SEGNALI E SISTEMI Proff. L. Finesso, M. Pavon e S. Pinzoni (a.a ) Homework assignment #2 Testo e Soluzione

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1 SEGNALI E SISTEMI Proff. L. Finesso, M. Pavon e S. Pinzoni (a.a ) Homework assignment # Testo e Soluzione Esercizio Si consideri l equazione differenziale ordinaria, lineare a coefficienti costanti y (3) (t) y () (t) = x(t), t R. a. Calcolare la soluzione y(t), se x(t) 0 e y(0) =, y () (0) =, y () (0) = 0. b. Determinare la risposta impulsiva causale h(t) associata all equazione. Svolgimento. a. È richiesto il calcolo della risposta libera y l(t), soluzione dell equazione differenziale omogenea a k y (k) (t) = y (3) (t) y () (t) = 0, t R, con condizioni iniziali y (k) (t 0 ) = y 0k, k = 0,..., n, cioè y(0) = y 00 =, y () (0) = y 0 =, y () (0) = y 0 = 0, con n = 3 e t 0 = 0. L equazione caratteristica si scrive per ispezione dei coefficienti a k e risulta a k s k = s 3 s = 0, con radici semplici p 0 = 0, p, = ±. I modi sono quindi ϕ 0 (t) = e p 0t, ϕ (t) = e p t = e t e ϕ (t) = e p t = e t. Di essi è combinazione lineare la soluzione y l (t) = α + βe t + γe t, con coefficienti α, β e γ che si trovano imponendo le condizioni prescritte in t = t 0 = 0. Calcoliamo dunque: y(t) = α + βe t + γe t, y(0) = α + β + γ =, y () (t) = βe t γe t, y () (0) = β γ =, y () (t) = βe t + γe t, y () (0) = β + γ = 0. Si ricavano α =, β =, γ =, da cui la soluzione y l (t) = e t + e t, t R. b. Sappiamo che all equazione differenziale non omogenea è associata una (unica!) risposta impulsiva causale h(t), soluzione dell equazione m a k h (k) (t) = h (3) (t) h () (t) = δ(t) = b k δ (k) (t), t R, con il vincolo h(t) = 0 per t < 0. Abbiamo per altro osservato a lezione che, per t > 0, h(t) risolve l equazione differenziale omogenea ed è quindi combinazione lineare dei modi. Inoltre, essendo n = 3 > 0 = m, non ci sono componenti impulsive in t = 0 e quindi h(t) = n d k ϕ k (t) u(t) = d 0 + d e t + d e t u(t), t R, dove i coefficienti d k si trovano per bilanciamento degli impulsi. Calcoliamo dunque: h () (t) = d e t d e t u(t) + d 0 + d + d δ(t), h () (t) = d e t + d e t u(t) + d d δ(t) + d 0 + d + d δ () (t), h (3) (t) = d e t d e t u(t) + d + d δ(t) + d d δ () (t) + d 0 + d + d δ () (t),

2 dove abbiamo usato l accortezza di sostituire termini del tipo f(t) δ(t) con f(0) δ(t) prima delle derivazioni successive, per non dover manipolare termini del tipo f(t) δ () (t). Ora, eguagliando i due membri dell equazione, h (3) (t) h () (t) = d 0 δ(t) + d d δ () (t) + d 0 + d + d δ () (t) = δ(t), otteniamo le n = 3 equazioni lineari nei coefficienti incogniti da cui d 0 =, d = d =, e quindi d 0 =, d d = 0, d 0 + d + d = 0, h(t) = + (et + e t ) u(t) = sinh t u(t), t R. Esercizio Calcolare la trasformata di Fourier dei segnali a tempo continuo: a. x (t) = cos 3t + δ(t 3) + δ(t + 3); b. x (t) = rect( t ) u(t ). Svolgimento. a. Dalle tabelle e/o dagli esempi svolti in classe, ricordando la formula di Eulero per il coseno, si ottiene direttamente X (j) = π δ( 3) + π δ( + 3) + e j3 + e j3 = π δ( 3) + δ( + 3) + cos 3. b. Definiamo x 3 (t) = rect( t ), x (t) = u(t ) e calcoliamo le trasformate X 3 (j) = sen, X (j) = e j j + πδ(), per la seconda delle quali abbiamo usato la proprietà di traslazione temporale. Ora, dal teorema di convoluzione e dalle proprietà della delta segue X (j) = X 3 (j)x (j) = sen = sen cos j sen j = 8 sinc π e j j + πδ() + π δ() + π δ() + j sinc π. Esercizio 3 Determinare i segnali a tempo continuo che corrispondono alle seguenti trasformate:, se 0 < <, a. X (j) =, se < <, 0, altrimenti; ( ) k ( b. X (j) = δ k π ).

3 Svolgimento. a. Scrivendo X (j) = rect 3 rect e applicando la proprietà di traslazione in frequenza, otteniamo x (t) = (e jt e j3t ) F rect (t) = je jt sen t sen t = je jt sen t. b. Si riconosce in X (j) la trasformata di un segnale periodico di pulsazione 0 = π e ( ) k periodo T = π 0 = 8, con coefficienti di Fourier {a k = π, k Z} l. Pertanto x (t) è un segnale di potenza finita, rappresentabile (in media quadratica) mediante la serie di Fourier x (t) = π ( ) k e jk π t, t R. D altra parte, il segnale x (t), reale e pari come la sua trasformata, si può rappresentare anche con la serie reale di soli coseni x (t) = ( k ( + π ) e jk π t + e jk π t) = π + ( ) k cos k π t, t R. π k= Si noti che la potenza P (x ) si può calcolare, grazie al teorema di Parseval, come P (x ) = T T x (t) dt = a k = k= ( ) k π = π ( ) k = 5 π. Esercizio Si consideri l equazione alle differenze, lineare a coefficienti costanti y(n) y(n 3) = x(n ), n Z. a. Trovare l insieme Y 0 delle soluzioni reali dell equazione omogenea associata. b. Calcolare la risposta in frequenza associata all equazione. Svolgimento. a. L equazione caratteristica si scrive per ispezione dei coefficienti a k dell equazione N omogenea a k y(n k) = y(n) y(n 3) = 0, n Z, e risulta z N N a k z k = z 3 ( z 3 ) = z 3 = 0, con radici semplici le N = 3 radici dell unità: λ k = e jk π 3, k = 0,,. I modi (complessi) sono quindi le sequenze periodiche ϕ 0 (n) = λ n 0, ϕ (n) = λ n = e j π 3 n e ϕ (n) = λ n = e j π 3 n = ϕ (n). Pertanto, le soluzioni reali dell equazione omogenea sono le combinazioni lineari y 0 (n) = c 0 + c e j π 3 n + c e j π 3 n, n Z, con c 0 R e c = c. In alternativa, si possono considerare i modi reali ψ 0 (n) = ϕ 0 (n), ψ (n) = Re ϕ (n) = cos π 3 n e ψ (n) = Im ϕ (n) = sen π 3 n, di cui gli elementi dell insieme Y 0 sono combinazioni lineari a coefficienti reali: y 0 Y 0 y 0 (n) = α + β cos π n + γ sen π n, n Z, 3 3 con α = c 0, β = Re c e γ = Im c.

4 È opportuno notare che le sequenze {ϕ k (n), k = 0,, } costituiscono una base per lo spazio vettoriale (complesso) dei segnali periodici di periodo N = 3, dato che l equazione omogenea y(n) y(n N) = 0, n Z, esprime proprio la condizione di N-periodicità a tempo discreto. Analogamente, {ψ k (n), k = 0,, } è una base per lo spazio vettoriale (reale) dei segnali periodici reali dello stesso periodo. b. È stato mostrato a lezione che la risposta in frequenza associata all equazione alle N M differenze a k y(n k) = b k x(n k), n Z, si scrive per ispezione dei coefficienti come H(e jθ ) = k b k e jkθ jkθ. Perciò, nel nostro caso, k a k e H(e jθ ) = e jθ e j3θ. Si noti però che la risposta in frequenza è definita per tutti i valori di θ, ad esclusione di quelli corrispondenti ai poli della funzione razionale H(z) sulla circonferenza di raggio unitario T := {z : z = }, cioè T = {z : z = e jθ }. Per noi, dunque, θ k π, k Z. In effetti, questa 3 H(e jθ ) non è la risposta in frequenza di un sistema LTI e BIBO-stabile. Esercizio 5 a. Per determinare il segnale a tempo discreto y = h x, dove h(n) = x(n) = n u(n): calcolare H(e jθ ) = X(e jθ ), trovare Y (e jθ ) e antitrasformare. b. Calcolare il segnale a tempo discreto di cui X(e jθ ) = 3 3e jθ sen θ è la trasformata. Svolgimento. a. Sommando, otteniamo e, peril teorema di convoluzione, H(e jθ ) = X(e jθ ) = n e jθn = n=0 e jθ Y (e jθ ) = H(e jθ )X(e jθ ) = ( e jθ ). Dalle tabelle o applicando le proprietà di derivazione in frequenza e traslazione nel tempo, ricaviamo infine y(n) = (n + ) n u(n), n Z. b. Scrivendo X(e jθ ) = = e jθ 3 e jθ e jθ e jθ j e jθ 3 e jθ + ej8θ + e j8θ, dalle tabelle e dalla proprietà di traslazione nel tempo, otteniamo ( ) n x(n) = u(n ) + δ(n + 8) δ(n) + δ(n 8), n Z. 3 Esercizio 6 Un sistema a tempo continuo LTI, di risposta impulsiva h(t) = sen t,

5 è sollecitato dall ingresso x(t) = u(t + ) u(t ). Determinare i periodi di campionamento T che permettono la ricostruzione esatta del segnale di uscita y(t), a partire dai campioni {y(kt ); k Z}, mediante un filtro passa-basso ideale. Svolgimento. La risposta in frequenza del sistema è H(j) = rect 8 = {, se, 0, se >, mentre l ingresso x(t) = u(t + ) u(t ) = rect t X(j) = sen. ha trasformata Per il teorema di convoluzione, la trasformata dell uscita y(t) = h(t) x(t) è quindi { sen, se, Y (j) = H(j)X(j) = 0, se >. In particolare, Y (j) risulta nulla per >, cioè y(t) è un segnale a banda rigorosamente limitata con pulsazione di banda M = πb =. Per il teorema del campionamento, dai campioni {y(kt ); k Z} è dunque possibile ricostruire il segnale y(t) mediante un filtro passabasso ideale, se e solo se la pulsazione s > M = 8, cioè il periodo di campionamento T = π s < π M = π.