La risposta di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà sollecitato da carichi impulsivi. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

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1 La risposa di un sisema lineare viscoso a un grado di liberà solleciao da carichi impulsivi Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 1

2 Inroduzione 1/2 Un carico p() si definisce impulsivo quando agisce con un inensià molo fore per un empo molo breve e quando il suo inegrale nel empo, che prende il nome di impulso, è finio. p()! L impulso è dao dalla relazione I = ε p( )d in cui ε rappresena la duraa, molo breve, dell inervallo di empo in cui agisce il carico. Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 2

3 Inroduzione 2/2 Maemaicamene, un carico di queso ipo può essere espresso mediane la funzione dela di Dirac, δ(), definia araverso le relazioni ( ) = per = ( ) = per δ δ δ ( )d = 1 p()δ ( )d = p( ) La funzione δ() rappresena un impulso uniario di duraa infiniesima agene all isane di empo =. Di conseguenza, un carico impulsivo applicao al empo = e avene un impulso pari a I può essere espresso nella forma p( ) = Iδ ( ) Se il carico impulsivo agisce al empo = τ, si ha p() p( ) = Iδ ( τ )! " "+! Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 3

4 Il calcolo della risposa 1/3 Nel caso di un carico impulsivo agene al empo =, l equazione del moo si scrive m u( ) + c u ( ) + ku( ) = Iδ ( ) per = m u( ) + c u ( ) + ku( ) = per > Per > il sisema oscilla in vibrazioni libere. Le condizioni iniziali del moo sono espresse in ermini della sola velocià, poiché per ragioni di caraere fisico deve essere u() = u = Inegrando ui i ermini dell equazione del moo nell inervallo infiniesimo [, + ] si ha m u ( )d + c u ( )d + ku( )d = I δ ( )d da cui + m u ( ) + + cu( ) = I cioè u() = u = I m Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 4

5 Il calcolo della risposa 2/3 La risposa in vibrazioni libere si scrive ( ) = u cos( ω D ) + u o u ( ) ω D sin ω D e ω = I sin( ω D )e ω mω D Se l impulso è uniario, cioè se I = 1, la relazione precedene si scrive h( ) = 1 sin( ω D )e ω mω D La risposa a un impulso I può quindi essere espressa nella forma u( ) = I h() Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 5

6 Il calcolo della risposa 3/3 La funzione h( ) = 1 sin( ω D )e ω mω D prende il nome di funzione di risposa impulsiva, il cui andameno è riporao nella figura seguene m!h() 1..5 " = T Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 6

7 La risposa di un sisema lineare viscoso a un grado di liberà solleciao da carichi arbirari Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 7

8 Il calcolo della risposa 1/2 Si consideri un carico p() variabile con legge qualsiasi p() p(!) di!!+d! Se p(τ ) è il valore assuno dal carico al empo = τ, il prodoo p(τ )dτ = di può essere considerao come un impulso infiniesimo agene al medesimo isane di empo. Per > τ la risposa corrispondene assume la forma du( ) = di h( τ ) = p τ ( )dτ h τ ( ) Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 8

9 Il calcolo della risposa 2/2 du( ) = di h( τ ) = p τ ( )dτ h τ ( ) Per un sisema lineare viscoso a un grado di liberà, la risposa a un carico variabile con legge qualsiasi può essere calcolaa al generico isane di empo sommando le rispose corrispondeni a ui gli impulsi infiniesimi che precedono, applicando cioè il principio di sovrapposizione degli effei, come segue ( ) = p τ u ( )h( τ )dτ L inegrale precedene prende il nome di inegrale di convoluzione del carico o inegrale di Duhamel. In alcuni casi, l inegrale di convoluzione può essere calcolao in forma chiusa, in alri può essere valuao solo numericamene. Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 9

10 Esempio di inegrazione in forma chiusa 1/7 Si consideri un carico a gradino, che assume bruscamene il valore p al empo =, e poi rimane cosane. p() p p() = per < p() = p per L equazione del moo si scrive m u() + c u() + ku() = p e la risposa può essere calcolaa araverso l inegrale di convoluzione del carico. Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 1

11 Esempio di inegrazione in forma chiusa 2/7 La risposa è daa dall inegrale u() = p sinω D ( τ )e ω ( τ ) mω D dτ = da cui si oiene = p k k mω D ( sinω D cosω D τ sinω D τ cosω D )e ω e ωτ dτ u() u s = ω 2 e ω sinω D cosω D τe ωτ ω D dτ cosω D sinω D τe ωτ dτ = sinω 1 2 D cosω D τe ωτ dτ cosω D sinω D τe ωτ dτ = ωe ω Gli inegrali ra parenesi quadra si calcolano a pare con il meodo dell inegrazione per pari. Si ha b [ ] a b u dv = uv vdu a b a Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 11

12 Esempio di inegrazione in forma chiusa 3/7 cosω D τe ωτ dτ = cosω Dτe ωτ ω + ω D ω sinω Dτe ωτ dτ u = cosω D τ du = ω D sinω D τdτ dv = e ωτ dτ v = 1 ω eωτ sinω D τe ωτ dτ = sinω Dτe ωτ ω ω D ω cosω Dτe ωτ dτ u = sinω D τ du = ω D cosω D τdτ dv = e ωτ dτ v = 1 ω eωτ cosω D τe ωτ dτ = cosω Dτe ωτ ω + ω D sinω D τe ωτ ω ω ω D ω 2 cosω D τe ωτ dτ sinω D τe ωτ dτ = sinω Dτe ωτ ω ω D cosω D τe ωτ ω ω ω D ω 2 sinω D τe ωτ dτ Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 12

13 Esempio di inegrazione in forma chiusa 4/7 1+ ω D ω 2 cosω D τe ωτ dτ = cosω Dτe ωτ ω + ω D sinω D τe ωτ ω ω 1+ ω D ω 2 sinω D τe ωτ dτ = sinω Dτe ωτ ω ω D cosω D τe ωτ ω ω 1 2 cosω D τe ωτ dτ = 1 ω cosω D eω sinω D e ω sinω D τe ωτ dτ = 1 ω sinω D eω 1 2 cosω D e ω Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 13

14 Esempio di inegrazione in forma chiusa 5/7 cosω D τe ωτ dτ = ω cosω D eω sinω D e ω 1 sinω D τe ωτ dτ = ω sinω D eω 1 2 Sosiuendo nella relazione cosω D e ω si ha u() u s u() u s sinω 1 2 D cosω D τe ωτ dτ cosω D sinω D τe ωτ dτ = ωe ω sinω 1 2 D cosω D e ω sinω D e ω 1 cosω D sinω D e ω 1 2 cosω D e ω = e ω Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 14

15 Esempio di inegrazione in forma chiusa 6/7 u() u s sinω 1 2 D cosω D e ω sinω D e ω 1 cosω D sinω D e ω 1 2 cosω D e ω = e ω u() u s = sinω 1 2 D cosω D cos 2 ω D sin 2 ω D sinω D e ω sinω D cosω D cosω D e ω u() = 1 cosω D + u s 1 sinω 2 D e ω Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 15

16 Esempio di inegrazione in forma chiusa 7/7 u() = 1 cosω D + u s 1 sinω 2 D e ω us u() u s ! = T Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 16

17 Calcolo della risposa imponendo le condizioni iniziali La soluzione dell equazione del moo si scrive m u() + c u() + ku() = p u() = ( Acosω D + Bsinω D )e ω + p k u() = ω Acosω D + Bsinω D Imponendo condizioni iniziali di quiee si ha da cui si oiene Sosiuendo, si ricava infine ( ) + ω D ( Asinω D + Bcosω D ) u() = A + p k = u() = ω A + Bω D = A = u s B = 1 2 u s e ω u() = 1 cosω D + u s 1 sinω 2 D e ω Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 17

18 Valuazione numerica dell inegrale di convoluzione 1/8 L inegrale di convoluzione può essere calcolao in forma chiusa solo quando il carico p() è descrio da una legge analiica semplice. Nella maggior pare dei casi, uavia, il calcolo può essere svolo solano araverso procedimeni numerici. A al fine è conveniene esprimere l espressione della risposa nella forma ( ) = p τ u 1 ( )h( τ )dτ = mω D ω τ p( τ )sinω D ( τ )e ( ) dτ = = 1 p( τ ) sin( ω D )cos( ω D τ ) cos( ω D )sin( ω D τ ) mω e ω e ωτ dτ = D = 1 sin( ω D )e ω p( τ )cos( ω D τ ) e ωτ mω D dτ cos( ω D )e ω p( τ )sin ω D τ = A( )sin ω D ( )cos ω D ( ) B ( ) ( ) e ωτ dτ = in cui A() = 1 mω D e ω B() = 1 mω D e ω ( ) e ωτ p( τ )cos ω D τ ( ) e ωτ p( τ )sin ω D τ dτ dτ Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 18

19 Valuazione numerica dell inegrale di convoluzione 2/8 Il calcolo dell inegrale di convoluzione si riconduce dunque al calcolo degli inegrali A() e B(). Si consideri inizialmene l inegrale A() A() = 1 mω D e ω ( ) e ωτ p( τ )cos ω D τ dτ Ponendo si può scrivere y( τ ) = 1 p( τ )cos( ω D τ )e ωτ mω D ( ) = e ω y τ A ( )dτ Per la valuazione numerica di A() occorre discreizzare la funzione inegranda y(τ ) all inerno dell inervallo [, N ] enro cui si vuole calcolare la risposa del sisema. Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 19

20 Valuazione numerica dell inegrale di convoluzione 3/8 A ale scopo l inervallo [, N ] può essere suddiviso in N sooinervalli di uguale ampiezza Δτ = N N i cui esremi coincidono con i empi discrei y() i = iδτ con i =, 1, 2, 3,..., N y i y 1 y 2 y 3 y 1 2 3!! i N L inegrale ( ) = e ω y τ A ( )dτ può essere valuao numericamene sommando le ordinae della funzione inegranda discreizzaa, y i = y( i ), ciascuna moliplicaa per un coefficiene che dipende dal meodo di inegrazione numerica considerao. Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 2

21 Valuazione numerica dell inegrale di convoluzione 4/8 Meodo dei reangoli Al generico isane di empo i, l inegrale è dao dalla somma delle aree dei reangoli elemenari che precedono i. Si ha A( i ) = Δτ ( y + y y i 1 )e ω i y() y 1 y 2 y 3 y i-1!! y i-1 y i-1 i!! N Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 21

22 Valuazione numerica dell inegrale di convoluzione 5/8 Meodo dei rapezi Al generico isane di empo i, l inegrale è dao dalla somma delle aree dei rapezi elemenari che precedono i. Si ha ( ) = Δτ A i ( 2 y + 2y + 2y y + y 1 2 i 1 i )e ω i y() y 1 y 2 y 3 y i-1 y i!! (y i-1 +y i ) 2 y i-1!! i N Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 22

23 Valuazione numerica dell inegrale di convoluzione 6/8 Meodo di Simpson Al generico isane di empo i, l inegrale è dao dalla somma delle aree dei segmeni di parabole elemenari che precedono i, ciascuno relaivo a una coppia di inervalli di empo consecuivi. Si ha A( i ) = Δτ ( 3 y + 4y + 2y + 4y + 2y y + 4y + y i 2 i 1 i )e ω i y() y 1 y 2 y 3 y i-2 y i-1 y i!! (yi-2 + 4y i-1 + y i ) 3 y i-2!!!! i N Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 23

24 Valuazione numerica dell inegrale di convoluzione 7/8 Relazioni incremenali Per la formulazione di algorimo efficiene, è uile esprimere le relazioni precedeni in forma incremenale: il valore al passo correne si oiene sommando a quello del passo precedene un incremeno. Nel compiere quesa operazione è necessario moliplicare il valore del passo precedene per il rapporo ra l esponenziale del passo correne e quello del passo precedene, cioè e ω i e ω i 1 = e ωδτ In forma incremenale, le relazioni di inegrazione numerica si scrivono quindi (a) meodo dei reangoli (b) meodo dei rapezi A( i ) = A( i 1 )e ωδτ + Δτ y i 1 e ω i A( i ) = A i 1 ( )e ωδτ + Δτ ( 2 y + y i 1 i )e ω i (c) meodo di Simpson A( i ) = A( i 2 )e 2ωΔτ + Δτ ( 3 y + 4y + y i 2 i 1 i )e ω i Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 24

25 Valuazione numerica dell inegrale di convoluzione 8/8 La risposa oale La valuazione numerica della funzione B() si effeua allo sesso modo, ponendo quesa vola y( τ ) = 1 p( τ )sinω D τe ωτ mω D Avendo calcolao i valori di A( i ) e B( i ) per ui i valori di i desiderai, la risposa oale si oiene dalla relazione u( i ) = A( i )sin( ω D i ) B( i )cos( ω D i ) Per ognuno dei procedimeni presenai, l accuraezza dipende dall ampiezza dei sooinervalli Δτ. Ques ampiezza deve essere scela sufficienemene piccola affinché sia il carico sia le funzioni rigonomeriche adoperae nell analisi siano ben definie, in modo da oenere un approssimazione sufficiene dal puno di visa ingegnerisico. Una regola praica spesso uilizzaa suggerisce di assumere Δτ < T 1 in cui T è il periodo naurale di vibrazione del sisema. A parià dell ampiezza degli inervalli, il meodo di Simpson è più accurao e risula preferibile rispeo agli alri, anche se consene di calcolare la risposa in corrispondenza di isani di empo più disanziai. Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 25