Laboratorio di Elettrotecnica

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Laboratorio di Elettrotecnica"

Transcript

1 1 Laboratorio di Elettrotecnica Rappresentazione armonica dei Segnali Prof. Pietro Burrascano - Università degli Studi di Perugia Polo Scientifico Didattico di Terni

2 2 SEGNALI: ANDAMENTI ( NEL TEMPO, NELLO SPAZIO,..) DELLE GRANDEZZE SCELTE PER RAPPRESENTARE IL FENOMENO POSSIBILI PIU RAPPRESENTAZIONI DI UN SEGNALE ESEMPIO: RAPPRESENTAZIONI DI UN SEGNALE SINUSOIDALE E SINUSOIDALE, HA FREQUENZA f, FASE NULLA ED AMPIEZZA A s(t) = A sin(2πf t)

3 3 UNA SPECIFICA RAPPRESENTAZIONE SEGNALI SCELTA PER: evidenziarne aspetti rilevanti; darne rappresentazione parsimoniosa (con pochi parametri) Sistemi lineari => rappresentazione additiva s(t) = i a i b i (t) DUE ASPETTI RILEVANTI: 1. SCELTA dei segnali di base b i (t) 2. INDIVIDUAZIONE dei relativi coefficienti a i

4 4 ASPETTO 1 ASPETTO 1: SCELTA dei segnali di base b i (t) NOTE STORICHE ISACCO NEWTON (Principia, 1687) Espansione di un raggio luminoso che attraversa un prisma. La luce bianca è somma di raggi a tutte le lunghezze d onda. DANIEL BERNOULLI (1738) Soluzione dell equazione delle onde per corde vibranti u(x,t ) = sin(kx)(aκ cos(κct ) + Bκsin(κct )) k =1 LEONARDO EULERO (1755) Calcolo integrale dei coefficienti A k e B k JOSEPH FOURIER (1822) Estensione dei risultati dell equazione delle onde ad una funzione arbitraria u(x) anche contenente discontinuità WILLIAM THOMSON (1866) Applicazione analisi armonica alla predizione delle maree

5 5 ASPETTO 1 ESPERIMENTI DI FOURIER SULLA PROPAGAZIONE DEL CALORE FUNZIONE PERIODICA IN Θ Andamento della temperatura sempre più dolce fino alla continua T 1.8 tempo Θ MOTIVAZIONE FISICA CONSEGUENZA MATEMATICA Qualunque funzione, ANCHE NON ANALITICA, è scomponibile nella somma di infinite funzioni analitiche COEFFICIENTI: Eulero - Lagrange

6 6 ASPETTO 1 AUTOFUNZIONI DI SISTEMI LTI

7 7 ASPETTO 1 ASPETTO 1: SCELTA dei segnali di base b i (t) Scelta basata su SEGNALI CARATTERISTICI RISPOSTA SISTEMI LTI IL SISTEMA E LINEARE E PERMANENTE E DESCRIVIBILE MEDIANTE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI LA RISPOSTA LIBERA : COMBINAZIONE LINEARE DI ESPONENZIALI COMPLESSI (radici semplici eq. caratt.) DEL TIPO C(s) = Ae -st = Ae -(α+jβ)t α,β R Esponenziali complessi Legati alla natura LP dei sistemi >>>

8 8 ASPETTO 1 Osserviamo inoltre che: Qualunque risposta ad Exp Complesso E ANCORA Exp Complesso 1,5 1,,5 Caratteristica dei SOLI Exp Complessi, t t Ae st Sistema Lineare H1(s) Sistema Lineare H2(s) Sistema Lineare H(s), t Funzioni con queste caratteristiche sono dette AUTOFUNZIONI del sistema 2, 1,5 1,,5 ( Ae st ) H ESPONENZIALI COMPLESSI AUTOFUNZIONI DEI SISTEMI LTI Due modi per verificare analiticamente questa caratteristica: METODO 1: dalla convoluzione con h(t) di sistemi LTI METODO 2: direttamente dalle proprietà di linearità e permanenza >>>

9 9 ASPETTO 1 SFRUTTANDO LE RELAZIONI DI EULERO C jβt e + e 2 jβt αt αt ( α, β ) = Ae = Ae cos( βt) GRAFICAMENTE => OSSERVAZIONE Per α= e ϕ non nullo => sinusoide C ( α, β ) ( βt+ ϕ ) j( βt+ ϕ ) e + e 2 j αt = Ae = Acos t + α = α= ( β ϕ) Sinusoidi combinazione di esponenziali complessi >>>

10 1 ASPETTO 1 Uscita: convoluzione fra risposta impulsiva ed ingresso METODO 1 y(t) = h τ ( ) x t - τ ( ) dτ Nel caso di esponenziale complesso come ingresso si ha: ( x(t) = e α + jβ ) t = e st dove s = α + jβ ( y(t) = h( τ ) e α + jβ ) ( t -τ ) dτ = h( τ ) e s ( t -τ ) dτ = = e st h τ ( ) e sτ dτ = e st H s ( ) = x(t)h ( s) L uscita è pari all ingresso moltiplicato per una quantità dipendente da α e β >>>

11 11 ASPETTO 1 Per ciascuna coppia α; β (per ciascun s) gli esponenziali complessi sono autofunzioni dei sistemi LTI; H(s) corrispondente autovalore associato H(s) direttamente legato alla h(t) attraverso la: H s ( ) = h( τ ) e sτ dτ y(t) st = e h sτ ( τ ) e dτ = x(t) H( s) che definiremo Trasformata di Laplace della risposta impulsiva se α= (s puramente immaginario) la H(s) diviene H s ( ) s= jω = H( ω) = F h(t) { } che definiremo Trasformata di Fourier della risposta impulsiva

12 12 ASPETTO 1 ESEMPIO Calcolare la risposta all exp complesso exp(j2t) del sistema caratterizzato dalla relazione ingresso-uscita y(t)=x(t-3) -semplice ritardo di tre secondi- Evidentemente ho h( t) = δ ( t 3) Di conseguenza H sτ = e dτ sτ ( s) h( τ ) e dτ = δ ( τ 3) τ 3 L integrale è nullo per per cui si ottiene ( ) s H s = e 3 L uscita sarà ( ) j 2t 3s j2t j6 j2( t-3) s = e e = e e e u ( t) = x( t) H = s= j2 s= j 2 Cioè, come atteso, una translazione di tre secondi dell ingresso

13 13 ASPETTO 1 ESPONENZIALI COMPLESSI AUTOFUNZIONI DI SISTEMI LTI: METODO 2 Sia P un sistema lineare e permanente: y(t)=p-[x(t)] Se x(t)=e st =e (α+jβ)t ho che y(t)=p-[e (α+jβ)t ] Dalle proprietà di linearità e permanenza ho: permanenza [ ( ) [ t +τ ] ] y(t + τ) = P e α + jβ Linearità, essendo costante la quantità τ ( α + jβ) ( y(t + τ) = e α + jβ ) τ P e α + jβ [ ( ) t ] = e α + jβ ( ) τ y(t) Ad una translazione di τ della eccitazione corrisponde, in uscita, una alterazione secondo una costante complessa Tale costante complessa è pari all eccitazione calcolata in t = τ >>>

14 14 ASPETTO 1 e ( α + jβ y(t ) ) τ + τ = y(t) L espressione può vedersi come funzione del tempo t e del ritardo τ Fissando t = ho, in funzione di τ e ricordando che x(t)=e st =e (α+jβ)t y( τ ) = y( + τ ) = y()e ( α + jβ ) τ = y()x( τ ) La risposta di un sistema LTI ad un exp complesso è proporzionale all exp complesso stesso. La costante di proporzionalità è pari all uscita allo stesso exp complesso calcolata, per quella coppia s=(α; β), per valore zero della variabile temporale La costante di proporzionalità H=y() sarà in generale: complessa; dipendente da s=(α; β): H(s)

15 15 ASPETTO 1 Sinusoide smorzata ed autofunzioni dei sistemi lineari

16 16 ASPETTO 1 Esponenziali complessi AUTOFUNZIONI dei sistemi lineari: SE il sistema è lineare e SE l eccitazione è un exp complesso ALLORA l uscita è pari all ingresso moltiplicato per una quantità complessa H(s) dipendente da s: ( ) t se x(t) = e α + jβ = e st dove s = α + jβ y(t) = [ x(t) ] x(t)= e st = e st H( s) = x(t)h ( s) Se h(t) è la risposta impulsiva del sistema ho trovato che (lucido 1) H s = e τ dτ ( s) h( τ ) Voglio mostrare le conseguenze di tale proprietà quando in ingresso al sistema lineare ho segnali sinusoidali, eventualmente smorzati.

17 17 ASPETTO 1 Sappiamo che una sinusoide smorzata può esprimersi come somma di esponenziali complessi (relazioni di Eulero) e jβt + e jβt Ae αt cos(βt) = Ae αt = 2 = A 2 e ( α + jβ ) t + e ( ) ( ( α jβ ) t ) = A 2 est + e s* t

18 18 ASPETTO 1 Per la linearità del sistema, la risposta ad una sinusoide smorzata sarà combinazione lineare delle risposte agli esponenziali complessi nei quali può scomporsi [ ] = A 2 est + e s* t Ae αt cos(βt) ( ) = A 2 est ( [ ] + [ e s* t ] ) = { ( ) [ e st ] + H( s* ) [ e s* t ] } = A 2 H s ma essendo h(t) reale, ho che H(s*)=H*(s) H * s ( ) = h( τ ) e sτ dτ ( ) e s*τ dτ * = h τ = H s* = h * ( τ )e s*τ dτ ( ) >>>

19 19 ASPETTO 1 Segue che la risposta al segnale è: A 2 H s { ( ) [ e st ] + H( s* ) [ e s* t ] } = A 2 H ( s ) e st = A 2 H s = A 2 H s = A 2 H s { [ ( ) ] [ e st ] + e jarg[ H ( s) ] [ e s* t ] } = ( ) e jarg H s ( ) e jarg H s [ ] + e jarg H s { [ ] + H * ( s) [ e s* t ] } = [ ] { [ ( ) ] e ( α + jβ ) t [ ( ) ] α jβ e ( ) t } = ( ) e αt e = A H s α Ae t cos( βt) { [ j ( βt +Arg [ H ( s) ] ) ] βt +Arg H ( s) + [ ( [ ] ) ] } e-j = ( [ ] ) ( ) e αt cos βt + Arg H( s) risposta dello stesso tipo dell ingresso, a meno di un alterazione dell ampiezza H(s) e della fase Arg[H(s)]

20 2 ASPETTO 1 La risposta di un sistema lineare e permanente ad una sinusoide smorzata è un segnale dello stesso tipo, caratterizzato dalla stessa pulsazione, alterato per un fattore moltiplicativo di ampiezza H(s) e di uno additivo di fase Arg[H(s)] α Ae t cos( βt) A αt ( s) e cos( βt Arg[ H( s) ]) H Sistema Lineare H(s)

21 21 ASPETTO 1 ESEMPIO Calcolare tramite H(s) la risposta dello stesso sistema -semplice ritardo di tre secondi- al segnale x(t)=cos(4t)+cos(7t) Essendo lo stesso sistema dell es. di pg 12 ho per h(t) ancora: h(t) = δ(t 3) L ingresso questa volta vale: x(t) = 1 [ ( 2 e j4t + e -j4t ) + ( e j7t + e -j7t ) ] y(t) = x(t)h(s) = [ ( ) + ( H(s) s= j7 e j7t + H(s) s= j7 e -j7t ) ] = = 1 2 H(s) e j4t + H(s) s= j4 s= j4 e -j4t = 1 2 [ ( j4 e-3 ( ) + j4t + e -3( -j4 ) -j4t ) -3 j7 + ( e ( ) + j7t + e -3( j7) -j7t ) ] = ( ) + e j7(t -3) -j7(t -3) ( + e ) [ ] = cos 4(t - 3) = 1 2 e j4(t -3) -j4(t -3) + e [ ] + cos[ 7(t - 3) ] Il calcolo tramite H(s) conferma quanto prevedibile in questo caso elementare: l uscita è una translazione di tre secondi dell ingresso

22 22 ASPETTO 1 Quella trovata è una caratteristica propria della sola sinusoide smorzata fra i segnali reali t Sistema Lineare H1(s) 2, 1,5 1,,5, t Sistema Lineare H2(s) 1,5 1,,5, t

23 23 ASPETTO 2 CALCOLO DEI COEFFICIENTI DELLO SVILUPPO ADDITIVO

24 24 ASPETTO 2 ASPETTO 2: INDIVIDUAZIONE dei coefficienti a i Approssimazione funzione s(t) tramite combinazione funzioni di base b i (t) note: ˆ s (t) = a i b i (t) = a 1 b 1 (t) + a 2 b 2 (t) + a 3 b 3 (t) +... i Per ogni scelta degli a i diversa forma della s ˆ (t)-e diversa distribuzione delle componenti di errore- PROBLEMA: definire gli a i minimizzando una MISURA GLOBALE dell errore >>>

25 25 ASPETTO 2 Possibile misura globale dell errore in un intervallo [a;b] Al crescere di n cresce il peso delle componenti di errore più elevate: per n=2 effettuiamo una media quadratica delle componenti di errore. Misura globale: errore quadratico medio e.q.m. n=2 b e ab = a b e(t) n dt e qmab = e(t) 2 dt = s(t) a i b i (t) a b a i=1 2 dt Si mantiene l operatore modulo anche nel caso quadratico per tenere conto del caso di segnali complessi >>>

26 26 ASPETTO 2 Scelta a i per minimizzare e.q.m.: per ogni k impongo [s(t) reale] eqm a k = a k = a k b a b a s t ( ) a i b i ( t) i=1 [ s( t) ] 2 + a i b i ( t) i=1 2 dt = a j b j t j=1 ( ) b = + 2b k ( t) a i b i ( t) 2b k ( t) s( t) dt = a i=1 2s t ( ) a i b i ( t) i=1 dt = b = 2 s( t) a i b i ( t) b k ( t) dt = a i=1 b s( t ) b k ( t ) a k b 2 k ( t) a i b i ( t) b k ( t) dt = k =1,2, 3,... a i k Sistema lineare di infinite equazioni (una per ogni k) eqm a k = >>>

27 27 ASPETTO 2 MA scegliendo funzioni di base ortogonali in [a,b] b [ b i ( t) b k ( t) ] dt = a (k i) CIASCUNA DELLE EQUAZIONI DIVENTA: b [ s( t) b k ( t) ] dt a k b 2 k ( t) dt = k =1,2,3,... a [ ] Ciascun coefficiente può calcolarsi indipendentemente dagli altri (completo disaccoppiamento del sistema) b [ s( t) b k ( t) ] dt a a k = b k =1,2,3,... b 2 k t dt a b a [ ( ) ]

28 28 RAPPRESENTAZIONE ARMONICA DEI SEGNALI PERIODICI

29 Rappresentazioni additive Autofunzioni sistemi LTI Calcolo coefficienti Rappresent. armonica 29 FUNZIONI DI BASE SINUSOIDALI (sviluppo armonico): consideriamo inizialmente un segnale s(t) periodico di periodo T =2 π. Osserviamo che sia le funzioni sinusoidali di pari periodo (pulsazione ω =(2 π /T )=1) che quelle con periodo pari ad un sottomultiplo intero di T (pulsazione multipla intera di ω ) se sommate fra loro in qualunque numero danno luogo ad un segnale di periodo T. La famiglia di funzioni sinusoidali di pulsazione k ω candidata come base per la rappresentazione additiva b =1;b 1A = sin(t);b 1B = cos(t);b 2A = sin(2t);b 2B = cos(2t);......; b ka = cos(kt);b kb = sin(kt);... s(t) = a + k=1 [ a cos k cos( kω t) + a sin k sin( kω t) ]

30 3 LE FUNZIONI SONO FRA LORO ORTOGONALI IN[ π,π] (è nullo l integrale nell intervallo di due funzioni diverse) π π π π π π π π sin( mt)sin( nt) dt = π cos( mt)cos( nt) dt = π sin( mt)cos( nt) dt 1 dt = 2π = m n m = 1,2, m = n n = 1,2, m n NO per m = n m = n m qualunque = n = m ed = n Le sinusoidi di pulsazione multipla intera di quella di s(t) adatte ad una rappresentazione additiva

31 31 Nella rappresentazione armonica del segnale s(t) ciascun coefficiente assuma la forma: a κ sin = a κ cos = π sin s(t)b π κ (t)dt π ( sin b ) 2 κ (t)dt = π π cos s(t)b π κ (t)dt π ( cos b ) 2 κ (t)dt = π Dove il numeratore deve essere di volta in volta calcolato, ed il denominatore vale: π 2 b π κ (t)dt = 2π π π π π s(t)sin(kt)dt sin 2 π π π π k = k =1,2, (kt)dt s(t)cos(kt)dt cos 2 π (kt)dt

32 32 Nel caso s(t) abbia periodo generico T considereremo la base ortogonale di rappresentazione: b =1;b 1A = sin(ω t);b 1B = cos(ω t);b 2A = sin(2ω t);b 2B = cos(2ω t);......; b ka = cos(kω t);b kb = sin(kω t);... dove ω = 2π In questo caso: T

33 33 In questo caso avremo per i coefficienti, calcolati nel periodo - T : a sin κ = a cos κ = T sin s(t)b κ (t)dt T ( sin b ) 2 κ (t)dt = T cos s(t)b κ (t)dt T ( cos b ) 2 κ (t)dt = s(t)sin(kω t)dt Dove il denominatore vale, in entrambi i casi: T T T sin 2 (kω t)dt s(t)cos(kω t)dt T cos 2 (kω t)dt T 2 b κ (t)dt = T /2 T k = k =1,2,

34 34 un segnale s(t) periodico di pulsazione fondamentale ω =2π/T (T = periodo) rappresentabile come combinazione lineare di infinite sinusoidi e cosinusoidi caratterizzate da: Frequenze multiple intere di ω (periodo sottomultiplo intero di T ) Sulla base di quanto visto: S E R I E D I F O U R I E R. Ampiezze a sin k acos k calcolate come indicato CONDIZIONI DI DIRICHLET: in ciascun periodo Massimi e minimi in numero finito e di ampiezza finita Numero finito di discontinuità Τ.. s(t) dt s(t) = a + < k=1 [ a cos k cos( kω t ) + a sin k sin( kω t ) ]

35 35 La serie di Fourier: rappresenta s(t) periodico -periodo T- k=1 dove ω = 2π ed i coefficienti possono calcolarsi come: s(t) = a + a = 1 T T s(t) dt T a k cos = 2 T [ a cos cos( kω t) + a sin sin( kω t) ] k k T s(t)cos( kω t) SEGNALE PERIODICO (periodo T ) espresso come SOMMA PESATA DI INFINITE FUNZIONI SENO E COSENO di frequenze f k =k/t E FASI NULLE dt a k sin = 2 T T ( ) s(t)sin kω t dt

36 36 Rappresentazione aletrnativa per la serie di Fourier: combinando le funzioni seno e coseno di stassa frequenza scrivo: s(t) = a + [ d k cos( kω t + ϕ ) ] k k=1 ω = 2π T dove i coefficienti possono calcolarsi come: a = 1 s(t) dt T cos d k = ( a ) 2 sin k + ( a ) 2 sin a k ϕ k = tan 1 k cos a k SEGNALE PERIODICO SOMMA PESATA DI INFINITE FUNZIONI COSENO di frequenze f k =k/t E FASI OPPORTUNE T

37 37 USI della SERIE DI FOURIER: ANALISI di s(t) per evidenziarne PERIODICITA

38 38 USI della SERIE DI FOURIER: DAGLI a κ (o dai d κ e Φ κ ) POSSO RICOSTRUIRE L s(t) PERIODICO I coefficienti dello sviluppo sono una RAPPRESENTAZIONE ALTERNATIVA DI s(t) 1 bk 1,4 a k,9 1,2,8,7 1,6,8,5,4,6,3,4,2,2, kw kw LA CONOSCENZA DELLA SEQUENZA DI COEFFICIENTI a κ PER LE DIVERSE PULSAZIONI κω EQUIVALE A QUELLA DI s(t)

39 39 FORMA ALTERNATIVA DELLA SERIE DI FOURIER s(t) = Infatti [ c e jkω t ] k k= [ ] s(t) = a + a cos k cos( kω t) + a sin k sin( kω t) = k=1 cos e jkω t + e jkω t sin e jkω t e jkω t = a + a k + a k = c k e jkω t 2 2 j dove k=1 c k = a cos sin k ja k 2 = 1 T T s(t)e jkω t dt = ω 2π S kω c k = 1 T ( ) s(t)e jkω t dt = ω 2π S kω k= [ ] I coefficienti complessi c κ dello sviluppo sono una RAPPRESENTAZIONE ESPONENZIALE DI s(t) T ( )

40 4 I coefficienti dello sviluppo sono una RAPPRESENTAZIONE ALTERNATIVA DI s(t) Abs[S(kw)] Arg[S(kw)] 1,4 15 1,2 1 1,8 5,6,4,2-5 kw kw kw LA CONOSCENZA DELLA SEQUENZA DI COEFFICIENTI a κ PER LE DIVERSE PULSAZIONI κω EQUIVALE A QUELLA DI s(t)

41 41 Esempi di sviluppo in SERIE DI FOURIER di segnali tempo continui Riportiamo alcuni esempi di sviluppo di segnali periodici in serie di Fourier, secondo la rappresentazione s(t) = a + k=1 [ a cos( kω t) + b sin( kω t ) ] k k ω = 2π T a = 1 T T s(t) dt a k = a k cos = 2 T T ( ) s(t)cos kω t dt b k = a k sin = 2 T T ( ) s(t)sin kω t dt

42 42 Esempi di sviluppoin SERIE DI FOURIERdi segnali tempo continui 1 Tempo Frequenza _

43 43 Esempi di sviluppoin SERIE DI FOURIERdi segnali tempo continui 2 Tempo Frequenza _ =

44 44 Esempi di sviluppoin SERIE DI FOURIERdi segnali tempo continui 3 Tempo Frequenza _ +T + s i n ω t CONSIDERATO COME SVILUPPO DI, QUINDI DI PERIODO T DOPPIO => f metà, AVREBBE NULLE TUTTE LE ARMONICHE DISPARI (portando in pratica allo stesso risultato) +- T- +

45 45 PROPRIETA SERIE DI FOURIER DI SEGNALI TEMPO CONTINUI 1 Segnale periodico Coefficienti serie x(t) periodo T y(t) pulsazione ω = 2 π / T X c k Y c k Linearità translazione nel tempo Ax(t) + By(t) x(t - t ) Ac k X + Bc k Y c X k e jkω t = c X jk ( 2π /T ) t k e inversione temporale x( t) c -k X

46 46 PROPRIETA SERIE DI FOURIER DI SEGNALI TEMPO CONTINUI 2 Segnale periodico Coefficienti serie x(t) periodo T y(t) pulsazione ω = 2 π / T X c k Y c k Simmetria coniugata x * (t) ( c X * ) -k Simmetria coniugata nel caso di segnali reali x * (t) = x(t) c X k = c X * X Re c k X Im c k c X X k = c -k X Arg c k ( ) -k X { } = Re{ c-k } X { } = Im{ c -k } X { } = Arg{ c -k }

47 47 PROPRIETA SERIE DI FOURIER DI SEGNALI TEMPO CONTINUI 3 Segnale periodico Coefficienti serie x(t) periodo T y(t) pulsazione ω = 2 π / T X c k Y c k Segnali reali e pari x(t) reale e pari [ X c ] k reale e pari ovvero a k sin cos cos [ ] nulli; [ a k ] = [ a-k ] sviluppo in soli coseni; coefficienti in sequenza pari Segnali reali e dispari x(t) reale e dispari [ X c ] k puramente ovvero a k cos immaginaria e dispari sin sin [ ] nulli; [ a k ] = [ -a-k ] sviluppo in soli seni; coefficienti in sequenza dispari

48 48 PROPRIETA SERIE DI FOURIER DI SEGNALI TEMPO CONTINUI 4 Relazione di Parseval per segnali periodici Segnale Potenza media in un periodo 1 c X k e jkω t Osserviamo che 2 dt T T periodico x(t) periodo T y(t) pulsazione ω = 2 1 T = 1 T x(t) 2 X dt = c 2 k T π / T X c 2 X k dt = c 2 k T k= Il Teorema di Parseval stabilisce che Coefficienti serie Potenza media di una componente armonica in un periodo la potenza media di un segnale periodico è pari alla somma delle potenze medie delle componenti del suo sviluppo armonico c k X c k Y

49 49 BANDA DEL SEGNALE

50 5 s(t) PERIODICO RAPPRESENTATO DA INFIN ITE SINUSOIDI COSA SUCCEDE LIMITANDO IL NUMERO DI COMPONENTI ARMONICHE CONSIDERATE? ESEMPIO: ONDA QUADRA,9,8,7,6,5,4,3,2,1 Abs[F(kw )] 1 AL CRESCERE DELLA FREQUENZA DECRESCE LA RILEVANZA DELLA CORRISPONDENTE COMPONENTE ARMONICA kw

51 51 EFFETTO DELLA ELIMINAZIONE DI UN NUMERO CRESCENTE DI COMPONENTI NON NULLE e , 3 e 5 1, 3, 5 e BANDA DEL SEGNALE Gamma di frequenze le cui ampiezze d k sono non trascurabili ai fini di interesse

52 52 TRASFORMATA DI FOURIER s(t) = 1 T ( ) [ S kω ] e jkω t = ω 2π k= k= S( kω ) [ ] e jkω t PER T ω DIVIENE INFINITESIMO LO SVILUPPO IN SERIE DI s(t) TENDE AD UNO SVILUPPO INTEGRALE s(t) = 1 2π ( ) e jωt dω S ω dove S ω ( ) = s(t)e jωt dt S(ω): TRASFORMATA DI FOURIER DEL SEGNALE s(t) RAPPRESENTAZIONE ARMONICA DI UN SEGNALE NON PERIODICO

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI Fondamenti di segnali Fondamenti e trasmissione TLC Proprieta della () LINEARITA : la della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali e uguale alla

Dettagli

Brevi appunti di Fondamenti di Automatica 1. prof. Stefano Panzieri Dipartimento di Informatica e Automazione Universitá degli Studi ROMA TRE

Brevi appunti di Fondamenti di Automatica 1. prof. Stefano Panzieri Dipartimento di Informatica e Automazione Universitá degli Studi ROMA TRE Brevi appunti di Fondamenti di Automatica prof. Dipartimento di Informatica e Automazione Universitá degli Studi ROMA RE ROMA RE UNIVERSIÀ DEGLI SUDI 4 marzo 05 Rev. 0. INDICE Indice La rasfomata di Laplace.0.

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO

RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO CAPITOLO RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO. - APPROSSIMAZIONE DI UN SEGNALE Si è detto che un segnale deterministico è rappresentabile analiticamente con una funzione

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici

Prova scritta di Controlli Automatici Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA 2011 2012 10 Settembre 2012 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare

Dettagli

La funzione di risposta armonica

La funzione di risposta armonica 0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =

Dettagli

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati

Dettagli

Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi

Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi Studio dei segnali nel dominio della frequenza G. Traversi Segnali periodici e serie di Fourier Una funzione periodica f(t) di periodo T (purché integrabile) è esprimibile con una serie del tipo: f (t)

Dettagli

Sistema dinamico a tempo continuo

Sistema dinamico a tempo continuo Sistema dinamico a tempo continuo Un sistema è un modello matematico di un fenomeno fisico: esso comprende le cause e gli effetti relativi al fenomeno, nonché la relazione matematica che li lega. X INGRESSO

Dettagli

Elementi di sismologia

Elementi di sismologia Elementi di sismologia Sismologia e Rischio Sismico Anno Accademico 2009-2010 Giovanna Cultrera, cultrera@ingv.it Istituto Nazionale di Geofisica e Vulcanologia Trasformata di Fourier Premessa: l equazione

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

Serie di Fourier 1. Serie di Fourier. f(t + T )=f(t) t R.

Serie di Fourier 1. Serie di Fourier. f(t + T )=f(t) t R. Serie di Fourier 1 Serie di Fourier In questo capitolo introduciamo le funzioni periodiche, la serie di Fourier in forma trigonometrica per le funzioni di periodo π, e ne identifichiamo i coefficienti.

Dettagli

Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza

Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza rgomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei

Dettagli

Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI

Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo

Dettagli

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cenni Storici (Wikipedia) Jean Baptiste Joseph Fourier ( nato a Auxerre il 21 marzo 1768 e morto a Parigi il 16 maggio 1830 ) è stato un matematico e fisico, ma è conosciuto

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli

Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2

Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2 Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi

Dettagli

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2 Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09.

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche. Analisi dei segnali A.A. 2008-09. Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Analisi dei segnali A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Segnali continui e discreti Un segnale tempo-continuo è

Dettagli

Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza

Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza Capitolo 5 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza 5. Introduzione In questo capitolo affrontiamo lo studio dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Prendiamo come esempio

Dettagli

La trasformata Zeta. Marco Marcon

La trasformata Zeta. Marco Marcon La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione

Dettagli

A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali

A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali Appendice A Rappresentazione dei segnali A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali Scomporre una generica forma d onda s(t) in somma di opportune funzioni base è operazione assai comune, particolarmente

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16) Diario del corso di Analisi Matematica (a.a. 205/6) 4 settembre 205 ( ora) Presentazione del corso. 6 settembre 205 (2 ore) Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Introduzione alle

Dettagli

Elaborazione numerica. Teoria dei segnali

Elaborazione numerica. Teoria dei segnali Elaborazione numerica e Teoria dei segnali Raccolta di Esercizi Fiandrino Claudio agosto 00 II Indice I Teoria dei segnali 5 Esercizi di base 7. Esercizio............................. 7. Esercizio.............................

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

d 2 dx ψ + 2 m E V x ψ = 0 V x = V x + a. ψ(x+a) = Q ψ(x). ψ x = e " i k x u k ψ x + a = e " i k x + a u k x + a = e " i k a e " i k x u k

d 2 dx ψ + 2 m E V x ψ = 0 V x = V x + a. ψ(x+a) = Q ψ(x). ψ x = e  i k x u k ψ x + a = e  i k x + a u k x + a = e  i k a e  i k x u k Teorema di Bloch Introduzione (vedi anche Ascroft, dove c è un approccio alternativo) Cominciamo col considerare un solido unidimensionale. Il modello è quello di una particella (l elettrone) in un potenziale

Dettagli

4. Funzioni elementari

4. Funzioni elementari ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari A. A. 2014-2015 L.Doretti 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Controlli Automatici - A.A. 1/11 Ingegneria Gestionale 13 Settembre 11 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle seguenti domande. a) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali

Dettagli

Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di

Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione Il campionamento consente, partendo da un segnale a tempo continuo ovvero che fluisce con continuità nel tempo, di ottenere un segnale a tempo discreto,

Dettagli

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 1/45 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma1.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento,

Dettagli

Differenziazione sistemi dinamici

Differenziazione sistemi dinamici Il controllo di sistemi ad avanzamento temporale si basa sulle tecniche di controllo in retroazione, ovvero, elabora le informazione sullo stato del processo (provenienti dai sensori) in modo sa inviare

Dettagli

Revisione dei concetti fondamentali

Revisione dei concetti fondamentali Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Argomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei

Dettagli

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino 1 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema lineare è il rapporto di due polinomi della variabile complessa s. Essa

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Funzioni di trasferimento

Dettagli

Trasformate di Laplace

Trasformate di Laplace TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri

Dettagli

FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI

FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI Guida alla soluzione degli esercizi d esame Dott. Ing. Marcello Bonfè Esercizi sulla scomposizione di modelli nello spazio degli stati: Gli esercizi nei

Dettagli

Differenziazione sistemi dinamici

Differenziazione sistemi dinamici Obiettivo: analisi e sintesi dei sistemi di controllo in retroazione in cui è presente un calcolatore digitale Il controllo digitale è ampiamente usato, grazie alla diffusione di microprocessori e microcalcolatori,

Dettagli

Forma d onda rettangolare non alternativa.

Forma d onda rettangolare non alternativa. Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.

Dettagli

Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro

Segnali e Sistemi. Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici. Gianni Borghesan e Giovanni Marro Segnali e Sistemi Dispensa integrativa per l insegnamento di Elementi di Controlli Automatici Gianni Borghesan e Giovanni Marro Indice Introduzione 2. Notazione............................. 2 2 Classificazione

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)

Dettagli

Consideriamo una forza di tipo elastico che segue la legge di Hooke: F x = kx, (1)

Consideriamo una forza di tipo elastico che segue la legge di Hooke: F x = kx, (1) 1 L Oscillatore armonico L oscillatore armonico è un interessante modello fisico che permette lo studio di fondamentali grandezze meccaniche sia da un punto di vista teorico che sperimentale. Le condizioni

Dettagli

CONTROLLORI STANDARD PID. Guido Vagliasindi Controlli Automatici A.A. 06/07 Controllori Standard PID

CONTROLLORI STANDARD PID. Guido Vagliasindi Controlli Automatici A.A. 06/07 Controllori Standard PID ONTROLLORI STANDARD PID Guido Vagliasindi ontrolli Automatici A.A. 6/7 ontrollori Standard PID MODELLO DEI REGOLATORI PID Tra le ragioni del vastissimo utilizzo dei regolatori PID nella pratica dell automazione

Dettagli

Complementi sui filtri

Complementi sui filtri Elaborazione numerica dei segnali Appendice ai capitoli 4 e 5 Complementi sui filtri Introduzione... Caratteristiche dei filtri ideali... Filtri passa-basso...4 Esempio...7 Filtri passa-alto...8 Filtri

Dettagli

Prestazioni dei sistemi in retroazione

Prestazioni dei sistemi in retroazione Prestazioni dei sistemi in retroazione (ver..2). Sensitività e sensitività complementare Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig... Vogliamo determinare quanto è sensibile il sistema in anello

Dettagli

7. Trasformata di Laplace

7. Trasformata di Laplace 7. Trasformata di Laplace Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) Trasformata di Fourier e segnali causali In questa lezione ci occuperemo principalmente di segnali causali: Definizione 7.1 (Segnali causali)

Dettagli

Criteri di stabilità (ver. 1.2)

Criteri di stabilità (ver. 1.2) Criteri di stabilità (ver. 1.2) 1 1.1 Il concetto di stabilità Il concetto di stabilità è piuttosto generale e può essere definito in diversi contesti. Per i problemi di interesse nell area dei controlli

Dettagli

Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici

Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici Alcune applicazioni delle equazioni differenziali ordinarie alla teoria dei circuiti elettrici Attilio Piana, Andrea Ziggioto 1 egime variabile in un circuito elettrico. Circuito C. 1.1 Carica del condensatore

Dettagli

Analisi dei segnali nel dominio della frequenza

Analisi dei segnali nel dominio della frequenza Laboratorio di Telecomunicazioni - a.a. 2010/2011 Lezione n. 7 Analisi dei segnali nel dominio della frequenza docente L.Verdoliva In questa lezione affrontiamo il problema dell analisi dei segnali tempo

Dettagli

FONDAMENTI DI AUTOMATICA. Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi

FONDAMENTI DI AUTOMATICA. Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi FONDAMENTI DI AUTOMATICA Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi 22 novembre 26 2 Indice 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 5 1.1 Introduzione............................. 5 1.2 Analisi armonica..........................

Dettagli

A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO

A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO Sono stati trattati gli elementi base per l'analisi e il dimensionamento dei sistemi di controllo nei processi continui. E' quindi importante:

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

Appunti del corso di. ELABORAZIONE NUMERICA dei SEGNALI (9 CFU) Ciro Cafforio

Appunti del corso di. ELABORAZIONE NUMERICA dei SEGNALI (9 CFU) Ciro Cafforio Politecnico di Bari Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Appunti del corso di ELABORAZIONE NUMERICA dei SEGNALI (9 CFU) Ciro Cafforio Anno Accademico 2012-2013 CAPITOLO

Dettagli

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER. Prof. Attampato Daniele

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER. Prof. Attampato Daniele SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Prof. Attampato Daniele SVILUPPO IN SERIE DI UNA FUNZIONE Uno dei problemi più frequenti in matematica è legato alla necessità di approssimare una funzione. Uno degli strumenti

Dettagli

Tra le varie famiglie di convertitori, i convertitori c.c.-c.a. (comunemente indicati come inverter ) sono quelli che prevedono il più elevato numero

Tra le varie famiglie di convertitori, i convertitori c.c.-c.a. (comunemente indicati come inverter ) sono quelli che prevedono il più elevato numero Tra le varie famiglie di convertitori, i convertitori c.c.-c.a. (comunemente indicati come inverter ) sono quelli che prevedono il più elevato numero di soluzioni circuitali, in dipendenza sia dal livello

Dettagli

Transitori del primo ordine

Transitori del primo ordine Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli

Dettagli

Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso

Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso Appendice C Segnali passa-banda ed equivalenti passa-basso C.1 Segnali deterministici Un segnale deterministico u(t) con trasformata di Fourier U(f) è un segnale passa-banda se f 0, W, con 0 < W < f 0,

Dettagli

Richiami principali ai segnali

Richiami principali ai segnali CAPITOLO 1 Richiami principali ai segnali 1.1. Introduzione La definizione di segnale parte dall esperienza comune. Esempi di segnale nella vita quotidiana sono il segnale acustico che viene prodotto da

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione 0.0. 3.2 Diagrammi di Bode Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi

Dettagli

LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO

LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI DEL QUINTO ANNO MOD. 1 Sistemi di controllo e di regolazione. Si tratta di un ripasso di una parte di argomenti effettuati l anno scorso. Introduzione. Schemi a blocchi di

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 13.06.2005. Tempo: 2.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. y 1 (t) + + y(t) H(f) = 1 4

PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 13.06.2005. Tempo: 2.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. y 1 (t) + + y(t) H(f) = 1 4 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL 3.06.005. Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) g(x) z(t) H(f) H(f) y (t) + + y (t) y(t) H(f) = 4 ( e

Dettagli

ANALISI DI SEGNALI BIOLOGICI

ANALISI DI SEGNALI BIOLOGICI ANALISI DI SEGNALI BIOLOGICI A.Accardo accardo@units.it LM Neuroscienze A.A. 2010-11 Parte II 1 Analisi in frequenza di un segnale l analisi in frequenza di un segnale o analisi di Fourier descrive il

Dettagli

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margini di stabilità Introduzione... Margine di ampiezza... Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di ode... 6 Introduzione

Dettagli

TRAVE SU SUOLO ELASTICO

TRAVE SU SUOLO ELASTICO Capitolo 3 TRAVE SU SUOLO ELASTICO (3.1) Combinando la (3.1) con la (3.2) si ottiene: (3.2) L equazione differenziale può essere così riscritta: (3.3) La soluzione dell equazione differenziale di ordine

Dettagli

( a ) ( ) ( Circuiti elettrici in corrente alternata. I numeri complessi. I numeri complessi in rappresentazione cartesiana

( a ) ( ) ( Circuiti elettrici in corrente alternata. I numeri complessi. I numeri complessi in rappresentazione cartesiana I numeri complessi I numeri complessi in rappresentazione cartesiana Un numero complesso a è una coppia ordinata di numeri reali che possono essere pensati come coordinate di un punto nel piano P(a,a,

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Prova scritta intercorso 2 31/5/2002

Prova scritta intercorso 2 31/5/2002 Prova scritta intercorso 3/5/ Diploma in Scienza e Ingegneria dei Materiali anno accademico - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. Lorenzo Marrucci Tempo a disposizione ora e 45 minuti ) Un elettrone

Dettagli

Capitolo 5 RESTAURO E RICOSTRUZIONE DI IMMAGINI

Capitolo 5 RESTAURO E RICOSTRUZIONE DI IMMAGINI Capitolo 5 RESTAURO E RICOSTRUZIONE DI IMMAGINI La differenza tra il restauro e il miglioramento (enhancement) delle immagini è che il miglioramento è un processo soggettivo, mentre il restauro è un processo

Dettagli

Appunti del corso di. ELABORAZIONE NUMERICA dei SEGNALI 1 modulo (6 CFU) Ciro Cafforio

Appunti del corso di. ELABORAZIONE NUMERICA dei SEGNALI 1 modulo (6 CFU) Ciro Cafforio Politecnico di Bari Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Appunti del corso di ELABORAZIONE NUMERICA dei SEGNALI 1 modulo (6 CFU) Ciro Cafforio Anno Accademico 2012-2013 CAPITOLO

Dettagli

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Sistemi Digitali di Controllo A.A. 9- p. /3 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento, C. Melchiorri,

Dettagli

PARTE IV IL METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE

PARTE IV IL METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE PARTE IV IL METODO DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE Per facilitare la risoluzione delle equazioni differenziali dei circuiti e dei sistemi lineari e stazionari, riconducendole a equazioni algebriche mediante

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE

RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE CAPIOLO 3 RAPPRESENAZIONE DI UN SEGNALE DEERMINISICO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE 3. - INRODUZIONE. LA RASFORMAA DI FOURIER Si è visto come un modello matematico per segnali deterministici è costituito

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi armonica e metodi grafici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. Analisi

Dettagli

Successioni e serie di funzioni

Successioni e serie di funzioni Successioni e serie di funzioni A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara In questa dispensa generalizzeremo la trattazione delle successioni e delle serie al caso in cui i termini delle stesse siano non numeri

Dettagli

Ricordiamo ora che a è legata ad x (derivata seconda) ed otteniamo

Ricordiamo ora che a è legata ad x (derivata seconda) ed otteniamo Moto armonico semplice Consideriamo il sistema presentato in figura in cui un corpo di massa m si muove lungo l asse delle x sotto l azione della molla ideale di costante elastica k ed in assenza di forze

Dettagli

Introduzione al Campionamento e

Introduzione al Campionamento e Introduzione al Campionamento e all analisi analisi in frequenza Presentazione basata sul Cap.V di Introduction of Engineering Experimentation, A.J.Wheeler, A.R.Ganj, Prentice Hall Campionamento L'utilizzo

Dettagli

Trasformate integrali

Trasformate integrali Trasformate integrali Gianni Gilardi Pavia, 12 dicembre 1997 Siano I e J due intervalli di R, limitati o meno, e K : I J C una funzione fissata. Data ora una generica funzione u : I R, consideriamo, per

Dettagli

Corso di Dinamica delle Strutture Dispense - parte #1

Corso di Dinamica delle Strutture Dispense - parte #1 Corso di Dinamica delle Strutture Dispense - parte # A.A. 25 26 Versione..2 Indice Grandezze fisiche 3. Un Esempio semplice ma non banale......................... 3 2 Il Modello di Oscillatore Semplice

Dettagli

30 RISONANZE SULLE LINEE DI TRASMISSIONE

30 RISONANZE SULLE LINEE DI TRASMISSIONE 3 RISONANZE SULLE LINEE DI TRASMISSIONE Risuonatori, ovvero circuiti in grado di supportare soluzioni risonanti( soluzioni a regime sinusoidali in assenza di generatori) vengono largamente utilizzati nelle

Dettagli

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda

Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Studio sperimentale della propagazione di un onda meccanica in una corda Figura 1: Foto dell apparato sperimentale. 1 Premessa 1.1 Velocità delle onde trasversali in una corda E esperienza comune che quando

Dettagli

Politecnico di Torino Dip. di Ingegneria Strutturale e Geotecnica. Centro sui Rischi nelle Costruzioni

Politecnico di Torino Dip. di Ingegneria Strutturale e Geotecnica. Centro sui Rischi nelle Costruzioni Politecnico di Torino Dip. di Ingegneria Strutturale e Geotecnica Centro sui Rischi nelle Costruzioni INDICE DELLA PRESENTAZIONE - Concetti base di dinamica dei sistemi discreti oscillazioni libere e smorzamento

Dettagli

2. Differenze Finite. ( ) si

2. Differenze Finite. ( ) si . Differenze Finite In questa Nota tratteremo della soluzione numerica di equazioni a derivate parziali scalari attraverso il metodo delle differenze finite. In particolare, affronteremo il problema della

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:

Dettagli

Risposta temporale: esercizi

Risposta temporale: esercizi ...4 Risposta temporale: esercizi Esercizio. Calcolare la risposta al gradino del seguente sistema: G(s) X(s) = s (s+)(s+) Y(s) Per ottenere la risposta al gradino occorre antitrasformare la seguente funzione:

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza

Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Argomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

Modellistica delle linee di trasmissione

Modellistica delle linee di trasmissione Modellistica delle linee di trasmissione PARTE I Modelli equivalenti nel dominio del tempo e della frequenza prof. Antonio Maffucci A. Maffucci, Modellistica delle linee di trasmissione parte 1 [pag. 1/81]

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

Orlando Allocca Regolatori standard

Orlando Allocca Regolatori standard A09 159 Orlando Allocca Regolatori standard Copyright MMXII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133/A B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978-88-548-4882-7

Dettagli

Capitolo 4. Sistemi lineari tempo-invarianti: analisi nel dominio della frequenza

Capitolo 4. Sistemi lineari tempo-invarianti: analisi nel dominio della frequenza Capitolo 4 Sistemi lineari tempo-invarianti: analisi nel dominio della frequenza 1. Introduzione In questo capitolo ci occuperemo dell analisi nel dominio della frequenza di sistemi dinamici lineari tempo-invarianti.

Dettagli

Introduzione. Classificazione delle non linearità

Introduzione. Classificazione delle non linearità Introduzione Accade spesso di dover studiare un sistema di controllo in cui sono presenti sottosistemi non lineari. Alcuni di tali sottosistemi sono descritti da equazioni differenziali non lineari, ad

Dettagli

FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE. Dispense redatte dal Prof. Francesco Valdoni, riviste e sistemate editorialmente dal Prof.

FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE. Dispense redatte dal Prof. Francesco Valdoni, riviste e sistemate editorialmente dal Prof. FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE Dispense redatte dal Prof. Francesco Valdoni, riviste e sistemate editorialmente dal Prof. Michele Luglio 2 3 INDICE!! "#$%&'()"&#*+,!!-!!.".$*/"+*+.*%0")"+'"+$*1*2&/(#"23)"&#"+

Dettagli

Analisi in regime sinusoidale (parte I)

Analisi in regime sinusoidale (parte I) Appunti di Elettrotecnica Analisi in regime sinusoidale (parte I) Introduzione sul regime sinusoidale... Generalità sulle funzioni periodiche e sulle grandezze alternate...3 Esempio...4 Richiami sui numeri

Dettagli

APPUNTI SU TRASFORMATE DI LAPLACE E TRASFORMATE Z ERRATA CORRIGE

APPUNTI SU TRASFORMATE DI LAPLACE E TRASFORMATE Z ERRATA CORRIGE APPUNTI SU TRASFORMATE DI LAPLACE E TRASFORMATE Z ERRATA CORRIGE Proprietà 2.: L[y(t)] (2.29): u( + ) (2.65): n j= j i Prima della (2.69): A = lim s W (s) Nella Seione 2.6, usa sia t che k per indicare

Dettagli