Lezione 2. Meccanica di un sistema puntiforme Cinematica in due dimensioni

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1 Lezione Meccanica di un sisema puniforme Cinemaica in due dimensioni

2 Moo in un piano Il moo di un corpo su una rea può essere definio, in ogni isane da una sola funzione del empo ;spazio percorso. Se la raieoria del corpo in moimeno si solge in un piano, la posizione del puno P e definia, in funzione del empo, da due funzioni e : coordinae del puno. In un modo più conciso si può dire che. la posizione del puno P e e in ogni isane indiiduaa dal eore r, che unisce l origine del sisema di coordinae al puno P. Un eore e una quanià definia da Modulo : definisce il alore numerico del eore disanza dall origine Direzione che definisce geomericamene la direzione del eore Verso sabilisce la in quale erso quesa direzione e orienaa Uilizzando la rigonomeria si può scriere : r OP u u u e u sono eori di modulo uniario che definiscono la direzione degli assi di riferimeno e sono le componeni del eore spazio lungo l asse e e sono legae a r da: r cosθ r sinθ r anθ

3 Moo in due dimensioni Se la posizione del puno in moo e indiiduaa al empo dal eore r ed al empo dal eore r, lo sposameno del puno sarà dao dal eore: Analogamene al caso in una sola dimensione, si definisce la elocià media come : E la elocià isananea come: r r r dr m dr r lim s Il eore elocià e in ogni isane angene alla raieoria e può essere scrio come ds Doe ds e l elemeno di arco di raieoria percorso bel empo.: u T

4 In un sisema di coordinae caresiane: Perano: Componeni del eore elocià r u u dr d d u u E più significaio esprimere le componeni della elocià in un sisema di coordinae polari r,θ con origine nel puno P dr d ru dr u du r ossia il eore elocià che e angene alla raieoria può essere scomposo in due componeni: du r d r θ r r dr/ u r, direa nella direzione del raggio r dr u r r r r d r θ uθ rdθ / u θ θ direa nella direzione perpendicolare al raggio r Deriaa di un eore θ uθ u r d u r u r u r Deriaa di un prodoo

5 Accelerazione e sue componeni Si definisce accelerazione il eore: d d r a lim Le componeni in coordinae polari dell accelerazione sono: d d ut d dut d dφ a ut ut u N Dao che: dut ut ut dφ lim u N e un eore normale alla raieoria e inolre: ds d φ dφ ds dφ ds 1 ds ds R dao che l elemeno d arco e ds R dφ. Perano il eore accelerazione può sempre essere scomposo in due componeni R d d a ut u R a T d/ u T, direa nella direzione angene alla raieoria a Ν /R u Ν direa nella direzione perpendicolare accelerazione cenripea N

6 Equazioni del moo piano Equazioni del moo piano Se l accelerazione e cosane in enrambe le direzioni a a a a le equazioni del moo sono: r r a che corrispondono a due coppie di equazioni scalari per le componeni: Il moo del puno nel piano può perano essere scomposo in due moi scalari lungo gli assi di riferimeno a a a a 1 a 1 a

7 Moo di un corpo nel campo graiazionale erresre I corpi sulla erra sono soggei a forze che producono una accelerazione dea di graià di 9.8 m/s Se si assume un sisema di riferimeno caresiano con l asse direo l alo a -g Cadua ericale di un corpo Per un corpo che cade ericalmene a parire da una posizione di riposo: a 1 raieoria ericale a g g Cadua di un corpo con una elocia orizzonale iniziale a > a g raieoria 1 g 1 g

8 Moi balisici Calcolo della giaa I moi balisici descriono moi di proieili o di oggei lanciai condizioni iniziali di accelerazione o elocià diersi da zero a a g g 1 g equazione oraria empo necessario per raggiungere il bersaglio nel empo il cammino percorso in direzione orizzonale e' g R Usando le relazioni cos θ sin θ R g sin θ cos θ g sin θ θ R

9 Esempio M R sin θ g M sin θ g R

10 Moo circolare Si dice circolare un moo piano la cui raieoria e rappresenaa da un cerchio. Nel moo circolare il eore elocià cambia coninuamene di direzione e perano ci si dee aspeare che l accelerazione cenripea, direa erso il cenro della circonferenza sia sempre diersa da zero. Nel moo circolare uniforme la elocià è cosane in modulo e l'accelerazione angene è nulla per cui a a N ; se inece il modulo della elocià cambia nel empo il moo circolare non è uniforme e a T è diersa da zero. in queso caso, la direzione dell'accelerazione non passa per il cenro della circonferenza olre alla forza cenripea agisce anche una forza angenziale. Il moo circolare può essere descrio facendo riferimeno allo spazio percorso sulla circonferenza s oppure uilizzando l'angolo θ soeso dall'arco s, con θ s/r figura.8. L'assumere come ariabile l'angolo θ significa porsi in un sisema di coordinae polari di cenro in in cui il moo aiene con r R cosane e θ ariabile. La rappresenazione in coordinae caresiane è θ : R cos θ, R sin θ d a ur u R a N N

11 Moo circolare Se il puno all'insane occupa la posizione angolare θ 1 e all'isane la posizione angolare θ nell'inerallo ha subio lo sposameno angolare, figura.9, definio dalla: Si definisce elocià angolare media il rapporo ra θ e : La elocià angolare isananea è definia come limie per di ω m :.9 la elocià angolare isananea è la deriaa rispeo al empo dell'angolo θ che descrie la posizione angolare del puno. Se si iene cono della relazione s Rθ dalla.9 oeniamo: s.1 la elocià angolare è proporzionale alla elocià con cui è descria la circonferenza; se è ariabile lo è anche ω.

12 Moo circolare Nel caso generale del moo circolare olre all'accelerazione cenripea, che è ariabile perché la elocià aria anche in modulo, ariano col empo sia l'accelerazione angenziale a T d/ sia la elocià angolare ω. L'accelerazione angolare media e definia come rapporo ra la ariazione di ω e la corrispondene ariazione di empo. L'accelerazione angolare isananea è il limie per di a M :..13 Se è noa la legge oraria angolare θ con le due deriazioni successie.1 e.13 deerminiamo le ariazioni dell'angolo e della elocià angolare. Viceersa, noa la funzione a, possiamo inegrare oenendo: Moo circolare uniformemene accelerao a T cosane. Dalle.14 e.15 con si oiene. L'accelerazione cenripea e anch essa cosane e ale

13 Moo circolare uniforme Nel moo circolare la elocià radiale è idenicamene nulla perché il raggio eore è cosane in modulo e la elocià rasersale coincide con la elocià: da θ R dθ / Rω Il moo circolare più semplice è quello uniforme: e ω sono cosani e le leggi orarie, con riferimeno alle due ariabili uilizzae, si scriono N Noa Il ermine uniforme significa esclusiamene cosanza del modulo della elocià; a N il moo circolare uniforme è un moo accelerao con accelerazione cosane, orogonale alla raieoria, M E un moo periodico perché ad ogni inerallo TπR/ π/ω riprende la posizione e elocià iniziale Le proiezioni del puno P sull asse delle e delle in moo circolare uniforme si muoono di moo armonico: