SIMULAZIONE SECONDA PROVA SCRITTA 02 APRILE Tema di MATEMATICA e FISICA PROBLEMA 1

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1 SIMULAZIONE SECONDA PROVA SCRITTA 02 APRILE 209 Tema di MATEMATICA e FISICA PROBLEMA Due fili reilinei paralleli vincolai a rimanere nella loro posizione, disani m l uno dall alro e di lunghezza indefinia, sono percorsi da correni cosani di pari inensià ma verso opposo; si indichi con i l inensià di correne, espressa in ampere (A). Si consideri un piano perpendicolare ai due fili sul quale è fissao un sisema di riferimeno orogonale Oxy, dove le lunghezze sono espresse in meri (m), in modo che i due fili passino uno per l origine O e l alro per il puno D(, 0), come mosrao in figura. Per la legge di Bio-Savar, in un puno a disanza r da un filo reilineo indefinio percorso da una correne elerica di inensià i si genera un campo magneico B di inensià: B = μ 0i 2πr, con μ 0 = 4π 0 7 N A 2 = T m A ) Verificare che l inensià del campo magneico B, espresso in esla (T), in un puno P(x, 0), con 0 < x <, è daa dalla funzione B(x) = K ( + ), dove K è una cosane posiiva della x quale si richiede l unià di misura. Sabilire quali sono la direzione e il verso del veore B al variare di x nell inervallo (0, ). Per quale valore di x l inensià di B è minima? x / 8

2 Nel puno P i campi magneici generai dai due fili hanno inensià rispeivamene: B 0 = μ 0i 2πx, direo nel verso posiivo dell assey B D = μ 0 i 2π( x), direo nel verso posiivo dell assey Il campo oale in P, direo nel verso posiivo dell asse y, ha inensià: B(x) = μ 0i 2πx + μ 0 i 2π( x) = μ 0i 2π ( x + x ) = k ( x + x ), 0 < x <, k = μ 0i 2π L unià di misura di k è: N A = N = (T m ) A = T m A 2 A A B è minimo quando lo è y = + = ; quesa espressione è minima quando z=x(-x) è x x x( x) massima. Essendo x+(-x)==cosane, ricordando che il prodoo di due grandezze posiive a somma cosane è massimo quando le due grandezze sono uguali, z=x(-x) è massimo quando x = x, x = y (e quindi B)è minima se x =. Oppure: 2 2 z = 2x + 0 se x 2 quindi z cresce se 0<x</2 e decresce se /2<x<: z è massima se x=/2 e quindi y e B sono minimi se x=/2. Lo sesso risulao si oiene sudiando la derivaa prima di y: y = x( x),, y = 2x x 2 ( x) 2 0 se 2 x < Quindi y è crescene per < x < e decrescene per 0< x < : y è minima quando x = L inensià di B in P è minima quando x = 2 (B minimo = 4k). 2/ 8

3 2) Nella zona di spazio sede del campo B, una carica puniforme q ransia, ad un cero isane, per il puno C ( 2, 0), con velocià di modulo v 0 nella direzione della rea di equazione x = 2. Descriverne il moo in presenza del solo campo magneico generao dalle due correni, giusificando le conclusioni. Sabilire inensià, direzione e verso del campo magneico B nei puni dell asse x eserni al segmeno OD. Esisono puni sull asse x dove il campo magneico B è nullo? La carica è immessa in un campo magneico nella sessa direzione del campo, quindi per la legge di Lorenz è soggea alla forza: F = q v 0 B la cui inensià è nulla, essendo: F = qv 0 B senα = 0, perchè α = 0 oppure α = π. La carica si muove quindi lungo la rea di equazione x = 2 con velocià cosane v 0. In un puno a desra di D (x>), il campo generao dalla correne uscene da O è direo nel verso posiivo dell asse y e quello generao dalla correne enrane in D è direo nel verso negaivo dell asse y e risula: B D > B 0 (essendo l inensià della correne uguale e la disanza da O maggiore della disanza da D). Quindi: a desra di D si ha un campo direo nel verso negaivo dell asse y, di modulo: B = B D B 0 = k x k x = k x(x ), con x >. In un puno a sinisra di O (x<0), il campo generao dalla correne uscene da O è direo nel verso negaivo dell asse y e quello generao dalla correne enrane in D è direo nel verso posiivo dell asse y e risula: B D < B 0 (essendo l inensià della correne uguale e la disanza da O minore della disanza da D). Quindi: a sinisra di O si ha un campo direo nel verso negaivo dell asse y, di modulo: 3/ 8

4 B = B 0 B D = k x k x = k x(x ), con x < 0. Quindi esernamene al segmeno OD il campo è sempre direo nel verso negaivo dell asse y ed ha inensià: B = k x(x ), con x < 0 oppure x > Da ale espressione si deduce che NON ESISTONO puni eserni ad OD in cui il campo è nullo (è sempre direo nel verso negaivo dell asse y e non ha mai modulo nullo). Inernamene al segmeno OD abbiamo viso che il campo è sempre direo nel verso posiivo dell asse y ed il suo modulo (MAI NULLO) è: B = k ( x + x ) = k x( x), con 0 < x < Non esisono quindi puni dell asse x in cui il campo sia nullo. 3) Indipendenemene da ogni riferimeno alla fisica, sudiare la funzione f(x) = K ( x + x ) dimosrando, in paricolare, che il grafico di ale funzione non possiede puni di flesso. Scrivere l equazione della rea r angene al grafico di f nel suo puno di ascissa e deerminare le 3 coordinae dell uleriore puno d inersezione ra r e il grafico di f. y = f(x) = K ( x + x ) = k x( x) Dominio: < x < 0, 0 < x <, < x < + 4/ 8

5 La funzione è coninua e derivabile per ogni x diversa da 0 e e, viso il dominio, non può essere né pari né dispari. Non ci sono inersezioni con gli assi e risula: y > 0 se x( x) > 0, 0 < x < Limii: lim k x x( x) = 0 y = 0 asinoo per x ± lim k x 0 ± x( x) = ± lim k x ± x( x) = x = 0 asinoo x = asinoo Abbiamo già sudiao la derivaa: y = k 2x x 2 ( x) 2 0 se x 2, x Quindi y è crescene per 2 < x < e x > e decrescene per x < 0 e 0 < x < 2 : y è minima quando x = 2 ed il minimo è: f ( 2 ) = 4k. Sudio derivaa seconda. Risula: y = k 2x( x)(3x2 3x + ) x 4 ( x) 4 Essendo 3x 2 3x + > 0 per ogni x, nel dominio si ha y 0 se x( x) > 0, 0 < x < Quindi il grafico volge la concavià verso l alo se 0<x< e verso il basso se x<0 e x>. Non esisono flessi. Il grafico della funzione è quindi il seguene: 5/ 8

6 Cerchiamo ora la angene nel puno di ascissa x=/3. f ( 3 ) = 9 2 k, f ( 3 ) = k 2 3 La rea r ha quindi equazione: 9 ( 2 = 3 ) 27 4 k r: y 9 2 k = 27 4 k (x 3 ), y = 27 4 kx k, y = 27 4 k(x ). Uleriore inersezione di r con il grafico di f: y = 27 k(x ) 4 { y = k x( x), k x( x) = 27 4 k(x ), 4 = 27x(x )2, 27x 3 54 x x 4 = 0 Abbassando di grado due vole con x=/3 (radice doppia), si ha: (x 3 )2 (27x 36) = 0. Quindi l inersezione richiesa ha ascissa x = = 4 3. E risula: f ( 4 3 ) = 9 4 k : uleriore inersezione di r col grafico di f (4 3 ; 9 4 k). 4) Calcolare il valore dell inegrale 3/4 f(x) dx /4 ed inerpreare geomericamene il risulao oenuo. Esprimere, per 2, l inegrale g() = f(x) dx e calcolare lim g(). Qual è il significao di ale limie? + 2 3/4 3/4 3/4 f(x) dx = k ( x + ( x) ) dx = k ( x x ) dx = /4 /4 /4 6/ 8

7 = k[ln x ln x ] = k [ln ( 3 4 ) ln ( 4 ) (ln ( 4 ) ln (3 4 ))] = = k [2 ln ( ) 2ln ( 4 )] = 2k (ln (3 4 ) ln ( 4 )) = 2k (ln 4 ) = 2kln(3) 4 Tale valore rappresena l area del rapezoide compreso fra il grafico di f, le ree x=/4 e x=3/4 e l asse x. Calcoliamo ora, per 2, l inegrale: g() = f(x) dx Noiamo che se =2 risula g(2)=0. Osserviamo poi che per x 2 risula f(x) < 0, quindi (per >2): 2 g() = ( f(x))dx = k x( x) dx = k[ln x ln x ] 2 = 2 2 = k[ln ln( ) ln2 + 0] = k ln 2( ) = g() (Osserviamo che in ale espressione si rirova g()=0 se =2). Risula: lim g() = lim [ k ln + + 2( ) ] kln ( 2 ) = kln(2) Tale limie rappresena l area della regione illimiaa compresa fra il grafico di y=-f(x), la rea x=2 e l asse delle ascisse: 7/ 8

8 Con la collaborazione di Angela Sanamaria 8/ 8