Liceo scientifico e opzione scienze applicate

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1 SIMULAZIONE DELLA PROVA D ESAME 9 APRILE Liceo scienifico e opzione scienze applicae Lo sudene deve svolgere uno dei due problemi e rispondere a 5 quesii del quesionario. Duraa massima della prova: ore. PROBLEMA Le cenraline di conrollo del Po a Ponelagoscuro (FE) regisrano il valore della poraa dell acqua, ovvero il volume d acqua che araversa una sezione rasversale del fiume nell unià di empo. Come responsabile della sicurezza della navigazione fluviale in quel rao del Po, devi valuare quando consenire la navigazione sessa, in considerazione delle condizioni amosferiche e del livello dell acqua. Nel corso dell anno le porae medie del Po (a Ponelagoscuro) sono di circa milioni di m al giorno in regime di magra, milioni di m al giorno in regime normale con un oscillazione del % e 8 milioni di m al giorno in regime di piena (fone deladelpo.ne). Durane un periodo di alcuni giorni di piogge inense, dalle rilevazioni regisrae risula che: nei primi due giorni dall inizio delle misurazioni il valore della poraa dell acqua si è alzao dal valore di regime normale di milioni di m al giorno fino al valore massimo di 95 milioni di m al giorno; nei giorni successivi la poraa si è ridoa, ornando verso il valore di regime normale, inizialmene più velocemene e poi più lenamene.. Indicando con il empo, misurao in giorni, fissa un adeguao sisema di riferimeno caresiano in cui rappresenare il grafico dell andameno della poraa. Verifica se una delle segueni funzioni può essere usaa come modello per descrivere ale andameno, enendo cono dei valori rilevai e del puno di massimo, giusificando con opporune argomenazioni sia la scela che l esclusione. f^h a$ cos^b$ h + c, g^h a$ e b + c, b h^h a$ $ e $ + c, abc,,! R.. Individuaa la funzione, deermina i parameri in modo che siano verificae le condizioni sopra descrie per la poraa e racciane il grafico.. Sudia la variazione della poraa nel empo e valua dopo quani giorni ale variazione raggiunge il suo minimo. Inolre, dovendo prevedere quando auorizzare la ripresa della navigazione in condizioni di sicurezza, valua, analiicamene o per via grafica, dopo quani giorni la poraa rienra nel limie di oscillazione del valore di regime normale.. Nel empo rascorso ra l inizio del fenomeno e il rienro nei limii normali, qual è il volume di acqua che ha superao il valore di regime normale? Zanichelli Ediore, 8

2 PROBLEMA O 5 Figura Il grafico G in figura rappresena una funzione del ipo: f ^ $ e ^ h h,! R,! N,.. deermina il valore del paramero affinché la f^h sia rappresenaa dal grafico, moivando la ua risposa. Calcola inolre le coordinae dei puni di flesso, le equazioni degli evenuali asinoi e le equazioni delle ree angeni a G nei puni di flesso;. considera un riangolo avene i verici, rispeivamene, nell origine, nel puno della funzione f^h di ascissa a, e nel puno P sua proiezione sull asse. Deermina il valore a $ per cui la sua area sia massima;. calcola l area della regione piana delimiaa da G e dall asse nell inervallo [; e deermina il valore dell errore percenuale che si verifica nel calcolo di ale area se nell inervallo [; si adoa, per approssimare f^h, una funzione razionale di grado della forma r^h a + b + c + d,! R, abcd,,,! R con r^h f ^h, r^h f ^h, rl^h, rl^h ;. dimosra che, dee A e B le inersezioni ra le angeni a G nei puni di flesso e l asse, C e D le proiezioni dei puni di flesso sull asse, si ha: AB CD, per qualsiasi QUESTIONARIO! N,. Deerminare il volume del solido generao dalla roazione aorno alla rea di equazione della regione di piano delimiaa dalla curva di equazione + e dalla rea sessa. Verificare che la funzione: f^h + ha una disconinuià di prima specie ( a salo ), menre la funzione: f^h + ha una disconinuià di erza specie ( eliminabile ). Zanichelli Ediore, 8

3 Durane il picco massimo di un epidemia di influenza il 5% della popolazione è a casa ammalao: a. qual è la probabilià che in una classe di alunni ce ne siano più di due asseni per l influenza? b. descrivere le operazioni da compiere per verificare che, se l inera scuola ha 5 alunni, la probabilià che ce ne siano più di 5 influenzai è maggiore del 99%. Uilizzando il differenziale calcola di quano aumena il volume di un cono reo avene raggio di base m e alezza m quando il raggio di base aumena di cm. Consideraa la parabola di equazione, nel primo quadrane ciascuna angene alla parabola delimia con gli assi coordinai un riangolo. Deerminare il puno di angenza in modo che l area di ale riangolo sia minima. Deerminare la soluzione paricolare della equazione differenziale l, verificane la condizione iniziale ^h. Calcolare il valor medio della funzione # # f ( ) ( e + # nell inervallo [; e deerminare il valore della in cui la funzione assume il valore medio. Una sfera ha il raggio che aumena al passare del empo secondo una daa funzione r(). Calcolare il raggio della sfera nell isane in cui la velocià di crescia della superficie sferica e la velocià di crescia del raggio sono numericamene uguali. In un riferimeno caresiano nello spazio Oz, daa la rea r di equazioni: + * + z e il piano b di equazione: + z +, deerminare per quale valore di la rea r e il piano b sono paralleli, e la disanza ra di essi. Scrivere l equazione della circonferenza C che ha il cenro sull asse ed è angene al grafico G f di f^h nel suo puno di flesso. Zanichelli Ediore, 8

4 SOLUZIONE SIMULAZIONE 9 APRILE Liceo scienifico e opzione scienze applicae PROBLEMA. La funzione che descrive la poraa del Po: deve essere crescene in [;, perché nei primi due giorni la poraa aumena da milioni di meri cubi al giorno ( Mm /giorno) a 95 Mm /giorno, quindi la derivaa prima deve essere posiiva in [; ; poi deve decrescere, prima più velocemene e dopo più lenamene, riporandosi al valore normale di Mm /giorno, quindi la derivaa prima dopo il giorno deve essere negaiva assumendo inizialmene valori minori e poi valori maggiori (ma sempre negaivi). Esaminiamo quale delle funzioni dae può soddisfare quese condizioni. Caso f^h acos^bh + c. La funzione è periodica, quindi non può descrivere il fenomeno considerao. Infai, se i parameri sono ali per cui la funzione passa dal valore iniziale al valore massimo 95 in giorni, allora al quaro giorno (cioè dopo alri giorni) il valore ridiscende a per poi ornare a salire subio dopo, menre la poraa del fiume si deve sabilizzare a circa. Caso g a e ^ h $ b + c. Fissai i parameri, l esponene sempre crescene o sempre decrescene. Anche quesa funzione non può rappresenare il fenomeno. Caso h a e b ^ h $ $ + c. ha segno cosane e quindi la funzione g^h sarebbe o b Per esclusione, quesa è la funzione che descrive il fenomeno. Per sicurezza, esaminiamo comunque il suo comporameno. All isane iniziale la funzione assume valore h^ h c. Se b è posiivo, l esponene ^ bh ende a al crescere di e queso compora che al rascorrere dei giorni il valore della funzione si ripora al valore iniziale; infai: b lim h^h lim ^a$ $ e + ch c, " + " + b in quano nella forma indeerminaa $ e prevale l infiniesimo dao dall esponenziale. La derivaa prima b b b hl^h a$ e + a$ $ e $ ^ bh a$ e ^ bh si annulla in, e assume segni opposi in ; b : b : e D ; + b :. Se scegliamo allora anche a posiivo, il segno di a^ bh è posiivo prima di dopo; si realizza così la condizione di crescenza e decrescenza della funzione poraa. e negaivo b. Deerminiamo numericamene i parameri a, b, c della funzione h^h. Il paramero c è la poraa iniziale, poiché h^ h c, quindi c. c è anche il valore di regime per ", quindi h^h è asinoo orizzonale. Il valore massimo si regisra al secondo giorno; poiché avevamo dedoo nel puno precedene che il massimo di h^h si ha per, oeniamo: b " b b. Zanichelli Ediore, 8

5 Imponiamo infine che il massimo valore assuno dalla funzione sia 95: h^h 95 " a$ $ e + 95 " a 95 " a. La funzione che descrive la poraa dell acqua del Po a Ponelagoscuro è dunque: h^h $ $ e + con $ in giorni e h^h in Mm. La derivaa prima è: hl^ h $ e ` j; hl^h si annulla in, è posiiva per # ed è negaiva per. Quindi la funzione h^h è crescene per #, decrescene per e è puno di massimo relaivo e assoluo. Per disegnare il grafico di h^h, non rimane che calcolare il puno di flesso. h e e ll^ h $ ` j ` j+ $ ` j5$ e ` + j 5$ e ` j. La derivaa seconda è negaiva, e la funzione h^h volge la concavià verso il basso, per: " ; menre per la concavià è rivola verso l alo. Il puno di flesso di ascissa ha ordinaa: h^h $ $ e + 7. Possiamo disegnare il grafico di h^h h() Figura O La «variazione della poraa nel empo» è rappresenaa dalla derivaa prima di h^h. hl^ h $ e ` j. Sulla base di quano deo nei puni precedeni, possiamo compilare il seguene schema. Dunque la funzione hl^h: h() h'() + è posiiva e decrescene in [; [; si annulla in è negaiva e decrescene in ; [; h''() + è negaiva e crescene in ;, lim hl^ h lim : $ e ` jd, " + " + l asinoo orizzonale è l asse ; quindi deve ammeere asinoo orizzonale; infai: 5 Zanichelli Ediore, 8

6 ha un minimo relaivo e assoluo in la variazione della poraa raggiunge quindi il suo minimo al quaro giorno di osservazione; inerseca l asse alla quoa h l^ h $ e 5., con h l^ h $ e ` $ j $ e 5; Per sabilire il puno di flesso di hl^h, calcoliamo la sua derivaa seconda, ovvero hlll^ h: h D 5 e 5 e lll^ h : $ ` jd $ ` j ` j5 $ e $ ` j 5 e 5 ` + j e ` j. hlll^h si annulla e cambia di segno in corrispondenza di. La funzione hl^h ha un puno di flesso in, volge la concavià verso l alo in ; e verso il basso ; +. Tracciamo il grafico di hl^h h() O h'() Figura La poraa dell acqua in regime normale oscilla fra 7 e Mm /giorno (!% dalla media normale di Mm /giorno). Perché sia auorizzaa la ripresa della navigazione, deve essere: h^h. Dal grafico di h^h deduciamo che i valori della funzione si abbassano soo la soglia verosimilmene dopo il decimo giorno. Calcoliamo: h^h $ $ e + 8; h^h $ $ e + ; h^h $ $ e + 5; h^h $ $ e + ; 5 h^5h $ 5 $ e + 9. Quindi il fiume può essere riapero alla navigazione dal 5 giorno. Zanichelli Ediore, 8

7 . Il volume d acqua che ha superao nei primi 5 giorni il valore di regime normale ( milioni di meri cubi al giorno), senza enere cono dei limii di oscillazione, è dao dall inegrale: 5 5 V d $ $ e d. Risolviamo per pari l inegrale indefinio: e d e d e e d e $ $ ` j : D : + ` je dd e e _ + i e ^ + h. Proseguiamo con il calcolo del volume: 5 5 V e $ d 8 e 8 e ^ + hb $ 8 ^5 + hb 8e ^+ hb. 5, 8^7e eh 7 Mm. 5 Quindi, nei 5 giorni considerai, araverso le cenraline di conrollo sono passai circa 7 milioni di meri cubi d acqua in più rispeo al volume d acqua che si avrebbe avuo in regime normale. Se consideriamo anche le oscillazioni del % del regime normale, e quindi consideriamo come valore di regime normale, dobbiamo sorarre $ 5 a 7. In al caso, nei 5 giorni considerai, sono passai milioni di meri cubi d acqua in più rispeo al regime normale. PROBLEMA. La funzione f^h e, con! N e, ha un puno di minimo relaivo in e un puno di massimo relaivo in, come si deduce dal grafico del problema. Poiché la funzione è derivabile su R, la derivaa prima si deve annullare in e. La derivaa prima: f e e e e l^ h ^ h si annulla in e, quindi deve essere e la funzione da considerare è: f^h e. Assicuriamoci che quesa funzione corrisponda con il grafico dao. lim f lim e ^ h +, in accordo al grafico. " " La funzione non ammee asinoo obliquo sinisro, in quano: f^h lim lim e non è finio. " " lim f lim e ^ h, in accordo con il grafico. " + " + Nel limie compare la forma indeerminaa $, ma l infiniesimo dell esponenziale e prevale sull infinio, quindi il risulao del limie è. La funzione ammee dunque l asse come asinoo orizzonale desro. La derivaa prima: fl^h e ^ h è negaiva per, posiiva per, quindi la funzione f^h è decrescene per e crescene per, ammee minimo relaivo in con f^h e massimo relaivo in con f^h e, in accordo con il grafico. 7 Zanichelli Ediore, 8

8 Deerminiamo i puni di flesso e le equazioni delle ree angeni al grafico G nei puni flesso. Eseguiamo i calcoli sulla generica funzione f^h e, dove è ancora presene il paramero, perché al puno. del problema vanno considerae le ree angeni al variare di. La derivaa prima, già calcolaa, è: f e l^ h ^h. Calcoliamo la derivaa seconda: f e e e ll^ h ^ h ^ h ^ h e e ^ h^ h ^ ^ + + h e ^ + h. Osserviamo che se $ e è dispari, è un puno di flesso per la funzione perché annulla la derivaa seconda e fll^ h cambia di segno prima e dopo lo. Poiché f l^h, ale flesso è a angene orizzonale. Se invece $ e è pari, la derivaa seconda non cambia di segno prima e dopo, quindi non è puno di flesso. Per rovare gli alri puni di flesso, calcoliamo gli zeri (diversi da ) della derivaa seconda: fll^h " + "! +!. Compiliamo lo schema dei segni della derivaa seconda e della concavià della funzione (limiando l esame a ) ricordando che per si ha. + f''() + + f() flesso flesso Figura 5 La funzione f^h presena dunque due flessi di ascissa e +. Calcoliamo le equazioni delle ree angeni nei puni di flesso. Il primo flesso F, di ascissa, ha ordinaa: ^ h f^ h ^ h e ^ h e. La rea angene al grafico in F ha coefficiene angolare: h ^ m fl^ h ^ h e ^ h@ ^ h e ed equazione: m ^ h " ^ h e ^ h e ^ + h. Il secondo flesso F, di ascissa +, ha ordinaa: ^ + h f^+ h ^+ h e ^+ h e La rea angene al grafico in F ha coefficiene angolare: + h m f l^ + ^ ^ h + h e ^ + h@ ^ + h e ed equazione: m ^ h " ^+ h e ^+ h e ^ h. In paricolare, le coordinae dei puni di flesso e le equazioni delle ree angeni al grafico nei suoi puni di flesso nel caso sono:. 8 Zanichelli Ediore, 8

9 F ^ ; ^ he h ^, 59;, h; ^ m fl^ h ^ h e ^ h@ ^ he, ; m ^ h " ^ he ^ he ^ + h; F ^ + ; ^+ h e h ^, ; 8, h; h ^ m fl^+ h ^+ h + e ^+ h@ ^ he 7, ; h m ^ h " ^+ he ^ he ^ h.. Fissao a $, consideriamo il riangolo reangolo OPQ di verici: O^ ; h, P^a; h, Q^a; f^ahh, la cui area, dipendene da a, è: a h^ah OP $ PQ a$ f ^ah a$ ae ae a. Q O P a Figura Deerminiamo a in modo che l area sia massima. Sicuramene è a, perché per a il riangolo degenera nell origine e ha area nulla. Per a, cerchiamo il massimo relaivo di h^ah. La derivaa prima: a h a ae a D ae a ae a l^ h 8 B ae ^ ah si annulla per a, è posiiva per a e negaiva per a. La funzione h^ah ha quindi massimo per a : l area del riangolo OPQ è massima quando a e vale 7 e.. L area della regione di piano delimiaa da f^h e dall asse in [; è daa da: A f^hd e d. Deriviamo per pari l inegrale indefinio (rascuriamo la cosane addiiva finale perché non servirà nel calcolo dell inegrale definio): e d e d e ^ h : e dd e e d e e ^ h : e dd 9 Zanichelli Ediore, 8

10 e e e d e e ^ h e e ^ + + h. Proseguiamo con il calcolo dell area: A e d e ^ + + h@ e ^ + $ + h@ e ^ + $ + h@ + e, 778. Deerminiamo il valore dei coefficieni del polinomio di erzo grado: r^h a + b + c + d che approssima la funzione f^h in [;. Imponiamo le condizioni indicae dal eso del problema, osservando che la derivaa prima è rl^h a + b + c: Z r ^h Zd Zd Zd Z d r ^h 8a+ b+ c+ d a+ b b a b [ " [ " [ " [ " [ rl^h c c c c rl ^h a+ b+ c a+ b a+ a a \ \ \ \ \ Il polinomio che approssima f^h è: r^h +. L area soesa al grafico di r^h nell inervallo [; è: Al r d d ^ h ^ + h : + D $ +. L errore percenuale commesso nel considerare l area approssimaa Al anziché l area A è dao da: Al A 778,, 778 f A $ 778, $, 778 $, %.. Al puno. avevamo deerminao le equazioni delle ree angeni al grafico di f^h nei puni di flesso al variare di. F F O A C D 5 B 7 Figura 7 Deerminiamo le coordinae dei puni A, B, C, D. Zanichelli Ediore, 8

11 Dalla prima rea angene m ^ h, ponendo, roviamo l ascissa di A: ^ h e ^ h e ^ + h " + ^ h e " + + " A^+ ; h. ^ h e Dalla seconda rea angene m ^ h, ponendo, roviamo l ascissa di B: ^ + h e ^ + h e ^ h " ^+ h e " " B^+ + ; h. ^ + h e Le proiezioni C e D hanno coordinae: C^ ; h ^ ; h, D^ ; h ^+ ; h. Il segmeno AB è lungo: AB + +. B Il segmeno CD è lungo: A CD ^+ h^ h. D C I segmeni AB e CD sono quindi legai dalla relazione: AB QUESTIONARIO CD, per ogni! N,. Vedi lo svolgimeno del quesio della prova per il Liceo Scienifico e per il Liceo Scienifico Opzione Scienze Applicae, sessione sraordinaria 5. Vedi lo svolgimeno del quesio della prova per il Liceo Scienifico e per il Liceo Scienifico Opzione Scienze Applicae, sessione sraordinaria 5. Vedi lo svolgimeno del quesio della prova per il Liceo Scienifico e per il Liceo Scienifico Opzione Scienze Applicae, sessione sraordinaria 5. Il volume di un cono reo con raggio di base r e alezza h è: V $ Abase $ alezza $ rr $ h. Inerpreiamo quesa formula come una funzione con variabile indipendene r: V^rh rh$ r. Il volume del cono di alezza h mè allora espresso da: V^rh r $ r. L aumeno di volume del cono, quando il raggio di base passa da r a r + Dr, è dao dalla differenza DV V^r+ Drh Vr ^ h. Quando D r è piccolo, possiamo approssimare ale differenza di volume con il meodo del differenziale: dv Vl^r h$ dr. Zanichelli Ediore, 8

12 8 Nel nosro caso è r m, dr cm, m e Vl^rh r$ r r$ r, quindi: 8 dv r $ $,, 5 m. 5 Vedi lo svolgimeno del quesio 5 della prova per il Liceo Scienifico e per il Liceo Scienifico Opzione Scienze Applicae, sessione sraordinaria 5. L equazione differenziale daa l è un equazione differenziale a variabili separabili, perché può essere scria nella forma: l + " l ^ + h. Calcoliamo una soluzione generale dell equazione: d ^+ d h " + d d con!. Inegriamo enrambi i membri: c c d d " ln c " e " e ! + " c! e $ e " e, dove abbiamo poso! e c, quindi! perché e c. Se, l equazione differenziale divena, quindi è soluzione. La soluzione generale è allora e, con posiivo, negaivo o nullo. Cerchiamo la soluzione paricolare, imponendo la condizione ^h : e " ". La soluzione cercaa ha espressione analiica: e Vedi lo svolgimeno del quesio 7 della prova per il Liceo Scienifico e per il Liceo Scienifico Opzione Scienze Applicae, sessione sraordinaria 5. Vedi lo svolgimeno del quesio 8 della prova per il Liceo Scienifico e per il Liceo Scienifico Opzione Scienze Applicae, sessione sraordinaria 5. Vedi lo svolgimeno del quesio 9 della prova per il liceo Scienifico e per il Liceo Scienifico Opzione Scienze Applicae, sessione sraordinaria 5. Vedi lo svolgimeno del quesio della prova il Liceo Scienifico e per il Liceo Scienifico Opzione Scienze Applicae, sessione sraordinaria 5. Zanichelli Ediore, 8