STRUMENTAZIONE ELETTRONICA DI MISURA II

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1 Dispense per il corso di: STRUMENTAZIONE ELETTRONICA DI MISURA II Prof. D'ANTONA GABRIELE A cura di Ugo Ambrosetti e Massmiliano Galli

2 Dispensa del corso di Strumentazione Elettronica di Misura II a cura di Ugo Ambrosetti e Massimiliano Galli Indice : Sezione 1 Introduzione al Corso Trasmissione dell informazione Trasmissioni numerico Segnali analogici, certi ed aleatori Rappresentazione di segnali analogici Rappresentazione di processi aleatori Segnali numerici Teoria delle probabilità Segnali e sistemi Caratteristiche dei sistemi Caratteristiche dei segnali Aspetti fisici delle grandezze energetiche Serie di Fourier Segnali reali Simmetria coniugata Interpretazione degli Xn come fasori Serie Trigonometrica Serie di Fourier a banda limitata Teorema di Parseval Spettro di Potenza per segnali periodici Esempi di Sviluppi in Serie di Fourier Definizione T.d.F Densità di energia Appendici Sintesi delle proprietà della trasformata di Fourier Trasformate di segnali Teorema del Campionamento Aliasing Energia di un segnale campionato Uso pratico Trasformata discreta di Fourier Relazione tra DFT e trasformata Z Filtraggio numerico via DFT Teoria delle probabilità Assiomi delle probabilità Teoremi di base Probabilità condizionali Teorema di Bayes Indipendenza statistica

3 Dispensa del corso di Strumentazione Elettronica di Misura II a cura di Ugo Ambrosetti e Massimiliano Galli Variabili aleatorie Funzioni di densità e di distribuzione di probabilità Medie, momenti e momenti centrati Variabile aleatoria a distribuzione uniforme Processi Stazionari ed Ergodici Media di insieme Medie temporali Medie temporali calcolate come medie di insieme Processi stazionari Processi stazionari ed erodici Riassumendo Processo ad aleatorietà parametrica Correlazione e Covarianza Correlazione Covarianza e Indipendenza Statistica Statistiche dei Processi Autocorrelazione Proprietà dell autocorrelazione Densità Spettrale Teorema di Wiener Esempi Stima spettrale Sezione 2 Meccanismi di Rumore Introduzione Rumore termico Rumore shot (equazione di Schottky) Rumore 1/f (excess noise) Proprietà statistiche del rumore 1/f Stazionarietà Gaussianità I processi di rumore 1/f sono presenti all equilibrio termico? Rumore nei bipoli passivi Rapporto segnale rumore dei generatori Rumore nelle reti due porte Reti passive Rapporto SNR in uscita Fattore di rumore Reti attive Fattore di rumore per reti in cascata Gli amplificatori operazionali Il componente ideale Configurazioni lineari Amplificatore in configurazione invertente Circuito integratore e derivatore

4 Dispensa del corso di Strumentazione Elettronica di Misura II a cura di Ugo Ambrosetti e Massimiliano Galli Configurazioni a scatto Il comparatore Comparatore con isteresi Multivibratore astabile L amplificatore differenziale La reiezione del modo comune L amplificatore per strumentazione Schema circuitale Il bilanciamento degli ingressi Il rumore negli amplificatori operazionali Circuito equivalente (modo differenziale) Il rumore nell amplificatore operazionale Circuito equivalente per Offset e Derive Bias e Offset all uscita di una generica configurazione Progetto a basso rumore Sezione 3 Rivelazione dei segnali Filtraggio Filtro del primo ordine Filtro a finestra mobile Filtraggio lineare ottimo Filtro di Wiener Filtro adattato Tecniche di correlazione Rivelazione del segnale (Riassunto) BoxCar sampling gate Lock-in Sezione 4 PLL (Phase Locked Loop) Principio di funzionamento Introduzione ai blocchi fondamentali Phase Detector Phase-Frequency Detector e Charge Pump Voltage-Controlled Oscillator Low-Pass Filter Dinamica del Phase-Locked Loop Sezione 5 Collegamenti e mezzi trasmissivi Dimensionamento di un collegamento Collegamenti in cavo Costanti distribuite, grandezze derivate, e condizioni generali Trasmissione in cavo Casi limite Tipologie di cavi

5 Dispensa del corso di Strumentazione Elettronica di Misura II a cura di Ugo Ambrosetti e Massimiliano Galli Coppie simmetriche Cavo coassiale Collegamenti in fibra ottica Generalità Propagazione luminosa Multiplazione a divisione di lunghezza d onda WDM Ridondanza e pericoli naturali Sonet

6 Sezione 1: Introduzione al corso CAPITOLO 1 INTRODUZIONE: 1.1 Trasmissione dell informazione: L origine del segnale da trasmettere è indicata come sorgente, di tipo analogico o numerico per i due tipi di segnale. Ciò che giace tra sorgente e destinatario viene descritto da una entità astratta denominata canale di comunicazione, le cui caratteristiche condizionano i messaggi trasmessi. Il canale può ad esempio imporre una limitazione alla banda di frequenze del segnale in transito; cause fisiche ineliminabili producono inoltre, al lato ricevente, l insorgere di un segnale di disturbo additivo, comunemente indicato con il termine di rumore, che causa la ricezione di un segnale diverso da quello stesso presente all uscita del canale. Pertanto, ci si preoccupa di caratterizzare il canale in modo da scegliere i metodi di trasmissione più idonei a rendere minima l alterazione sul messaggio trasmesso. L entità delle alterazioni subite dal messaggio viene spesso quantificata in termini di rapporto segnale rumore (SNR o SIGNAL-TO-NOISE RATIO), che rappresenta un indice di qualità del collegamento stesso, e che per ora definiamo genericamente come il rapporto tra l entità del segnale utile ricevuto e quello del rumore ad esso sovrapposto (n = segnale utile ricevuto / rumore). La linea di trasmissione è costituita da un mezzo trasmissivo su cui si propaga un segnale di natura elettrica, occorrono perciò un sistema di traduzione e dei dispositivi di adattamento (es. equalizzatori, amplificatori, codificatori di linea..) per rendere le caratteristiche del segnale adatte a quelle della linea. 1.2 Trasmissioni numerico: Qualora si desideri trasmettere un segnale numerico, questo deve in generale essere convertito in un segnale analogico mediante l utilizzo di dispositivi chiamati Modem, come rappresentato dalla figura seguente. Il progetto del canale numerico è caratterizzato da un fattore di qualità individuato dalla probabilità di errore che è definita come la frequenza con cui i simboli ricevuti differiscono da quelli trasmessi. Nelle trasmissioni numeriche, si può introdurre una ridondanza nella sequenza trasmessa, inviando più simboli di quanti non ne produca la sorgente; i simboli in più sono scelti con criteri che li rendono dipendenti tra loro, per rendere possibile la riduzione della probabilità d errore: il ricevitore è in grado di accorgesi che si è verificato un errore (se non c è la dipendenza) e può attuare delle contromisure (es. correzione dell errore isolato FEC, oppure può chiedere la ritrasmissione). Queste trasformazioni di codifica devono poi essere rimosse all uscita con un decodificatore. Poniamoci ora il problema di utilizzare un canale numerico per effettuare una trasmissione analogica. Il vantaggio di tale contorsione è da ricercarsi nel migliore comportamento delle trasmissioni numeriche rispetto ai disturbi, nonché alla loro generalità. Per ottenere il risultato desiderato, occorre applicare alla sorgente analogica un procedimento di campionamento, prelevandone i valori ad istanti discreti, e quindi di quantizzazione, rappresentando tali valori mediante un insieme finito di simboli. Il risultato è una sequenza numerica che può essere di nuovo convertita nel segnale originario, utilizzando un dispositivo di conversione digitale-analogica (DAC) dal lato del ricevitore. 1

7 Sezione 1: Introduzione al corso La riduzione dei valori campionati ad un numero finito di elementi introduce un ulteriore distorsione. L entità del rumore di quantizzazione è inversamente legata alla risoluzione. CLAUDE SHANNON, enunciò negli anni 50 una serie di teoremi, che sono la base dell analisi dei sistemi di comunicazione: Un qualsiasi canale pone un limite al massimo flusso informativo che transita in esso. Il limite deriva dai vincoli che il canale impone sulla massima banda B del segnale in transito, sulla massima potenza di segnale S ricevuta, e sulla potenza di rumore N presente al ricevitore. Il massimo flusso di informazione in transito prende il nome di capacità di canale C, e può essere espresso come: C = B log2 (1 + S/N) [bit/sec] Una qualsiasi sorgente produce un flusso informativo in bit/secondo tanto più elevato quanto minore è la distorsione introdotta dal processo di quantizzazione. Considerando una coppia sorgente + canale, dato che il canale limita il massimo flusso informativo prodotto dalla sorgente, quest ultima verrà necessariamente riprodotta con una distorsione tanto maggiore quanto minore è la capacità di canale. 1.3 Segnali analogici, certi ed aleatori: I segnali analogici, indicati con s (t) rappresentano l andamento nel tempo di una grandezza elettrica (es. segnale vocale: in cui un onda trasversale di pressione-velocità è convertita in una tensione da un microfono, oppure segnale di immagine, che è bidimensionale, e definito su di un piano anziché nel tempo, rappresentato da una grandezza S (x, y) che ne individua la luminanza, e scandito per linee generando un segnale temporale. Un segnale può anche assumere valori complessi, in questo caso il segnale assume contemporaneamente due diversi valori: parte reale e parte immaginaria, oppure modulo e fase). E importante distinguere tra i segnali cosiddetti certi e quelli aleatori. Un esempio di segnale certo può essere una cosinusoide di cui sia nota sia l ampiezza che la fase, mentre un segnale aleatorio non è noto con esattezza prima che questo venga prodotto (ad esempio il rumore di un ruscello, o le notizie presenti in un telegiornale). L insieme di tutti i segnali aleatori appartenenti ad una medesima classe viene indicato nel suo complesso come processo aleatorio, ed un segnale particolare di questo insieme come una sua realizzazione Rappresentazione di segnali analogici: Lo studio delle proprietà dei segnali si articola prendendo in considerazione per gli stessi rappresentazioni alternative, scelte in modo da poter valutare più agevolmente le alterazioni subite dai segnali nel passaggio attraverso sistemi fisici. In particolare, sarà definito lo sviluppo in serie di Fourier per la rappresentazione dei segnali periodici, e quindi la trasformata di Fourier che descrive una classe più ampia di segnali. L analisi di Fourier consente di definire il concetto di banda occupata da un segnale, nonché di come la sua potenza e/o energia si distribuisce in frequenza; quest ultimo andamento viene indicato con il termine di Spettro di Densità di Potenza (o di Energia) Rappresentazione di processi aleatori: Anche nel caso in cui il segnale non è noto a priori, e dunque è impossibile calcolarne la trasformata di Fourier in forma chiusa, si può ugualmente giungere ad una rappresentazione che caratterizzi le realizzazioni del processo nei termini della distribuzione (statistica) in frequenza della potenza di segnale. Ciò è possibile considerando la funzione di autocorrelazione, che esprime il grado di interdipendenza statistica tra i valori assunti in istanti diversi dalle realizzazioni del processo, e che costituisce un elemento unificante ai fini della stima spettrale dei segnali (processi molto correlati 2

8 Sezione 1: Introduzione al corso siano caratterizzati da una densità di potenza di tipo colorato che indica la prevalenza di alcune frequenze su altre, mentre processi scarsamente correlati saranno identificati da una densità di potenza di tipo bianco ovvero la presenza di tutte le lunghezze d onda in ugual misura). 1.4 Segnali numerici Sono indicati con la notazione s [k], per evidenziare che il loro dominio è l insieme dei numeri interi. Sono valide le stesse definizioni fornite a riguardo dei segnali analogici, relativamente ai concetti di potenza, energia e periodicità, utilizzando qui delle sommatorie in luogo degli integrali. Un segnale viene chiamato numerico quando assume valori appartenenti ad un insieme finito di simboli; per questo motivo, la sua essenza è indicata anche come sequenza simbolica. Segnali tempo-discreti: si può alternativamente rappresentare ogni carattere con un diverso valore di tensione, ottenendo un segnale analogico che è una rappresentazione a più livelli di tensione della sequenza originaria. Il concetto di occupazione di banda, applicabile ai segnali analogici, è qui sostituito da quello di velocità di emissione, espressa in simboli/secondo, ed indicata come frequenza di simbolo. Una sequenza prodotta da una sorgente numerica si presta facilmente ad essere trasformata in un altra, con un diverso alfabeto ed una differente frequenza di simbolo. 1.5 Teoria delle probabilità: Molti dei concetti utilizzati per trattare i processi aleatori, per definire la quantità di informazione di un messaggio, le prestazioni di un canale, il dimensionamento di reti di comunicazione, sono fondati sulla conoscenza della teoria delle probabilità, che verrà pertanto illustrata, almeno nei suoi concetti fondamentali nel proseguo della dispensa. 1.6 Segnali e sistemi: Un sistema è un gruppo di oggetti che interagiscono armoniosamente, e che sono combinati in modo da conseguire un obbiettivo desiderato. Un segnale è un evento che veicola un contenuto informativo. Nel nostro caso, possiamo interessarci alla risposta di un sistema ad un dato segnale. A volte, un sistema è descritto unicamente in termini della sua risposta a determinati segnali Caratteristiche dei sistemi: Idealizziamo ora un sistema come una trasformazione T [.], tale che ad ogni segnale di ingresso x (t) corrisponda una uscita y (t): T [x (t)] = y (t) In base a tale formalismo, riportiamo alcune caratteristiche dei sistemi, che ne descrivono il comportamento in termini più generali: Linearità: un sistema è lineare quando l uscita associata ad una combinazione lineare di ingressi, è la combinazione lineare delle uscite previste per ogni singolo ingresso: Al contrario, un legame ingresso-uscita senza memoria14 del tipo y (t) = g (x (t)), in cui g (.) è una generica funzione non lineare, non è lineare! Stazionarietà o Permanenza: un sistema è permanente (o stazionario) se l uscita associata ad un ingresso traslato nel tempo, è la traslazione temporale dell uscita che si avrebbe per lo stesso ingresso non traslato, ovvero se: 3

9 Sezione 1: Introduzione al corso T [x (t)] = y (t), allora T [x (t ζ )] = y (t ζ) Nel caso contrario, il sistema è detto tempo-variante. Casualità o Realizzabilità fisica: determina l impossibilità di osservare un uscita, prima di aver applicato un qualunque ingresso. Una definizione alternativa asserisce che i valori di uscita y (t) ad un istante t = t0, non possono dipendere da valori di ingresso x (t) per t > t0. Stabilità: è definita come la proprietà di fornire uscite limitate (in ampiezza) per ingressi limitati Caratteristiche dei segnali: Da un punto di vista analitico, un segnale è una funzione del tempo per il quale si possono operare le classificazioni: Segnale di potenza: un segnale analogico può avere una estensione temporale limitata, oppure si può immaginare che si estenda da meno infinito a infinito. Nel secondo caso il segnale si dice di potenza se ne esiste (ed è diversa da zero) la media quadratica: Un segnale di potenza è inoltre detto Segnale periodico di periodo T, nel caso in cui si verifichi che s (t) = s (t + T) per qualsiasi valore di t. Segnale di energia: un segnale di durata limitata o illimitata, se esiste il valore: In particolare, se un segnale ha durata limitata, ovvero è nullo per t al di fuori di un intervallo [t1, t2], allora è anche di energia. Segnale impulsivo: un segnale di energia, che tende a zero come (o più velocemente di 1/t) Riassumendo: Un segnale impulsivo è di energia; Un segnale a durata limitata è impulsivo, e di energia; Un segnale periodico non è di energia, ma di potenza; 4

10 Sezione 1: Introduzione al corso Aspetti fisici delle grandezze energetiche: Potenza istantanea: se consideriamo una resistenza R, ed applichiamo ai suoi capi una tensione v (t), in essa scorre una corrente i (t) = v(t) / R, e la potenza ceduta alla resistenza ad ogni istante t è pari a: p (t) = v (t) i (t) che si misura in Watt (equivalente a Joule/secondo), e che rappresenta la potenza istantanea assorbita. Energia: se integriamo p (t) su di un intervallo temporale T, si ottiene l energia complessiva assorbita da R nell intervallo T: nello stesso intervallo T, la resistenza assorbe una potenza: [Watt] che costituisce una media a breve termine dell energia assorbita nell intervallo T. Se un segnale x (t) è periodico con periodo T, i valori di et (t) = pt (t) coincidono con quelli calcolabili con T comunque grande. Se R = 1, tali valori coincidono inoltre con le definizioni di potenza ed energia del segnale: Potenza dissipata: se la resistenza è diversa da 1 le due quantità non coincidono più. Nelle misure fisiche in genere si ottiene la potenza dissipata sullo strumento di misura (o irradiata dall antenna, o dagli altoparlanti) espressa in Watt. Per risalire alla potenza/energia di segnale delle grandezze elettriche presenti ai suoi capi (tensione o corrente) occorre dividere (o moltiplicare) la potenza in Watt per R. Valore efficace: si indica allora come valore efficace quel livello di segnale continuo che produrrebbe lo stesso effetto energetico. 5

11 Sezione 1: Introduzione al corso CAPITOLO 2 SERIE DI FOURIER: 2.1 Serie di Fourier: Come anticipato, un segnale periodico x (t) è un segnale di potenza, che assume ripetutamente gli stessi valori a distanza multipla di un intervallo temporale T denominato periodo, ovvero tale che: x (t) = x (t + T) L inverso di T è detto frequenza fondamentale F = 1 / T o prima armonica di x (t), espressa in Hertz, dimensionalmente pari all inverso di un tempo [sec 1]. Per i segnali periodici esiste una forma di rappresentazione basata sulla conoscenza di una serie infinita di coefficienti complessi {Xn} denominati coefficienti di Fourier, calcolabili a partire da un periodo del segnale come: e che permettono la ricostruzione di x (t), sotto forma di una combinazione lineare di infinite funzioni esponenziali complesse, mediante l espressione nota come serie di Fourier: Osserviamo che: La conoscenza di {Xn} equivale a quella di x (t) e viceversa, esistendo il modo di passare dall una all altra rappresentazione; Le funzioni della base di rappresentazione sono funzioni trigonometriche a frequenza multipla (n-esima) della fondamentale, detta anche n-esima armonica. I termini sono chiamati componenti armoniche di x (t) a frequenza f = nf; Il coefficiente rappresenta la componente continua (o valor medio) di x (t); La serie di Fourier dà valori esatti in tutti i punti in cui x (t) è continuo, mentre in corrispondenza di discontinuità di prima specie fornisce un valore pari alla media dei valori agli estremi, cosicché il valore dell energia di un periodo è preservato; I coefficienti di Fourier Xn possono essere calcolati anche per un segnale di estensione finita T. Antitrasformando, il segnale diventa periodico! Se poniamo nf = f (con f variabile continua), possiamo interpretare le componenti armoniche come i valori campionati di una funzione (complessa) delle frequenza: Xn = X (nf). Ad X (f) si dà il nome di 6

12 Sezione 1: Introduzione al corso inviluppo dello spettro di ampiezza di x (t), che si ottiene estendendo la definizione dei coefficienti di Fourier: I coefficienti Xn sono valori complessi. Al loro posto si possono usare, in alternativa: essendo: segnali reali: Simmetria coniugata: I coefficienti della serie di Fourier possono essere calcolati anche per segnali complessi; nel caso particolare di x (t) reale i coefficienti di Fourier risultano godere della proprietà di simmetria coniugata, espressa come e che significa che i coefficienti con indice n negativo possiedono una parte reale uguale a quella dei coefficienti con (uguale) indice positivo, e parte immaginaria cambiata di segno. Ciò comporta una proprietà analoga per il modulo e la fase di {Xn}, e dunque possiamo scrivere: Tali relazioni evidenziano che: Se x (t) è reale, i coefficienti Xn risultano avere modulo pari e fase dispari, ovvero parte reale pari e parte immaginaria dispari. Un corollario di questo risultato è che: Se x (t) è reale pari, i coefficienti Xn sono reali (pari), mentre se x (t) è reale dispari, gli Xn sono immaginari (dispari) Interpretazione degli Xn come fasori: Confrontando la formula di ricostruzione: e quella: 7

13 Sezione 1: Introduzione al corso ricavata per il caso di un coseno, e tenendo conto della proprietà di simmetria coniugata, si nota come un segnale reale possa essere pensato composto a partire da un insieme infinito di fasori (pari al doppio dei coefficienti Xn), rotante ognuno con una velocità angolare multipla della frequenza fondamentale Serie Trigonometrica: Nel caso in cui gli Xn abbiano simmetria coniugata, la formula di ricostruzione può scriversi: ovvero in forma di serie di coseni; si noti che X0 è necessariamente reale, in quanto la fase deve risultare una funzione dispari della frequenza. In modo simile, le proprietà relative alle parti reale ed immaginaria permettono di scrivere: in cui: Pertanto, nel caso in cui x (t) sia un segnale reale, la serie di Fourier si riduce ad uno sviluppo in termini di funzioni trigonometriche, ed in particolare ad una serie di soli coseni nel caso in cui x (t) sia pari, oppure una serie di soli seni, nel caso in cui sia dispari Serie di Fourier a banda limitata: Consideriamo un onda quadra con duty-cycle del 50%: rappresentata mediante una serie troncata di Fourier in cui si considerano solo i coefficienti Xn con indice Sappiamo che e per =T/2 si ottiene, che risulta diversa da zero solo con n dispari e quindi: 8

14 Sezione 1: Introduzione al corso Essendo inoltre x (t) reale pari, sappiamo che può essere espresso come serie di coseni: 2.2 Teorema di Parseval: Stabilisce l equivalenza di due rappresentazioni del segnale dal punto di vista energetico. La potenza, infatti, è calcolabile in modo simile in entrambi i domini del tempo e della frequenza, risultando: Sviluppiamo i calcoli che danno luogo al risultato mostrato: Ortogonalità degli esponenziali complessi: nei precedenti calcoli si è fatto uso del risultato: che deriva dalla circostanza che la funzione integranda (per n m) è periodica con periodo uguale o sotto-multiplo di T, e quindi a valor medio nullo; per n = m invece essa vale = 1, e dunque il risultato. Questo prende il nome di Proprietà di Ortogonalità degli esponenziali complessi Spettro di Potenza per segnali periodici: L integrale seguente, oltre a misurare la potenza del segnale periodico x (t), ne misura la norma quadratica da un punto di vista algebrico. 9

15 Sezione 1: Introduzione al corso Tornando ad esaminare il risultato è la potenza di una singola componente armonica di x (t): espresso dal teorema di Parseval, notiamo che e quindi osserviamo che: La potenza totale di un segnale periodico x (t) è pari alla somma delle potenze delle sue componenti armoniche Si presti attenzione che il risultato è una diretta conseguenza dell ortogonalità della base di rappresentazione. In generale, la potenza di una somma non è pari alla somma delle potenze; l uguaglianza ha luogo solo nel caso di in cui gli addendi siano ortogonali. La successione rappresenta come la potenza totale si ripartisce tra le diverse armoniche a frequenza f = nf, e prende il nome di Spettro di Potenza del segnale x (t). Osserviamo che necessariamente i termini risultano reali e positivi. Inoltre, se x (t) è reale, risulta, e quindi si ottiene ; pertanto un segnale reale è caratterizzato da uno spettro di potenza pari. 2.3 Esempi di Sviluppi in Serie di Fourier: 10

16 Sezione 1: Introduzione al corso 11

17 Sezione 1: Introduzione al corso CAPITOLO 3 TRASFORMATA DI FOURIER: Abbiamo già osservato che lo sviluppo in serie di Fourier può essere applicato ad un segnale limitato nel tempo, e che l uso della formula di ricostruzione rende periodico il segnale originario. Se però facciamo tendere ad infinito il periodo fittizio T su cui sono calcolati i coefficienti Xn, le armoniche della serie di Fourier tendono ad infittirsi, fino ad arrivare ad una distanza infinitesima; allo stesso tempo, la periodicizzazione del segnale ricostruito tende via via a scomparire. 3.1 Definizione: La trasformata di Fourier serve a rappresentare quei segnali per i quali non sussiste una struttura periodica, ed è un operatore funzionale che, applicato ad un segnale definito nel dominio del tempo, ne individua un altro nel dominio della variabile continua frequenza (a differenza della serie discreta di Fourier, idonea al caso in cui siano presenti solo armoniche della fondamentale). L operazione di trasformazione è spesso indicata con la simbologia X (f) = F {x (t)}, ed il segnale trasformato si indica con la stessa variabile di quello nel tempo, resa maiuscola. La sua definizione formale dal punto di vista analitico è: la cui esistenza è garantita per segnali x (t) impulsivi (ovvero per i quali cioè assolutamente sommabili). Un segnale impulsivo è anche di energia, mentre non è sempre vero il viceversa. Spesso però, X (f) esiste anche per segnali di energia; vedremo inoltre che può essere definita (grazie ad operazioni di passaggio al limite) anche per segnali di potenza periodici. L antitrasformata di Fourier è l operatore analitico che svolge l associazione inversa a,e che consente di ottenere, a partire da un segnale definito nel dominio della frequenza, quel segnale nel dominio del tempo la cui trasformata è il primo segnale. L operazione di antitrasformazione è definita come: e vale ovunque x (t) sia continuo, mentre nelle discontinuità di prima specie fornisce il valor medio di x (t). Il risultato della trasformata è anche detto spettro di ampiezza complessa, mentre M (f) ed sono detti spettri di modulo e fase. La formula di ricostruzione, se messa a confronto con la serie di Fourier, può essere pensata come una somma integrale di infinite componenti di ampiezza (complessa) infinitesima, evidenziando come ora siano presenti tutte le frequenze e non solo le armoniche. Una seconda analogia con la serie di Fourier deriva dal considerare un segnale x (t) di durata limitata T, e calcolare per. In tal caso, è facile verificare che risulta con Xn pari all n-esimo coefficiente di Fourier calcolato per x (t) su quello stesso periodo. 12

18 Sezione 1: Introduzione al corso 3.2 Densità di energia: Similmente al caso dei segnali periodici, viene ora stabilita una relazione tra l energia di un segnale, e la distribuzione della stessa nel dominio della frequenza. Definiamo come prodotto scalare tra i segnali di energia x (t) e y (t) (detto anche energia incrociata) il valore: che, nel caso in cui x (t) = y (t), coincide con l energia trasformata di Fourier possiamo scrivere: di x (t). Se entrambi x (t) e y (t) possiedono Il risultato: esprime il teorema di Parseval per segnali di energia, ed implica che le trasformate di segnali ortogonali, sono anch esse ortogonali. Ponendo ora x (t) = y (t), si ottiene: Esaminando quest ultima espressione, possiamo indicare: come lo spettro di densità di energia di x (t). Infatti, l integrale rappresenta il contributo all energia totale di x (t), limitatamente alla banda di frequenze comprese tra f1 ed f Appendici: Sintesi delle proprietà della trasformata di Fourier: 13

19 Sezione 1: Introduzione al corso Trasformate di segnali: 14

20 Sezione 1: Introduzione al corso CAPITOLO 4 CENNI SUL CAMPIONAMENTO E L ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI 4.1 Teorema del Campionamento: Un segnale con spettro nullo a frequenze maggiori di W, è univocamente definito a partire dai valori che assume agli istanti t = n / 2W, con n intero. La frequenza 2W è chiamata frequenza di Nyquist. In virtù del teorema, l andamento di un segnale x (t) limitato in banda tra W e W può essere ricostruito in base ai suoi campioni, presi a frequenza doppia della sua banda a frequenze positive, per mezzo della formula: in cui la funzione sinc (2Wt) è mostrata in figura, assieme ad una sua replica traslata. Per dimostrare il risultato, studiamo il circuito riportato in figura che mostra uno schema simbolico che (come vedremo) realizza le stesse operazioni della formula di ricostruzione, operando un campionamento con periodo Tc = 1/ 2W. Calcoliamo innanzitutto lo spettro di ampiezza X (f) del segnale che esce dal moltiplicatore, che ha subito un alterazione notevole rispetto a quello di X (f) in ingresso. Infatti, il segnale: ha uno spettro di ampiezza: 15

21 Sezione 1: Introduzione al corso dove il penultimo passaggio scambia l integrale di una somma con una somma di integrali, e l ultimo passaggio tiene conto della proprietà di convoluzione con un impulso. In definitiva si è mostrato che X (f) è costituito dalle repliche di X (f) centrate a multipli della frequenza di campionamento. Pertanto, il filtro passa-basso H (f) (chiamato anche con il nome di filtro di restituzione) lascia passare solo una delle repliche spettrali, e dunque è evidente come: Per quanto riguarda la formula di ricostruzione che fa uso dei campioni x(n/2w) e delle funzioni sinc(2wt), deriva anch essa dallo schema illustrato, e può essere interpretata con l aiuto della figura sotto. Infatti, y (t) è il risultato della convoluzione tra x (t) e h (t), e dunque ogni impulso di cui è composto x (t), quando convoluto con h (t), trasla la forma d onda h (t) all istante nt c a cui è centrato l impulso. In formule: con: Questo risultato mostra come il teorema del campionamento definisca essenzialmente una formula di interpolazione: i valori del segnale ricostruito hanno l esatto valore dei campioni di segnale negli istanti di campionamento, mentre negli istanti intermedi il valore si forma dalla somma di tutte le code dei sinc adiacenti. Il processo di costruzione grafica ora descritto è riportato nella figura precedente Aliasing: Questo termine ha origine dalla parola inglese alias (copia, clone) e sta ad indicare il fenomeno che si produce nell applicare il teorema del campionamento quando i requisiti non sono soddisfatti, e cioè 16