Lezione VIII: Funzioni di Trasferimento

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1 ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI Lezione VIII: Funzioni di Trasferimento Sistemi LTI - TC (TD): soluzione nel dominio della frequenza e del tempo Evoluzione libera ed evoluzione forzata Modi naturali Funzione di Trasferimento Risposta impulsiva Esempi 8-1

2 Sistemi LTI - TC: soluzione nel DF Il sistema LTI TC con rappresentazione locale I/S/U ẋ(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) si può L-trasformare introducendo le trasformate di Laplace U(s), X(s), Y (s) di u(t), x(t), y(t), ed usando la proprietà di trasformata della derivata: da cui, esplicitando rispetto a x(0) e U(s) sx(s) x(0) = AX(s) + BU(s) Y (s) = CX(s) + DU(s) X(s) = (si A) 1 x(0) + (si A) 1 B U(s) Y (s) = C(sI A) 1 x(0) + [ C(sI A) 1 B + D ] U(s) Si evidenzia il principio di sovrapposizione degli effetti X(s) = X l (s) + X f (s) Y (s) = Y l (s) + Y f (s) dove X l (s) e Y l (s) individuano l evoluzione libera (quando u(t) 0), mentre X f (s) e Y f (s) individuano l evoluzione forzata (quando x(0) = 0) 8-2

3 Sistemi LTI - TC: soluzione nel DT e modi naturali Calcolando L [ 1 (si A) 1] = si ricava la rappresentazione globale x(t) = e At x(0) + t 0 + q=0 (At) q 1(t) =. e At 1(t) q! e A(t τ) Bu(τ)dτ, y(t) = Ce At x(0) + t 0 Ce A(t τ) Bu(τ)dτ + Du(t) Poiché (si A) 1 = adj(si A) det(si A) = l m i i=1 j=1 M ij (s λ i ) j con λ i sp(a), M ij R n n = e At presenta coefficienti combinazioni lineari dei modi naturali del sistema l e λit, te λit,..., t mi 1 e λ it i t.c. m i = n = la risposta libera x l (t) = e At x(0) evolve secondo le combinazioni lineari dei modi naturali eccitati dallo stato iniziale x(0) lungo le direzioni degli autovettori di A. i=1 8-3

4 Sistemi LTI - TD: soluzione nel DF Il sistema LTI TD con rappresentazione locale I/S/U x(t + 1) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) si può Z-trasformare introducendo le trasformate Zeta U(z), X(z), Y (z) di u(t), x(t), y(t), ed usando la proprietà di trasformata dell anticipo temporale: da cui, esplicitando rispetto a x(0) e U(z) zx(z) zx(0) = AX(z) + BU(z) Y (z) = CX(z) + DU(z) X(z) = z(zi A) 1 x(0) + (zi A) 1 B U(z) Y (z) = Cz(zI A) 1 x(0) + [ C(zI A) 1 B + D ] U(z) Si evidenzia il principio di sovrapposizione degli effetti X(z) = X l (z) + X f (z) Y (z) = Y l (z) + Y f (z) dove X l (z) e Y l (z) individuano l evoluzione libera (quando u(t) 0), mentre X f (z) e Y f (z) individuano l evoluzione forzata (quando x(0) = 0) 8-4

5 Sistemi LTI - TD: soluzione nel DT e modi naturali Calcolando si ricava la rappresentazione globale x(t) = A t x(0) + t 1 q=0 Z 1 [ z(zi A) 1] = A t 1(t) A t 1 q Bu(q), y(t) = CA t x(0) + t 1 q=0 CA t 1 q Bu(q) + Du(t) Poiché z(zi A) 1 adj(zi A) = z det(zi A) = l m i i=1 j=1 zm ij (z λ i ) j con λ i sp(a), M ij R n n = A t presenta coefficienti combinazioni lineari dei modi naturali del sistema l λ t i, tλt i,..., tm i 1 λ t i i t.c. m i = n = la risposta libera x l (t) = A t x(0) evolve secondo le combinazioni lineari dei modi naturali eccitati dallo stato iniziale x(0) lungo le direzioni degli autovettori di A. i=1 8-5

6 Funzione di Trasferimento Definizione di Funzione di Trasferimento di un sistema LTI - TC [TD]: G(s) =. Y [ f(s) G(z) =. Y ] f(z) U(s) U(z) Rappresentazione I/S/U G(s) = C(sI A) 1 B + D [ G(z) = C(zI A) 1 B + D ] Rappresentazione I/U G(s) = m i=0 n i=0 b i s i a i s i G(z) = m b i z i n a i z i i=0 i=0 Proprietà della F.d.T.: non dipende dal segnale di ingresso u(t) non dipende dalla scelta dello stato x(t) è caratteristico del sistema 8-6

7 Risposta Impulsiva Definizione: la Risposta Impulsiva di un sistema LTI è la risposta forzata all ingresso u(t) = δ(t) Poiché Y f (s) = G(s)U(s) [ Yf (z) = G(z)U(z) ] se U(s) = 1 [U(z) = 1], allora y δ (t) = L 1 {G(s)} [ yδ (t) = Z 1 {G(z)} ] (TC) Antitrasformata di Laplace di G(s): g(t) = Ce At B + Dδ(t) (TD) Antitrasformata Zeta di G(z): g(t) = CA t B + Dδ(t) 8-7

8 Esempi di Funzioni di Trasferimento TC F.d.T. di alcuni sistemi elementari: Integratore { ẋ(t) = u(t) y(t) = x(t) = G(s) = 1 s Doppio integratore ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = u(t) y(t) = x 1 (t) = G(s) = 1 s 2 Oscillatore ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 1 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) = G(s) = 1 s

9 Esempi di Funzioni di Trasferimento TD F.d.T. di alcuni sistemi elementari: Integratore { x(t + 1) = x(t) + u(t) y(t) = x(t) = G(z) = 1 z 1 Doppio integratore x 1 (t + 1) = x 1 (t) + x 2 (t) x 2 (t + 1) = x 2 (t) + u(t) y(t) = x 1 (t) = G(z) = 1 z 2 2z + 1 Oscillatore x 1 (t + 1) = x 1 (t) x 2 (t) + u(t) x 2 (t + 1) = x 1 (t) y(t) = 1 2 x 1(t) x 2(t) = G(z) = 1 2 z z 2 z