in maniera cosanemene crescene al variare del empo: x 2 x k h 0 In queso caso il grafico orario è rappresenao da una curva (una parabola) e deerminare graficamene la angene non è semplice: si deve obbligaoriamene far uso delle regole maemaiche per la deerminazione della derivaa. Si oiene: v k 2h v 0 2a Corso di Fisica 17

18 Accelerazione Così come dalla posizione di un corpo abbiamo deerminao la sua velocià, possiamo ricavare, a parire dalla velocià, una nuova grandezza chiamaa accelerazione Che risula quindi essere definia come la derivaa della velocià rispeo al empo v dv a lim 0 d od anche come la derivaa seconda della posizione rispeo al empo 2 dv d x a 2 d d Corso di Fisica 18

19 Causa del moo Iniziamo col considerare un corpo poggiao su un piano orizzonale in movimeno con una deerminaa velocià iniziale. Possiamo noare che lasciao a se sesso il corpo più o meno lenamene rallena, sino a fermarsi. Se però levighiamo sia il piano che il corpo osserviamo che il rallenameno diminuisce ed addiriura, se usiamo un piano di ghiaccio secco (anidride carbonica ghiacciaa) ed un corpo abbasanza leggero, il rallenameno del corpo diviene esremamene leno sino a poer apparire addiriura rascurabile. Corso di Fisica 19

20 L enunciao di Newon Possiamo allora dedurre che il rallenameno non sia una proprieà del moo ma piuoso dell inerazione ra il corpo ed il piano su cui esso è poggiao. Se eliminassimo del uo quesa inerazione accadrebbe allora che Un corpo su cui non agisce alcuna azione eserna o sa fermo o si muove a velocià cosane Queso risulao cosiuisce il conenuo del primo principio della dinamica o principio d inerzia, come enunciao da Newon. Corso di Fisica 20

21 Il primo principio della dinamica Nell enunciao di Newon manca del uo il sisema di riferimeno rispeo cui sono misurae le grandezze per cui oggi si considera un enunciao leggermene più complesso: Primo principio della dinamica: Il sisema di riferimeno nel quale un corpo non soggeo ad azioni eserne o sa fermo o si muove di moo reilineo uniforme viene deo sisema di riferimeno inerziale Corso di Fisica 21

22 Il sisema di riferimeno inerziale Come abbiamo viso il primo principio della dinamica viene uilizzao per definire un paricolare sisema di riferimeno deo inerziale. Il riferimeno inerziale per eccellenza viene rappresenao dal cosiddeo sisema delle selle fisse. Per cosruirlo consideriamo re selle nel cielo, ra quelle che appaiono fisse nelle loro posizioni sellari e araverso esse facciamo passare re assi ra di loro perpendicolari. Il sisema così cosiuio è un sisema di riferimeno inerziale. Corso di Fisica 22

23 Alri sisemi di riferimeno inerziale Per gli usi più comuni il sisema delle selle fisse è scomodo da usare e perano diviene ineressane vedere se ne esisono alri. Consideriamo un sisema di riferimeno (che indicheremo con le leere greche ) che sia fermo o si muova di moo reilineo uniforme rispeo al sisema delle selle fisse. Per passare da un riferimeno all alro abbiamo: P P P O O O O O O Corso di Fisica 23

24 Trasformazioni galileane Per gli usi più comuni il sisema delle selle fisse è scomodo da usare e perano diviene ineressane vedere se ne esisono alri. Consideriamo un sisema di riferimeno (che indicheremo con le leere greche ) che sia fermo o si muova di moo reilineo uniforme rispeo al sisema delle selle fisse. Per passare da un riferimeno all alro abbiamo: O O O O O O O O O dee Trasformazioni galileane Corso di Fisica 24

25 Corso di Fisica 25 Moo di un puno in un alro riferimeno Consideriamo ora un corpo P che, non essendo sooposo a forze, o sa fermo o si muove di moo reilineo uniforme rispeo al sisema laino (inerziale) v z v z v y v y v x v x z O O z O O P y O O y O O P x O O x O O P v z z v y y v x x z P y P x P e quindi rispeo al sisema greco

26 Moo di un puno in un alro riferimeno Ques ulima formula si può scrivere come P P P P P P P P P E di conseguenza il puno P sa fermo o si muove di moo reilineo uniforme anche rispeo al sisema greco che, in base alla definizione, è perano anch esso un sisema di riferimeno inerziale. Possiamo allora dire che: Un riferimeno che sa fermo o si muove di moo reilineo uniforme rispeo ad un riferimeno inerziale è anch esso un sisema di riferimeno inerziale. Corso di Fisica 26

27 Il sisema di riferimeno del laboraorio Il sisema di riferimeno più semplice da uilizzare e quindi quello che comunemene si uilizza è il cosiddeo Sisema di riferimeno del laboraorio Queso sisema di riferimeno è cosruio uilizzando re assi solidali con il locale nel quale si sviluppa l esperimeno. Per cosruzione queso riferimeno è solidale con la Terra e perano ruoa rispeo a quello delle selle fisse non essendo perano un riferimeno inerziale. Se però si raa di fenomeni che durano al massimo qualche minuo è possibile rascurare la roazione della Terra e quindi il sisema del laboraorio diviene approssimaivamene inerziale. Corso di Fisica 27

28 La definizione di forza Il problema che ora di dobbiamo porre è quello di capire cosa accade quando sul corpo viene eserciaa una azione eserna. Dapprima iniziamo col capire cosa inendiamo per azione eserna. Consideriamo un corpo enuo fermo da un vincolo ed eserciiamo su di esso una azione. Possiamo osservare che in queso caso il corpo inizia a deformarsi e possiamo allora definire una nuova grandezza fisica: La forza è l ene fisico che deforma i corpi Il vanaggio di quesa definizione, olre a chiarire in maniera univoca cosa sia una forza, è che essa fornisce direamene uno srumeno per misurare l inensià della forza Corso di Fisica 28

29 La misura della forza Consideriamo un corpo ed applichiamo su di esso una forza misurando la deformazione da esso subia. Risula che F = F(x) dove x è la deformazione ed F la forza deformane. Possiamo allora prendere un corpo e sabilire su di esso una scala di misura della deformazione da cui deduciamo la misura della forza. Nel sisema MKS l unià di misura della forza è il newon (N) Nel sisema ecnico, invece, l unià di misura della forza è il kilogrammo (kg) Corso di Fisica 29

30 La causa della variazione di sao di moo Consideriamo un corpo enuo fermo da un vincolo ed eserciiamo su di esso una forza. Sappiamo che, per definizione di forza, il corpo si deforma Possiamo però noare che se eliminiamo il vincolo il corpo inizia a muoversi, ovvero varia il suo sao di moo, e che ciò accade qualunque sia il ipo di azione eserciao, purchè apparenene alla caegoria delle grandezze fisiche che deformano un corpo. Accade inolre che l applicazione di una forza su un corpo non vincolao è l unico modo di meere in moo il corpo sesso. Possiamo concludere affermando che la forza è la causa della variazione di sao di moo del corpo Corso di Fisica 30

31 Il secondo principio della dinamica Possiamo ora enunciare il Secondo principio della dinamica: In un sisema di riferimeno inerziale un corpo soggeo ad una forza si muoverà con un accelerazione proporzionale alla forza sessa. Il coefficiene di proporzionalià prende il nome di massa: F = m a Corso di Fisica 31

32 Il erzo principio della dinamica Enunciamo infine il Terzo principio della dinamica: Se un corpo A esercia una forza su un corpo B allora queso corpo B esercierà sul corpo A una forza di uguale inensià e direzione ma verso opposo F AB = - F BA Queso principio viene anche deo di azione e reazione Corso di Fisica 32

33 Il problema fondamenale della dinamica Corso di Fisica 33

34 La soluzione generale della dinamica Corso di Fisica 34

35 La forza peso Una delle forze più comuni con le quali si ha a che fare è la forza peso, ovvero la forza che agisce su ogni corpo doao di massa a causa della sua inerazione con la Terra. In formula si scrive F = m g dove con g si indica una cosane del valore di g = 9.81 m/s 2 e che prende il nome di accelerazione di gravià. La direzione di quesa forza è, per definizione, la vericale ed è sempre direa verso il basso. Corso di Fisica 35

36 La variabilià della forza peso Se si considera un corpo paricolare e si va a misurare la forza peso agene su di esso in vari puni della Terra si osserva che essa non è cosane ma varia leggermene, ad esempio diminuisce leggermene quando si sale di quoa. Ciò accade perché l accelerazione di gravià non è una cosane ma cambia da puno a puno a causa della sruura irregolare della Terra, sia in forma che in composizione. Vedremo successivamene che la forza peso non è alro che un caso paricolare della forza di arazione graviazionale, nell approssimazione dea erresre, ovvero in cui ci si limia ad analizzare un piccolo volume inorno alla nosra posizione. Nella sessa approssimazione la superfice della erra può essere consideraa piana. Corso di Fisica 36

37 Moo di un corpo soggeo a forza cosane Iniziamo col considerare un moo abbasanza semplice. Supponiamo di avere un corpo soggeo ad una forza cosane, ad esempio la forza peso. Per analizzare il fenomeno consideriamo un sisema di assi ale che i due veori velocià iniziale e forza giacciano nel piano xy. Il erzo asse del sisema di riferimeno diviene allora inuile poiché il moo si svolge solo nel piano xy e può perano essere rappresenao in due sole dimensioni. Corso di Fisica 37

38 Velocià per corpi soggei a forza cosane Definiamo perano i veori Avendo deerminao le accelerazioni iniziamo col ricavare le velocià: Corso di Fisica 38

39 Posizione per corpi soggei a forza cosane E di conseguenza le equazioni orarie sono Possiamo concludere che un corpo su cui agisce una forza cosane si muove, rispeo ad un riferimeno inerziale, di un moo la cui raieoria è cosiuia da una parabola. Si parla in queso caso di un moo uniformemene accelerao. Corso di Fisica 39