Modello di un sistema dinamico - La funzione di trasferimento - Le variabili I/O - Feed- Forward e Feed- Backward

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1 Modello di un sistema dinamico - La funzione di trasferimento - Le variabili I/O - Feed- Forward e Feed- Backward

2 Argomenti - Modello di un sistema dinamico - La funzione di trasferimento - Le variabili I/O - Feed- Forward e Feed- Backward

3 Modello di un sistema dinamico Si è definito, nella lezione precedente, un modello matematico come una descrizione matematica del comportamento del sistema reale, o meglio dei legami funzionali che sussistono tra le grandezze d'interesse.

4 Modello di un sistema dinamico Si ricorda anche la definizione di ingresso al sistema come la variabile di controllo u(t), dell uscita come la variabile y(t) e dello stato del sistema come la variabile x(t).

5 Modello di un sistema dinamico Esistono più rappresentazioni del sistema dinamico nel tempo continuo: - rappresentazione ISO (Ingresso/Stato/Uscita); - rappresentazione IO (Ingresso/Uscita). La rappresentazione ISO viene detta anche rappresentazione in equazioni di stato.

6 Modello di un sistema dinamico A sua volta, una rappresentazione ISO può essere suddiviso in: - rappresentazione globale; - rappresentazione locale.

7 Modello di un sistema dinamico Nella rappresentazione globale, la descrizione della dinamica (x(t)) viene modellata nella forma:

8 Modello di un sistema dinamico In cui la relazione è in forma esplicita e si conoscono tutti gli ingressi dall i-esimo istante ti all istante t. In realtà, questo modello è poco applicabile perché raramente le leggi che regolano i fenomeni fisici sono in questa forma.

9 Modello di un sistema dinamico Si sfrutta perciò il modello ISO locale, in cui le leggi di interesse sono espresse dal modello:

10 Modello di un sistema dinamico In cui abbiamo le equazioni dello stato del sistema ẋ(t) (dove ẋ(t) è la derivata dello stato in t) e dell uscita y(t), che sono funzioni del tempo, dello stato nell istante t e dell ingresso nell istante t, e l equazione dello stato nell istante ti nota.

11 Modello di un sistema dinamico Considerando le notevoli quantità delle grandezze in gioco, il sistema di equazioni sopra descritto può essere riportato esplicitamente nella forma matriciale:

12 Modello di un sistema dinamico Dove u, y, x rappresentano rispettivamente i vettori delle variabili reali d ingresso, d uscita e di stato. A(t), B(t), C(t), D(t) sono matrici dipendenti dalla variabile temporale e dalle caratteristiche parametriche del sistema in oggetto. La forma matriciale è la più largamente usata per la descrizione dei sistemi lineari tempo varianti (LTV).

13 Modello di un sistema dinamico Un sistema tempo continuo, lineare tempo invariante (LTI) è modellabile attraverso la rappresentazione ingresso/stato/uscita:

14 Modello di un sistema dinamico

15 Modello di un sistema dinamico Prima di introdurre il modello del sistema dinamico nel dettaglio, è necessario richiamare la definizione di trasformata di Laplace ed alcune trasformate fondamentali, che verranno largamente utilizzate nel dominio della frequenza.

16 Modello di un sistema dinamico Si ricorda che la trasformata di Laplace è definita come: E si riportano alcune delle trasformate fondamentali in tabella.

17 Modello di un sistema dinamico

18 Modello di un sistema dinamico Inoltre, è importante introdurre alcune operazioni nel dominio di Laplace che occorreranno per la comprensione dei modelli nel dominio della frequenza. Si tratta di: - Derivata nel dominio di Laplace; - Integrale nel dominio di Laplace; - Ritardo temporale nel dominio di Laplace; - Convoluzione.

19 Modello di un sistema dinamico Derivata nel dominio di Laplace

20 Modello di un sistema dinamico Integrale nel dominio di Laplace

21 Modello di un sistema dinamico Ritardo temporale nel dominio di Laplace Partendo dalla funzione elementare: Posso introdurre un generico ritardo in una funzione:

22 Modello di un sistema dinamico Ritardo temporale nel dominio di Laplace Andando a trasformare ottengo:

23 Convoluzione Modello di un sistema dinamico A partire dalla funzione in t: Trasformando si ottiene:

24 Modello di un sistema dinamico A partire dal sistema di equazioni: E possibile passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza adoperando la Laplace - trasformata.

25 Modello di un sistema dinamico Applicando la trasformata di Laplace al sistema iniziale, si ha:

26 Funzione di trasferimento Esplicitando il sistema di equazioni rispetto ad X(s) e Y(s) si ottiene: Dove con l esponente -1 sono indicate le matrici inverse.

27 Funzione di trasferimento E possibile dare un interpretazione delle equazioni sopra scritte in funzione delle evoluzioni dello stato e dell uscita. Infatti i primi membri delle due equazioni, dipendenti dallo stato iniziale del sistema, sono riconducibili all evoluzione della risposta libera, mentre i secondi membri, dipendenti dagli ingressi del sistema, sono riconducibili all evoluzione della risposta forzata.

28 Funzione di trasferimento Sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti si ha: Dove con l indice l si intende l evoluzione libera e con l indice f l evoluzione forzata.

29 Modello di un sistema dinamico A questo punto è possibile introdurre la relazione tra le variabili di ingresso (U(s)) e di uscita ((s)) nel dominio della variabile s o più comunemente nel dominio della frequenza. Come si vedrà, la funzione di trasferimento permette di studiare le caratteristiche del sistema in frequenza.

30 Funzione di trasferimento La matrice G(s) che mette in relazione gli ingressi e le uscite del sistema viene chiamata Funzione di Trasferimento (FdT) del sistema dinamico:

31 Funzione di trasferimento

32 Funzione di trasferimento G(s), funzione di trasferimento, è anche definibile come la trasformata di Laplace della risposta all impulso del sistema, visto che la trasformata di U(s) è pari ad 1 se l ingresso è un impulso.

33 Funzione di trasferimento La F.d.T. G(s) può essere rappresentata in varie forme: 1. Forma razionale fratta: 2. Forma poli-zeri:

34 Funzione di trasferimento 3. Forma a costanti di tempo (o di Bode):

35 Forma razionale fratta Funzione di trasferimento La F.d.T., che si ricorda essere espressa in funzione di s, quindi nel dominio dei numeri complessi, è posta nella forma dove il denominatore D(s) ha grado n, mentre il numeratore N(s) deve necessariamente avere grado m n.

36 Forma razionale fratta Funzione di trasferimento Esplicitando in funzione dei vari termini, si ha: Dove b0,, bn sono i coefficienti del polinomio N(s) e a0,, an sono i coefficienti del polinomio D(s).

37 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento Un polinomio di grado n a coefficienti reali ammette nel piano complesso n radici, reali o a coppie complesse e complesse coniugate (a parte immaginaria negativa). Nel piano complesso si avrà una rappresentazione come di seguito riportato.

38 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento

39 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento Facendo sempre riferimento iniziale alla forma Si possono scomporre i polinomi nella forma poli zeri.

40 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento Gli zeri della funzione di trasferimento sono le radici del numeratore N(s) (numero minore o uguale a n). I poli della funzione di trasferimento sono le radici del denominatore D(s) (numero uguale a n).

41 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento La F.d.T. fratta può essere rappresentata con le produttorie in cui compaiono gli zeri e i poli della funzione. dove ρ è la costante di trasferimento, zi sono gli zeri della funzione, pi sono i poli.

42 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento Si può a tal proposito riportare un esempio. Si consideri la FdT: La funzione presenta: poli in: s = 0, s = 1, s = 2 zeri in: s = 4

43 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento La funzione può essere scomposta, mediante il criterio di Routh per la ricerca dei poli e degli zeri, nella forma: Che rappresenta la forma poli zeri cercata.

44 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento Inoltre, i poli e gli zeri sono collocati nel piano complesso graficamente con una crocetta e un pallino. Presa una funzione Che presenta due zeri, in s = j e s = j, e tre poli, in s = 0, s = 1 e s = 2, essi possono essere rappresentati come di seguito.

45 Forma poli - zeri Funzione di trasferimento

46 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Una possibile rappresentazione della funzione di trasferimento è detta forma di Bode, particolarmente utile poiché mette in evidenza i soli parametri caratteristici reali della risposta del sistema.

47 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Per ottenere la rappresentazione con soli numeri reali bisogna accorpare i termini complessi e complessi coniugati in polinomi di secondo grado a radici complesse.

48 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Questi polinomi, a loro volta sono espressi per mezzo di due parametri particolarmente significativi, indicati con ζ e ωn. ωn infatti, rappresenta la pulsazione naturale dei poli complessi coniugati, mentre ζ rappresenta il loro smorzamento.

49 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Raggruppando le radici complesse e complesse coniugate in un polinomio: Le radici del polinomio risultano essere

50 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Il significato grafico dei parametri ζ e ωn è di seguito illustrato.

51 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Nel piano complesso, ωn è il modulo delle due radici, ossia la loro distanza dall origine, mentre lo smorzamento ζ è il coseno dell angolo α formato dalla congiungente l origine con le radici, rispetto al semiasse reale negativo.

52 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Poiché la parte reale dei poli vale ζωn e ωn è un numero positivo, si ha: ζ>0: due radici nel semipiano sinistro; ζ=0: due radici sull asse immaginario; ζ<0: due radici nel semipiano destro.

53 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Possiamo a questo punto esprimere la funzione di trasferimento per mezzo di soli parametri reali nella seguente forma:

54 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) L espressione realmente utilizzata, fa comparire quello che prende il nome di guadagno statico della funzione di trasferimento. Questo si ottiene ponendo s=0 nella FdT e corrisponde al rapporto tra ingresso e uscita all equilibrio.

55 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) La rappresentazione di G(s) in forma di Bode sarà:

56 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) I termini sono: s g indica il numero di poli o zeri nell origine (s=0). Se g (tipo) è positivo, corrisponde al numero di poli in s=0, se è negativo, al numero di zeri in s=0. αni, ωni pulsazioni naturali, relative a ciascuna coppia di zeri o poli complessi coniugati; τi, Ti costanti di tempo che determinano la rapidità con il quale vengono assorbite le evoluzioni transitorie;

57 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) K guadagno del sistema; ζi smorzamenti delle coppie di zeri complessi coniugati; ξi smorzamenti delle coppie di poli complessi coniugati;

58 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Per rendere più chiara la formalizzazione adottata, facciamo un esempio numerico. Si porti nella forma di Bode la seguente FdT e se ne indichi tipo, guadagno, costanti di tempo degli zeri e dei poli.

59 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Volendo portare la FdT nella forma Si risolvono le equazioni omogenee al numeratore e al denominatore

60 Funzione di trasferimento Forma di Bode (a costanti di tempo) Così facendo si ottiene Dove: Tipo g = 1; Guadagno μ = 1/4; Costante di tempo dello zero Tz1 = 0.5; Costanti di tempo dei poli: Tp1 = 1, Tp2 = 0.25, Tp3 = 0.5.

61 Le variabili I/O Finora ci si è concentrati sulla funzione di trasferimento del sistema dinamico. Vediamo ora come ricavare, in prima battuta, l uscita di un sistema dinamico LTI Y(s) sollecitato da un ingresso di forzamento U(s).

62 Le variabili I/O Per far ciò bisogna: 1. Ricavare, se non è già data, la funzione di trasferimento G(s) del sistema; 2. Ricavare la trasformata U(s) dell ingresso; 3. Calcolare la trasformata dell uscita Y(s) = G(s)U(s).

63 Le variabili I/O Una volta ricavata la risposta nel dominio della frequenza, si può anti trasformare ottenendo l andamento della risposta del sistema nel dominio del tempo.

64 Le variabili I/O

65 Le variabili I/O Ora che si hanno a disposizione gli strumenti adatti, facciamo un esempio di sistema modellabile con le funzioni di trasferimento.

66 Le variabili I/O Supponiamo di avere un circuito RLC del tipo:

67 Le variabili I/O Considerando la schematizzazione a blocchi, possiamo scrivere l equazione nella forma:

68 Le variabili I/O Trasformando nel dominio di Laplace: Ovvero:

69 Le variabili I/O Quindi possiamo trovare il legame ingresso uscita come: E definire la FdT, G(s), per il circuito RLC come:

70 Le variabili I/O Si è capaci di trovare i parametri caratteristici come in seguito: Poli: Zeri: nessuno Tipo: g = 0 Guadagno: μ = 1

71 Le variabili I/O Stabilità Una volta ricavato il legame ingresso uscita e la funzione di trasferimento di un sistema dinamico, è possibile valutarne alcune caratteristiche fondamentali, come la stabilità.

72 Le variabili I/O Stabilità Si supponga di avere un sistema dinamico LTI a cui si applichi in ingresso, all istante t=0, un impulso, ovvero una perturbazione di ampiezza molto elevata e di durata brevissima.

73 Le variabili I/O Stabilità La risposta del sistema alla sollecitazione applicata può essere di tre tipi: l uscita converge al valore iniziale; l uscita non converge al valore iniziale, ma non diverge; l uscita diverge.

74 Stabilità Le variabili I/O

75 Stabilità Le variabili I/O

76 Le variabili I/O Stabilità La risposta al gradino del sistema in oggetto può essere quindi: Semplicemente stabile: La stabilità semplice coincide con la limitatezza della risposta libera per una qualunque condizione iniziale;

77 Le variabili I/O Stabilità Asintoticamente stabile: La stabilità asintotica coincide con la limitatezza e convergenza al valore iniziale per t della risposta libera per una qualunque condizione iniziale; Instabile: L instabilità coincide con l illimitatezza della risposta libera per almeno un valore della condizione iniziale.

78 Le variabili I/O Stabilità La stabilità può essere classificata in: Stabilità interna: associata a perturbazioni delle condizioni iniziali; Stabilità esterna: associata a perturbazioni negli ingressi.

79 Le variabili I/O Stabilità La stabilità esterna analizza l effetto che hanno le perturbazioni in ingresso sull uscita del sistema. Un sistema si definisce BIBO (Bounded Input Bounded Output) stabile se, ad ogni ingresso limitato corrisponde un uscita limitata.

80 Le variabili I/O Stabilità Lo studio della stabilità di un sistema lineare stazionario si riconduce sempre allo studio della posizione delle radici di un polinomio rispetto all asse immaginario.

81 Le variabili I/O Stabilità Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema SISO lineare stazionario sia asintoticamente stabile è che la sua funzione di trasferimento presenti poli tutti a parte reale negativa.

82 Stabilità Le variabili I/O

83 Le variabili I/O Stabilità Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema SISO lineare stazionario sia semplicemente stabile è che la sua funzione di trasferimento presenti uno o più poli semplici sull asse immaginario e che tutti gli altri poli siano a parte reale negativa.

84 Stabilità Le variabili I/O

85 Le variabili I/O Stabilità Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema SISO lineare stazionario sia instabile è che la sua funzione di trasferimento presenti uno o più poli multipli sull asse immaginario oppure uno o più poli a parte reale positiva.

86 Stabilità Le variabili I/O

87 Feed forward e feed backward La retroazione (feedback in inglese) è una configurazione dei sistemi dinamici che permette al sistema di inseguire un valore desiderato dell uscita confrontandolo istante per istante con l uscita effettiva.

88 Feed forward e feed backward In un controllo in retroazione il valore della variabile in uscita dal sistema viene letto dal controllore che agisce modificando l ingresso del sistema. Questa caratteristica differenzia i sistemi retroazionati (ad anello chiuso) dai sistemi non retroazionati (ad anello aperto).

89 Feed forward e feed backward Nei sistemi di controllo ad anello aperto (feed forward) il valore della variabile manipolabile viene determinato a priori sfruttando dei modelli matematici; tali sistemi vengono chiamati predittivi perché non viene effettuata nessuna verifica sul valore.

90 Feed forward e feed backward Un sistema feed forward è del tipo:

91 Feed forward e feed backward Nei sistemi di controllo retroazionati, invece, il valore viene determinato e corretto in base alla misura della variabile controllata e al confronto con la variabile di set point, quindi il valore di set-point viene inseguito in base all errore che lo separa dall uscita effettiva.

92 Feed forward e feed backward Un sistema feed backward è del tipo:

93 Feed forward e feed backward Si parla di retroazione positiva quando l uscita del sistema va ad amplificare il funzionamento del sistema stesso, sommandosi al valore di ingresso. I sistemi con retroazione positiva sono facilmente instabili e tipicamente portano il sistema a divergere.

94 Feed forward e feed backward Un esempio di retroazione positiva è rappresentato dal suono amplificato in uscita da un altoparlante che ritorna al microfono che lo ha generato, si avverte un acuto sibilo o una vibrazione grave continua. Questo è dovuto al fatto che il suono che entra nel microfono viene amplificato e mandato agli altoparlanti; se questo ritorna al microfono, si forma una retroazione positiva che lo amplifica all infinito.

95 Feed forward e feed backward d r + + e C u P

96 Feed forward e feed backward Si parla di retroazione negativa quando l uscita del sistema viene sottratta al valore di set point. I sistemi con retroazione negativa sono in genere stabili e tipicamente portano il sistema a convergere.

97 Feed forward e feed backward

98 Feed forward e feed backward Il tempo che trascorre tra il momento in cui l azione di controllo viene messa in atto e il momento in cui l effetto perviene all uscita del sistema viene definito ritardo nell anello di retroazione. Quando questo ritardo è elevato si possono avere problemi di stabilità anche nei sistemi con retroazione negativa spesso dando vita a fenomeni oscillatori.

99 Feed forward e feed backward La funzione di trasferimento di un sistema feed backward è del tipo: Dove H(s) è la FdT del blocco di retroazione.

100 Feed forward e feed backward Si definisce sensibilità di G(s) rispetto ad α (uno qualsiasi dei parametri caratteristici del sistema) il rapporto tra la variazione di G e la variazione percentuale di α, definizione sintetizzata nella formula:

101 Feed forward e feed backward Si possono definire, inoltre, la funzione sensibilità diretta, che tende a 0 per guadagni di anello elevati, come:

102 Feed forward e feed backward Mentre la funzione sensibilità inversa, che tende ad 1 per guadagni di anello elevati, è definita come: Naturalmente:

103 Feed forward e feed backward Si consideri ora il problema della stabilità per sistemi retroazionati. Uno dei criteri più diffusi nello studio dei sistemi dinamici è rappresentato dal criterio di stabilità di Bode per sistemi retroazionati.

104 Feed forward e feed backward Preso un generico sistema in retroazione unitaria, del tipo:

105 Feed forward e feed backward Una volta tracciati i diagrammi di Bode (in modulo e fase, come definito nella lezione precedente), si calcolano il margine di guadagno (mg) ed il margine di fase (mφ) definiti come: il margine di fase di un generico impianto G(s) in retroazione unitaria è dato da:

106 Feed forward e feed backward Dove G(jω) db=0 è la fase della funzione calcolata per la frequenza ω, detta pulsazione di taglio (o di crossover) in cui la curva del modulo interseca l asse delle ascisse. il margine di guadagno di un generico impianto G(s) in retroazione unitaria è dato da:

107 Feed forward e feed backward Dove G(jω) ω 180 è il modulo calcolato nel punto in cui la fase della funzione è pari a 180. Per il criterio di Bode un sistema in retroazione è stabile se il margine di guadagno ed il margine di fase sono positivi.

108 Feed forward e feed backward

109 Feed forward e feed backward

110 Feed forward e feed backward Si riportano ora le operazioni fondamentali da applicare con gli schemi a blocchi, che serviranno per calcolare l uscita Y(s), o qualsiasi altra grandezza del sistema, nel caso di più blocchi in serie o parallelo e nel caso della presenza di nodi sommatori.

111 Feed forward e feed backward Il blocco non è altro che un simbolo indicante la presenza di un sistema dinamico, avente la funzione di trasferimento riportata nel simbolo del blocco, e l ingresso e l uscita riportati rispettivamente sulla freccia entrante e sulla freccia uscente dal blocco.

112 Feed forward e feed backward Il nodo sommatore, è un nodo la cui uscita è data dalla somma algebrica dei segnali che entrano in esso, ciascuno preso con il proprio segno.

113 Feed forward e feed backward Il punto di diramazione è caratterizzato dall avere tutti i segnali uscenti uguali al segnale entrante nel punto.

114 Feed forward e feed backward Due sistemi si dicono in cascata (o in serie) se l uscita dell uno è l ingresso dell altro.

115 Feed forward e feed backward La funzione di trasferimento dell uscita, tenendo conto di tutti i blocchi in cascata, vale:

116 Feed forward e feed backward Quindi: La FdT del sistema costituito dalla cascata di due sottosistemi è data dal prodotto delle due funzioni di trasferimento parziali.

117 Feed forward e feed backward Due sistemi sono in parallelo se hanno lo stesso ingresso. Le loro uscite si sommano algebricamente per determinare l uscita del sistema.

118 Feed forward e feed backward La funzione di trasferimento dell uscita, tenendo conto di tutti i blocchi in parallelo, vale:

119 Feed forward e feed backward Quindi: La FdT del sistema costituito dal parallelo di due sottosistemi è data dalla somma algebrica delle due funzioni di trasferimento parziali.

120 Feed forward e feed backward Due sistemi si dicono connessi in retroazione quando l uscita del primo blocco è l ingresso del secondo, mentre l uscita del secondo blocco si somma o si sottrae all ingresso del primo.

121 Feed forward e feed backward

122 Feed forward e feed backward Se la retroazione è positiva, la funzione di trasferimento dell uscita vale: Quindi:

123 Feed forward e feed backward

124 Feed forward e feed backward Se la retroazione è negativa, la funzione di trasferimento dell uscita vale: Quindi: