Teoria dei segnali terza edizione

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1 eoria dei segnali Capiolo 4 Sisemi monodimensionali a empo coninuo SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI Soluzione dell esercizio 4. Il segnale x () coniene le requenza = and = 7 / ( ) = 3.5 / quindi, disorsioni di ampiezza essendo H( ) = A, H( ) = A/4. Esso subisce, Non si hanno, invece, disorsioni di ase, in quano i valori della ase H( ) =, H( ) = 7 π /6 sono disposi lungo una rea che araversa l origine del rierimeno caresiano. Il segnale x () coniene le requenza = 5 / ( ) =.5 / and = 7 / ( ) = 3.5 / Esso subisce, quindi, disorsioni di ampiezza essendo H( ) = 3 A/4, H( ) = A/4. Non si hanno, invece, disorsioni di ase, in quano i valori della ase H( ) = 5 π /6, H( ) = 7π /6 sono disposi lungo una rea che araversa l origine del rierimeno caresiano. Il segnale x 3 () coniene le requenza = / ( ) =.5 / and = 3 / ( ) =.5 /. Esso non subisce, quindi, disorsioni di ampiezza essendo H( ) = A, H( ) = A Marco Luise Giorgio M. Viea, eoria dei segnali, 3 ed, 9 McGraw-Hill

2 eoria dei segnali Non si hanno, inolre, disorsioni di ase, in quano i valori della ase H( ) =, H( ) = sono disposi lungo una rea che araversa l origine del rierimeno caresiano. Soluzione dell esercizio 4.7 Il sisema in esame è rappresenao nella igura seguene. c () w () H ( ) x() z () z () H ( ) y () z () / / H ( ) cos(6 π/ ) w () c ( /4) La rasormaa di Fourier del segnale x() è daa da ( ) ( ) ( π ) X = rec cos In paricolare, è imporane noare che la rasormaa X ( ) è rigorosamene limiaa in banda, assumendo valori non nulli solano nell inervallo [ ( ), ( )]. Per comodià di calcolo, sruiamo la proprieà di linearià del sisema in esame per analizzare i due rami separaamene. Pariamo dal primo ramo. Uilizzando i risulai dell Esempio., possiamo scrivere che il coeiciene -esimo dello sviluppo in serie del segnale periodico c() è espresso dalla relazione Marco Luise Giorgio M. Viea, eoria dei segnali, 3 ed, 9 McGraw-Hill

3 eoria dei segnali C = sinc = C Uilizzando la relazione esisene ra serie di Fourier e rasormaa di Fourier, possiamo scrivere che + C( ) = Cδ = Inolre, in virù del eorema del prodoo, possiamo aermare che lo spero del segnale w () è espresso dalla relazione + W ( ) = X ( ) C( ) = C X = Essendo X ( ) limiao in banda, lo spero W ( ) del segnale w () è cosiuio da ininie repliche di X ( ), raslae in requenza e prive di sovrapposizioni. Inolre, poiché sia x() che c() sono segnali pari, w ( ) è ancora pari e W ( ) risula essere reale. Il risulao dell operazione di ilraggio di w ( ) (mediane il ilro caraerizzao dalla risposa in requenza ( )) può essere compreso acilmene procedendo per via H graica. Ciò permee di veriicare immediaamene che il ilro seleziona, nello spero di W ( ), la meà sinisra dell addendo CX 3 ( 3/ ) lungo il semiasse delle requenze posiive e la meà desra di C X ( ) = ( + ) 3 + 3/ CX 3 3/ lungo il semiasse delle requenze negaive; la sovrapposizione di quesi due conribui genera Z ( ). Quindi, la raslazione in requenza dovua all operazione di prodoo con os( 6π ) con la successiva operazione di ilraggio (ramie H( ) ) genera lo spero () ( ) = ( ) Y C X 3 c combinaa () () del segnale y, che rappresena il conribuo del ramo superiore al segnale y. Un procedimeno analogo può essere uilizzao per derivare il conribuo del ramo ineriore, al segnale y() y, da pare. E uile osservare che, in virù del eorema del riardo Marco Luise Giorgio M. Viea, eoria dei segnali, 3 ed, 9 McGraw-Hill

4 eoria dei segnali per i segnali periodici, i coeicieni della serie di Fourier del segnale c () = c( 4) sono espressi dalla relazione C π = Cexp jπ = C exp j = ( j) C 4 Come nel caso precedene, lo spero Z può essere ricavao graicamene. ( ) Eeuando poi la moliplicazione per cos( 6 ) che Dunque, possiamo scrivere che ( ) ( ) ( ) π ed il ilraggio con H, si ricava ( ) = ( ) ( ) Y C3X jsgn ( ) ( ) ( ) Y = Y + Y = C3X + jsgn Anirasormando ale relazione, si oiene che y() = C3 x() δ () π Si noi, inine, che queso risulao risula essere valido per ui i segnali in ingresso aveni un conenuo sperale rigorosamene limiao all inervallo [ ( ), ( )]. 3 Soluzione dell esercizio 4.8 x( ) Il segnale dove w ( ) è espresso dalla relazione () = () = ( ) w x y / y ( ) = exp( / ) rec Perano, w ( ) è un segnale periodico di periodo ed il coeiciene -esimo del suo sviluppo in serie di Fourier è dao da Marco Luise Giorgio M. Viea, eoria dei segnali, 3 ed, 9 McGraw-Hill

5 G. Bacci e F. Zuccardi Merli eoria dei segnali exp exp π W = j d exp( ) exp( ) = = + jπ + jπ Il ilro lascia passare solo la componene coninua e la prima armonica di per il eorema di Parseval, si ha che 4 Soluzione dell esercizio 4.4 Z P = W + W [ ] exp( ) = π La risposa in requenza del ilro è espressa dalla relazione H ( ) ed è rappresenaa nella igura seguene. = rec B 4B H( ) w ( ). Quindi, B B La nonlinearià, disorcendo il segnale x(), non può che inrodurre nel segnale di uscia y () delle componeni le cui requenze sono muliple di B. Il ilro, però, seleziona solano la componene coninua e la prima armonica di y (), in quano sono le sole armoniche che cadono nella sua banda passane. L andameno di y () è illusrao nella igura seguene. Marco Luise Giorgio M. Viea, eoria dei segnali, 3 ed, 9 McGraw-Hill

6 eoria dei segnali x() = B y() In queso caso la componene coninua Y è nulla in quano y( ) Inolre, essendo y( ) reale e pari, risula / π Y = y()cos d = B è un segnale alernaivo. e, quindi, dall analisi dell ulima igura si evince che /6 /3 / π 4π π π Y = cos d cos d ( ) cos d /6 /3 π 4π π = sin + + sin sin π 4π π /6 /3 / /6 /3 3 = + π 3 Marco Luise Giorgio M. Viea, eoria dei segnali, 3 ed, 9 McGraw-Hill

7 eoria dei segnali Segue che 3 Pz = H( B) Y = 4 + π 3 3 = + π 3 essendo H( B ) =. 5 Soluzione dell esercizio 4. La unzione di raserimeno del circuio è daa da () Cs RCs + β s + H s = = = R + RCs + β s + Cs RCs + β s s = = β s + s + β Perano, la risposa in requenza è daa da jπ H( ) = + jπ β Anirasormando H( ) si ricava la risposa impulsiva d h () = δ () u()exp d β = δ ( ) + exp u( ) 4β β Dunque, la risposa g () al gradino uniario è daa da Marco Luise Giorgio M. Viea, eoria dei segnali, 3 ed, 9 McGraw-Hill

8 eoria dei segnali L andameno di g () g () = h( α) dα = u() exp β è illusrao nella igura seguene. g () Marco Luise Giorgio M. Viea, eoria dei segnali, 3 ed, 9 McGraw-Hill