I prova in itinere di Fondamenti di Automatica A.A Novembre 2011 Prof. SILVIA STRADA Tempo a disposizione: 1 h. 45 m.

Transcript

1 I prova in itinere di Fondamenti di Automatica A.A. - 8 Novembre Prof. SILVIA STRADA Tempo a disposizione: h. 45 m. SOLUZIONE N.B. Svolgere i vari punti nello spazio che segue ogni esercizio. ESERCIZIO punti:... su 3 Si consideri il seguente sistema dinamico continuo, lineare e stazionario: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) dove y(t) = Cx(t) + Du(t) B = C =, D =. Si calcolino gli autovalori del sistema e i corrispondenti modi. Ricavo l equazione caratteristica associata ad A: s det(si A) = det = s / s + = Il sistema presenta due autovalori complessi coniugati a parte reale nulla: s, = ±j I modi del sistema sono le funzioni cos( t) e sin( t) che si possono alternativamente esprimere con l unica funzione cos( t + φ), con φ una fase opportuna.. Si calcoli la funzione di trasferimento T (s) del sistema. T (s) = s + 3. Si determini analiticamente l andamento nel tempo dell uscita del sistema partendo da condizione inziale nulla e a fronte di un ingresso costante di tensione pari a u(t) = u =. La Trasformata di Laplace di un ingresso costante e unitario è, quindi la Trasformata di s Laplace dell uscita sarà: Y (s) = T (s) s = s(s + ) = s + s s + utilizzando il metodo dello sviluppo di Heaviside in due frazioni elementari. Antitrasformando si ottiene: y(t) = ( + cos t)sca(t)

2 i L (t) u(t) L C v (t) c 4. Si determini il modello matematico (equazioni di stato e trasformazione d uscita) della semplice rete elettrica della figura, dove l ingresso u(t) è la tensione in ingresso alla rete e l uscita y(t) è la tensione ai capi del condensatore. Si verifichi inoltre che, nel caso in cui i parametri siano L = Henry, C = F arad, il sistema dinamico che si ottiene coincide con quello inizialmente assegnato. Si può subito osservare che le correnti che scorrono all interno del condensatore e dell induttore sono uguali e pari a i L (t). La somma algebrica delle tensioni sull unica maglia della rete deve essere nulla (si è inoltre già inserita la legge di funzionamento dell induttore): u(t) = L d dt i L(t) + v C (t) La legge di funzionamento del condensatore dice inoltre che: d v dt C(t) = i C C(t) = i C L(t) Quindi, ponendo i L (t) = x (t) e v C (t) = x (t), si ha: dove ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) L C B = L C =, D = Se si pongono L = Henry, C = F arad si ottiene esattamente il sistema iniziale. 5. Sempre per L = Henry, C = F arad, si determini analiticamente l andamento nel tempo della corrente nel circuito partendo da condizione inziale nulla e a fronte di un ingresso costante pari a u(t) = u = (si consiglia di sfruttare opportunamente il risultato calcolato al punto 3.). Osservando che si ha: i C (t) = i L (t) = C d dt v C(t) allora la corrente nel circuito si può calcolare facendo la derivata della tensione sul condensatore, cio dell uscita del sistema di partenza. Ma l andamento dell uscita del sistema di partenza l abbiamo già ricavato e quindi basta derivarlo e moltiplicare per C: i L (t) = imp(t) sin( t)sca(t)

3 ESERCIZIO punti:... su 3 Dato il seguente sistema dinamico non lineare ẋ (t) = x (t) u(t) ẋ (t) = x (t) x (t) y(t) = x (t)x (t). Si determinino gli stati di equilibrio corrispondenti agli ingressi costanti u(t) = u = e u(t) = u =. u = = x = x x y = x x x = ± x = y = Quindi si ha un primo stato d equilibrio (,, ) ed un secondo stato d equilibrio (,, ) associati all ingresso costante unitario ed un terzo stato di equilibrio (,, ) associato all ingresso costante nullo.. Si analizzino, se possibile, le proprietà di stabilità di ogni stato di equilibrio trovato, facendo uso del sistema linearizzato corrispondente. Calcolo del sistema linearizzato associato all equilibrio generico: δẋ (t) = (x )δx (t) δu(t) δẋ (t) = (x )δx (t) δx (t) δy(t) = ( x )δx (t) + ( x )δx (t) x x L equilibrio (,, ) ha quindi, come matrice dinamica e autovalori associati: s =, s = equilibrio instabile perchè un autovalore è positivo. s =, s = eq. as. stabile perchè gli autovalori sono negativi. s =, s = nulla si può dire sulla stabilità dell equilibrio. 3

4 ESERCIZIO 3 punti:... su 3 d Per il sistema descritto dalla seguente equazione: y(t) + y(t) = u(t) dt. Si determini la Trasformata di Laplace di y(t), quando l ingresso u(t) è un impulso e y() =. Y (s) = s +. Si determini analiticamente y(t) a partire dalla sua trasformata del punto precedente. y(t) = e t sca(t) 3. Si determini la Trasformata di Laplace di y(t), quando l ingresso u(t) è uno scalino di ampiezza e y() =. Trasformando l equazione differenziale di partenza con Laplace e sapendo che l ingresso è uno scalino di ampiezza : sy (s) y() + Y (s) = s Y (s) = + s s(s + ) 4. Si calcolino il valore iniziale e il valore finale di y(t), con trasformata determinata al punto precedente, utilizzando gli omonimi Teoremi della Trasformata di Laplace. y() = lim sy (s) = s + y( ) = lim y(t) = lim sy (s) = 5 t + s 5. Si determini analiticamente y(t), quando l ingresso è u(t) = sca(t) e y() =. Y (s) = a = s = s(s + ) s= Y (s) = / s / s + s(s + ) = a s + b s + b = (s + ) s(s + ) ( L y(t) = e t = s= ) sca(t) 6. Si determini analiticamente y(t), quando l ingresso è u(t) = ram(t) + 6sca(t) e y() =. Per il principio della sovrapposizione degli effetti e utilizzando il risultato appena trovato si ha: ( y(t) = 6 ) t ( e t sca(t) + ) e t dt poichè noto che la rampa l integrale dello scalino. Quindi, sviluppando l integrale, si ottiene: y(t) = 4 sca(t) 4 e t sca(t) + ram(t) 4

5 ESERCIZIO 4 punti:... su 3 Si faccia riferimento ad un sistema lineare stazionario e a tempo discreto avente la seguente rappresentazione di stato: { x(k + ) = Ax(k) + Bu(k) dove y(k) = Cx(k) + Du(k) 6 4, B = 5 C =, D =. Si dica quanti ingressi, quante uscite e quante variabili di stato ha il sistema. ingresso, variabili di stato e variabili d uscita.. Si calcoli la matrice A k. Sappiamo che per calcolare la potenza k-esima di A si deve capire se la matrice è diagonalizzabile o meno. z + 6 det(zi A) = det = z z 5 3z + Gli autovalori di A sono quindi z = e z =. Essendoci due autovalori reali e distinti, A è diagonalizzabile. Un autovettore associato al primo autovalore risulta quindi essere Z = mentre uno associato al secondo autovalore 3 Z = La matrice di trasformazione e la sua inversa sono: 3 T = T = Quindi: A D = A k D = 3 k Queste matrici ci consentono di calcolare la potenza k-esima di A cercata: 4 3 A k = T k T k = k k k 3. Si dica quali sono i modi del sistema. I modi sono le funzioni che compaiono nella matrice A k D, cioè e k. 4. Supponendo che lo stato iniziale sia x = T si scriva il movimento libero dello stato. Il movimento libero ha la seguente espressione: 8 6 x l (k) = A k k x = 4 4 k 5

6 5. Si scriva il movimento libero dell uscita. 8 6 k 4 4 k y l (k) = Cx l = 4 4 k = k 6. Data la matrice di trasformazione P tale che z(k) = P x(k) con P = si determinino le quattro matrici Ã, B, C, D della nuova rappresentazione del sistema che ha z(k) come vettore di stato à = P AP = B = P B = C = CP 5 6 = D = D =. dove A, B, C, D sono le matrici della rappresentazione di stato per x(k). 6

7 ESERCIZIO 5 punti:... su 3 Dato un sistema dinamico lineare e stazionario a tempo continuo, caratterizzato dalla quaterna di matrici: 4, B = C = D = 5 si scrivano i comandi Matlab per calcolare il movimento forzato, nell intervallo di tempo (,), dell uscita con ingresso a scalino unitario. Inoltre, si scrivano anche i comandi per calcolare il numeratore e il denominatore della funzione di trasferimento del sistema. >>A=-4 ; -5;B= ;C= ;D=; >>sys=ss(a,b,c,d); >>t=:.:; >>y=step(sys,t); >>n,d=sstf(a,b,c,d); oppure >>systf=tf(sys); >>n,d=tfdata(systf, v ); 7