Politecnico di Milano. Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 28 Novembre 2014 SOLUZIONE

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1 Politecnico di Milano Fondamenti di Automatica (CL Ing. Gestionale) a.a Prof. Silvia Strada Prima prova intermedia 8 Novembre 014 SOLUZIONE

2 ESERCIZIO 1 punti: 8 su 3 Si consideri il sistema dinamico LT I descritto dalle seguenti equazioni: 1. Si determinino i modi del sistema. 1 (t) = 3x 1 (t) + x (t) (t) = x (t) u(t) 3 (t) = x 3 (t) + u(t) y(t) = x 3 (t) Le quattro matrici associate al sistema LTI in forma standard di stato sono A = 0 0 B = C = [0 0 1], D = 0 Poichè la matrice dinamica A del sistema ha struttura triangolare superiore, i suoi autovalori sono gli elementi sulla diagonale principale e quindi i modi del sistema sono le tre funzioni del tempo e t, e t, e 3t.. Si calcolino il movimento libero dello stato e dell uscita a partire dalle condizioni iniziali x 1 (0) = x (0) = 0 x 3 (0) = 1. Per calcolare il movimento libero possiamo porre u(t) = 0 ovunque. Integrando l equazione di x 3 : Integrando l equazione di x : x 3l (t) = e t x 3 (0) = e t, t 0 x l (t) = e t x (0) = 0, t 0 Integrando l equazione di x 1 e ponendo x (t) = 0, t 0: x 1l (t) = e 3t x 1 (0) = 0, t 0 Trovati così i movimenti liberi delle tre variabili di stato, è immediato scrivere il movimento libero dell uscita: y l (t) = x 3l (t) = e t, t 0

3 3. Si scrivano i comandi Matlab per definire il sistema e trovare il movimento libero dello stato e dell uscita a partire dalle condizioni iniziali x 1 (0) = x (0) = 0 x 3 (0) = 1. A=[-3 1 0;0-0;0 0-1];B=[0-1 1] ;C=[0 0 1];D=0; S=ss(A,B,C,D); x0=[0 0 1] ; [yl,tl,xl]=initial(s,x0); ESERCIZIO punti: 7 su 3 Dato il sistema dinamico LT I descritto dalle seguenti equazioni: 1 (t) = x 1 (t) + x (t) + u(t) (t) = 3x (t) + 3u(t) y(t) = x (t) 1. Si determini l espressione analitica della risposta forzata in uscita y(t) quando l ingresso è u(t) = imp(t). Ricaviamo la funzione di trasferimento del sistema LTI a partire dalle sue matrici: [ ] [ ] 1 1 A = B = C = [0 1], D = 0 G(s) = C(sI A) 1 B + D = 3 s + 3 La Trasformata di Laplace della risposta forzata in uscita è data dal prodotto della funzione di trasferimento e della Trasformata di Laplace dell ingresso:. U(s) = 1 Y f (s) = G(s)U(s) = 3 s + 3 y f (t) = 3e 3t, t 0. Si verifichi la correttezza dell espressione trovata al punto precedente applicando, se possibile, i teoremi del valore iniziale e finale. y f (0 + ) = lim t 0 + y(t) = lim s sy f (s) = lim s sg(s) = 3 y f ( ) = lim t y(t) = lim s 0 sy f (s) = 0 = lim s 0 sg(s)(s) = 0 Entrambi i risultati sono coerenti con l espressione della risposta forzata trovata al punto precedente. 3

4 3. Dato lo schema a blocchi mostrato in figura 1, G(s) + Figure 1. Schema a blocchi dove H(s) = 1 s + W (s) = 1 s + 4 e G(s) è la funzione di trasferimento da u(t) a y(t) del sistema di partenza, si calcoli la funzione di trasferimento da v(t) a y(t). Y (s) V (s) = G(s) 1 G(s)[H(s) + W (s)] Sostituendo quindi nell espressione trovata le funzioni di trasferimento che vi compaiono si ottiene Y (s) 3(s + )(s + 4) = V (s) s 3 + 9s + 0s + 6 ESERCIZIO 3 punti: 7 su 3 Sono date le equazioni di stato di un sistema dinamico non lineare: { ẋ1 (t) = x 1 (t) + x (t) + u (t) ẋ (t) = x 1 (t) x (t) + x (t) 1. Si determinino gli stati di equilibrio del sistema in corrispondenza dell ingresso u(t) = u = 0. { 0 = x1 + x 0 = x 1 x + x x EQ1 = { { 0 0 x EQ = 5 4

5 . Si linearizzi il sistema nell intorno dello stato di equilibrio non nullo. Il sistema linearizzato nell intorno dell equilibrio x EQ è: { δẋ1 (t) = δx 1 (t) + δx (t) δẋ (t) = δx 1 (t) + (x 1)δx (t) { δẋ1 (t) = δx 1 (t) + δx (t) δẋ (t) = δx 1 (t) + 9δx (t) 3. Si esamini la stabilità del sistema linearizzato così ottenuto e, sulla base di questo risultato, si discuta la stabilità dello stato di equilibrio del sistema non lineare. La matrice dinamica del sistema linearizzato attorno a x EQ è: [ ] 1 A = 9 L equazione caratteristica ad essa associata è s 8s 5 = 0 ed ha una radice positiva. Poichè, quindi, il sistema linearizzato ha un autovalore positivo il relativo punto di equilibrio x EQ è instabile. ESERCIZIO 4 punti: 7 su 3 Si consideri il sistema dinamico a tempo discreto descritto dalla funzione di trasferimento 1. Si discuta la stabilità del sistema. z 1 G(z) = z + 3z I poli di G(z) sono le radici dell equazione z + 3z = 0 z 1 = 0.5 z = Essendovi un polo, z =, con modulo maggiore di uno, il sistema LTI discreto assegnato è instabile.. Si ricavi l espressione analitica della risposta forzata del sistema allo scalino unitario. (z 1) Y f (z) = G(z)U(z) = z + 3z z z 1 = z z + 3z Dividendo la trasformata Zeta dell uscita forzata per z e utilizzando il metodo dello sviluppo di Heaviside Y f (z) z = 1 (z 0.5)(z + ) = /5 z 0.5 /5 z + Rimoltiplicando ambo i membri per z e scrivendo l Antitrasformata Zeta delle singole frazioni elementari si ha y f (k) = 5 (0.5)k 5 ( )k, k 0 5

6 3. Si scrivano i comandi Matlab per il tracciamento del grafico della risposta forzata del sistema allo scalino di cui al punto precedente. S=tf([ -],[ 3 -],-1); step(s); oppure S=tf([ -],[ 3 -],-1); k=0:; y=step(s,k); stem(k,y),grid; DOMANDE -0.15=risposta errata, 0=risposta non data, +0.5=risposta corretta Ogni quesito ha una sola risposta corretta. 1. La funzione di trasferimento di un sistema dinamico è: G(s) = (s + 50) (s + 60s + 500) Se l ingresso è uno scalino unitario, il valore per t di y(t) è A. 50 B. 1 C. 0 D. nessuna delle risposte precedenti. Si consideri l equazione differenziale ÿ + ẏ + y = u dove ẏ(0) = y(0) = 0 e u(t) = sca(t). I poli della funzione di trasferimento tra u(t) e y(t) sono A. 1, +1 B. 1, 1 C. 1, +1 D. 1, 0 3. L equazione caratteristica associata alla matrice della dinamica di un sistema LTI continuo è s 3 + 4ks + ks + = 0. L intervallo dei valori di k per cui il sistema è asintoticamente stabile è A. < k < 0 B. 0 < k < C. k < D. k > 4. La Trasformata di Laplace del segnale w(t) = e 4t + e t, t 0 è A. W (s) = 3s 9 s 5s B. W (s) = s + 3s 4 6

7 C. W (s) = 3s + 7 s + 3s 4 D. W (s) = 3s + 7s s + 3s 4 5. Dato il sistema discreto LTI con funzione di trasferimento H(z) = z 8, il valore della risposta forzata all istante k = 5, quando l ingresso è u(k) = sca(k), è A. y(5) = 0 B. y(5) = 0 C. y(5) = 4 D. y(5) = 8 6. In seguito ai comandi Matlab >> h = tf([1 0], [1 1]); >> mu = dcgain(h), la variabile mu vale A. 0 B. C. D. 1 z 3 7

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