RAPPRESENTAZIONE COMPLESSA DEI SEGNALI Una sinusoide, o tono puro, è rappresentabile come: ( ) ( )

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1 RAPPRESENTAZIONE COMPLESSA DEI SEGNALI Una sinusoide, o ono puro, è rappresenabile ome: ( ( = Aos ω +α, ω = π o, per le ormule di Eulero, on somma di due asori: A j( j( ( ω + α ω + α = e + e { ( } Im π A A { ( } Re π L8/1

2 RAPPRESENTAZIONE COMPLESSA DEI SEGNALI (Con. Uilizzando la rappresenazione on esponenziali omplessi, ( ha due righe sperali (oeiieni di Fourier 1, 1 on: A + jα A jα 1 = e, 1 = e X ( Arg X ( { } A A α + + Viene sponaneo usare un solo asore e una sola requenza per X. rappresenare ( e ( α L8/

3 RAPPRESENTAZIONE COMPLESSA DEI SEGNALI (Con. Si osserva he: ( ω + α ( j o Re A e = e he (Trasormaa di Fourier on ( π + α j Fourier ω = π ( A e X ( ( ( X X U + = Si è eliminaa l armonia alla requenza negaiva ( segnale omplesso: la ui pare reale è (. A e j ( ω + α Quesa è la rappresenazione a asori di Seinmez. + reando il L8/3

4 GENERAZIONE DEL TONO SINUSOIDALE COMPLESSO ( = ( ω + α A os Shema oneuale Deremeno di 9 all argomeno ( ω α } Asin + I Q A ep j ( ω + α = + ( Shema realizzaivo ω = π Fase = α Osillaore Divisore Su vie Sasaore -9 I Q ( ( A ep j ω + α = + L8/4

5 GENERAZIONE DI SEGNALI COMPLESSI O ANALITICI * ( reale implia la simmeria hermiiana: X ( X ( =, ioè diviene rappresenaiva la porzione posiiva dello spero: X+ ( = X ( U( X+ = X + X sign = X + A ( ( ( ( ( ( sign ( = U ( 1 ( 1 ( + = F X+ = segnale analiio 1 Sign ( -1 L8/5

6 GENERAZIONE DI SEGNALI COMPLESSI O ANALITICI (Con. X ( X + ( ( ( ( X X U + = L8/6

7 SEGNALE ANALITICO IN FREQUENZA X+ ( = X ( + X ( sign( = X ( + A( A( = X ( sign( * Se X ( è hermiiano X ( = X (, allora ( anihermiiano: inai: * ( = ( A A A( = X ( sign( A( = X ( sign( A * ( = X * ( sign * ( ( = X ( sign( = ( A A a ui orrisponde un segnale a( F A( immaginario. A è uno spero 1 { } = puramene L8/7

8 SEGNALE ANALITICO IN FREQUENZA Conviene onsiderare il segnale ˆ( ja( ˆX ( = ja( Se si deinise il ilro di Hilber ome: = he ha spero: j > HH ( = j sign( = + j < essendo A( = X ( sign(, si oiene: ( = ( ( A j H X H ( ( ( ( j A = j j H X H ( = ( ( Xˆ H X H L8/8

9 SEGNALE ANALITICO NEL TEMPO Trasormaa di Hilber: 1 ( ( ( ( ˆ = ja = jf X sign = 1 ( ( ( ( = F HH X = hh = = Trasormaa di Hilber di ( 1 ( ( + = F X+ 1 ( = ( + ( ( + F X sign 1 ( ( ( = + F sign ( ( ˆ ( + = + j = Segnale analiio L8/9

10 ( FILTRO DI HILBERT Filro di Hilber h H ( I Q } ˆ = h ( ( ( H + ( Segnale Analiio j > HH ( = j sign( = + j < Arg ( H ( +9 H H H ( e α - 9 Esempio: segnale analiio del oseno: os ( π = sin ( π L8/1

11 RISPOSTA IMPULSIVA DEL FILTRO DI HILBERT Per rendere H H ( Fourier-rasormabile la si moliplia per ep( α, on α>, suessivamene si valua il limie per α Si oiene: H j = α π H = α jπ α jπ ( ( h H e e d = j e e d j e e d = + ( α+ jπ ( α+ jπ e e j j = j j = = jπ + α jπ α jπ+ α jπ α α + jπ + α + jπ 1 1 = j = = 4π α 4π α 1 α α π + π + 4π 4π 4π 1 Risposa impulsiva ideale del ilro di Hilber: hh ( π L8/11

12 RISPOSTA IMPULSIVA DEL FILTRO DI HILBERT (Con. h ( H 1 1 Ideale Reale 1 1 ˆ ( = ( θ dθ π θ Si dimosra he l inversa è: 1 1 ˆ ( θ ( = ˆ ( = dθ π π θ L8/1

13 Dao il segnale reale ( SEGNALI A BANDA STRETTA in banda base (banda B X ( X ma ϕ ( B B + Prodoo per os ( π, on >> B ( = ( ( π os L8/13

14 SEGNALI A BANDA STRETTA (Con. ( = ( ( π os X ( X ma + 1 X X X ( = ( + ( + L8/14

15 Spero del segnale analiio di un segnale a banda srea ( ( ( X X U + = X + ( X ma + Nel empo: segnale analiio omplesso jπ ( ( ( os( π ( sin ( π + = e = + j L8/15

16 Se un segnale ( SEGNALI A BANDA STRETTA (Con. ha banda B << (ioè della propria requenza enrale si può esrarne il onenuo inormaivo on una rivelazione oerene rispeo a sela a piaere in [, ]. 1 X ( B Si onsidera X ( + e poi ( = ( + Z X+ B L8/16

17 SEGNALI A BANDA STRETTA (Con. Z ( 1 B L anirasormaa di Fourier di Z ( è l inviluppo omplesso z (. L8/17

18 ovvero INVILUPPO COMPLESSO ( ( ( ( Z = X + z = e + + ( ( = z e + jπ jπ z ( è un segnale omplesso in banda base ( = ( ( z j ( ( s ( z A e j ϕ = NB: A( os ϕ ( = ( ; A( sinϕ ( = ( j π ϕ( + ( = A( e = A( os π ϕ( + ja( sin π ϕ( s L8/18

19 INVILUPPO COMPLESSO (Con. s ( ( A ( A ϕ ( Inviluppo omplesso ( Segnale in banda base ( Segnale modulao (in ampiezza L8/19

20 L essere B os π. INVILUPPO COMPLESSO (Con. << rende le variazioni di A( e di ( di quelle di ( ϕ molo più lene La onosenza di z ( (he equivale a ( e s (, oppure ( ϕ ( e di permee di riosruire ( : ( ( ( π ϕ ( = Re + = A os = ( os( π ( sin ( π = + s A e NB: ( os ϕ ( = ( ; ( sinϕ ( = ( A A s L8/

21 DALL INVILUPPO COMPLESSO AL SEGNALE ( ( π os (( os ( ( π ( ( s ( s ( sin ( π ( ( π sin s ( = ( ( π + ( ( π os sin s L8/1

22 RICOSTRUZIONE DELL INVILUPPO COMPLESSO os ( π 1 ( 1 ( LPF ( ( ( ( s ( sin ( π ( LPF s ( L8/

23 RICOSTRUZIONE DELL INVILUPPO COMPLESSO ( = ( ( π = ( os ( π s( sin( π os( π ( ( os( 4π ( sin( 4π os 1 = + = = + + s ( = ( ( π = ( ( π ( π s( ( π ( ( π ( ( ( π sin = os sin + sin = = sin 4 + os 4 s s L8/3

24 Eeo Doppler Se varia (per eeo Doppler la requenza media di (, varia la posizione dello spero di z ( aorno all origine. Z ( D 1 Z B ( L8/4