Dinamica del Punto Materiale

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1 Dinamica del Puno Maeriale La dinamica si occupa di descrivere e deerminare le cause del moo di un puno maeriale La cinemaica invece raa il movimeno dei corpi soo un aspeo puramene geomerico Massa: serve ad aribuire al corpo una proprieà dinamica Descrive l inerzia (massa inerziale), la sua ineiudine al moo Tui gli oggei hanno una massa La massa è una grandezza esensiva, vale cioè una proprieà addiiva: c 1 c anche inensive come la densià c 1 c { } m 1 + m Non ue le grandezze sono esensive, possono essere { } ρ 1 + ρ La massa è una grandezza fisica addiiva Massa inerziale di un corpo (puno maeriale): è la quanià c q1 grandezza scalare caraerisica del corpo q rispeo ad un corpo 1 scelo come campione di riferimeno Scrivo quindi che la massa a di q è m q = c q1 m 1, m 1 è l unià di misura della massa inerziale (SI m 1 = 1Kg ) 1() = m () a 1() m1 = a () m È la raduzione quaniaiva del conceo d inerzia, della sua riluanza al moo Non ha niene a che fare con la gravià, bensì con il moo Conceo di massa inerziale: esempio dei due corpi (puni maeriali) in muua ed esclusiva inerazione: due carrellini collegai da una molla Concei di quanià di moo e di forza: Quanià di moo: si definisce quanià di moo del puno maeriale di massa m che si muove con velocià isananea v, la grandezza veoriale isananea p = mv Il suo modulo si misura in [Kg m/s] Conservazione della quanià di moo: la quanià di moo si può conservare in ceri casi Nell esperimeno dei carrello abbiamo osservao che v 1 = m Più in paricolare vale la v m 1 relazione veoriale che m 1 v 1 = m v Se chiamiamo v1, = ' v1, v 1, m 1 v ' 1 m1 v 1 = m v ' + m v m 1 v ' 1 + m v ' = m1 v 1 + ' m v p 1 + p ' = p1 + p = po il sisema non è soggeo ad inerazioni con l eserno (due carrelli sono il p ' o sisema, e ineragiscono solo ed esclusivamene ra loro) Principio di conservazione della quanià di moo: in un sisema isolao di N puni maeriali (sisema di N puni maeriali in muua ed esclusiva inerazione, quindi non soggeo a inerazioni con l eserno) la quanià di moo oale si conserva (cosane nel empo): N N p = pi = mi v i = cosane Si dice forza agene sul puno maeriale avene quanià di moo p () la grandezza veoriale d p() F () = Come l accelerazione a, anche la forza F è sempre direa verso la concavià della raieoria a m 1 1

2 ( mv ()) = m dv () Ha la sessa direzione dell accelerazione: F () = d p () = d = ma () Risulane delle forze ageni su un puno maeriale: forza somma veoriale di ue e sole le forze N ageni sul puno maeriale in esame F 1 = F1,i : risulane delle forze ageni sul puno 1 Causa del moo: se c è una causa del moo esise una forza ed è un ene veoriale i= Sisema di riferimeno inerziale: lo possiamo immaginare come un puno maeriale (origine) sul quale non agisce nessuna causa di moo o come un puno maeriale non soggeo ad inerazioni Sperimenalmene si osserva che un puno maeriale non soggeo ad inerazioni permane nello sao di quiee oppure di moo reilineo uniforme Principio di relaivià galileiana: le leggi della dinamica assumono la sessa forma in ui i sisemi di riferimeno inerziali Principio di relaivià risrea (Einsein): le leggi della fisica (dinamica ed eleromagneismo) assumono la sessa forma in ui i sisemi di riferimeno inerziali Teoria della dinamica di Newon: 1 Principio della dinamica: in un sisema di riferimeno inerziale un corpo (puno maeriale) non soggeo ad inerazioni permane nello sao di quiee o di moo reilineo uniforme Queso non significa che non esisono forze che agiscono sul puno maeriale, ma che la risulane delle forze N ageni sul puno maeriale è 0, ossia F 1 = F1,i = 0 un corpo maeriale in cui la risulane della forza è nulla permane nello sao di quiee o di moo reilineo uniforme i= ( mv ()) = m dv () Principio della dinamica: F () = d p () = d = ma () F () = ma () Un corpo soggeo ad una forza subisce un accelerazione pari al rapporo ra la forza e la massa (Unià di misura): [F] = [M ][L][T ] 1Kg m s = 1N (Newon) 1 Newon è la forza da applicare alla massa di 1 Kg per imprimere una accelerazione di 1m s Misura dinamica della Forza: si desideri misurare la forza F () Se esise un puno maeriale di massa noa m soggeo esclusivamene alla forza incognia F, una misura della sua accelerazione isananea, insieme al secondo principio della dinamica di Newon, fornisce una misura dinamica di F F () = ma () 3 Principio della dinamica: nell inerazione ra due corpi la forza che il primo esercia sul secondo è uguale in modulo e direzione ed è conraria in verso alla forza che il secondo corpo esercia sul primo F,1 = F1, Viene anche chiamao principio di azione e reazione d(p Sisema di due corpi isolao: p 1 + p = cosane nel empo 1 + p ) = 0 d p 1 = d p, per il secondo principio della dinamica F 1, = F,1

3 Le quaro inerazioni fondamenali in naura: Inerazione Raggio di Azione Inensià Relaiva Graviazionale Eleromagneica 10 - Nucleare Debole << m (10-10 m = 1Å = 1 Armsrong) Nucleare Fore m 1 Principali ipi di forze: Forza di gravià: F = G m 1m r 1, u r, con G = 6, Nm /Kg cosane di graviazione universale Ha la direzione del veore che congiunge i puni 1 e Forza peso: ende a far cadere i corpi sulla Terra, è causaa dalla forza di gravià: W = G M T m u y con M T massa della Terra e m la massa del corpo su cui agisce il peso R T (forza peso) R T raggio erresre medio e u y ha direzione punaa verso il cielo W = g 0 M m con go = G T R T 10-5 u y accelerazione di gravià erresre g 0 9,81m / s La forza peso non è alro che la forza di gravià misuraa sulla superficie della erra F = mg0 La forza peso relaivo ad un kilogrammo è F p(1kg) = 1Kg g = 9,81N = 1Kg p La forza peso è misuraa in Newon o Kilogrammi Peso Un apparecchio capace di confronare i pesi confrona anche le masse e quindi può essere uilizzao per la misura direa delle masse grazie alla relazione m = P g 0 e il rapporo ra due pesi P 1 P = m 1 m Lo srumeno più uilizzao per la misurazione è la bilancia Si dimosra che per corpi sufficienemene grandi si ha che la forza di gravià è la sessa che si avrebbe con due puni maeriali di pari massa localizzai nei cenri dei due corpi (infai noi disegniamo un puno maeriale e non delle sfere, il risulao non cambia) Forza elerosaica o di Coulomb: F = 1 q 1 q : se q 4πε 0 r 1 e q hanno lo sesso segno quesa forza ende ad allonanare le cariche, 1, se hanno segno opposo si araggono 1 = K e, ε 0 = 8, C /(N m ) permiivià del vuoo 4πε 0 La carica si misura in Coulomb (C) La forza elerosaica può essere sia repulsiva che araiva a differenza della forza di gravià che è solamene araiva 3

4 Forza di Lorenz: forza esperia da una carica in moo con velocià isananea v in un campo magneico B F = qv B Forza elasica (di Hooke): F = Kxu x con x = l l 0 l 0 è la lunghezza della molla a riposo, l è la lunghezza della molla in ensione K è la cosane elasica e si misura in N/m Forza di ario: Ario radene: è l ario che si sviluppa ra superficie piane in conao fra di loro e srisciano l una conro l alra È un ario di srisciameno Ario volvene: è la forza che si sviluppa quando un corpo roola su di un alro Ario viscoso: è l ario che si inconra quando un corpo solido enra in conao con un fluido (esempio auo che inconra l ario dell aria) Quesa forza è direamene proporzionale alla velocià Ario inrinseco: riguarda i moi inerni di un fluido In queso caso c è solo il fluido Esempio la urbolenza amosferica o lo scorrere di un fiume Ario radene saico: Esise un valore massimo di F max ale che se F F max, se F > F max il corpo inizia a muoversi (srisciando sul piano) F max è indipendene da S (area della superficie di conao del corpo con il piano) F max è proporzionale alla forza peso W eserciaa dal corpo sul piano F max = µ s W µ s dipende dalla ipologia del maeriale di cui sono fai il corpo in esame e la superficie del piano µ s è deo coefficiene di ario saico T (s ) µ s N (µ s W ) viene chiamaa reazione angenziale Con N forza normale e W forza peso µ s N = T max Cono di ario saico: è una superficie conica che ha verice nel puno maeriale e ha una semiaperura α = arcan(µ s ) µ s N = T max µ s = T max N Sono in equilibrio saico (corpo non si muove) finano che la reazione vincolare oale del piano V = N + T giace all inerno del cono di ario ossia finano β α Se aumeno β fino ad un valore che posso misurare e ale per cui il corpo inizia a muoversi allora β = α = arcan(µ s ), deermino quindi µ s = an(β = α) Ario radene dinamico: T (din) = µ d N indipendenemene dalla velocià Con µ d coefficiene di ario dinamico µ d < µ s Maeriale µ s µ d Acciaio su Acciaio 0,78 0,4 Rame su Acciaio 0,53 0,36 Teflon su Teflon 0,04 0,04 Plaino su Plaino 1,? 4

5 Il problema generale della dinamica: Il problema fondamenale è deerminare la legge oraria di un puno maeriale noe le forze ageni (F i ) su di esso e le condizioni iniziali (r 0,v 0 ) F () = F i() dv F = m v = dr r N v dv = F () v 1 () = v 0 + m m I F (,) v 0 dr = v () r () + v ( ) + 1 m I F (, ') ' se è noa F () r0 [ 1, ] con [ 1, ] Purroppo F i() non è daa nella forma di una dipendenza esplicia dal empo Quello che si conosce soliamene è F i(r (),v (),) m d r Equazione differenziale veoriale = F r, dr, La relazione veoriale F = ma si r (0 ) = r 0 e v(0 ) = v 0 raduce nelle re equazioni: m d x = F x x, y,z, dx, dy, dz, m d y = F y x, y,z, dx, dy, dz x( ) = x 0 v x ( ) = v x0, con y( ) = y 0 e v y ( ) = v y0 m d z = F z x, y, z, dx, dy, dz z( ) = z 0 v z ( ) = v z0, NB: affinché il moo di un puno maeriale di massa m resi compleamene deerminao, olre la forza agene devono essere assegnae delle condizioni supplemenari, chiamae condizioni iniziali perché di solio si assegnano la velocià e la posizione all isane Moo soo l azione di una forza cosane: Moo di cadua libera di un grave y( ) = h Condizioni iniziali: v ( ) = v y0 u y = v0 u y (v x0 = 0,v z0 = 0) La forza risulane: F o = W = mgu y, insieme al principio della dinamica del puno maeriale ( F oale = ma )mi permee di risolvere il problema a () = F oale() cosane nel empo in modulo, direzione e verso a () = dv () v () = v ( ) + a ( ') ' v() = v 0 u y + guy ' m = gu y v() = v 0 u y g( 0 )u y = [ v0 g( )]u y Ricordiamo che v () è sempre angene alla 5

6 raieoria all isane del moo, quindi il fao che v () abbia direzione fissa implica che il moo in esame sia reilineo Deerminazione quoa massima v 0 > 0 Deermino per prima la legge oraria del moo: dr () ( ) : è la quoa alla quale ho il massimo di y() r () = huy + [ v0 g( ' )] 'u y = h + v0 ( ) 1 g( ) = v () r () = r ( ) + v ( ') ' u y, ossia scria in forma scalare y() = h + v 0 ( ) 1 g( ) Poniamo per semplicià = 0 dy() Il massimo di y() sarà all isane ' ale che = ' = 0 Ciò equivale ad avere v y ( ') = 0 siccome la velocià è la derivaa della legge oraria e se la v y ( ') = 0 significa che è arrivao alla massima alezza possibile v 0 g = 0 ' = v 0 g y v max = y( ') = h + v 0 0 g 1 g v 0 g = h + 1 v f = gh max è il caso generale Funziona per qualsiasi moo: moo di cadua libera e moi vincolai vari senza ario Moo di un proieile: v 0 g r ( ) = 0 Condizioni iniziali: v ( ) = v 0 cosϑu x + v0 sinϑu y La forza che agisce su di esso è ancora F o = W = mgu y La forza risulane: F o = W = mgu y, insieme al principio della dinamica del puno maeriale ( F oale = ma )mi permee di risolvere il problema a () = F oale() cosane nel empo in modulo, direzione e verso Non è più un moo reilineo perché sono cambiae le condizioni iniziali m = gu y 6

7 a () = dv () v () = v ( ) + a ( ') ' v() = v 0 cosϑu x + v0 sinϑu y + guy ' v () = v 0 cosϑu x + v0 sinϑu y g( 0 )u y = v0 cosϑu x + [ v0 sinϑ g( )]u y con v x () = v x0 menre v y () non è cosane nel empo La velocià quindi è v () = ( v 0 cosϑ )u x + [ v0 sinϑ g( )]u y ( ) : Deermino raieoria v 0 > 0 Ponendo = 0 sappiamo che v () = ( v 0 cosϑ )u x + ( v0 sinϑ g)u y, inegrando enrambi i ermini abbiamo r () = r (0) + oeniamo r () = [ v 0 cos(ϑ) ]u x + v0 sin(ϑ) 1 g 0 v ( ') ', ponendo r (0) = 0 e inegrando v () u y che è equivalene al seguene x() = v 0 cos(ϑ) sisema: y() = v 0 sin(ϑ) 1 g Ora deermino la raieoria espliciando dalla prima x equazione del sisema = e lo sosiuisco nella seconda equazione v 0 cosϑ y = v 0 sin(ϑ) x v 0 cosϑ 1 g x v 0 cos ϑ y = g v 0 cosϑ x + anϑx La formula della raieoria è y = Per deerminare la giaa del proieile: g v 0 cosϑ x + anϑx Inizialmene deermino il empo f ale che y( f ) = 0 : Ricordando che y() = v 0 sin(ϑ) 1 g poniamo y( f ) = v 0 sin(ϑ) 1 g = 0 I risulai sono 1 = 0 (ovviamene) e = f = v 0 sinϑ g Ora pongo il f appena rovao nella formula x( = f ) x( f ) = v 0 cos(ϑ) v 0 sinϑ g x( f ) = v 0 sin( ϑ ) g ( ) La formula della giaa è x( f ) = v 0 sin ϑ g massima si oiene con ϑ = π ϑ = π 4 45 e ci si convince facilmene che la giaa Moo di cadua vincolao: Processo risoluivo generale: Individuare i soggei del moo 7

8 Fissare un Sisema di Riferimeno opporuno Analisi delle forze (quali sono e su chi agiscono) Rimozione dei vincoli e diagramma del corpo libero delle singole pari del sisema (dei singoli soggei del moo) Applicazione dei vincoli cinemaici (per esempio in queso caso non c è moo lungo l asse y) Scrivere l equazione del moo: per ciascun oggeo scrivere la ^ legge del principio della dinamica x : F x,o = ma x y : F y,o = ma y mgsinα = ma x a x = gsinα N mgcosα = 0 N = mgcosα Il nosro puno maeriale inizia al puno x 0 = 0, che si rova alla sommià del piano inclinao, chiamiamo f l isane in cui il nosro puno maeriale giunge alla fine della discesa, quindi x( f ) = L con L la lunghezza della rampa Ma L la possiamo anche scrivere L = h sinα x( f ) = 1 a x f = h sinα, ricordando che a x = gsinα 1 gsin( α ) f = h sinα h deerminiamo f = gsin α Deerminiamo ora la velocià v f Sappiamo che v x () = a x = gsin( α ), poniamo = f che l abbiamo appena deerminao v f = v x ( = f ) = gsinα h gsinα v f = gh La velocià acquisaa da un corpo scendendo lungo un piano inclinao liscio è in modulo uguale a quella che il corpo acquisa cadendo lungo la vericale per un dislivello uguale all alezza del piano inclinao Moo soo l azione di forze non cosani (moo del pendolo semplice): Il puno maeriale è collegao ad una fune inesensibile di massa nulla e lunghezza l s() = lϑ() Vincolo cinemaico (moo su un rao di circonferenza) 8

9 u mgsinϑ = ml d ϑ T : mgsinϑ = ma T u N : T mg cosϑ = ma N dϑ T = mg cosϑ + ml ds ricorda che a N = v ρ = l l dϑ = l dϑ = l d ϑ + g l sinϑ = 0 dϑ T (ϑ) = mgcosϑ + ml T (ϑ) = mg cosϑ + m v siccome a N = v Quesa espressione permee di calcolare la l l ensione del filo per le diverse posizioni del puno maeriale Sia ϑ piccolo (ipoesi di piccole oscillazioni del pendolo, allora sinϑ ϑ u T : d ϑ + ω ϑ = 0 con ω = g l : equazione di un moo armonico di pulsazione ω Moo soo l azione di una forza elasica: F el = Kxux d x (legge di Hooke) F el = ma (^ legge della Dinamica) Fel = m u x Kx d x u x = m u d x x + K m x = 0, poniamo K m = ω d x + ω x = 0 x() = Asin( ω + ϑ 0 ) con ω = K m, A e ϑ 0 fissai dalla condizioni iniziali del moo x( = ) = x 0 v( = ) = v 0 = 0 Saica di un Puno Maeriale: Rimando al 1 Principio della dinamica: un corpo maeriale in cui la risulane della forza è nulla N permane nello sao di quiee o di moo reilineo uniforme, ossia F 1 = F1,i = 0 i= Abbiamo v = 0 oppure v = v' 0 a seconda della condizione iniziale v coinciderà con la v(0 ) iniziale poso che valga l ipoesi del 1 principio cioè R () = 0 (infai a () = R () m = 0 in base al principio della dinamica); R = risulane delle forze ageni sul puno maeriale Scelo il sisema di riferimeno, se ho che v ( ) = 0 e R () = 0 allora sudio la saica del puno maeriale Condizione necessaria e sufficiene affinché un puno maeriale resi in quiee in una cera posizione dello spazio è che a un qualche isane la velocià sia nulla e che la risulane delle forze ageni sia cosanemene nulla nel empo 9

10 N R = 0 F i = 0 N N N F ix = 0 F iy = 0 (Le forze sono veori applicai allo sesso puno F iz = 0 maeriale) R = 0 quando graficamene il poligono dei veori elemenari F i con i [1, N] si chiude Se la posizione P 0 è in equilibrio si possono disinguere le re siuazioni segueni: Sabile: se sposando di sufficienemene poco il puno maeriale dalla posizione di equilibrio, queso ende a ornarvi Insabile: se il puno maeriale, sposao di quano poco si voglia dalla posizione di equilibrio, si allonana da quesa Indifferene: se esise un inorno di P 0 di cui ciascun puno è posizione di equilibrio Misura saica della Forza: Possiamo ad esempio uilizzare un dinamomero: in condizioni saiche, cioè raggiuno l equilibrio saico F = F el = Kx ossia R = F + F el = 0 F Kxux = 0 (lea sulla scala del dinamomero) Il dinamomero non è alro che una molla araa in cui conosciamo la sua cosane elasica K Reazioni Vincolari: Sono forze che si manifesano in conseguenza dell azione di alre forze dee aive Sono l effeo dei vincoli che condizionano il moo del nosro puno maeriale d ineresse dovui alla presenza di corpi più o meno esesi nella regione di spazio enro il quale il mio puno maeriale si può muovere Sono delle forze e in quano ali hanno una direzione, inensià e verso L inensià (o modulo) di una reazione vincolare è in generale proporzionale alla inensià (o modulo) della forza aiva che ha indoo la reazione La direzione della reazione vincolare dipende dal vincolo, cioè dal corpo che in qualche modo limia il movimeno del nosro puno maeriale Il verso è in generale opposo a quello della forza aiva che l ha indoa Esempio: noi non cadiamo quando siamo sulla superficie erresre perché abbiamo una reazione vincolare che compensa la forza peso chiamaa forza normale N = W con N la forza normale e W = mgu y la forza peso Un alro ipo di vincolo può essere la fune (priva di massa e inesensibile) collegaa al soffio e ad un puno maeriale di massa m: essa pone una forza vincolare T : R = W + T = 0 T = W con T = mgu y Alro esempio simile a queso è l asa rigida Impulso di una forza: I F ( 1, ) = F (), in[n s] 1 10

11 Teorema dell impulso: p( 1, ) = p( ) p( 1 ) = I F ( 1, ) Dimosrazione: dalla definizione sessa di forza sappiamo che F = d p d p() = F () inegrando enrambi i membri d p() = F p( ) () d p = F () 1 1 p( 1 ) 1 p( ) p( 1 ) = I F ( 1, ) con p( ) p( 1 ) = p Esisono forze impulsive ali che I F (, + ) finio non nullo Le reazioni vincolari spesso sono impulsive (esempio buare la biro sul avolo, il cambio di direzione è dovua a una forza impulsiva) 11