5. L integrale improprio x 2 : (a) diverge. (b) converge a 0 = lim. (c) converge a π 4 (d) è uguale al valore del limite

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1 INTEGRALI IMPROPRI Tes di auovaluazione. L inegrale improprio 5 d : (a) vale 4 5 (c) vale 5 4 (d) è negaivo.. L inegrale improprio d : (a) vale 4 5 (c) vale 4 5 (d) ende a.. L inegrale improprio e d : (a) vale (b) vale = lim + e (c) è indeerminao perché (d) diverge. lim + e è una forma indeerminaa 4. L inegrale improprio e d ln : (a) converge a perché lim + ln = + (c) converge a = lim ln (d) non esise, perché la funzione f() = ln non è definia in =.

2 5. L inegrale improprio d + 4 : (a) diverge (b) converge a = lim (c) converge a π 4 (d) è uguale al valore del limie lim (arcan a). a +. L inegrale improprio log d : (a) diverge perché (b) converge a (c) converge a lim log = + (d) è uguale al valore del seguene limie: lim b b). +(ln 7. L inegrale improprio e d : (a) diverge (b) converge a = lim + e (c) converge a (d) è indeerminao. 8. L inegrale improprio d : (a) converge a perché (c) converge a lim + = + (d) diverge, perché la funzione inegranda ha un asinoo vericale. 9. L inegrale improprio π cos sin d : (a) è uguale al valore del limie lim b π sin b (c) converge a ( (d) è uguale al valore del limie lim ) sin b. b

3 . Il limie: ( lim cos ) d + (a) è finio e posiivo (b) non esise (c) non è finio ( (d) vale = lim cos ) +. L inegrale 9 d (a) ha un valore finio (c) rappresena l area compresa ra il grafico della funzione [,9 [ (d) è posiivo e l asse delle, per. L inegrale improprio 9 d : (a) vale 7 (c) vale (d) è negaivo. Sia f una funzione coninua sull inervallo I= [,+ [. (a) Se lim f() = allora f è inegrabile impropriamene su I + (b) Se f non è inegrabile impropriamene su I, neppure f lo è (c) Se f è inegrabile impropriamene su I, anche f lo è (d) Se f è inegrabile impropriamene su I, allora f ha ordine di infiniesimo k > per +

4 4. L area compresa ra il grafico della funzione f() = e l asse delle, per ]a,b[: 5 (a) è finia se ]a,b[=],[ (b) non è finia se ]a,b[=],[ (c) non è finia se ]a,b[=],+ [ (d) vale 5 se ]a,b[=],+ [ 5. L inegrale improprio (a) oscilla (b) converge (c) è nullo (d) è negaivo log d :. L inegrale improprio (a) vale (c) è indeerminao (d) è maggiore di d : 7. La funzione inegrale: F() = (a) è dispari (b) non ha asinoi orizzonali (c) ha infinii puni di massimo relaivo (d) in = ha ordine di infiniesimo sin + d : 8. L inegrale improprio (a) è negaivo + d : perché la funzione f() = + + (c) è uguale a lim + (d) converge è infinia di ordine per

5 RISPOSTE. RISPOSTA ESATTA: (c) Infai, usando la definizione di inegrale improprio: 5 d = lim + 5 d = lim + [ ] = 5 ( ) 4 lim 4 5 = RISPOSTA ESATTA: (c) Infai: d = lim + ( ) 5 d = lim + [ ] = = 4 5. RISPOSTA ESATTA: (a) Infai, applicando la regola di inegrazione per pari per calcolare l inegrale indefinio, si ha: [ d = lim e d = lim + e + + e 4. RISPOSTA ESATTA: (a) Infai: ] ( = lim + ) + e + = e log e d = lim + log d = lim + [ log ] e = log e = 5. RISPOSTA ESATTA: (c) Infai: [ ] d = lim d = lim arcan() = π 4. RISPOSTA ESATTA: (b) log d = lim log d = lim [log + ] + = lim log + ) = +(

6 7. RISPOSTA ESATTA: (c) e d = lim e [ d = lim e ] + + = lim + ( e + ) = 8. RISPOSTA ESATTA: (a) d = lim + [ ] d = lim = lim + +( ) = Le rispose (b) e (d) sono errae perché la presenza di un asinoo vericale non è sufficiene per concludere che l inegrale diverge. 9. RISPOSTA ESATTA: (d) π π cos d = lim sin + cos [ d = lim sin sin + ] π ( = lim sin π + ) sin = =. RISPOSTA ESATTA: (a) Sudiamo il comporameno per + di f() = cos. Poniamo comporameno, per u +, di ( ) g(u) = cos u = u + o(u ) = u + o(u ) = u e sudiamo il Dunque, per +, cos. Perano f() ; l inegrale improprio f() d è convergene (perché converge l inegrale improprio. RISPOSTA ESATTA: (b) Infai, per 9: = Poiché diverge d ) ed è posiivo. 9 9 d diverge, per il crierio del confrono anche l inegrale d Perano (a) è erraa e (b) è esaa. (d) è erraa perché, per [,9[, f() <. (c) è erraa perché l inegrale improprio è divergene e comunque è una quanià negaiva.

7 . RISPOSTA ESATTA: (a) 9 d = 9 lim + d = 9 lim + [ ] = 9 lim +( ) = 7. RISPOSTA ESATTA: (b) La risposa (a) è erraa: ad esempio la funzione f() = I, anche se lim f() =. + non è inegrabile impropriamene su La risposa (b) è esaa in quano è la conronominale della proprieà che lega la assolua inegrabilià impropria con l inegrabilià impropria semplice, e afferma: Se f è inegrabile impropriamene su I, allora f è inegrabile impropriamene su I. La risposa (c) è erraa: ad esempio la funzione sin la funzione sin non lo è. La risposa (d) è erraa: ad esempio la funzione sin non ha ordine di infiniesimo k > per RISPOSTA ESATTA: (d) La risposa (a) è erraa perché La risposa (b) è erraa perché La risposa (c) è erraa perché La risposa (d) è esaa; infai: d è divergene. d è convergene. d = lim d = [ 5 lim + 5. RISPOSTA ESATTA: (b) d è convergene. ] è inegrabile impropriamene su I, menre è inegrabile impropriamene su I, ma = 5 = 5 La risposa (a) è erraa perché su I = [,+ [ la funzione f() = posiiva. log è sreamene La risposa (b) è esaa; infai, applicando il crierio del confrono, osserviamo che, su I, log < e l inegrale improprio d è convergene. Le rispose (c) e (d) sono errae per quano deo in (a).

8 . RISPOSTA ESATTA: (a) La risposa (a) è esaa; infai f() = è una funzione dispari, gli esremi di inegrazione sono simmerici rispeo all origine e l inegrale improprio Di conseguenza le rispose (b), (c), (d) sono errae. 7. RISPOSTA ESATTA: (c) d è convergene. La risposa (a) è erraa perché la funzione f() = sin + è dispari e dunque F() = f() d è una funzione pari. La risposa (b) è erraa; infai l inegrale improprio f() d è convergene, come si può ( sin verificare applicando il crierio del confrono: + < + e + d è convergene Ciò significa che F() è finio e dunque F() ha un asinoo orizzonale desro. lim + La risposa (c) è esaa; infai F () = sin + e dunque F() ha infinii puni di massimo e minimo dove sin si annulla. La risposa (d) è erraa perché: F () = cos ( + ) sin ( + ) ; dunque F () = e lo sviluppo di McLaurin di F() risula F() = F() + F () + F () + o( ) = + o( ). Perano l ordine di infiniesimo di F() per è. 8. RISPOSTA ESATTA: (d) La risposa (a) è erraa perché la funzione f() = + = + ( )( + ) = ( ) è posiiva nell inervallo I= [,+ [. La risposa (b) è erraa; infai il comporameno di f() in = non ineressa in quano il puno = non appariene all inervallo di inegrazione I= [,+ [. ). La risposa (c) è erraa; infai limie della funzione inegranda. + + d = lim + d, ma non è uguale al La risposa (d) è esaa; infai, per + : f() = + = ( ) e l inegrale improprio d è convergene.