Formule di Teoria dei Segnali

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1 Formule di trigonometria Formule di eoria dei Segnali L.Verdoliva cos(α + β = cos α cos β sin α sin β sin(α + β = sin α cos β + sin β cos α cos α = + cos α sin α = cos α sin α = sin α cos α cos α = cos α sin α = cos α = sin α cos α cos β = [cos(α β + cos(α + β] sin α sin β = [cos(α β cos(α + β] sin α cos β = [sin(α + β + sin(α β] Formule di Eulero cos α = ejα + e jα sin α = ejα e jα j e jα = cos α + j sin α Proprietà δ(t e δ(n t t x(t δ(t dt = x(0 0 (t, t 0 altrimenti n = 0 δ(n = 0 altrimenti + δ(t dt = δ(n k = + x(tδ(t t 0 dt = x(t 0 n= x(nδ(n n 0 = x(n 0 x(t δ(t t 0 = x(t 0 δ(t t 0 x(n δ(n n 0 = x(n 0 δ(n n 0 δ(t = δ( t δ(n = δ( n + x(αδ(t α dα = x(t δ(t = x(t x(kδ(n k = x(n δ(n = x(n t du(t δ(τ dτ = u(t δ(t = dt n δ(k = u(n δ(n = u(n u(n

2 Formule di utilità α n = α α < α n α M α N+ = α α N M + α = n=m Media temporale per segnali aperiodici ( e per segnali periodici ( / ( < x(t > = lim x(t dt < x(n > = lim / N N + ( < x(t > = 0 0 / 0 / x(t dt < x(n > = 0 x(n x(n a Invarianza temporale y(t = x(t t 0 = < y(t >=< x(t > y(n = x(n n 0 = < y(n >=< x(n > b Linearità z( = a x( + b y( = < z( >= a < x( > +b < y( > Potenza per segnali aperiodici ( e per segnali periodici ( ed Energia (3 / ( P x = lim x(t dt P x = lim / N N + ( P x = 0 0 / (3 E x = + 0 / x(t dt P x = 0 x(t dt E x = n= x(n x(n x(n Potenza ed Energia mutua / P xy = lim x(t y (t dt P xy = lim / N N + E xy = + x(t y (t dt E xy = n= x(n y (n x(n y (n

3 a Invarianza temporale y(t = x(t t 0 = P y = P x e E y = E x y(n = x(n n 0 = P y = P x e E y = E x b Non Linearità z( = x( + y( = P z = P x + P y + Re[P xy ] = E z = E x + E y + Re[E xy ] Funzione di autocorrelazione per segnali di potenza aperiodici ( e periodici ( e per segnali di energia (3 / ( R x (τ = lim x(t x (t τ dt R x (m = lim / N N + ( R x (τ = 0 0 / (3 R x (τ = + 0 / x(t x (t τ dt R x (m = 0 x(t x (t τ dt R x (m = n= x(n x (n m x(n x (n m x(n x (n m Funzione di mutua correlazione per segnali di potenza ( e per segnali di energia ( / ( R xy (τ = lim x(t y (t τ dt R xy (m = lim / N N + ( R xy (τ = + x(t y (t τ dt R xy (m = E a Valore nell origine R x (0 = x R xy (0 = P x n= b Simmetria coniugata R x ( = Rx( ( R xy ( = R yx( ( Ex E c Limitatezza R x ( R x (0 R xy ( y Px P y E xy P xy x(n y (n m x(n y (n m Sistemi LI nel dominio del tempo y(t = + x(α h(t α dα y(n = = x(t h(t = x(n h(n x(k h(n k 3

4 a Proprietà commutativa x( h( = h( x( b Proprietà distributiva x( [h ( + h ( ] = x( h ( + x( h ( c Proprietà associativa x( [h ( h ( ] = [x( h ( ] h ( d Proprietà associativa mista a[x( h( ] = [ax( ] h( = x( [ah( ] e Invarianza temporale x(t t h(t t = y(t (t + t x(n n h(n n = y(n (n + n Sistema non dispersivo h( = kδ( Sistema causale h(t = 0 per t < 0 h(n = 0 per n < 0 Sistema stabile Serie di Fourier + h(t dt < n= h(n < Sintesi x(t = Analisi X k = 0 0 / X k e jπkf 0t 0 / x( reale X k = X k x(n = 0 k=0 x(t e jπkf0t dt X k = 0 X k = X k X k = X k X k e jπkν 0n x(n e jπkν 0n Linearità z( = ax( + by( Z k = ax k + by k raslazione temporale y(t = x(t t 0 Y k = X k e jπkf 0t 0 y(n = x(n n 0 Y k = X k e jπkν 0n 0 3 Riflessione y( = x( Y k = X k 4 Derivazione y(t = dx(t dt Y k = jπkf 0 X k 5 Differenza prima y(n = x(n x(n Y k = ( e jπkν 0 X k 6 Relazione di Parseval 0 0 x(t dt = X k < > x(n = k=< > X k 4

5 rasformata di Fourier Sintesi x(t = Analisi X(f = + + x( reale X( ( = X ( X(f e jπft df x(n = x(t e jπft dt X(ν = / / n= X( ( = X( X( ( = X( X(ν e jπνn dν x(n e jπνn Linearità a x ( + a x ( a X ( + a X ( Riflessione x( ( X( ( 3 Cambiamento di scala x(at ( a X f a 4 Espansione x [ ] n M X(M ν 5 Decimazione x(mn M 6 Convoluzione x( y( X( Y ( M k=0 X ( ν k M 7 Prodotto x(ty(t X(f Y (f x(ny(n X(ν Y (ν = X(uY (ν u du 8 Derivazione d.d.t d k x(t dt k (jπf k X(f 9 Differenza prima x(n x(n ( e jπν X(ν 0 Derivazione d.d.f t k x(t ( j k d k X(f π df k Integrazione Somma corrente t X(f x(α dα jπf + X(0δ(f n x(k X(ν e jπν + X(0 δ(ν 3 raslazione d.d.t x(t t 0 X(f e jπft 0 x(n n 0 X(ν e jπνn 0 4 raslazione d.d.f x(t e jπf 0t X(f f 0 x(n e jπν 0n X(ν ν 0 5

6 5 Modulazione x(t cos(πf 0 t + θ X(f f 0e jθ + X(f + f 0e jθ 6 Campionamento d.d.f 7 Campionamento d.d.t x(t cos(πν 0 n + θ X(ν ν 0e jθ + X(ν + ν 0e jθ n= x(t n X ( k x(n kn N k=0 N X ( k N ( δ f k ( δ f k N n= x(n δ(t n X ( f k x(knδ(n kn N k=0 N X ( f k N 8 Valore nell origine X(0 = + x(t dt x(0 = + X(f df 9 Relazione di Parseval X(0 = n= x(n x(0 = +/ X(ν dν / + x(t dt = + X(f df n= x(n = +/ / X(ν dν rasformate notevoli (segnali tempo continuo Impulso rettangolare A rect ( t Impulso triangolare A Λ ( t A sinc(f A sinc (f 3 Esponenziale monolatero A e t/ u(t A +jπf t n (n! e α/ u(t (α+jπf n 4 Esponenziale bilatero A e t / +(πf 5 Funzione sinc A sinc(bt A B rect ( f B 6 Impulso ideale δ(t 7 Segnale costante A A δ(f 8 Gradino unitario u(t jπf + δ(f 9 Funzione signum sign(t jπf 0 Fasore A e jπf 0t A δ(f f 0 6

7 Segnale coseno A cos(πf 0 t A δ(f f 0 + A δ(f + f 0 Segnale seno A sin(πf 0 t A j δ(f f 0 A j δ(f + f 0 3 reno di impulsi n= δ(t n δ ( f k rasformate notevoli (segnali tempo discreto Impulso rettangolare A R N (n sin(πνn sin(πν e j(n πν Impulso triangolare B N (n sin (πνn N sin (πν e jπnν 3 Esponenziale monolatero a n u(n ae jπν 4 Esponenziale bilatero a n a a cos(πν+a 5 Funzione sinc ν c sinc(ν c n rep [rect ( ν ν c ] 6 Funzione sinc ν c sinc (ν c n rep [Λ ( ν ν c ] 7 Impulso ideale δ(n 8 Segnale costante A A δ(ν 8 Gradino unitario u(n e jπν 9 Funzione signum sign(n e jπν 0 Fasore A e jπν 0n A δ(ν ν 0 + δ(ν Segnale coseno A cos(πν 0 n A δ(ν ν 0 + A δ(ν + ν 0 Segnale seno A sin(πν 0 n A j δ(ν ν 0 A j δ(ν + ν 0 3 reno di impulsi δ(n kn N δ ( ν k N Densità spettrale per segnali di potenza aperiodici ( e periodici ( e segnali di energia (3 ( S x (f = lim X (f ( S x (f = + X k δ (f k (3 S 0 x (f = X(f 7