Anno Scolastico maggio Esercitazione Prova Scritta di Matematica

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1 Anno Scolasico maggio 16 - Eserciazione Prova Scria di Maemaica Il candidao svolga, a sua scela, uno dei problemi e quaro dei quesii proposi. ➊ L inflazione, cioè l aumeno generalizzao e prolungao dei prezzi, pora alla diminuzione del poere d acquiso della monea. Se una persona percepisce un reddio cosane, l effeo dell inflazione è una riduzione progressiva nel empo del valore reale di queso reddio. Per simare queso effeo è uile inrodurre una grandezza fiizia, dea reddio annuale reale (RAR), indicaa con R, che coincide con il reddio annuale in un dao periodo di riferimeno ed evolve nel empo con legge dr d = γ R, ove il faore γ rappresena il asso d inflazione annuo e la variabile empo è misuraa in anni. a) Supposo che all isane di riferimeno = il reddio annuale valga R e/anno e il asso d inflazione γ valga, 5% cosanemene nel empo, ricava la legge di evoluzione del RAR per e racciane il grafico qualiaivo in un opporuno riferimeno caresiano. b) Deermina l espressione del reddio reale complessivo percepio in un generico inervallo [, T ]. Calcolane il valore asinoico per T che ende all infinio e deermina quani anni sarebbero necessari per oenere il medesimo reddio complessivo in assenza di inflazione. c) Calcola un approssimazione, avene il primo decimale esao, dell isane T ale per cui il reddio medio annuale reale nell inervallo [, T ] (cioè il rapporo ra il reddio complessivo e la duraa dell inervallo di empo) risula pari al 9,6% del reddio iniziale R. d) Verificao che l isane di empo richieso nel puno precedene corrisponde a T 8, anni, assumendo il reddio iniziale R pari a e/anno, raccia il grafico dell andameno del RAR nell inervallo ra e 8 anni, e calcola l ammonare complessivo di reddio (reale) che la persona ha perduo in ale inervallo di empo. e) Si assuma ora che, con cadenza biennale (cioè negli isani T =,..., 8), il daore di lavoro inervenga con un aumeno (isananeo) di sipendio che ripora il RAR al suo valore iniziale. Traccia il grafico dell andameno del RAR, e deermina in queso caso a quano ammona la perdia complessiva di reddio causaa dall inflazione nel medesimo inervallo di 8 anni. 1

2 ➋ Un oggeo si muove di moo reilineo con un accelerazione che, per valori di, è daa dalla legge: a() = ( + 1) ove è espresso in secondi e l accelerazione a in meri al secondo quadrao. Il candidao: a) deermini la legge v() della velocià e la legge oraria x() del moo, enendo cono delle condizioni iniziali v() = 1 m/s e x() = m; b) sudi quindi la funzione x() nel suo insieme di definizione (quindi anche per valori di negaivi), individuando in paricolare un approssimazione, a meno di un decimo di secondo, dell isane in cui la velocià si annulla, e ne disegni il grafico Γ in un sisema di riferimeno caresiano orogonale; c) sudi il limie asinoico di v(), a() e del prodoo a()v() al endere di a più infinio; d) calcoli l area della regione di piano finia delimiaa da Γ e dall asse delle ascisse; e) calcoli l area del riangolo formao dall asse delle ascisse e dalle ree angeni a Γ nei suoi puni di inersezione con l asse delle ascisse. Quesii ➀ Trova l inegrale generale dell equazione differenziale y y = x e la soluzione paricolare ale per cui y(1) =, verificando che quesa soluzione, come necessario, è derivabile in R. È correo affermare che la funzione y = 3 3x 3 soddisfa l equazione differenziale su uo R? ➁ Sono dae due ree r e s di equazioni parameriche x = x = + 1 r : y = k, k R e s : y = z = k z =, R. Dimosrare che r e s sono sghembe e deerminare l equazione caresiana del piano α conenene r e parallelo a s; calcolare quindi la disanza ra le due ree. ➂ In una semicirconferenza di cenro O si consideri un riangolo isoscele avene per base una corda AB parallela al diamero e verice in O; si faccia ruoare ale riangolo inorno all asse della base AB. Tra ui i possibili riangoli che rispondono alle condizioni richiese, per quale disanza di AB da O si oiene il cono di volume massimo? ➃ Dimosrare che le funzioni y = cos x e y = x hanno due inersezioni reali e disine. Con uno dei meodi noi, individuare, con un approssimazione minore di 1/, l ascissa di quella diversa da zero. ➄ Una funzione coninua f è ale che la sua media inegrale nell inervallo [a, b] sia uguale ad a + b. Dimosrare che la condizione è soddisfaa dalla funzione f(x) = x, menre non è soddisfaa da una funzione del ipo f(x) = x + k con k reale non nullo. ➅ La formula per la derivazione di un prodoo di funzioni prende il nome di regola di Leibniz, dal nome dello scienziao e filosofo edesco Gofried Wilhelm Leibniz, moro 3 anni fa (1716). Il candidao enunci e dimosri ale formula, e la applichi per calcolare la derivaa della funzione y = x ln x. ➆ Si calcoli il limie per x + della funzione x 6 [ 1 cos ( 1 x 3 )]. ➇ Si consideri una circonferenza γ di diamero AB apparenene a un piano α. Si conduca da A una rea perpendicolare ad α; sia P un suo puno qualunque. Deo M un puno di γ, si dimosri che l angolo P MB è reo.

3 Svolgimeno Problema 1 a) Supposo che all isane di riferimeno = il reddio annuale valga R e/anno e il asso d inflazione γ valga.5% cosanemene nel empo, ricava la legge di evoluzione del RAR per e racciane il grafico qualiaivo in un opporuno riferimeno caresiano. L equazione differenziale è a coefficieni cosani ed omogenea, perano il suo inegrale generale è R = ke γ, da cui, imponendo al condizione iniziale R() = R e sosiuendo γ =, 5/1 = 1/4, si oiene la soluzione del problema di Cauchy assegnao: Il grafico del reddio reale annuo R è quindi R = R e 4. R R Reddio Reale Annuale 4 b) Deermina l espressione del reddio reale complessivo RC T percepio in un generico inervallo [, T ]. Calcolane il valore asinoico per T che ende all infinio e deermina quani anni sarebbero necessari per oenere il medesimo reddio complessivo in assenza di inflazione. Il reddio reale complessivo si oiene inegrando il reddio annuale, oenendo RC T = T [ ] T R e 4 = 4R e 4 = 4R (1 e T 4 ). Il valore asinoico è lim RC T = lim 4R (1 e T 4 ) = 4R. T + T + Perano, se idealmene il reddio fosse percepio per un empo infinio, l ammonare complessivo corrisponderebbe a quello accumulao in 4 anni ad inflazione zero. 3

4 R R R m Reddio Reale Complessivo T c) Calcola un approssimazione, avene il primo decimale esao, dell isane T ale per cui il reddio medio annuale reale nell inervallo [, T ] (cioè il rapporo ra il reddio complessivo e la duraa dell inervallo di empo) risula pari al 9,6% del reddio iniziale R. Il reddio medio annuale reale nell inervallo inervallo [, T ] è dao da R m = RC T T = 4R (1 e T 4 ), T perano, imponendo che R m =, 96R, si oiene l equazione 4R (1 e T 4 ) T =, 96R 4e T 4 +, 96T 4 =. Poso h() = 4e 4 +, 96 4, occorre quindi rovare uno zero della funzione h per >. Si osservi che la derivaa h () = e 4 +, 96 si annulla per N = 4 ln(, 96) 3, 9 anni, quando h( N ), 18 <. Ne consegue che la funzione h è decrescene e negaiva nell inervallo ], N [ e crescene per > N, con un andameno come riporao in figura: h N 7 T 9 y N Lo zero cercao è quindi nell inervallo > N. Sosiuendo alcuni valori si oiene che h(8) < e h(9) >, perano, consideraa la coninuià della funzione e i suoi inervalli di monoonia monoonia, esise un unico zero compreso ra 8 e 9 anni. Per rovare lo zero si ricorre al meodo di bisezione. Le prime quaro ierazioni del meodo danno: 4

5 n a n b n n e n h( n ) 8 9 8,5,5 > 1 8 8,5 8,5,5 > 8 8,5 8,15,15 > 3 8 8,15 8,65,65 > 4 8 8,65 8,315,315 < ove n = (a n + b n )/ è la sima oenua alla n-esima ierazione e e n = (b n a n )/ l errore massimo di approssimazione. Lo zero cercao è perano nell inervallo ]8; 8, 65[, e la sua approssimazione con il primo decimale esao è T = 8, anni. d) Verificao che l isane di empo richieso nel puno precedene corrisponde a T 8, anni, assumendo il reddio iniziale R pari a e/anno, raccia il grafico dell andameno del RAR nell inervallo ra e 8 anni, e calcola l ammonare complessivo di reddio (reale) che la persona ha perduo in ale inervallo di empo. Il reddio annuale passa dal valore iniziale di e/anno a un valore (approssimao all unià) di e/anno al ermine del periodo di 8 anni considerao. Il reddio reale perduo corrisponde alla differenza ra quello percepio in assenza di inflazione e quello reale in presenza di inflazione, cioè R = R T R m T = (1, 96) e/anno 8, anni = 154 e. R k Reddio Reale Perduo 16 k 8. e) Si assuma ora che, con cadenza biennale (cioè negli isani T =,..., 8), il daore di lavoro inervenga con un aumeno (isananeo) di sipendio che ripora il RAR al suo valore iniziale. Traccia il grafico dell andameno del RAR, e deermina in queso caso a quano ammona la perdia complessiva di reddio causaa dall inflazione nel medesimo inervallo di 8 anni. Si osservi che in queso caso l andameno del reddio annuo è disconinuo a causa dell isananeo aumeno di sipendio, come illusrao nella seguene figura: 5

6 R Reddio Reale Perduo k 19 k Uilizzando l espressione RC T ricavaa nel puno b), si oiene immediaamene che il reddio reale percepio nel primo biennio, che ovviamene corrisponde a quello dei re bienni successivi, risula RC = 4 (1 e /4 ) = 3916 e. Perano il reddio reale perduo oale è R = R 8 RC e, che risula circa il 6% di quello perduo senza gli aumeni di sipendio. 6

7 Svolgimeno Problema a) Il candidao deermini la legge v() della velocià e la legge oraria x() del moo, enendo cono delle condizioni iniziali v() = 1 m/s e x() = m; Nella risoluzione dei vari puni si omeeranno per semplicià le unià di misura delle grandezze, anche in considerazione del fao che esse sono quelle sandard del SI. Per inegrazione direa rispeo al empo dell accelerazione (considerao che l inervallo d ineresse è ) si rova che v() = ln( + 1) c. Imponendo al condizione v() = 1 m/s si rova che la cosane di inegrazione c è nulla, quindi v() = ln( + 1) La legge oraria si rova per inegrazione direa della velocià. In queso caso occorre procedere per pari: ( x() = ln( + 1) 1 ) d = 1 ln( + 1) d ln( + 1) = ln( + 1) d ln( + 1) = = ln( + 1) ln( + 1) d = ln( + 1) ln( + 1) + ln( + 1) + c = ln( + 1) + c. + 1 Imponendo al condizione x() = m si rova che la cosane di inegrazione c è nulla, quindi la legge oraria risula x() = ln( + 1). b) sudi quindi la funzione x() nel suo insieme di definizione (quindi anche per valori di negaivi), individuando in paricolare un approssimazione, a meno di un decimo di secondo, dell isane in cui la velocià si annulla, e ne disegni il grafico Γ in un sisema di riferimeno caresiano orogonale; Il campo di esisenza della funzione x è > 1. La posizione si annulla quando [ln( + 1) 1] = = ln( + 1) = 1 = = e 1. Si riconosce immediaamene che la posizione x è posiiva per isani di empo eserni a 1 e e 1, negaiva per isani inerni. I limii alla froniera sono lim (ln( + 1) 1) = + e lim [ln( + 1) 1] = +, quindi = 1 è asinoo vericale. Asinoi obliqui sono asseni poiché x() lim = lim [ln( + 1) 1] = La funzione è derivabile, con derivaa prima daa dalla velocià v e derivaa seconda daa dall accelerazione a. Ques ulima è sempre sreamene posiiva per > 1, quindi la concavià del grafico Γ è rivola verso l alo. La velocià v si annulla quando v() = ln( + 1) =, equazione di ipo rascendene, quindi non risolvibile in modo esao. Si osservi che v è coninua e derivabile, con derivaa v () = a() > per ogni > 1. Considerao che v() = 1 < e v(1) = ln 1/ >, per il Teorema degli Zeri si deduce l esienza di almeno uno zero nell inervallo ], 1[. In considerazione di quano oenuo, il grafico della velocià risula: 7

8 v 1 Consideraa al monoonia di v ale zero è l unico assuno dalla velocià. Per rovarne una approssimazione si ricorre al meodo di bisezione oenendo le segueni ierazioni: n a n b n n e n x( n ) 1,5,5 1,5 1,75,5,75 1,875,15 + 3,75,875,815,65 + Dunque lo zero cercao è =, 815 ±, 65 (, 8 ±, 1) s. La posizione x è quindi monoona decrescene per 1 < < e crescene per >, essendo quindi la posizione minima assuna x = x( ).33 m. Il grafico della legge oraria è perano: x 1 x e 1 c) sudi il limie asinoico di v(), a() e del prodoo a()v() al endere di a più infinio; I primi due limii non danno luogo a forme indeerminae e sono di agevole calcolo: [ 1 lim a() = lim ] ( + 1) =. e [ lim v() = lim ln( + 1) 1 ] =

9 Il erzo è una forma indeerminaa [ ] che richiede qualche manipolazione. Si osservi innanziuo che l infinio ln( + 1) 1 +1 è chiaramene equivalene a ln( + 1), poiché l alro addendo ende a zero. 1 L infiniesimo (+1) è invece equivalene a +1, poiché l alro ermine infiniesimo è di ordine superiore. Il limie richieso è quindi riconducibile alla seguene forma [ / ] immediaamene risolubile applicando la relaiva regola di de L Hospial: lim v()a() = + lim ln( + 1) = lim = lim =. d) calcoli l area della regione di piano finia delimiaa da Γ e dall asse delle ascisse; L area A della regione è daa da A = e 1 x() d = x e 1 [ ln( + 1)] d. e 1 A L inegrale deve essere calcolao per pari, quindi è più agevole procedere individuando innanziuo l inegrale indefinio di x: x() d = [ ln( + 1)] d = d ln( + 1) d = ln( + 1) d = = ln( + 1) d = + 1 ln( + 1) + 1 ( 1) d + 1 ln( + 1) = = 1 ( 1) ln( + 1) c. L area A della regione è quindi [ 1 A = ln( + 1) + ( 1) 4 + ] e 1 = = e + 5 4e 4 e) calcoli l area del riangolo formao dall asse delle ascisse e dalle ree angeni a Γ nei suoi puni di inersezione con l asse delle ascisse. La rea angene nell origine ha equazione caresiana : x = v() =, menre la angene s nel puno A(e 1, ) ha equazione s : x = v(e 1)( e + 1) = (1 e 1 )( e + 1). 9

10 x e 1 s Il puno d inersezione B delle due ree ha quindi ascissa soddisfacene l equazione B = (1 e 1 )( e + 1) (e 1) e = e 1 e = (e 1) e 1, perano x B = B = (e 1) e 1. L area del riangolo è dunque A T = y Bx A = (e 1)3 4e. 1

11 Svolgimeno Quesii ➀ Trova l inegrale generale dell equazione differenziale y y = x e la soluzione paricolare ale per cui y(1) =, verificando che quesa soluzione, come necessario, è derivabile in R. È correo affermare che la funzione y = 3 3x 3 soddisfa l equazione differenziale su uo R? L equazione è a variabili separabili perano, per inegrazione direa, si oiene y dy = x dx 1 3 y3 = x + c, con c R. Perano, poso c = 3c, l inegrale generale dell equazione risula y = 3 3x + c, con c R. Imponendo la condizione iniziale y(1) = si rova = c per cui c = 5. La soluzione risula quindi f(x) = 3 3x + 5, che è coninua e derivabile in ogni puno di R, essendo l argomeno del radicale maggiore o uguale a 5. La funzione g(x) = 3 3(x 1) è definia e coninua su R, uavia è derivabile ovunque fuorché per x = ±1, puni in cui si annulla il radicando. In ali puni speciali la funzione ammee infai un flesso vericale, come è facile verificare con il crierio di derivabilià: x [ 1 ] D ± g(1) = lim Dg(x) = lim x 1 ± x 1 ± 3 9(x 1) = + = +. È dunque scorreo affermare che g soddisfa l equazione differenziale su uo R. Si può infine dimosrare che l unica funzione coninua e derivabile su R che soddisfa l equazione differenziale e che, parimeni a g, si annulla in x = ±1, è la soluzione banale y =. ➁ Sono dae due ree r e s di equazioni parameriche x = x = + 1 r : y = k, k R e s : y = z = k z =, R. Dimosra che r e s sono sghembe, deermina l equazione caresiana del piano α conenene r e parallelo a s, calcola la disanza ra le due ree. Meendo a sisema le equazioni parameriche si rova: = + 1 = 1 k = k = k = k = 1 Tale sisema è impossibile poiché coniene condizioni conraddiorie, perano le due ree non hanno puni in comune. D alra pare le ree non possono essere parallele, dao che i veori v r (, 1, 1) e v s (1,, 1), che ne individuano le direzioni, non sono proporzionali. Se ne deduce perano che le ree sono sghembe. Le equazioni parameriche del piano α, che conenendo r deve passare per l origine, si oengono per combinazione lineare dei veori v r e v s : x = α : y = k +, k, R. z = k +. 11

12 Ricavando i parameri ed k dalle prime due equazioni parameriche e sosiuendo nella erza si oiene l equazione caresiana α : z = (y x) + x x y + z =. La disanza ra le due ree sghembe corrisponde alla disanza ra il piano α e la rea s, ovvero alla disanza ra α e un puno qualunque di s, ad esempio P (1,, ). Per calcolare siffaa disanza si può ricorrere alla formula della disanza puno-piano: d(p, α) = ax + by + c z + d = = 1. a + b + c 3 3 ➂ In una semicirconferenza di cenro O si consideri un riangolo isoscele avene per base una corda AB parallela al diamero e verice in O; si faccia ruoare ale riangolo inorno all asse della base AB. Tra ui i possibili riangoli che rispondono alle condizioni richiese, per quale disanza di AB da O si oiene il cono di volume massimo? Sia H il puno medio del segmeno AB; la richiesa è di far ruoare il riangolo inorno a OH. Seguendo le indicazioni del eso, si porrà uguale a x la disanza OH del segmeno AB dal cenro O. Le limiazioni geomeriche da imporre sulla incognia sono quindi: < x < r. Il cono così formao ha raggio di base r b = AH e alezza h = OH = x. Deo r il raggio della semicirconferenza di parenza, si avrà, per il eorema di Piagora, che r b = r x. Il volume del cono si calcolerà dunque in queso modo: V = 1 3 πr b h = 1 3 π(r x ) x. Prescindendo dalle cosani moliplicaive, si sudierà la funzione y = r x x 3, dove il paramero x è soggeo alle limiazioni x r; la derivaa della funzione è y = r 3x, che si annulla in x = ( 3/3)r e in x = ( 3/3)r. Il primo valore evidenemene è privo di significao geomerico; il massimo si oiene dunque per x = ( 3/3)r, come si può agevolmene dimosrare sudiando i segni della derivaa (ale dimosrazione viene lasciaa per esercizio allo sudene). ➃ Dimosrare che le funzioni y = cos x e y = x hanno due inersezioni reali e disine. Con uno dei meodi noi, individuare, con un approssimazione minore di 1/, l ascissa di quella diversa da zero. Per iniziare si osservi che la funzione y = cos x è limiaa, avendo insieme immagine [ 1, 1], menre la funzione y = x ha per insieme immagine R; le inersezioni, ove preseni, andranno cercae nell inervallo y [ 1, 1]. Il eso suggerisce la presenza di un inersezione per x =, la cui esisenza si verifica immediaamene: ambedue le funzioni passano infai per il puno (, 1). Si deve quindi cercare l ascissa dell alro puno di inersezione. La funzione y = x è ovunque derivabile ed ha derivaa y = 3x x ; ne consegue che essa è sempre crescene, se si ecceua il suo puno sazionario x = (che si verifica agevolmene essere un flesso orizzonale crescene). Quindi per valori di x > la 1

13 funzione y = x ha ordinaa maggiore di 1, e non può avere puni di inersezione con y = cos x. Il secondo puno di inersezione va dunque cercao per valori di x negaivi. Si dimosrerà ora che ale puno è compreso nell inervallo [ 1, 1/1[. Si consideri infai la funzione h(x) = x 3 1 cos x agli esremi dell inervallo [ 1, 1/1]: h( 1) = ( 1) 3 cos( 1), 54 e h( 1/1) = ( 1/1) 3 cos( 1/1), 4. Essendo la funzione h coninua, per il eorema degli zeri è necessariamene presene uno zero nell inervallo considerao. Si calcolerà ora la sua ascissa col meodo di bisezione: per comodià di calcolo l inervallo di parenza sarà [ 1, ] e non [ 1, 1/1] = 1 = 1 4 = 3 8 = 7 16 = 15 3 ( h 1 ), 6 x ] 1 [, ( h 1 ) ], 15 x 1 [ 4, 1 4 ( h 3 ) ], 16 x 1 [ 8, 3 8 ( h 7 ) 16 ( h 15 ) 3, 1 x, 49 x ; ; ; ] 1, 7 [ 16 ] 1 [, 15 3 L inervallo così oenuo, ] 1, [, ha ampiezza pari a = 1 3 < 1 ; perano la soluzione appariene all inervallo considerao, con l approssimazione richiesa. ➄ Una funzione coninua f è ale che la sua media inegrale nell inervallo [a, b] sia uguale ad a+b. Dimosrare che la condizione è soddisfaa dalla funzione f(x) = x, menre non è soddisfaa da una funzione del ipo f(x) = x + k con k reale non nullo. La media inegrale di una funzione su un inervallo [a, b], per definizione, si calcola in queso modo: b a f(x)dx. b a Il dao del problema è che ale media sia uguale ad a + b si può perano scrivere: ;. b a f(x)dx b a = b + a b a f(x)dx = b a. 13

14 Per la formula fondamenale del calcolo inegrale risula che b a f(x)dx = F (b) F (a), dove F è una qualsiasi primiiva della funzione f di parenza. Si supponga dunque che sia f(x) = x: l insieme delle sue primiive F (x) è: F (x) = f(x)dx = xdx = x + C dove C è una cosane reale. Si calcoli ora b a f(x)dx = F (b) F (a) = [x + C] b a = b + C (a + C) = b a. La funzione f(x) = x soddisfa perano la richiesa. Se si prende invece f(x) = x + k si oiene, ripercorrendo agli sessi passaggi: F (x) = f(x)dx = (x + k)dx = x + kx + C e quindi b a f(x)dx = F (b) F (a) = [x + kx + C] b a = b + kb + C (a + ka + C) = b a + k(b a). Evidenemene, l unico valore di k acceabile è zero, come indicao dal eso del problema. ➅ La formula per la derivazione di un prodoo di funzioni prende il nome di regola di Leibniz, dal nome dello scienziao e filosofo edesco Gofried Wilhelm Leibniz, moro 3 anni fa (1716). Il candidao enunci e dimosri ale formula, e la applichi per calcolare la derivaa della funzione y = x ln x. La formula di Leibniz è la seguene: (fg) = f g + g f. Più precisamene, se due funzioni f e g sono derivabili in un puno x, allora anche la funzione prodoo fg è derivabile in x e vale (fg) (x) = f (x)g(x)+ g (x)f(x). Per dimosrare quesa proprieà ci si serve della definizione di derivaa, nel seguene modo: (fg) f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) (x) = lim ; h h si può ora sorarre e sommare al numeraore un ermine f(x)g(x + h): (fg) f(x + h)g(x + h) f(x)g(x + h) + f(x)g(x + h) f(x)g(x) (x) = lim = h h f(x + h)g(x + h) f(x)g(x + h) f(x)g(x + h) f(x)g(x) = lim + lim. h h h h Si osservi ora che g(x + h) g(x), poiché la funzione g è coninua in x, in quano ivi derivabile, menre f(x) è una cosane e può essere poraa fuori del segno di limie. Si può quindi concludere che (fg) f(x + h) f(x) g(x + h) g(x) (x) = lim g(x + h) + f(x) lim = f (x)g(x) + g (x)f(x). h h h h Si applichi ora la formula alla funzione y = x ln x: ( x ln x) = ( x) ln x + x(ln x), perano, in base alle noe regole di derivazione, si oiene ( x ln x) = ( x) ln x + x(ln x) = 1 x ln x + x 1 x 1 x = 1 x (ln x + 1). 14

15 ➆ Si calcoli il limie per x + della funzione x 6 [ 1 cos ( 1 x 3 )]. Il limie richieso si presena in una forma indeerminaa. Esso si riconduce facilmene a un limie noevole noo, grazie alla sosiuzione = 1 x 3 ; infai, effeuaa la sosiuzione, il limie divena: [ ( )] 1 1 cos lim x + x6 1 cos x 3 = lim = 1. ➇ Si consideri una circonferenza γ di diamero AB apparenene a un piano α. Si conduca da A una rea perpendicolare ad α; sia P un suo puno qualunque. Deo M un puno di γ, si dimosri che l angolo P MB è reo. La esi segue dal eorema delle re perpendicolari. Enunciamo il eorema: Ipoesi: sia dao un piano α; sia r una rea perpendicolare ad α avene in comune con esso un puno P ; si prenda una qualunque rea di di α e si conduca da P la perpendicolare a, che inconrerà in Q. Tesi: la rea condoa per un qualsiasi puno di r e Q è perpendicolare a. Nel presene quesio vale in eorema appena illusrao, come si può facilmene vedere in figura. Infai α è il piano conenene la circonferenza e AP la rea r. La rea per B e M è, apparenene al piano α. Infine, M è il piede della perpendicolare condoa da A alla rea BM; ciò consegue dal fao che l angolo ÂM B è reo in quano il riangolo AM B è inscrio in una semicirconferenza. In conclusione, P M è perpendicolare a BM e perano l angolo P MB è reo. 15