TRASFORMATA DI FOURIER

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1 C A P I T O L O 9 TRASFORMATA DI FOURIER 9. INTRODUZIONE La serie di Fourier permette di rappresentare una funzione periodica come somma di sinusoidi, e di ottenere lo spettro della funzione dalla serie. La trasformata di Fourier consente di estendere il concetto di spettro alle funzioni non periodiche. La trasformata considera una funzione non periodica come se fosse periodica di periodo infinito. La trasformata di Fourier è quindi una rappresentazione integrale di una funzione non periodica analoga alla rappresentazione in serie di Fourier per una funzione periodica. La trasformata di Fourier è una trasformazione integrale, come la trasformata di Laplace, che trasforma una funzione nel dominio del tempo in una nel dominio delle frequenze. La trasformata di Fourier si rivela di estrema utilità nei sistemi di telecomunicazione e nella elaborazione digitale dei segnali, in situazioni nelle quali la trasformata di Laplace non risulta applicabile. Mentre la trasformata di Laplace può trattare soltanto circuiti i cui ingressi sono diversi da zero per t >, con eventuali condizioni iniziali, la trasformata di Fourier consente l analisi di circuiti con ingressi non nulli per t < oltre che per t >. La serie di Fourier verrà utilizzata come punto di partenza nella definizione della trasformata di Fourier. Vengono presentate poi alcune delle più importanti proprietà della trasformata di Fourier. Si applica poi la trasformata alla analisi dei circuiti. Infine, vengono trattati il teorema di Parseval e il confronto fra le trasformate di Fourier e di Laplace, e si mostra come la trasformata di Fourier trova applicazione nella modulazione di ampiezza e nel campionamento. 9. DEFINIZIONE DI TRASFORMATA DI FOURIER Nel capitolo precedente si è visto che una funzione periodica non sinusoidale può essere rappresentata mediante una serie di Fourier se soddisfa le condizioni di Dirichlet. Ma cosa accade quando la funzione non è periodica? Esistono molte funzioni importanti per le applicazioni che non sono periodiche per esempio il gradino unitario o la funzione esponenziale e che quindi non possono essere rappresentate come serie di Fourier. Come si vedrà, la trasformata di Fourier consente la trasformazione di una funzione dal dominio del tempo a quello delle frequenze anche se la funzione non è periodica. Si supponga di voler calcolare la trasformata di Fourier di una funzione non periodica pðtþ, mostrata in Figura 9.(a). Si considera allora una funzione periodica f ðtþ la cui forma su un periodo coincida con pðtþ, come mostrato in Figura 9.(b). Se si fa in modo che il periodo T!, rimane soltanto un singolo impulso rettangolare di lar- Figura 9. (a) Funzione non periodica, (b) facendo tendere T all infinito, f ðtþ diventa la funzione non periodica in (a). Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

2 Capitolo 9 Trasformata di Fourier ghezza [la funzione non periodica desiderata di Figura 9.(a)], in quanto gli impulsi adiacenti si sono spostati verso l infinito. La funzione f ðtþ non è quindi più periodica. In altre parole, f ðtþ ¼pðtÞ quando T!. Si consideri ora lo spettro di f ðtþ per A ¼ e ¼ : (si veda il Paragrafo 7.6). La Figura 9. mostra l effetto sullo spettro dell aumento del periodo T. Si nota, innanzitutto, che la forma generale dello spettro rimane la stessa, e la frequenza alla quale per la prima volta l inviluppo si annulla resta la stessa. Al contrario, l ampiezza dello spettro e la distanza tra le componenti adiacenti diminuiscono entrambe, mentre aumenta il numero di armoniche. Nel complesso, in un dato intervallo di frequenze, la somma delle ampiezze delle armoniche rimane praticamente quasi costante. Poiché la forza, o energia totale, delle componenti all interno di una banda di frequenza deve rimanere invariata, le ampiezze delle armoniche devono diminuire al crescere di T. Essendo poi f ¼ =T, all aumentare di T, f (o!) diminuisce, e lo spettro discreto tende a diventare continuo. Figura 9. Effetto dell aumento di T sullo spettro del treno di impulsi periodico di Figura 9.(b). (Source: L. Balmer, Signals and Systems: An Introduction [London: Prentice-Hall, 99], p. 9.) Per meglio comprendere il legame tra una funzione non periodica e la sua controparte periodica, si consideri la forma esponenziale della serie di Fourier della (7.58), f ðtþ ¼ X n¼ c n e jn! t ð9:þ dove La frequenza fondamentale è c n ¼ T Z T= T=! ¼ T f ðtþe jn! t dt ð9:þ ð9:3þ e la distanza fra armoniche adiacenti! ¼ðn þ Þ! n! ¼! ¼ T ð9:4þ Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

3 Sostituendo la (9.) nella (9.) si ottiene " Z # f ðtþ ¼ X T= f ðtþe jn! t dt T n¼ T= " Z # ¼ X! T= f ðtþe jn! t dt n¼ T= " ¼ X Z # T= f ðtþe jn! t dt n¼ T= e jn! t e jn! t!e jn! t ð9:5þ Se si fa il limite per T!, la sommatoria diventa una integrazione, la spaziatura incrementale! diventa una distanza differenziale d!, e le frequenze armoniche discrete n! diventano una frequenza continua!: e la (9.5) diventa f ðtþ ¼ X n¼ ¼)! ¼) d! n! ¼)! 9. Definizione di trasformata di Fourier 3 f ðtþe j!t dt e j!t d! ð9:6þ ð9:7þ Il termine tra parentesi quadre è detto trasformata di Fourier di f ðtþ e si indica con Fð!Þ. Fð!Þ ¼F½f ðtþš ¼ f ðtþe j!t dt ð9:8þ in cui F indica l operatore di trasformazione secondo Fourier. Dalla (9.8) risulta evidente che: La trasformata di Fourier è una trasformazione integrale di f(t) dal dominio del tempo al dominio delle frequenze. Fð!Þ è, in generale, una funzione complessa; il suo modulo è detto spettro di ampiezza, e la sua fase spettro di fase. Fð!Þ è complessivamente detta spettro. La (9.7) può essere scritta in termini di Fð!Þ, ottenendo così laantitrasformata di Fourier. f ðtþ ¼F ½Fð!ÞŠ ¼ Fð!Þe j!t d! ð9:9þ La funzione f ðtþ e la sua trasformata Fð!Þ risultano in corrispondenza: f ðtþ () Fð!Þ ð9:þ perché una di esse può essere ottenuta dall altra. La trasformata di Fourier Fð!Þ esiste quando l integrale di Fourier nella (9.8) converge. Una condizione sufficiente ma non necessaria perché f ðtþ abbia una trasformata di Fourier è che essa sia completamente integrabile, nel senso che j f ðtþj dt < ð9:þ Alcuni autori usano F(j!) invece di F(!) per rappresentare la trasformata di Fourier. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

4 4 Capitolo 9 Trasformata di Fourier Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione rampa unitaria tuðtþ non esiste, perché la funzione non soddisfa alla condizione appena vista. Per evitare di manipolare quantità immaginarie, a volte risulta comodo sostituire temporaneamente j! con s, e risostituire s con j! a calcolo ultimato. Esempio 9. Calcolare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni: (a) ðt t Þ,(b)e j!t, (c) cos! t. Soluzione: (a) Per la funzione impulso, Fð!Þ ¼F½ðt t ÞŠ ¼ ðt t Þe j!t dt ¼ e j!t ð9::þ in cui è stata applicata la proprietà di selezione dell impulso della (7.3). Per il caso particolare t ¼, si ottiene F½ðtÞŠ ¼ ð9::þ Questa equazione mostra che il modulo dello spettro della funzione impulso è costante, cioè che tutte le frequenze sono egualmente rappresentate nella funzione impulso. (b) È possibile ricavare la trasformata di Fourier di e j!t in due modi. Se si pone Fð!Þ ¼ð!! Þ allora si può calcolare f ðtþ usando la (9.9), scrivendo f ðtþ ¼ ð!! Þe j!t d! Usando la proprietà di selezione della funzione impulso si ottiene f ðtþ ¼ e j!t Poiché Fð!Þ e f ðtþ sono corrispondenti secondo la trasformata di Fourier, altrettanto deve valere per ð!! Þ e e j!t, In alternativa, dalla (9..), F½e j!t Š¼ð!! Þ ðtþ ¼F ½Š Con la formula della antitrasformata di Fourier (9.9), cioè Scambiando le variabili t e! si ottiene ðtþ ¼F ½Š ¼ e j!t d! ¼ ðtþ e j!t dt ¼ ð!þ e j!t d! Grazie a questo risultato, la trasformata di Fourier della funzione data è F½e j!t Š¼ e j!t e j!t dt ¼ Poiché l impulso è una funzione pari, con ð!!þ ¼ð!! Þ, e jð!!þt dt ¼ ð!!þ ð9::3þ ð9::4þ ð9::5þ F½e j!t Š¼ð!! Þ Cambiando semplicemente segno a!, si ottiene subito F½e j!t Š¼ð! þ! Þ Inoltre, ponendo! ¼, F½Š ¼ð!Þ ð9::6þ ð9::7þ ð9::8þ Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

5 9. Definizione di trasformata di Fourier 5 (c) Utilizzando il risultato delle (9..6) e (9..7), F½cos! tš¼f e j!t þ e j!t ¼ F½e j!t Šþ F½e j!t Š ð9::9þ ¼ð!! Þþð! þ! Þ La trasformata di Fourier di un segnale coseno è mostrata in Figura 9.3. Figura 9.3 Trasformata di Fourier di f ðtþ ¼cos! t. n Esercizio 9. Calcolare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) impulso rettangolare gðtþ ¼uðt Þ uðt Þ, (b)4ðt þ Þ,(c) sin! t. Risposta (a) ðe j! e j! Þ=j!; (b) 4e j!, (c)j½ð! þ! Þ ð!! ÞŠ. n Esempio 9. Determinare la trasformata di Fourier di un impulso rettangolare singolo di larghezza e altezza A, mostrato in Figura 9.4. Soluzione: Fð!Þ ¼ ¼ A Z = = Ae j!t dt ¼ A sin!=!= = j! e j!t ¼ A sinc! =¼ A! Se si pone A ¼ e ¼ come in Figura 7.7 (Paragrafo 7.6), allora Fð!Þ ¼ sinc! e j!= e j!= il cui spettro di ampiezza è mostrato in Figura 9.5. Confrontando la Figura 9.5 con lo spettro degli impulsi rettangolari in Figura 7.8, si nota che lo spettro di Figura 7.8 è discreto, e che il suo inviluppo ha la stessa forma della trasformata di Fourier dell impulso rettangolare singolo. j Figura 9.4 Impulso rettangolare; per l Esempio 9.. Figura 9.5 Spettro di ampiezza dell impulso rettangolare in Figura 9.4; per l Esempio 9.. n Esercizio 9. Ottenere la trasformata di Fourier della funzione in Figura 9.6. Figura 8.6 Per l Esercizio 9.. Risposta ð cos! Þ. n j! Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

6 6 Capitolo 9 Trasformata di Fourier Esempio 9.3 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione esponenziale attivata mostrata in Figura 9.7. Soluzione: Dalla Figura 9.7, f ðtþ ¼e at uðtþ ¼ e at, t >, t < Figura 9.7 Per l Esempio 9.3. Perciò, Fð!Þ ¼ f ðtþe j!t dt ¼ ¼ a þ j! e ðaþj!þt ¼ a þ j! e at e j!t dt ¼ e ðaþj!þt dt n Esercizio 9.3 Determinare la trasformata di Fourier della funzione esponenziale disattivata mostrata in Figura 9.8. Risposta a j!. n Figura 9.8 Per l Esercizio PROPRIETÀ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER Vengono ora presentate alcune proprietà della trasformata di Fourier che si rivelano utili nel calcolo delle trasformate di funzioni complicate a partire dalle trasformate di funzioni elementari. Ciascuna proprietà verrà enunciata, dimostrata e poi illustrata con esempi. Linearità Se F ð!þ e F ð!þ sono le trasformate di Fourier di f ðtþ e f ðtþ rispettivamente, allora F½a f ðtþþa f ðtþš ¼ a F ð!þþa F ð!þ ð9:þ dove a e a sono costanti. Questa proprietà afferma semplicemente che la trasformata di Fourier di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare delle trasformate delle singole funzioni. La dimostrazione della proprietà di linearità (9.) è immediata. Per la definizione di trasformata di Fourier F½a f ðtþþa f ðtþš ¼ ¼ ½a f ðtþþa f ðtþše j!t dt a f ðtþe j!t dt þ a f ðtþe j!t dt ¼ a F ð!þþa F ð!þ ð9:3þ Per esempio, è noto dall identità di Eulero che sin! t ¼ j ðe j! t e j! t Þ. Usando la proprietà di linearità, Scaling nel tempo Se Fð!Þ ¼F½f ðtþš, allora F½sin! tš¼ j ½Fðe j! t Þ Fðe j! t ÞŠ ¼ j ½ð!! Þ ð! þ! ÞŠ F½f ðatþš ¼ jaj F! a ð9:4þ ð9:5þ Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

7 9.3 Proprietà della trasformata di Fourier 7 dove a è una costante reale. La (9.5) mostra che l espansione dell asse dei tempi (jaj > ) corrisponde alla compressione dell asse delle frequenze, oppure al contrario, che la compressione dell asse dei tempi (jaj < ) implica una espansione dell asse delle frequenze. La dimostrazione della proprietà procede come di seguito indicato. F½f ðatþš ¼ Se si pone x ¼ at; così che dx ¼ adt, allora F½f ðatþš ¼ f ðxþe j!x=a f ðatþe j!t dt dx a ¼ a F! a ð9:6þ ð9:7þ Per esempio, per l impulso rettangolare pðtþ dell Esempio 9., F½pðtÞŠ ¼ A sinc! ð9:8aþ Usando la (9.5), F½pðtÞŠ ¼ A sinc! ð9:8bþ 4 Può risultare utile tracciare il grafico di pðtþ, dipðtþ e delle loro trasformate di Fourier. Poichè ( pðtþ ¼ A, < t < ð9:9aþ, altrove allora, sostituendo ogni occorrenza di t con t si ottiene ( ( pðtþ ¼ A, < t <, altrove ¼ A, 4 < t < 4, altrove ð9:9bþ che mostra come pðtþ risulti compressa nel tempo, come mostrato in Figura 9.9(b). Per tracciare i grafici delle due trasformate di Fourier della (9.8), si ricordi che la funzione sinc si annulla quando il suo argomento è uguale a n, con n intero. Perciò, per la trasformata di pðtþ nella (9.8a),!= ¼ f = ¼ n! f ¼ n=, e per la trasformata di pðtþ nella (9.8b),!=4 ¼ f =4 ¼ n! f ¼ n=. I grafici delle trasformate di Fourier sono mostrati in Figura 9.9, dalla quale si vede che la compressione nel tempo corrisponde a una espansione nella frequenza. Ci si poteva aspettare questo risultato intuitivamente, perché quando il segnale viene compresso nel tempo, esso subisce variazioni più rapide, dando luogo alla comparsa di componenti a frequenze più alte. Figura 9.9 Effetto dello scaling nel tempo: (a) trasformata dell impulso, (b) la compressione nel tempo dell impulso provoca l espansione nella frequenza. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

8 8 Capitolo 9 Trasformata di Fourier Traslazione nel tempo Se Fð!Þ ¼F½f ðtþš, allora F½f ðt t ÞŠ ¼ e j!t Fð!Þ ð9:þ cioè, un ritardo nel dominio del tempo corrisponde a una traslazione di fase nel dominio delle frequenze. Per dimostrare la proprietà di traslazione nel tempo, si nota che F½f ðt t ÞŠ ¼ f ðt t Þe j!t dt Ponendo x ¼ t t così che dx ¼ dt e t ¼ x þ t, allora F½f ðt t ÞŠ ¼ ¼ e j!t f ðxþe j!ðxþt Þ dx f ðxþe j!x dx ¼ e j!t Fð!Þ In maniera simile, F½f ðt þ t ÞŠ ¼ e j!t Fð!Þ. Per esempio, dall Esempio 9.3, La trasformata di f ðtþ ¼e ðt Þ uðt Þ è F½e at uðtþš ¼ a þ j! Fð!Þ ¼F½e ðt Þ uðt ÞŠ ¼ Traslazione in frequenza (o modulazione di ampiezza) Questa proprietà afferma che se Fð!Þ ¼F½f ðtþš, allora e j! þ j! ð9:þ ð9:þ ð9:3þ ð9:4þ F½f ðtþe j! t Š¼Fð!! Þ ð9:5þ cioè, una traslazione di frequenza nel dominio delle frequenze corrisponde alla aggiunta di uno sfasamento alla funzione del tempo. Infatti, per definizione, F½f ðtþe j! t Š¼ ¼ f ðtþe j! t e j!t dt f ðtþe jð!! Þt dt ¼ Fð!! Þ Per esempio, cos! t ¼ ðe j! t þ e j! t Þ. Usando la proprietà della (9.5), F½f ðtþ cos! tš¼ F f ðtþe j! t þ F f ðtþe j! t ¼ Fð!! Þþ Fð! þ! Þ ð9:6þ ð9:7þ Figura 9. Spettri di ampiezza di: (a) segnale f ðtþ, (b) segnale modulato f ðtþ cos! t. Quest ultima equazione costituisce un importante risultato legato alla modulazione, Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

9 nella quale le componenti di un segnale vengono traslate lungo l asse delle frequenze. Se, per esempio, lo spettro di ampiezza di f ðtþ è quello mostrato in Figura 9.(a), allora lo spettro di ampiezza di f ðtþ cos! t sarà quello mostrato in Figura 9.(b). Della modulazione di ampiezza si parlerà in modo più approfondito nel Paragrafo Derivazione rispetto al tempo Data Fð!Þ ¼F½f ðtþš, 9.3 Proprietà della trasformata di Fourier 9 F½f ðtþš ¼ j!fð!þ ð9:8þ In altre parole, la trasformata della derivata di f ðtþ si ottiene moltiplicando la trasformata di f ðtþ per j!. Infatti, per definizione, f ðtþ ¼F ½Fð!ÞŠ ¼ Derivando ambo i membri rispetto al tempo t, si ottiene cioè f ðtþ ¼ j! Applicando ripetutamente la (9.3) si ha Fð!Þe j!t d! Fð!Þe j!t d! ¼ j!f ½Fð!ÞŠ F½f ðtþš ¼ j!fð!þ ð9:9þ ð9:3þ F½f ðnþ ðtþš ¼ ðj!þ n Fð!Þ ð9:3þ Per esempio, se f ðtþ ¼e at, allora f ðtþ ¼ ae at ¼ af ðtþ Trasformando secondo Fourier il primo e l ultimo membro, si ottiene j!fð!þ ¼ afð!þ ¼) Fð!Þ ¼ a þ j! che è in accordo con il risultato dell Esempio 9.3. ð9:3þ ð9:33þ Integrazione nel tempo Data Fð!Þ ¼F½f ðtþš, F Z t f ðtþ dt ¼ Fð!Þ j! þ FðÞð!Þ ð9:34þ cioè, la trasformata dell integrale di f ðtþ si ottiene dividendo la trasformata di f ðtþ per j! e sommando il risultato a un termine impulsivo che rappresenta la componente costante FðÞ. Ci si potrebbe domandare il perché della integrazione sull intervallo ½, tš invece che sull intervallo ½, Š. Se si eseguisse l integrale su ½, Š, il risultato non dipenderebbe più dal tempo, e si otterrebbe quindi la trasformata di Fourier di una costante. Quando invece si integra su ½, tš, si ottiene l integrale della funzione dal lontano passato fino all istante t: il risultato dipende allora da t esene può calcolare la trasformata di Fourier. Se! viene sostituito con nella (9.8), FðÞ ¼ f ðtþ dt ð9:35þ indicando che la componente continua è nulla quando l integrale di f ðtþ su tutto l asse Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

10 Capitolo 9 Trasformata di Fourier dei tempi è nullo. La dimostrazione della formula di integrazione nel tempo della (9.34) verrà fornita più avanti, quando si parlerà della proprietà di convoluzione. Per esempio, è noto che F½ðtÞŠ ¼ e che l integrazione della funzione impulso fornisce la funzione gradino unitario [si veda la (7.39)]. Applicando la proprietà della (9.34), si ottiene la trasformata della funzione gradino unitario come Inversione Se Fð!Þ ¼F½f ðtþš, allora F½uðtÞŠ ¼ F Z t ðtþ dt ¼ þ ð!þ ð9:36þ j! F½f ð tþš ¼ Fð!Þ ¼F ð!þ ð9:37þ dove l asterisco denota il complesso coniugato. Questa proprietà afferma che l inversione di f ðtþ rispetto all asse dei tempi inverte anche Fð!Þ rispetto all asse delle frequenze. Può anche essere considerata come un caso particolare dello scaling nel tempo in cui a ¼ nella (9.5). Per esempio, ¼ uðtþþuðþ. Di conseguenza, F½Š ¼F½uðtÞŠ þ F½uð tþš ¼ j! þ ð!þ j! þ ð!þ ¼ ð!þ Dualità Questa proprietà afferma che se Fð!Þ è la trasformata di Fourier di f ðtþ, allora la trasformata di Fourier di FðtÞ è f ð!þ;informule F½f ðtþš ¼ Fð!Þ ¼) F½FðtÞŠ ¼ f ð!þ ð9:38þ Si tratta della proprietà di simmetria della trasformata di Fourier. Per dimostrare questa proprietà, si ricordi che da cui Sostituendo t con t si ottiene Scambiando fra loro t e!, f ðtþ ¼F ½Fð!ÞŠ ¼ f ðtþ ¼ f ð tþ ¼ f ð!þ ¼ Fð!Þe j!t d! Fð!Þe j!t d! Fð!Þe j!t d! FðtÞe j!t dt ¼F½FðtÞŠ come ci si attendeva. Per esempio, se f ðtþ ¼e jtj, allora Fð!Þ ¼! þ ð9:39þ ð9:4þ ð9:4þ Poiché f ðtþ è la somma dei segnali nelle Figure 8.7 e 8.8, Fð!) è la somma dei risultati dell Esempio 8.3 e dell Esercizio 8.3. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

11 Per la proprietà di dualità, la trasformata di Fourier di FðtÞ ¼=ðt þ Þ è f ð!þ ¼e j!j 9.3 Proprietà della trasformata di Fourier ð9:4þ La Figura 9. mostra un altro esempio di applicazione della proprietà di dualità. Essa illustra il fatto che se f ðtþ ¼ðtÞ così che Fð!Þ ¼, come in Figura 9.(a), allora la trasformata di Fourier di FðtÞ ¼ è f ð!þ ¼ð!Þ come mostrato in Figura 9.(b). F Figura 8. Illustrazione della proprietà di dualità della trasformata di Fourier: (a) trasformata dell impulso, (b) trasformata di una funzione costante unitaria. Convoluzione Si ricordi dal Capitolo 5 che se xðtþ è l eccitazione di ingresso di un circuito con risposta all impulso hðtþ, allora la risposta di uscita yðtþ è data dall integrale di convoluzione yðtþ ¼hðtÞxðtÞ ¼ hðþxðt Þ d ð9:43þ Se X ð!þ, Hð!Þ e Y ð!þ sono le trasformate di Fourier di xðtþ, hðtþ e yðtþ, rispettivamente, allora Y ð!þ ¼F½hðtÞxðtÞŠ ¼ Hð!ÞX ð!þ ð9:44þ e quindi la convoluzione nel dominio del tempo corrisponde al prodotto nel dominio delle frequenze. Per dimostrare la proprietà di convoluzione, si trasformano secondo Fourier entrambi i membri della (9.43), ottenendo Y ð!þ ¼ hðþxðt Þ d e j!t dt ð9:45þ Scambiando l ordine di integrazione e raccogliendo hðþ, che non dipende da t,siha Y ð!þ ¼ hðþ xðt Þe j!t dt d Per l integrale tra parentesi quadre, sia ¼ t così che t ¼ þ e dt ¼ d: Allora, Yð!Þ ¼ hðþ xðþe j!ðþþ d d ¼ hðþe j! d xðþe j! d ¼ Hð!ÞX ð!þ ð9:46þ come ci si attendeva. Questo risultato rappresenta una estensione del metodo dei fasori oltre quanto era stato fatto con la serie di Fourier nel capitolo precedente 3. 3 L importante relazione (8.46) rappresenta la ragione principale per l utilizzo della trasformata di Fourier nella analisi dei sistemi lineari. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

12 Capitolo 9 Trasformata di Fourier Figura 9. Illustrazione grafica della proprietà di convoluzione. (Source: E.O. Brigham, The Fast Fourier Transform [Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 974], p. 6.) Per illustrare la proprietà di convoluzione, si supponga che hðtþ e xðtþ siano impulsi rettangolari identici, come mostrato in Figura 9.(a) e 9.(b). Si ricordi dall Esempio 9. e dalla Figura 9.5 che le trasformate di Fourier degli impulsi rettangolari sono funzioni sinc, come mostrano le Figure 9.(c) e 9.(d). Secondo la proprietà di convoluzione, il prodotto delle due funzioni sinc dovrebbe dare per risultato la trasformata della convoluzione degli impulsi rettangolari nel dominio del tempo. Perciò, la convoluzione degli impulsi di Figura 9.(e) e il prodotto delle funzioni sinc in Figura 9.(f) si corrispondono secondo la trasformata di Fourier. Per la proprietà di dualità, ci si aspetta che se la convoluzione nel dominio del tempo corrisponde alla moltiplicazione nel dominio delle frequenze, allora la moltiplicazione nel dominio del tempo dovrebbe avere un corrispondente nel dominio delle frequenze, ed è proprio ciò che accade. Se f ðtþ ¼f ðtþf ðtþ, allora cioè Fð!Þ ¼F½f ðtþf ðtþš ¼ F ð!þf ð!þ Fð!Þ ¼ F ðþf ð! Þ d ð9:47þ ð9:48þ Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

13 che è la convoluzione nel dominio delle frequenze. La dimostrazione della (9.48) segue immediatamente dalla proprietà di dualità (9.38). Si vuole ora dimostrare la proprietà di integrazione nel tempo della (9.34). Se si sostituisce xðtþ con la funzione gradino unitario uðtþ e hðtþ con f ðtþ nella (9.43), f ðþuðt Þ d ¼ f ðtþuðtþ Ma, per definizione di funzione gradino unitario, t > uðt Þ ¼, t < Questa può essere scritta come uðt Þ ¼, <t, >t ð9:49þ Sostituendola nella (9.49) si ha che l intervallo di integrazione cambia da ½, Š a ½, tš, e la (9.49) diventa Z t f ðþ d ¼ uðtþf ðtþ Trasformando entrambi i membri secondo Fourier Z t F f ðþ d ¼ Uð!ÞFð!Þ Ma, dalla (9.36), la trasformata di Fourier della funzione gradino unitario è Sostituendo nella (9.5) si ha Z t F f ðþ d Uð!Þ ¼ j! þ ð!þ ¼ j! þ ð!þ Fð!Þ ¼ Fð!Þ j! þ FðÞð!Þ 9.3 Proprietà della trasformata di Fourier 3 ð9:5þ ð9:5þ che è la proprietà di integrazione nel tempo della (9.34). Si noti che, nella (9.5), Fð!Þð!Þ ¼FðÞð!Þ, perché ð!þ è diversa da zero soltanto in! ¼. La Tabella 9. elenca le proprietà della trasformata di Fourier appena viste. La Tabella 9. presenta invece le trasformate di alcune funzioni di uso comune. Si osservino le somiglianze tra queste tabelle e le Tabelle 5. e 5.. Esempio 9.4 Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) funzione segno sgnðtþ, mostrata in Figura 9.3, (b) esponenziale bilaterale e ajtj e (c) funzione sinc: ð sin tþ=t. Figura 9.3 La funzione segno per l Esempio 9.4. Soluzione: (a) È possibile ottenere la trasformata di Fourier della funzione segno in tre modi. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

14 4 Capitolo 9 Trasformata di Fourier Tabella 9. Proprietà della trasformata di Fourier. Proprietà fðtþ Fð!Þ Linearità a f ðtþþa f ðtþ a F ð!þþa F ð!þ Scaling fðatþ jaj F! a Traslazione nel tempo fðt aþuðt aþ e j!a Fð!Þ Traslazione nella frequenza e j!t fðtþ Fð!! Þ Modulazione Derivazione nel tempo cos ð! tþfðtþ df dt d n f dt n Z t ½Fð! þ! ÞþFð!! ÞŠ j!fð!þ ðj!þ n Fð!Þ Fð!Þ Integrazione nel tempo fðtþ dt þ FðÞ ð!þ j! Derivazione nella frequenza t n fðtþ ðjþ n d n d! n Fð!Þ Inversione fð tþ Fð!Þ oppure F ð!þ Dualità FðtÞ fð!þ Convoluzione in t f ðtþf ðtþ F ð!þf ð!þ Convoluzione in! f ðtþf ðtþ F ð!þf ð!þ Tabella 9. fðtþ Trasformate di Fourier notevoli. Fð!Þ ðtþ ð!þ uðtþ ð!þþ j! sin! uðt þ Þ uðt Þ! jtj sgnðtþ e at uðtþ e at uð tþ t n e at uðtþ e ajtj e j!t sin! t cos! t e at sin! tuðtþ e at cos! tuðtþ! j! a þ j! a j! n! ða þ j!þ nþ a a þ! ð!! Þ j½ð! þ! Þ ð!! ÞŠ ½ð! þ! Þþð!! ÞŠ! ða þ j!þ þ! a þ j! ða þ j!þ þ! METODO Si può scrivere la funzione segno in termini di funzioni gradino unitario come Ma, dalla (9.36), sgnðtþ ¼f ðtþ ¼uðtÞ uð tþ Uð!Þ ¼F½uðtÞŠ ¼ ð!þþ j! Applicando questa proprietà e quella di inversione, si ottiene F½sgnðtÞŠ ¼ Uð!Þ Uð!Þ ¼ ð!þþ ð!þþ ¼ j! j! j! METODO Essendo ð!þ ¼ð!Þ, si ha il secondo metodo. Un altro modo di scrivere la funzione segno in termini di gradino unitario è f ðtþ ¼sgnðtÞ ¼ þ uðtþ Trasformando secondo Fourier ciascun termine, si ottiene Fð!Þ ¼ ð!þþ ð!þþ ¼ j! j! METODO 3 È possibile derivare la funzione segno nella Figura 9.3 ottenendo Trasformando questa espressione, f ðtþ ¼ðtÞ j!fð!þ ¼ ¼) Fð!Þ ¼ j! come si era ottenuto in precedenza. (b) L esponenziale bilaterale può essere espresso come f ðtþ ¼e ajtj ¼ e at uðtþþe at uð tþ ¼yðtÞþyð tþ Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

15 9.3 Proprietà della trasformata di Fourier 5 dove yðtþ ¼e at uðtþ così che Y ð!þ ¼=ða þ j!þ. Applicando la proprietà di inversione, F½e ajtj Š¼Y ð!þþy ð!þ ¼ a þ j! þ a ¼ a j! a þ! (c) Dall Esempio 9., Ponendo = ¼ siha Applicando la proprietà di dualità, cioè h F u t þ u t i ¼ sin ð!=þ!= F½uðt þ Þ uðt ÞŠ ¼ sin!! F sin t t F sin t t ¼ ½Uð! þ Þ Uð! ÞŠ ¼ ½Uð! þ Þ Uð! ÞŠ ¼ sinc! n Esercizio 9.4 Determinare le trasformate di Fourier delle seguenti funzioni: (a) funzione impulso rettangolare gðtþ ¼uðtÞ uðt Þ, (b)fðtþ ¼te t uðtþ e (c) impulso a dente di sega fðtþ ¼t½uðtÞ uðt ÞŠ. Risposta (a) ð e j! Þ ð!þþ,(b) j! ð þ j!þ, (c) ðe j! Þ! þ j! e j!. n Esempio 9.5 Determinare la trasformata di Fourier della funzione in Figura 9.4. Soluzione: La trasformata di Fourier potrebbe essere ricavata direttamente usando la (9.8), ma è molto più semplice determinarla applicando la proprietà di derivazione. È possibile esprimere la funzione data come þ t, < t < f ðtþ ¼ t, < t < La sua derivata prima è mostrata in Figura 9.5(a), ed è data da f, < t < ðtþ ¼, < t < Figura 9.4 Per l Esempio 9.5. Figura 9.5 Derivata prima e seconda di f ðtþ in Figura 9.4; per l Esempio 9.5. La sua derivata seconda si trova in Figura 9.5(b) ed è data da f ðtþ ¼ðt þ Þ ðtþþðt Þ Trasformando secondo Fourier entrambi i membri, cioè ðj!þ Fð!Þ ¼e j! þ e j! ¼ þ cos! Fð!Þ ¼ ð cos!þ! Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

16 6 Capitolo 9 Trasformata di Fourier n Esercizio 9.5 Determinare la trasformata di Fourier della funzione in Figura 9.6. Figura 9.6 Per l Esercizio 9.5. Risposta ð8 cos 3! 4 cos 4! 4 cos!þ=!. n Esempio 9.6 Ricavare l antitrasformata di Fourier di: j! þ 4 (a) Fð!Þ ¼ ðj!þ (b) Gð!Þ ¼! þ þ 6j! þ 8! þ 9 Soluzione: (a) Per evitare di trattare quantità complesse, si può temporaneamente sostituire j! con s. Usando l espansione in frazioni parziali, dove FðsÞ ¼ s þ 4 s þ 6s þ 8 ¼ s þ 4 ðs þ 4Þðs þ Þ ¼ A ¼ðs þ 4ÞFðsÞ s¼ 4 ¼ s þ 4 ðs þ Þ B ¼ðs þ ÞFðsÞ s¼ ¼ s þ 4 ðs þ 4Þ A s þ 4 þ B s þ ¼ 36 s¼ 4 ¼ 8 ¼ 6 ¼ 8 s¼ Sostituendo A ¼ 8 e B ¼ 8inFðsÞ, e sostituendo s con j! si ottiene Fðj!Þ ¼ 8 j! þ 4 þ 8 j! þ Con l aiuto della Tabella 9., l antitrasformata viene ottenuta come (b) Si semplifica Gð!Þ come f ðtþ ¼ð8e 4t 8e t ÞuðtÞ Gð!Þ ¼! þ! þ 9 ¼ þ! þ 9 Con l ausilio della Tabella 9., l antitrasformata è gðtþ ¼ðtÞþe 3jtj n Esercizio 9.6 Calcolare l antitrasformata di Fourier di: (a) Hð!Þ ¼ 6ð3 þ j!þ ð þ j!þð4 þ j!þð þ j!þ (b) Y ð!þ ¼ð!Þþ ð þ j!þ þ j! ð þ j!þ þ 6 Risposta: (a) hðtþ ¼ðe t þ 3e t 5e 4t ÞuðtÞ, (b) yðtþ ¼ð þ e t cos 4tÞuðtÞ. n 9.4 APPLICAZIONE AI CIRCUITI La trasformata di Fourier permette di generalizzare il metodo dei fasori al caso delle funzioni non periodiche. Si possono applicare quindi le trasformate di Fourier ai circuiti contenenti eccitazioni non sinusoidali, nello stesso modo in cui si applicano i fasori ai circuiti con eccitazioni sinusoidali. La legge di Ohm rimane valida nella forma: V ð!þ ¼Zð!ÞI ð!þ ð9:5þ Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

17 9.4 Applicazione ai circuiti 7 dove V ð!þ e Ið!Þ sono le trasformate di Fourier della tensione e della corrente, e Zð!Þ è l impedenza. Le impedenze di resistori, induttori e condensatori hanno espressioni identiche a quelle della analisi fasoriale, cioè R ¼) R L ¼) j!l C ¼) j!c ð9:53þ Dopo aver trasformato le relazioni costitutive degli elementi al dominio delle frequenze e avere ottenuto le trasformate di Fourier delle eccitazioni, si può fare uso delle tradizionali tecniche circuitali, quali il partitore di tensione, la trasformazione dei generatori, l analisi agli anelli, l analisi nodale o il teorema di Thevenin per calcolare la risposta incognita (tensione o corrente). Si calcola infine l antitrasformata di Fourier per ritrovare l espressione della risposta nel dominio del tempo. Nonostante l applicazione del metodo della trasformata di Fourier produca una risposta che è definita per < t <, l analisi di Fourier non è in grado di trattare circuiti contenenti condizioni iniziali. Anche per la trasformata di Fourier, la funzione di trasferimento è definita come il rapporto tra la risposta in uscita Y ð!þ e l eccitazione in ingresso X ð!þ,cioè o anche Hð!Þ ¼ Y ð!þ X ð!þ Y ð!þ ¼Hð!ÞX ð!þ ð9:54þ ð9:55þ La relazione ingresso-uscita nel dominio delle frequenze è illustrata schematicamente in Figura 9.8. La (9.55) afferma che se sono note la funzione di trasferimento e l ingresso, risulta immediato calcolare l uscita. La relazione (9.54) costituisce la ragione principale dell impiego della trasformata di Fourier nella analisi dei circuiti. Si noti che Hð!Þ è identica a HðsÞ con s ¼ j!. Inoltre, se l ingresso è costituito da una funzione impulso unitario [cioè xðtþ ¼ðtÞ], allora X ð!þ ¼, e la risposta diventa Y ð!þ ¼Hð!Þ ¼F½hðtÞŠ ð9:56þ che mostra come Hð!Þ coincida con la trasformata di Fourier della risposta all impulso hðtþ. Figura 9.7 Relazione ingresso-uscita di un circuito nel dominio delle frequenze. Esempio 9.7 Determinare v o ðtþ nel circuito di Figura 9.8 se v i ðtþ ¼e 3t uðtþ. Soluzione: La trasformata di Fourier della tensione di ingresso è V i ð!þ ¼ 3 þ j! e la funzione di trasferimento, ottenuta mediante il partitore di tensione, è Hð!Þ ¼ V oð!þ V i ð!þ ¼ =j! þ =j! ¼ þ j! Perciò, cioè V o ð!þ ¼V i ð!þhð!þ ¼ V o ð!þ ¼ ð3 þ j!þð þ j!þ ð3 þ j!þð:5 þ j!þ Espandendo in frazioni parziali, V o ð!þ ¼ :4 3 þ j! þ :4 :5 þ j! Figura 9.8 Per l Esempio 9.7. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

18 8 Capitolo 9 Trasformata di Fourier Antitrasformando secondo Fourier si ottiene v o ðtþ ¼:4ðe :5t e 3t ÞuðtÞ Figura 9.9 Per l Esercizio 9.7. n Esercizio 9.7 Determinare v o ðtþ in Figura 9.9 se v i ðtþ ¼ sgnðtþ ¼ þ 4uðtÞ: Risposta þ 4ð e 4t ÞuðtÞ. n Esempio 9.8 Calcolare i o ðtþ in Figura 9. usando il metodo della trasformata di Fourier quando i s ðtþ ¼ ¼ sin t A. Figura 9. Per l Esempio 9.8. Soluzione: Per il partitore di corrente, Se i s ðtþ ¼ sin t, allora Quindi, Hð!Þ ¼ I oð!þ I s ð!þ ¼ þ 4 þ =j! ¼ j! þ j!3 I s ð!þ ¼j½ð! þ Þ ð! ÞŠ!½ð! Þ ð! þ ÞŠ I o ð!þ ¼Hð!ÞI s ð!þ ¼ þ j!3 L antitrasformata di Fourier di I o ð!þ non può essere determinata con la Tabella 9.. Si ricorre allora alla espressione dell antitrasformata di Fourier della (9.9), scrivendo i o ðtþ ¼F ½I o ð!þš ¼ Applicando la proprietà di selezione dell impulso, si ottiene i o ðtþ ¼ ¼!½ð! Þ ð! þ ÞŠ þ j!3 ð!! Þf ð!þ d! ¼ f ð! Þ þ j 6 e j t t e j j 6 e j t 6:8e j 8:54 þ j t e 6:8e j 8:54 ¼ :644½e jðt 8:54Þ þ e jðt 8:54Þ Š ¼ 3:88 cos ðt 8:54 Þ A e j!t d! Figura 9. Per l Esercizio 9.8. n Esercizio 9.8 Determinare la corrente i o ðtþ nel circuito in Figura 9., nota i s ðtþ ¼ ¼ cos 4t A. Risposta: :8 cos ð4t þ 6:57 Þ A. n Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

19 9.5 Teorema di Parseval TEOREMA DI PARSEVAL Il teorema di Parseval mostra un possibile impiego pratico della trasformata di Fourier. Esso mette in relazione l energia contenuta in un segnale con la trasformata di Fourier del segnale stesso. Se pðtþ è la potenza associata al segnale, l energia trasportata dal segnale è W ¼ pðtþ dt ð9:57þ Per poter confrontare il contenuto di energia di segnali di corrente e di tensione, è conveniente utilizzare un resistore da come base per il calcolo delle energie. Per un resistore da, pðtþ ¼v ðtþ ¼i ðtþ ¼f ðtþ, dove f ðtþ rappresenta la tensione o la corrente. L energia fornita al resistore da è W ¼ f ðtþ dt ð9:58þ Il teorema di Parseval afferma che questa stessa energia può essere calcolata nel dominio delle frequenze come W ¼ f ðtþ dt ¼ jfð!þj d! ð9:59þ Il teorema di Parseval afferma che l energia totale fornita a un resistore da è pari all area totale sottesa dal quadrato di f ðtþ oppure a / per l area totale sottesa dal quadrato del modulo della trasformata di Fourier di f ðtþ. Il teorema di Parseval stabilisce una relazione tra l energia associata a un segnale e la trasformata di Fourier del segnale stesso. In questo senso, esso fornisce anche un significato fisico per Fð!Þ, e precisamente che jfð!þj è una misura della densità di energia (in joule per hertz) corrispondente a f ðtþ 4. Per dimostrare la (9.59), si parte dalla (9.58) e si sostituisce l espressione (9.9) al posto di uno dei fattori f ðtþ. Siottiene W ¼ f ðtþ dt ¼ f ðtþ Fð!Þe j!t d! dt ð9:6þ La funzione f ðtþ può essere spostata all interno dell integrale tra parentesi quadre, perché l integrale non è eseguito nel tempo: W ¼ Invertendo l ordine di integrazione, W ¼ Fð!Þ ¼ f ðtþfð!þe j!t d! dt f ðtþe jð!þt dt d! Fð!ÞFð!Þ d! ¼ Fð!ÞF ð!þ d! Ma se z ¼ x þ jy, zz ¼ðx þ jyþðx jyþ ¼x þ y ¼jzj. Ne segue, ð9:6þ ð9:6þ W ¼ f ðtþ dt ¼ jfð!þj d! ð9:63þ 4 Infatti, jfð!þj viene anche detta densità spettrale di energia del segnale f ðtþ. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

20 Capitolo 9 Trasformata di Fourier come ci si attendeva. La (9.63) indica che l energia presente in un segnale può essere ottenuta sia integrando il quadrato di f ðtþ nel dominio del tempo, sia integrando = per il quadrato del modulo di Fð!Þ nel dominio delle frequenze. Essendo jfð!þj una funzione pari, si può eseguire l integrale tra e e raddoppiare il risultato, cioè, W ¼ f ðtþ dt ¼ jfð!þj d! ð9:64þ È anche possibile calcolare l energia in una qualunque banda di frequenza! <!<! come W ¼ Z!! jfð!þj d! ð9:65þ Si noti che il teorema di Parseval, nella formulazione qui adottata, è valido per funzioni non periodiche. Il teorema di Parseval per funzioni periodiche è stato presentato nei Paragrafi 7.5 e 7.6. Come è evidente dalla (9.63), il teorema di Parseval mostra l energia del segnale distribuita su tutto lo spettro delle frequenze, mentre l energia di un segnale periodico è in realtà concentrata nelle frequenze corrispondenti alle sue componenti armoniche. Esempio 9.9 La corrente in un resistore da è iðtþ ¼5e 3t uðtþ A. Calcolare l energia totale dissipata nel resistore. Soluzione: È possibile calcolare l energia usando sia f ðtþ ¼iðtÞ che Fð!Þ ¼Ið!Þ. METODO Nel dominio del tempo, W ¼ f ðtþ dt ¼ ¼ 5 e 6t 6 ¼ 5 6 ¼ 4:67 J 5e 6t dt METODO Nel dominio della frequenza, così che L energia dissipata è allora Fð!Þ ¼Ið!Þ ¼ 5 3 þ j! jfð!þj ¼ Fð!ÞF ð!þ ¼ 5 9 þ! W ¼ jfð!þj d! ¼ ¼ 5! 3 tan ¼ þ! d! 3 ¼ 5 6 ¼ 4:67 J n Esercizio 9.9 (a) Calcolare l energia totale assorbita da un resistore da con iðtþ ¼e jtj A nel dominio del tempo. (b) Ripetere (a) nel dominio della frequenza. Risposta (a) 5 J, (b) 5 J. n Esempio 9. Calcolare la frazione dell energia totale dissipata da un resistore da nella banda di frequenza <!< rad/s quando la sua tensione è vðtþ ¼e t uðtþ. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

21 9.6 Confronto fra le trasformate di Fourier e di Laplace Soluzione: Data f ðtþ ¼vðtÞ ¼e t uðtþ, Fð!Þ ¼ þ j! ¼) jfð!þj ¼ 4 þ! L energia totale dissipata dal resistore è W ¼ jfð!þj d! ¼ ¼ tan! ¼ L energia nell intervallo di frequenze <!< è W ¼ jfð!þj d! ¼ ¼ tan 5 ¼ 78:69 8 La percentuale di quest ultima rispetto all energia totale è allora W ¼ :8 W :5 ¼ 87:4% d! 4 þ! ¼ :5 J d! 4 þ! ¼! tan ¼ :8 J n Esercizio 9. Un resistore da ha iðtþ ¼e t uðtþ. Quale percentuale dell energia totale dissipata cade nella banda di frequenza 4 <!<4 rad/s? Risposta 84.4 percento. n 9.6 CONFRONTO FRA LE TRASFORMATE DI FOURIER E DI LAPLACE Giunti a questo punto della trattazione, è opportuno spendere qualche parola per sottolineare somiglianze e differenze fra le trasformate di Laplace e di Fourier. In particolare, si può notare che:. La trasformata di Laplace definita nel Capitolo 5 è unilaterale, nel senso che l integrale viene eseguito sull intervallo < t < ; ciòrende la trasformata di Laplace utile per le sole funzioni definite sul semiasse positivo dei tempi, f ðtþ, t >. La trasformata di Fourier si applica invece a funzioni definite per tutti i valori di t.. Per una funzione f ðtþ che sia diversa da zero solo negli istanti positivi (cioè, f ðtþ ¼, t < ) e per cui dalla relazione j f ðtþj dt <, le due trasformate sono legate Fð!Þ ¼FðsÞ s¼j! ð9:66þ Questa equazione mostra anche che la trasformata di Fourier può essere considerata come un caso particolare della trasformata di Laplace con s ¼ j! 5. Si ricordi che in generale s ¼ þ j!. La (9.66) afferma allora che la trasformata di Laplace è relativa all intero piano s, mentre la trasformata di Fourier è ristretta all asse j!. Si veda la Figura In altre parole, se tutti i poli di FðsÞ giacciono nella parte sinistra del piano s, èallora possibile ottenere la trasformata di Fourier Fð!Þ dalla corrispondente trasformata di Laplace FðsÞ semplicemente sostituendo s con j!. Si noti che ciò non vale, ad esempio, per uðtþ o per atuðtþ. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

22 Capitolo 9 Trasformata di Fourier 3. La trasformata di Laplace risulta applicabile a una classe di funzioni più ampia rispetto alla trasformata di Fourier. Per esempio, la funzione tuðtþ possiede una trasformata di Laplace ma non ha la trasformata di Fourier. Esistono però segnali dotati di trasformata di Fourier che non sono fisicamente realizzabili, e che non hanno trasformata di Laplace. 4. La trasformata di Laplace è maggiormente indicata per trattare problemi di transitori in presenza di condizioni iniziali, perché permette di includere le condizioni iniziali nelle espressioni delle trasformate, cosa che invece non è possible con le trasformate di Fourier. La trasformata di Fourier si rivela invece particolarmente utile per l analisi di problemi in regime permanente. 5. La trasformata di Fourier fornisce una maggiore visibilità rispetto alle caratteristiche di un segnale alle diverse frequenze di quanto non faccia la trasformata di Laplace. Alcune delle somiglianze e differenze possono essere osservate confrontando le Tabelle 5. e 5. con le Tabelle 9. e APPLICAZIONIy Oltre a essere utile per l analisi dei circuiti, la trasformata di Fourier trova applicazione in una grande varietà di campi quali l ottica, la spettroscopia, l acustica, l informatica e l ingegneria elettrica in generale. Per l ingegneria elettrica, essa trova in particolare vasta applicazione nei sistemi per le telecomunicazioni e nella elaborazione dei segnali, discipline per le quali la risposta in frequenza e il comportamento spettrale sono di vitale importanza. Vengono qui considerate due semplici applicazioni: la modulazione di ampiezza (AM) e il campionamento Modulazione di ampiezza La radiazione elettromagnetica usata per trasmettere l informazione attraverso lo spazio è diventata un elemento indispensabile per la vita della moderna società della tecnologia. La trasmissione di onde elettromagnetiche attraverso lo spazio risulta però efficiente ed economica soltanto alle radiofrequenze (sopra i khz). La trasmissione di segnali intelligenti, quali per esempio quelli relativi al parlato o alla musica, limitati alla banda di bassa frequenza compresa tra 5 Hz e khz, si rivela perciò estremamente costosa, avendo bisogno di antenne molto grandi e di potenze molto elevate. Un metodo comune per trasmettere informazione audio a bassa frequenza è allora quello di trasmettere un segnale ad alta frequenza, detto portante, che viene in qualche modo controllato in modo da risultare in corrispondenza con l informazione audio. Sono tre le caratteristiche di una portante (ampiezza, frequenza e fase) che possono venire controllate facendo in modo che trasportino il segnale intelligente, detto anche segnale modulante. Verrà qui trattato soltanto il caso di controllo della ampiezza della portante. Esso è noto come modulazione di ampiezza. La modulazione di ampiezza (AM) è un processo nel quale l ampiezza di una portante viene controllata dal segnale modulante. La AM viene usata da molte stazioni radio commerciali e nella porzione video del segnale televisivo commerciale. Si supponga che l informazione audio, per esempio la voce o la musica (oppure un segnale modulante generico) da trasmettere sia mðtþ ¼V m cos! m t, mentre la portante ad alta frequenza è cðtþ ¼V c cos! c t, con! c >>! m. Il segnale AM f ðtþ è allora dato da f ðtþ ¼V c ½ þ mðtþš cos! c t ð9:67þ Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

23 La Figura 9. mostra il segnale modulante mðtþ, la portante cðtþ e il segnale AM modulato f ðtþ. Si può fare uso del risultato della (9.7) assieme alla trasformata di Fourier della funzione coseno (si veda l Esempio 9. oppure la Tabella 9.) per determinare lo spettro del segnale AM: 9.7 Applicazioni 3 Fð!Þ ¼F½V c cos! c tšþf½v c mðtþ cos! c tš ¼ V c ½ð!! c Þþð! þ! c ÞŠ þ V c ½Mð!! cþþmð! þ! c ÞŠ ð9:68þ Figura 9. Rappresentazione nel dominio del tempo e della frequenza di: (a) segnale modulante, (b) segnale portante, (c) segnale AM. dove Mð!Þ è la trasformata di Fourier del segnale modulante mðtþ. In Figura 9.3 è mostrato lo spettro del segnale AM. La Figura 9.3 indica che il segnale AM è formato dalla portante e da due ulteriori sinusoidi. La sinusoide con frequenza! c! m è detta banda laterale inferiore, mentre quella a frequenza! c þ! m è labanda laterale superiore. Figura 9.3 Spettro del segnale AM. Si noti che è stata fatta l ipotesi che il segnale modulante sia una sinusoide per rendere semplice l analisi. Nella realtà, mðtþ è di solito un segnale non sinusoidale, a banda limitata il suo spettro è compreso nella banda tra e! u ¼ f u (cioè, il segnale possiede un limite superiore di frequenza). Tipicamente, f u ¼ 5 khz per le trasmissioni radio in AM. Se lo spettro del segnale modulante è quello mostrato in Figura 9.4(a), allora lo spettro del segnale AM è quello mostrato in Figura 9.4(b). Per evitare interferenze tra i segnali di diverse stazioni trasmittenti, le portanti delle diverse stazioni radio sono spaziate l una dall altra di khz. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

24 4 Capitolo 9 Trasformata di Fourier Sul lato ricevente della trasmissione, l informazione audio viene ricostruita a partire dalla portante modulata mediante un processo chiamato demodulazione. Figura 9.4 Spettro di: (a) segnale modulante, (b) segnale AM. Esempio 9. Un segnale musicale possiede componenti a frequenze comprese fra 5 Hz e 3 khz. Se questo segnale viene usato per modulare in ampiezza una portante da. MHz, determinare gli intervalli di frequenza per le bande laterali inferiore e superiore. Soluzione: La banda laterale inferiore è la differenza fra la portante e le frequenze modulanti. Essa comprende le frequenze da a 3 Hz ¼ 7 Hz 5 Hz ¼ Hz La banda laterale superiore è la somma della portante e delle frequenze modulanti. Essa comprende le frequenze da a þ 5 Hz ¼ 5 Hz þ 3 Hz ¼ 3 Hz Esercizio 9. Se una portante da MHz viene modulata da un segnale di informazione da 4 khz, determinare le frequenze delle tre componenti del segnale AM risultante. Risposta: 4 Hz, Hz, 996 Hz Campionamento Nei sistemi analogici, i segnali vengono trattati nella loro interezza. Nei sistemi digitali moderni, invece, sono necessari soltanto dei campioni dei segnali stessi ai fini della loro elaborazione. Ciò èpossibile in forza del teorema del campionamento trattato nel Paragrafo Il campionamento può essere ottenuto usando un treno di impulsi rettangolari o di impulsi ideali. Verrà qui considerato il campionamento con impulsi ideali. Si consideri il segnale continuo gðtþ mostrato in Figura 9.5(a). Esso può essere moltiplicato per il treno di impulsi ðt nt s Þ mostrato in Figura 9.5(b), dove T s è l intervallo di campionamento e f s ¼ =T s è lafrequenza di campionamento. Il segnale campionato g s ðtþ è perciò g s ðtþ ¼gðtÞ X ðt nt s Þ¼ X gðnt s Þðt nt s Þ n¼ n¼ ð9:69þ La sua trasformata di Fourier è G s ð!þ ¼ X gðnt s ÞF½ðt nt s ÞŠ ¼ X gðnt s Þe jn!t s n¼ n¼ ð9:7þ Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

25 9.7 Applicazioni 5 È possibile dimostrare che X gðnt s Þe jn!t s ¼ X Gð! þ n! s Þ T s n¼ n¼ ð9:7þ dove! s ¼ =T s. La (9.7) diventa allora G s ð!þ ¼ T s X n¼ Gð! þ n! s Þ ð9:7þ Quest ultima equazione afferma che la trasformata di Fourier G s ð!þ del segnale campionato consiste nella somma di infinite copie della trasformata di Fourier del segnale originale, spaziate di =T s l una dall altra. Al fine di garantire una ricostruzione ottima del segnale originale, quale deve essere l intervallo di campionamento? Questa domanda fondamentale legata al campionamento trova risposta in un apposita sezione del teorema del campionamento: Figura 9.5 (a) Segnale continuo (analogico) da campionare, (b) treno di impulsi, (c) segnale campionato (digitale). Un segnale a banda limitata, privo di componenti a frequenze superiori a W hertz, può venire ricostruito completamente dai suoi campioni presi a una frequenza che sia almeno superiore a W campioni al secondo. In altre parole, per un segnale con larghezza di banda W hertz, non si ha perdita di informazione, o sovrapposizione, se la frequenza di campionamento è almeno doppia della frequenza più alta contenuta nel segnale modulante, cioè T s ¼ f s W ð9:73þ La frequenza di campionamento f s ¼ W è chiamata frequenza di Nyquist, e=f s è l intervallo di Nyquist. Esempio 9. Un segnale telefonico con frequenza di taglio 5 khz viene campionato a una frequenza del 6 percento superiore alla frequenza minima ammessa. Determinare la frequenza di campionamento. Soluzione: La frequenza di campionamento minima è la frequenza di Nyquist ¼ W ¼ 5 ¼ khz. Quindi, f s ¼ :6 W ¼ 6 khz n Esercizio 9. Un segnale audio con banda limitata a.5 khz viene digitalizzato in campioni da 8 bit. Qual è il massimo intervallo di campionamento che può essere utilizzato per garantire la ricostruzione completa? Risposta: 4 s. n Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

26 6 Capitolo 9 Trasformata di Fourier DOMANDE DI RIEPILOGO 9. Quale delle seguenti funzioni non ammette una trasformata di Fourier? (a) e t uð tþ (b) te 3t uðtþ (c) =t (d) jtjuðtþ 9. La trasformata di Fourier di e jt è: (a) þ j! (c) ð! Þ (b) þ j! (d) ð! þ Þ 9.3 e j! L antitrasformata di Fourier di þ j! è (a) e t (b) e t uðt Þ (c) e ðtþ (d) e ðtþ uðt Þ 9.4 L antitrasformata di Fourier di ð!þ è: (a) ðtþ (b) uðtþ (c) (d) = 9.5 L antitrasformata di Fourier di j! è: (a) ðtþ (b) u ðtþ (c) =t (d) indefinita 9.6 L integrale ð!þ d! ha per risultato: 4 þ! (a) (b) (c).5 (d) 9.7 L integrale ð! Þ 4 þ! d! vale: (a) (b) (c).5 (d) 9.8 La corrente in un condensatore da F è ðtþ A. La tensione sul condensatore è: (a) uðtþ (b) = þ uðtþ (c) e t uðtþ (d) ðtþ 9.9 Un gradino unitario di corrente viene applicato ad un induttore da H. La tensione sull induttore è: (a) uðtþ (b) sgnðtþ (c) e t uðtþ (d) ðtþ 9. Il teorema di Parseval vale soltanto per funzioni non periodiche. (a) Vero (b) Falso Risposte: 9.c, 9.c, 9.3d, 9.4d, 9.5a, 9.6c, 9.7b, 9.8b, 9.9d, 9.b PROBLEMI Paragrafi 9. e 9.3 Trasformata di Fourier esueproprietà 9.3 Calcolare la trasformata di Fourier del segnale in Figura Calcolare la trasformata di Fourier della funzione in Figura 9.6. f(t) f(t) t t Figura 9.8 Per il Problema 9.3. Figura 9.6 Per il Problema Quale è la trasformata di Fourier dell impulso triangolare in Figura 9.7? f(t) 9.4 Determinare la trasformata di Fourier della forma d onda mostrata in Figura 9.9. g(t) t Figura 9.7 Per il Problema 9.. t Figura 9.9 Per il Problema 9.4. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)

27 PROBLEMI Calcolare la trasformata di Fourier del segnale mostrato in Figura 9.3. h(t) g (t) t (b) t Figura 9.3 Per il Problema 9.5. Figura 9.33 Per il Problema Determinare le trasformate di Fourier dei segnali in Figura y (t) 9.6 Per il segnale in Figura 9.3, determinare la parte reale della trasformata di Fourier. f (t) t (a) z (t) t t Figura 9.3 Per il Problema 9.6. (b) 9.7 Determinare le trasformate di Fourier dei segnali in Figura 9.3. f (t) Figura 9.34 Per il Problema Calcolare le trasformate di Fourier dei segnali mostrati in Figura f (t) x(t) y(t) t e t e t (a) t (b) t (a) t (b) Figura 9.3 Per il Problema Calcolare la trasformata di Fourier dei segnali mostrati in Figura f (t) Figura 9.35 Per il Problema Determinare la trasformata di Fourier dell impulso sinusoidale mostrato in Figura f(t) sin πt t t (a) Figura 9.36 Per il Problema 9.. Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright 4 - McGraw-Hill Education (Italy)