APPUNTI SU TRASFORMATE DI LAPLACE E TRASFORMATE Z ERRATA CORRIGE

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1 APPUNTI SU TRASFORMATE DI LAPLACE E TRASFORMATE Z ERRATA CORRIGE Proprietà 2.: L[y(t)] (2.29): u( + ) (2.65): n j= j i Prima della (2.69): A = lim s W (s) Nella Seione 2.6, usa sia t che k per indicare il tempo discreto (2.46): Z[u(t + )] Proprietà 2.4: Sostituire Traslaione nel dominio di con Cambio di scala nel dominio di Dimostraione della (2.6): Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di a t,... Titolo della Seione 2.6.4:... : calcolo delle potene di una matrice e... (2.89): w(t) = q j= A,j δ(t j + ) + q r i i=2 j= ( A i,j p t j+ i t j )

2 Capitolo 2: Analisi [Draft; 2/3; N.O.; UniPG] La trasformata di Laplace Lo studio dei sistemi lineari staionari a tempo continuo, ed in particolare lo studio dei legami ingresso uscita di tali sistemi, è di solito condotto facendo uso delle strumento formale simbolico trasformata della di Laplace. In queste note la trasformata di Laplace viene presentata in modo estremamente sintetico ed operativo. Per tutti gli aspetti formali, di esistena della trasformata, e per i legami con altre trasformate ed integrali, ad esempio con la trasformata di Fourier, si rimanda a testi specifici. Si consideri una funione del tempo f( ), a valori complessi, nulla per t <, e maggiorata da Me γt, per qualche valore di M > e γ > : f : R C, f(t) =, t <, f(t) < Me γt, t >. La trasformata di Laplace della funione f( ), indicata (sia pure impropriamente) con la notaione: F (s) := L[f(t)], (2.23) è definita dall integrale (supposto che esista): F (s) := f(t)e st dt. (2.24) Se l integrale (2.24) esiste per un certo valore complesso s = σ + jω, allora esiste per tutti i valori s tali che Re(s) σ. Infine, il pi` u piccolo valore di σ tale che, per ogni s con Re(s) > σ l integrale (2.24) converge, è detto ascissa di convergena, e sar` a indicato con α; la regione del piano complesso E := s C : Re(s) > α è detta regione di esistena. La funione F (s) ha lo stesso contenuto informativo del segnale di origine f(t); pi` u precisamente, F (s) ed f(t) sono due diverse rappresentaioni dello stesso segnale: F (s) è la rappresentaione nel dominio del tempo, mentre f(t) è la rappresentaione dello stesso segnale nel dominio del tempo. Nota la trasformata di Laplace F (s) di un segnale, la sua rappresentaione nel dominio del tempo, f(t), può essere ricostruita a partire dalla trasformata inversa di Laplace o antitrasformata di Laplace, definita dall integrale di linea: cioè: f(t) = L [F (s)] = σ+j F (s)e st ds, t (2.25) 2πj σ j f(t) = L [F (s)] = F (σ + jω)e (σ+jω)t dω, t (2.26) 2π ove σ è un qualunque numero reale maggiore dell ascissa di convergena α. Si noti che l integrale è calcolato lungo una retta del piano complesso parallela all asse immaginario. Di norma, tale integrale si calcola tramite il teorema dei residui, considerando il percorso chiuso costituito dalla retta verticale s = σ + jω e da un arco di cerchio antiorario di raggio infinito. La trasformata di Laplace ha interesse perchè le due trasformaioni (2.24) e (2.25) rappresentano una relaione biunivoca tra funioni del tempo e corrispondenti trasformate, nel senso meglio precisato dalla seguente propriet` a di unicit` a Proprietà della trasformata di Laplace Le seguenti proprietà della trasformata di Laplace sono di fondamentale importana. Propriet`a 2. (Propriet` a di unicit`a) Se L[x(t)] = LL [y(t)] lungo una qualche linea s = σ + jω, con σ > max{α x, α y }, allora le due funioni del tempo coincidono, cio`e x(t) = y(t), t (quasi ovunque). Propriet`a 2.2 (Linearit` a) Siano u(t) e y(t) due funioni del tempo, con trasformata U(s) ed Y (s), rispettivamente. Allora, vale la seguente propriet`a di linearit` a: L[c u(t) + c 2 y(t)] = c U(s) + c 2 Y (s), c, c 2 R. (2.27) Pi` u rigorosamente, la trasformata di Laplace e definita ` dal seguente integrale F (s) := lim f(t)e st dt. >

3 Capitolo 2: Analisi [Draft; 2/3; N.O.; UniPG] 2 4 Proprietà 2.3 (Ritardo finito) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua trasformata, con ascissa di convergena α u. Allora, dato un reale T >, la funione traslata nel tempo u(t T ) ha trasformata ed ascissa di convergena pari a: L[u(t T )] = e st U(s), α = α u. (2.28) Dimostraione. L[u(t T )] = u(t T )e st dt = u(τ)e s(τ+t ) dτ = e st u(τ)e sτ dτ = e st U(s), Re(s) > α u. T Proprietà 2.4 (Trasformata di una derivata) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua trasformata. Allora, la derivata temporale u (t) della funione u(t) ha trasformata pari a: u(t) L = su(s) u( ). (2.29) dt Dimostraione. Integrando per parti si trova: d d L u(t) = u(t)e st dt = u(t)e st + s u(t)e st dt = u() + su(s). dt dt Proprietà 2.5 (Trasformata di una derivata seconda) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua d 2 trasformata. Allora, la derivata temporale seconda u(t) della funione u(t) ha trasformata pari a: dt 2 d 2 L u(t) = s 2 U(s) su() d u(t) t=. (2.3) dt 2 dt Proprietà 2.6 (Trasformata di un integrale) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua trasformata. Allora, l integrale t u(τ)dτ ha trasformata pari a: t L u(τ)dτ = U(s). (2.3) s Dimostraione. Integrando per parti si trova: t t t L u(τ)dτ = u(τ)dτ e st dt = u(τ)dτe st + u(t)e st dt = U(s). s s s Proprietà 2.7 (Traslaione nel dominio di s (traslaione complessa)) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo e la sua trasformata. Allora, la funione e at u(t) ha trasformata pari a: L[e at u(t)] = U(s a). (2.32) Proprietà 2.8 (Trasformata di un integrale di convoluione) Siano u(t) ed y(t) due funioni del tempo, U(s) ed Y (s) le loro trasformate. Allora, l integrale di convoluione delle due funioni del tempo, se esiste, ha trasformata pari a: t L u(t τ)y(τ)dτ = U(s)Y (s). (2.33) Proprietà 2.9 (Antitrasformata della derivata rispetto ad s) Siano u(t) ed U(s) un segnale del tempo d e la sua trasformata. Allora, la funione U(s) ha antitrasformata pari a: ds d L U(s) = tu(t). (2.34) ds

4 Capitolo 2: Analisi [Draft; 2/3; N.O.; UniPG] Trasformata di Laplace di segnali notevoli Si danno ora le trasformate di alcuni segnali elementari, di interesse nello studio di sistemi dinamici. Gradino unitario. Sia δ (t) la funione gradino unitario: t < δ (t) = t, (2.35) la sua trasformata di Laplace e la corrispondente ascissa di convergena α sono date da: Dimostraione L [δ (t)] = L[δ (t)] =, α =. (2.36) s e st e st dt = = lim e st lim e st =, Re(s) >. s t s t s Rampa unitaria. Sia δ 2 (t) una rampa con pendena unitaria: t < δ 2 (t) = t t, (2.37) la sua trasformata di Laplace e la corrispondente ascissa di convergena sono: L [δ 2 (t)] =, α =. (2.38) s 2 Dimostraione. Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la proprietà (2.6) di trasformaione di un integrale. Si noti che δ 2 (t) = tδ (t). Si noti inoltre che per il calcolo della trasformata (2.38) si potrebbe applicare anche la propriet` a 2.9, riscritta come: d L [tu(t)] = ds U(s). (2.39) Segnale esponeniale. Sia u(t) un segnale esponeniale con costante a positiva: t < u(t) = e at, (2.4) t la sua trasformata di Laplace ed ascissa di convergena sono: L[e at δ (t)] =, α = a. (2.4) s a Dimostraione. Innanitutto, si noti che la funione u(t) definita sopra coincide con la funione at δe (t). Data una generica funione del tempo f(t), la notaione f(t)δ (t) è usata per indicare il fatto che la funione in esame è nulla per tempi negativi. at δ (t) L = e at e st (s a)t e e dt = = s a = lim e (s a)t lim e (s a)t =, Re(s) > a. s a t t s a A scopo esemplificativo, la tabella 2. raccoglie le trasformate dirette ed inverse di alcune funioni di uso comune. Di norma, tali trasformate si ottengono facilmente a partire da quelle riportate sopra, tramite le proprietà descritte in precedena.

5 Capitolo 2: Analisi [Draft; 2/3; N.O.; UniPG] Alcuni teoremi Nello studio dei sistemi dinamici sono utili alcuni teoremi sui legami tra i valori limite di un segnale del tempo e della corrispondente trasformata di Laplace. Teorema 2. (Valore finale) Sia u(t) una funione del tempo, con trasformata U(s). Allora, il limite per t che tende ad infinito di tale funione, se esiste ed `e finito, `e dato da: lim u(t) = lim su(s). (2.42) t s + Si noti che il teorema è applicabile solo se il punto s = è interno alla regione di convergena, cioè solo se l ascissa di convergena è nel semipiano complesso sinistro. In effetti, l esistena del limite di interesse, cioè lim t u(t), garantisce tale posiione dell ascissa di convergena. Il teorema del valore finale e utile ` nel calcolo del guadagno a regime di una funione di trasferimento. Teorema 2.2 (Valore iniiale) Sia u(t) una funione del tempo, con trasformata U(s). iniiale per t che tende a ero da destra di tale funione, se esiste ed `e finito, `e dato da: Allora il valore lim u(t) = lim su(s). (2.43) t + s Teorema 2.3 (Valore dell integrale) Sia u(t) una funione del tempo, con trasformata U(s). l integrale u(t)dt esiste, il suo valore è dato da: Allora, se u(t)dt = lim U(s). (2.44) s Sistemi a tempo continuo: calcolo dell esponeniale di matrice e della matrice di trasferimento Si consideri il sistema dinamico: ẋ = F x, x() = x. (2.45) E ` noto che la soluione di tale equaione differeniale omogenea, cioè la risposta libera nello stato, è descritta dall esponeniale di matrice: F t x(t) = e x, t R +. (2.46) F Per il calcolo dell esponeniale di matrice t esi può far uso alla trasformata di Laplace. Infatti, per la propriet` a della trasformata di una funione derivata, il sistema precedente, nel dominio di Laplace, o essere pu` scritto come: sx(s) x() = F X(s), (2.47) da cui segue facilmente: (si F )X(s) = x(). (2.48) Nel campo delle funioni raionali (e non, si badi bene, nel campo dei reali o dei complessi), la matrice (si F ) è non singolare, infatti il suo determinante è il polinomio caratteristico del sistema, per cui l equaione precedente può essere risolta rispetto alla trasformata dello stato, trovando: da cui, antitrasformando, segue: e quindi, dal confronto con (2.46), segue: X(s) = (si F ) x(), (2.49) x(t) = L (si F ) x(), (2.5) e F t = L (si F ). (2.5) Per quanto riguarda invece l analisi di un sistema lineare a tempo continuo, il metodo della trasformata di Laplace consente di determinare in modo semplice il legame ingresso uscita, e e la cio` matrice di trasferimento, di tale sistema. Si consideri allora il sistema: ẋ = F x + Gu, x R n, u R m, (2.52) y = Hx + Du, y R p. (2.53)

6 Capitolo 2: Analisi [Draft; 2/3; N.O.; UniPG] 2 7 Nel dominio di Laplace il sistema è quindi descritto da: sx(s) x() = F X(s) + GU(s) (2.54) Y (s) = HX(s) + DU(s), (2.55) e quindi, tenendo conto della non singolarità della matrice si ( F ) nel campo delle funioni raionali, si trova: X(s) = (si F ) GU(s) + (si F ) x(), (2.56a) Y (s) = H(sI F ) GU(s) + DU(s) + H(sI F ) x(). (2.56b) Le due equaioni (2.56) descrivono completamente il sistema. La (2.56a) descrive il legame tra la coppia stato iniiale ingresso e lo stato, mentre la seconda descrive il legame tra le stesse grandee e la funione di uscita. I termini delle (2.56) che descrivono l effetto delle condiioni iniiali sullo stato e sull uscita sono dette risposte libere, nello stato e nell uscita, rispettivamente: X (s) = (si F ) x(), (2.57) Y (s) = H(sI F ) x() (2.58) mentre i termini che descrivono l effetto del segnale (vettoriale) di ingresso sullo stato e sull uscita sono dette risposte forate, nello stato e nell uscita, rispettivamente: Infine, la matrice di funioni raionali X f (s) = (si F ) GU(s), (2.59) Y f (s) = H(sI F ) GU(s) + DU(s). (2.6) W (s) = H(sI F ) G + D, (2.6) che descrive completamente il legame tra il segnale di ingresso e quello di uscita (nel caso di condiioni iniiali nulle), è detta matrice di trasferimento del sistema. Nel caso in cui sia il segnale di ingresso che quello di uscita siano scalari, e cioè nel caso m = e p =, si parla di funione di trasferimento Antitrasformata di funioni raionali proprie Il legame ingresso uscita di un sistema lineare staionario a tempo continuo è rappresentabile con una matrice di funioni raionali proprie nella variabile s. Tenendo conto della forma della trasformata di segnali esponeniali e polinomiali, anche l uscita di un sistema lineare, in risposta a segnali di questo tipo, è descritta, nel dominio di s, da una funione raionale. ` E quindi di notevole importana vedere come antitrasformare una funione raionale. Si consideri allora la seguente funione Y (s), propria e con denominatore monico: + β s + β Y (s) = β ns n + β n s n +, (2.62) s n + α n s n + + α s + α e si assuma, per semplicit` a, che le radici del denominatore siano tutte distinte (e complesse coniugate a coppia, se non reali), cio` e: n n s n + α n s + + α s + α = (s p i ), p i = p j, i = j. (2.63) Per ben noti risultati sulle funioni raionali, la funione Y (s) può essere scomposta in fraioni pariali: A 2 i= A Y (s) = A , (2.64) s p s p 2 s p n con A = lim s Y (s) ed inoltre A i = lim s pi (s p i )Y (s), per il teorema dei residui. Il calcolo dei residui A i, i =, 2,..., n puù essere verificato in modo immediato. Infatti dalla (2.63) si ha, per il generico Aresiduo i : n Aj (s p i )Y (s) = (s p i )A + (s p i ) + A i (2.65) s p j j = j i A n

7 Capitolo 2: Analisi [Draft; 2/3; N.O.; UniPG] 2 8 A partire dalla scomposiione in fraioni pariali (2.64), tenendo conto della propriet` a di linearit` della trasformata di segnali elementari, si vede immediatamente che il segnale y(t) è dato da: a (2.8) e y(t) = A e p nt δ(t) + A e pt + A 2 e p2t + + A n. (2.66) Per inciso, l equaione (2.66) consente di studiare in modo immediato risposta la permanente di un sistema lineare a tempo continuo. Nel caso in cui alcuni degli eri del denominatore della funione raionale da anti trasformare, (cioè alcuni poli della funione), abbiano molteplicità maggiore di uno, il procedimento è analogo, salvo la forma della espansione in fraioni pariali. Sia allora W (s) una generica funione raionale propria, W (s) può essere espansa in fraioni pariali nella forma: + β s + β W (s) = β ns n + β n s n +. (2.67) s n + α n s n + + α s + α W (s) = A + r q i A i,j (s p i ) j, (2.68) i= j= dove r indica il numero di eri distinti del denominatore della W (s), q i indica la molteplicit` a di p i come ero di tale denominatore, A indica il legame diretto, cioè A = lim t W (s), ed il generico residuo A i,j è calcolato come: d q i j A lim. (q i j)! ds q i j [(s p i) q i i,j = W (s)] (2.69) s pi In tal caso, tenendo conto delle varie proprietà della trasformata di Laplace, si ha: r q i t j w(t) = L [W (s)] = A Ai,j (j )! e pit δ(t) +. (2.7) i= j=

8 Capitolo 2: Analisi [Draft; 2/3; N.O.; UniPG] Funione del tempo Trasformata di Laplace δ(t) (impulso di Dirac) δ (t) (gradino unitario) δ 2 (t) = tδ (t) (rampa unitaria) δ (t a) (gradino unitario con iniio in t = a) e at (esponeniale) t n (n )! e at (esponeniale polinomiale) sin(ωt) (sinusoide) cos(ωt) (cosinusoide) ω n ζ 2 e ζω nt sin(ω n ζ2 t) e at cos(ωt) e at sin(ωt) ẋ(t) s s 2 s e as s a (s a) n ω s 2 + ω 2 s s 2 + ω 2 s 2 + 2ζω n s + ω 2 n s + a (s + a) 2 + ω 2 ω (s + a) 2 + ω 2 s X(s) - x() (fattore trinomio) t x(τ)dτ s X(s) x(t T ), T > e st X(s) e at x(t) X(s a) t x (t τ)x 2 (τ)dτ X (s)x 2 (s) tx(t) d X(s) (derivata nel dominio di s) ds Tabella 2.: Trasformate ed antitrasformate di Laplace di uso comune

9 TdS [Draft; 2/3; n.o.; UniPG] La trasformata Z Lo studio dei sistemi lineari staionari a tempo discreto, ed in particolare lo studio dei legami ingresso-uscita di tali sistemi, è di solito condotto facendo uso delle strumento formale-simbolico della trasformata Z. In queste note la trasformata Z viene presentata in modo estremamente sintetico ed operativo. Per tutti gli aspetti formali e di esistena della trasformata si rimanda a testi specifici. Si consideri una sequena f : Z + C, {f(t) = f t, t =,, 2,...}. La trasformata Z è un operatore dallo spaio di tali sequene allo spaio di funioni di variabile complessa, ed associa ad ogni sequena f( ) una funione, indicata (impropriamente) con F () = Z[f(t)], e definita dalla serie: F () := f(t) t, (2.37) t= ammesso che tale serie converga. Tenendo conto del fatto che F () è definita a partire da una serie in, la convergena sarà ottenuta all esterno di un cerchio centrato nel origine del piano complesso e di raggio R sufficientemente grande. Il valore di tale raggio è detto raggio di convergena della trasformata U(), e dipende dalla specifica sequena considerata. La regione del piano complesso esterna al cerchio di raggio R centrato nell origine è detta regione di convergena o dominio di convergena. Ad esempio, si consideri la funione (a tempo discreto) impulso unitario, definito da: δ(k) = { t = t (2.38) La trasformata Z di u(k) = δ(t) è data da: infatti, dalla definiione, segue immediatamente: U() = Z[u(t)] =, (2.39) U() = u() + u() + u(2) 2 + = u() =. (2.4) Da quanto precede, segue facilmente che il raggio di convergena è R =. Nota la trasformata Z di una sequena, sia essa X(), la sua rappresentaione nel dominio del tempo può essere ottenuta tramite la anti-trasformata Z, o trasformata inversa, definita dal seguente integrale di inversione: x(t) = Z [X()] = 2πj Γ t X()d, t Z +, (2.4) dove l integrale di linea è calcolato lungo una circonferena Γ interna alla regione di convergena e con centro nell origine del piano. L uso della trasformata Z, analogamente a quanto visto per la trasformata di Laplace, è reso particolarmente agevole da alcune proprietà fondamentali, che consentono di ricavare la trasformata della maggior parte dei segnali di interesse a partire da quella di pochi segnali notevoli (si veda le seguente tabella 2.3) Proprietà della trasformata Zeta Le seguenti proprietà della trasformata Zeta sono di fondamentale importana. Proprietà 2. (Proprietà di unicità) Data una funione olomorfa U(), definita nella regione di piano complesso esterna ad un cerchio di raggio ρ, esiste ed è unica una funione x(t), t Z +, che soddisfa la condiione: U() = Z[x(t)], (2.42) e che può essere calcolata per meo dell integrale (2.4), con Γ cerchio di raggio maggiore di ρ. Proprietà 2. (Linearità) Siano u(t) e y(t), t Z +, due sequene temporali, con trasformata Zeta U() ed Y (), rispettivamente. Allora, vale la seguente proprietà di linearità: Z[c u(t) + c 2 y(t)] = c U() + c 2 Y (), c, c 2 R. (2.43)

10 TdS [Draft; 2/3; n.o.; UniPG] Proprietà 2.2 (Ritardo (Scorrimento a destra)) Siano u(t) ed U() una sequena temporale e la sua trasformata. Allora, dato un intero h >, la funione traslata nel tempo u(t h) ha trasformata: Dimostraione. Z[u(t h)] = u(t h) t = t= k= h Z[u(t h)] = h U(). (2.44) u(k) (k+h) = h k= h u(k) k = h k= u(k) k = h U(). Proprietà 2.3 (Anticipo (Scorrimento a sinistra)) Siano u(t) ed U() una sequena temporale e la sua trasformata. Allora, dato un intero h >, la funione traslata nel tempo a sinistra (anticipata) u(t + h) ha trasformata: ] h Z[u(t + h)] = [U() h u(t) t. (2.45) Nel caso particolarmente importante in cui lo scorrimento è di un solo passo, si ha: Dimostraione. La trasformata di interesse è data da: Z [x(t + h)] = x(t + h) t = x(k) (k h) = h t= k=h h = h x(k) k ± h x(k) k = h k=h k= t= Z[x(t + )] = U() u(). (2.46) k=h k= x(k) k h h x(k) k h x(k) k = h X() h x(k) k Proprietà 2.4 (Traslaione nel dominio di (traslaione complessa)) Siano u(t), t Z +, ed U() un segnale del tempo e la sua trasformata. Allora, la funione a t u(t) ha trasformata pari a: k= k= Z[a t u(t)] = U( ). (2.47) a Proprietà 2.5 (Convoluione) Siano u(t) ed y(t) due sequene del tempo, t Z +, U() ed Y () le loro trasformate. Allora, la convoluione delle due sequene, definita da: u(t) y(t) := t u(t τ)y(τ) = τ= t u(τ)y(t τ) (2.48) τ= ha trasformata pari a: Z [u(t) y(t)] = U()Y (). (2.49) Proprietà 2.6 (Differeniaione rispetto a ) Siano u(t), t Z, ed U() un segnale del tempo e la sua trasformata. Allora, la funione tu(t) ha trasformata Zeta pari a: Z [tu(t)] = d U(). (2.5) d

11 TdS [Draft; 2/3; n.o.; UniPG] Trasformata Zeta di segnali notevoli Si danno ora le trasformate di alcuni segnali elementari, di interesse nello studio di sistemi dinamici. Gradino unitario. Sia δ (t), t Z la funione gradino unitario: { t Z, t < δ (t) = t Z, t, (2.5) la sua trasformata Zeta è data da: Z[δ (t)] = ( ). (2.52) Dimostraione. In questo caso la serie formale che definisce la trasformata Zeta diviene: e tale serie converge, per tutti i valori con >, ed ha come somma: u(t) t = t, (2.53) t= t= =. (2.54) Rampa unitaria. Sia δ 2 (t) una rampa con pendena unitaria: { t Z, t < δ 2 (t) = t t Z, t, (2.55) la sua trasformata Zeta è data da: Z [δ 2 (t)] = ( ) 2. (2.56) Dimostraione. Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la proprietà (2.6) di differeniaione rispetto a. Segnale esponeniale. Sia u(t) un segnale esponeniale (a tempo discreto) con costante a: { t Z, t < u(t) = a t t Z, t, (2.57) la sua trasformata Zeta è data da: Z[a t δ (t)] = a. (2.58) Dimostraione. Il risultato si può dimostrare a partire dalla trasformata di un gradino, tenendo conto della proprietà 2.4 di traslaione nel dominio di. Segnale esponeniale-rampa. Sia u(t) il prodotto di un esponeniale per una rampa: { t Z, t < u(t) = ta t t Z, t, (2.59) la sua trasformata Zeta è data da: Z[ta t ] = a ( a) 2. (2.6) Dimostraione. Si ottiene facilmente a partire dalla trasformata di un gradino, applicando la proprietà (2.6) di differeniaione rispetto a. A scopo esemplificativo, la tabella 2.3 raccoglie le trasformate dirette ed inverse di alcune funioni di uso comune. Di norma, tali trasformate si ottengono facilmente a partire da quelle riportate sopra, tramite le proprietà descritte in precedena.

12 TdS [Draft; 2/3; n.o.; UniPG] Alcuni teoremi Nello studio dei sistemi dinamici sono utili alcuni teoremi sui legami tra i valori limite di un segnale del tempo e della corrispondente trasformata Zeta. Teorema 2.4 (Valore finale) Sia u(t), t Z +, una funione del tempo, con trasformata U(). Allora, il limite per t che tende ad infinito di tale funione, se esiste ed è finito, è dato da: lim u(t) = lim U(). (2.6) t + Si noti che il teorema è applicabile solo se il raggio di convergena è minore di uno, cioè solo se il cerchio unitario è tutto interno alla regione di convergena. Teorema 2.5 (Valore iniiale) Sia u(t), t Z +, una funione del tempo, con trasformata U(). Allora il valore iniiale della sequena, u(), è dato da: u() = lim U(). (2.62) (2.63) Sistemi a tempo discreto: calcolo dell esponeniale di matrice e della matrice di trasferimento Si consideri il sistema dinamico: x(t + ) = F x(t), x() = x, t Z + (2.64) È noto che la soluione di tale equaione omogenea alle differene finite, cioè la risposta nello stato del sistema alla data condiione iniiale, la risposta libera nello stato, è descritta dall esponeniale di matrice (a tempo discreto): x(t) = F t x, t Z +. (2.65) Per il calcolo di tale esponeniale di matrice si può far uso della trasformata Zeta. Infatti, per la proprietà della trasformata di una funione traslata nel tempo, il sistema precedente, nel dominio della variabile, può essere scritto come: X() x = F X(), (2.66) da cui segue facilmente: (I F )X() = x. (2.67) Nel campo raionale (e non, si badi bene, nel campo dei reali o dei complessi), la matrice (I F ) è non singolare, infatti il suo determinante è il polinomio caratteristico del sistema, per cui l equaione precedente può essere risolta rispetto alla trasformata dello stato, trovando: da cui, antitrasformando, segue: e quindi, dal confronto con (2.65), segue: X() = (I F ) x, (2.68) x(t) = Z [ (I F ) ] x, (2.69) F t = Z [ (I F ) ]. (2.7) Per quanto riguarda invece l analisi di un sistema lineare a tempo discreto, il metodo della trasformata Zeta consente di determinare in modo semplice il legame ingresso-uscita, e cioè la matrice di trasferimento, di tale sistema. Si consideri allora il sistema: x(t + ) = F x(t) + Gu(t), x R n, u R m, t Z + (2.7) Nel dominio della variabile il sistema è quindi descritto da: y(t) = Hx(t) + Du(t), y R p. (2.72) X() x = F X() + GU() (2.73) Y () = HX() + DU(), (2.74)

13 TdS [Draft; 2/3; n.o.; UniPG] e quindi, tenendo conto della non-singolarità della matrice (I F ) nel campo delle funioni raionali, si trova: X() = (I F ) GU() + (I F ) x, (2.75a) Y () = H(I F ) GU() + DU() + H(I F ) x. (2.75b) Le due equaioni (2.75) descrivono completamente il sistema. La (2.75a) descrive l effetto delle condiioni iniiali e dell ingresso sullo stato, mentre la seconda descrive il legame tra le stesse grandee e la funione di uscita. I termini delle (2.75) che descrivono l effetto delle condiioni iniiali sullo stato e sull uscita sono dette risposte libere, nello stato e nell uscita, rispettivamente: X l () = (I F ) x, (2.76) Y l () = H(I F ) x (2.77) mentre i termini che descrivono l effetto del segnale (vettoriale) di ingresso sullo stato e sull uscita sono dette risposte forate, nello stato e nell uscita, rispettivamente: Infine, la matrice di funioni raionali X f () = (I F ) GU(), (2.78) Y f () = H(I F ) GU() + DU(). (2.79) W () = H(I F ) G + D, (2.8) che descrive completamente il legame tra il segnale di ingresso e quello di uscita (nel caso di condiioni iniiali nulle), è detta matrice di trasferimento del sistema. Nel caso in cui sia il segnale di ingresso che quello di uscita siano scalari, e cioè nel caso m = e p =, si parla di funione di trasferimento Antitrasformata di funioni raionali proprie Il legame ingresso-uscita di un sistema lineare staionario a tempo discreto è rappresentabile con una matrice di funioni raionali proprie nella variabile. Tenendo conto della forma della trasformata di segnali esponeniali e polinomiali, anche l uscita di un sistema lineare, in risposta a segnali di questo tipo, è descritta, nel dominio di, da una funione raionale. È quindi di notevole importana vedere come calcolare la trasformata inversa di una data funione raionale Y (). Si procede esattamente come nel caso dei sistemi a tempo continuo, salvo l opportunità di lavorare con la funione Y () := Y (). Si noti che la funione Y () è propria, o strettamente propria, e quindi la funione Y () è sempre strettamente propria. Si consideri allora la seguente funione Y (), propria e con denominatore monico: Y () = β n n + β n n + + β + β n + α n n + + α + α, (2.8) e si assuma, per semplicità, che le radici del denominatore siano tutte distinte (e complesse coniugate a coppia, se non reali), e non sia presente un polo nell origine (perchè introdotto artificialmente nel seguito), cioè: n + α n n + + α + α = n ( p i ), p i p j, i j, p i. (2.82) i= Per ben noti risultati sulle funioni raionali, la funione Y () = Y (), che è sempre strettamente propria, può essere scomposta in fraioni pariali: Y () = A + A + A A n, (2.83) p p 2 p n ( p i ) con A = lim Y () = lim Y () ed inoltre A i = lim pi ( p i )Y () = A i = lim pi Y (). A partire dalla scomposiione in fraioni pariali (2.83), la funione originale Y () può essere riscritta come: Y () = A + A + A A n, (2.84) p p 2 p n

14 TdS [Draft; 2/3; n.o.; UniPG] e quindi, tenendo conto della proprietà 2. di linearità e delle trasformate di segnali notevoli, si vede immediatamente che il segnale y(t) è dato da: y(t) = A δ(t) + A p t + A 2 p t A n p t n. (2.85) Nel caso in cui alcuni poli del sistema abbiano molteplicità maggiore di uno, il procedimento è analogo, salvo la forma della espansione in fraioni pariali. In questo caso, possono essere presenti un numero qualsiasi di poli nell origine. Sia allora W () una generica funione raionale propria, W () = β n n + β n n + + β + β n + α n n + + α + α. (2.86) e si consideri la funione W () = W (), che è strettamente propria. fraioni pariali nella forma: W () = r q i i= j= Tale funione può essere espansa in A i,j ( p i ) j, (2.87) dove r indica il numero di poli distinti della W (), compreso il polo nell origine, sicuramente presente, q i indica la molteplicità del polo p i, ed il generico residuo A i,j è calcolato come: { A i,j = lim pi (q i j)! d qi j d q i j [ ( pi ) qi W () ]} { = lim pi (q i j)! d qi j d q i j [ ( pi ) qi ] } W (). (2.88) In tal caso, tenendo conto delle varie proprietà della trasformata Zeta, ed assumendo che p indica il polo nell origine (p = ), si ha: w(t) = Z [W ()] = q j= A,j δ(t j) + r q i ( t A i,j j i=2 j= ) p i t j. (2.89) Un modo alternativo per tenere conto di possibili poli nell origine nella funione raionale da trattare consiste nel notare che un fattore ν a denominatore corrisponde ad un ritardo di ν passi della corrispondente funione del tempo. Si possono quindi trascurare tali poli nulli, calcolare la trasformata inversa della funione Ŷ () = ν Y (), e poi traslare a destra (ritardare) di ν passi il segnale così ottenuto.

15 Tabella 2.3: trasformate Z notevoli Funione del tempo (k Z + ) Descriione Trasformata Z δ (k) impulso unitario δ (k) k gradino unitario rampa unitaria ( ) 2 δ (k h) gradino unitario con iniio in k = h h a k potena a k a k a ( a) 2 a k ( k h ) potena-polinomio a h ( a) h+ sin(kθ) cos(kθ) u(k h) sinusoide cosinusoide sin(θ) 2 2 cos(θ) + [ cos(θ)] 2 2 cos(θ) + h U() u(k + ) U() u() a k u(k) U( a ) k u(k h)y(h) h= U()Y () ku(k) d d U()