Rappresentazione in s dei sistemi lineari continui.

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1 Capitolo. INTRODUZIONE. Rappresentazione in s dei sistemi lineari continui. Applicando la trasformazione di Laplace alle funzioni di stato ed uscita di un sistema lineare: L e quindi: ẋ(t) Ax(t)+Bu(t) y(t) Cx(t)+Du(t) sx(s) x 0 Ax(s)+Bu(s) y(s) Cx(s)+Du(s) x(s) (si A) x 0 +(si A) Bu(s) y(s) C(sI A) x 0 +[C(sI A) B + D]u(s) Quando u(t) 0, t 0, si ha l evoluzione libera: da cui si ricava che x(s) (si A) x 0 y(s) C(sI A) x 0 e At L [(si A) ] Quando x 0 0,sihal evoluzione forzata: x(s) (si A) Bu(s) y(s) [C(sI A) B + D]u(s) x(t) e At x 0 y(t) Ce At x 0 L inversa di una matrice M quadrata di ordine n non singolare, èdefinita come segue: M agg M det M La matrice aggiunta, agg M, èlatrasposta (coniugata trasposta) della matrice dei complementi algebrici M i,j della matrice M. Il complemento algebrico M i,j è ( ) i+j volte il determinante della matrice (n ) (n ) che si ottiene eliminando la i esima riga e la j esima colonna di M.

2 Capitolo. INTRODUZIONE.2 Matrice di trasferimento. La matrice razionale propria di dimensioni (p m): y(s) H(s)u(s) H(s) C(sI A) B + D. H(s) C agg(si A) B + D. det(si A) Le funzioni razionali nella matrice H(s) D sono strettamente proprie in quanto det(si A) è un polinomio di grado n, C agg(si A) B è una matrice polinomiale i cui elementi hanno gradi uguali a n ( o minori, nel caso vi siano cancellazioni di fattori comuni nel numeratore e nel denominatore delle frazioni polinomiali). Esempio. Consideriamo un sistema in forma diagonale: ẋ ẋ 2 ẋ 3 a, a 2, a 3,3 x x 2 x 3 + b, b,2 b 2, b 2,2 b 3, b 3,2 u u 2 y y 2 c, c,2 c,3 c 2, c 2,2 c 2,3 x x 2 x 3

3 Capitolo. INTRODUZIONE.3 La funzione di transizione e At si calcola nel modo seguente: L [ e At] (si A) agg(si A) det(si A) (s a 2,2 )(s a 3,3 ) (s a, )(s a 3,3 ) (s a, )(s a 2,2 ) (s a, )(s a 2,2 ) (s a, ) (s a 2,2 ) (s a 3,3 ) La matrice di trasferimento ha la forma seguente: H(s) c, c,2 c,3 c 2, c 2,2 c 2,3 c, c,2 c,3 c 2, c 2,2 c 2,3 (s a, ) (s a 2,2 ) b, (s a, ) b 2, (s a 2,2 ) b 3, b,2 (s a, ) b 2,2 (s a 2,2 ) b 3,2 b, b,2 b 2, b 2,2 b 3, b 3,2 c, b, (s a, ) + c,2b 2, (s a 2,2 ) + c,3b 3, ; c, b,2 (s a, ) + c,2b 2,2 (s a 2,2 ) + c,3b 3,2 c 2, b, (s a, ) + c 2,2b 2, (s a 2,2 ) + c 2,3b 3, ; c 2, b,2 (s a, ) + c 2,2b 2,2 (s a 2,2 ) + c 2,3b 3,2

4 Capitolo. INTRODUZIONE.4 Esempio. Calcolare l esponenziale di matrice della matrice A e At dove A Il polinomio caratteristico della matrice A è: det(si A) det Si ottiene quindi che (si A) s 2 s +3 s +3 2 s (s + )(s +2) s 2 +3s +2(s + )(s +2) s +3 (s + )(s +2) 2 (s + )(s +2) Antitrasformando i singoli termini di questa matrice si ottiene L L L s +3 (s + )(s +2) (s + )(s +2) s (s + )(s +2) per cui, sostituendo, si ha che e At L [ (si A) ] L 2 (s +) (s +2) L (s +) (s +2) L (s +) + 2 (s +2) 2e t e 2t 2e t +2e 2t (s + )(s +2) s (s + )(s +2) 2e t e 2t e t e 2t e t +2e 2t e t e 2t e t +2e 2t cioè si ottiene esattamente la stessa espressione ottenuta utilizzando la forma canonica di Jordan della matrice A.

5 Capitolo. INTRODUZIONE.5 Rappresentazione in z dei sistemi lineari discreti. Applicando la trasformazione Z alle funzioni di stato ed uscita di un sistema lineare: Z e quindi: x(k +)Ax(k)+Bu(k) y(k) Cx(k)+Du(k) z(x(z) x 0)Ax(z)+Bu(z) y(z) Cx(z)+Du(z) x(z) (zi A) zx 0 +(zi A) Bu(z) y(z) C(zI A) zx 0 +[C(zI A) B + D]u(z) Quando u(k) 0, t 0, si ha l evoluzione libera: x(z) (zi A) zx 0 y(z) C(zI A) zx 0 x(k) A k x 0 y(k) CA k x 0 Quando x 0 0,sihal evoluzione forzata: x(z) (zi A) Bu(z). y(z) [C(zI A) B + D]u(z). Vale la relazione: da cui si ricava che: z(zi A) Z[A k ] A k Z [z(zi A) ]

6 Capitolo. INTRODUZIONE.6 Matrice di trasferimento. La matrice razionale propria di dimensioni (p m): y(z) u(z) H(z) C(zI A) B + D. H(z) C agg(zi A) B + D. det(zi A) Le funzioni razionali nella matrice H(z) D sono strettamente proprie in quanto det(zi A) è un polinomio di grado n, C agg(zi A) B è una matrice polinomiale i cui elementi hanno gradi uguali a n ( o minori, nel caso vi siano cancellazioni di fattori comuni nel numeratore e nel denominatore delle frazioni polinomiali).

7 Capitolo. INTRODUZIONE.7 Esempio. Calcolare l evoluzione libera del seguente sistema discreto autonomo x(k +) }{{} A x(k) a partire dalla condizione iniziale x(0) x 0. Il polinomio caratteristico e gli autovalori della matrice A sono: p(λ) λ 2 +3λ +2, λ e λ 2 2. La soluzione del problema posto è formalmente nota: x(k) A k x 0 Vengono ora mostrati tre modi diversi di calcolare la matrice A k. Modo I. Uso della forma canonica di Jordan. Si calcolano gli autovettori v e v 2 corrispondenti agli autovalori λ e λ 2 e si opera una trasformazione x Tx nello spazio degli stati T [ v v 2 ] 2 in modo da diagonalizzare la matrice A A TDT 2 La matrice A k si calcola come segue A k, T (TDT ) k TD k T }{{} D ( )k 0 0 ( 2) k 2( ) k ( 2) k 2( ) k +2( 2) k ( ) k ( 2) k ( ) k +2( 2) k

8 Capitolo. INTRODUZIONE.8 Modo II. Uso delle Z-trasformate. Questo procedimento si basa sulla relazione A k Z [ (zi A) z ] Procedendo nei calcoli si ha che A k Z z +3 z 2 z (z + )(z +2) Z Antitrasformando, si ottiene il risultato A k 2( ) k ( 2) k 2( ) k +2( 2) k z +3 (z + )(z +2) 2 (z + )(z +2) ( ) k ( 2) k ( ) k +2( 2) k (z + )(z +2) z (z + )(z +2) z Modo III. Uso del polinomio minimo annullante. Il polinomio minimo della matrice A coincide con il polinomio caratteristico. Ne segue che matrice la A k deve potersi esprimere nel seguente modo A k i0 γ i A i γ 0 I 2 + γ A Iparametriγ 0 e γ si determinano risolvendo il sistema λk λ k 2 λ λ 2 γ 0 γ γ 0 γ Sostituendo nella precedente relazione si ha che λ 2 λ λ 2 λ A k γ 0 I 2 + γ A λ 2λ k λ λ k 2 I 2 + λk 2 λ k A λ 2 λ λ 2 λ Posto λ e λ 2 2 si ottiene A k [2( ) k ( 2) k ] 0 0 2( ) k ( 2) k 2( ) k +2( 2) k +[( ) k ( 2) k ] ( ) k ( 2) k ( ) k +2( 2) k λk λ k 2