Comunicazione Elettriche L-A Identità ed equazioni

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1 Comunicazione Elettriche L-A Identità ed equazioni Gennaio - Marzo 2009 Identità ed equazioni relative alle comunicazioni elettriche tratti dalle lezioni del corso di Comunicazioni Elettriche L-A alla facoltà di Ingegneria Elettronica dell Università di Bologna tenute dal professor G. Pasolini (raccolte da Francesco Conti)

2 Sviluppo in serie di Fourier di un segnale periodico x(t) c n e j2πnf 0t n= c n = 1 x(t)e j2πnf0t dt Frequenza fondamentale di un segnale periodico f 0 = 1 (1) (2) Fasore Sviluppo in serie di Fourier in forma fasoriale A e j2πnf 0t+ϕ], a R + (3) x(t) = n= cn e j2πnf 0 t+argc n ] (4) Valor medio di un segnale periodico c 0 = 1 Proprietà dello sviluppo di Fourier di funzioni reali x(t) dt (5) c n = c n c n = c n (6) arg c n = arg c n Sviluppo in serie di Fourier in soli coseni (funzioni reali) x(t) = A 0 + { n=1 A n cos (2π nf 0 t + ϕ n ) (7) c 0 = A 0 2c n = A n e jϕ n Sviluppo in serie di Fourier in seni e coseni (funzioni reali) x(t) = a a n cos (2π nf 0 t) + n=1 n=1 c 0 = a 0 2 2c n = a n jb n b n sin (2π nf 0 t) (8) 1

3 Funzione sinc a n = 2 x(t) cos(2π nf 0 t) dt b n = 2 x(t) sin(2π nf 0 t) dt sinc(ξ) = sin(πξ) πξ (9) Spettro di un treno di impulsi c n = Ad sinc(nd) (10) 2

4 Energia di un segnale E = rasformata di Fourier di un segnale aperiodico X(f) = x(t) x(t) 2 dt V 2 s ] (11) x(t)e j2πft dt (12) X(f)e j2πft df rasformata di Fourier in forma fasoriale x(t) = X(f) e j 2πft+arg X(f) ] (13) Simmetria hermitiana (funzioni reali) X( f) = X (f) x(f) = X( f) (14) arg X(f) = arg X( f) rasformata di Fourier in forma cosinusoidale (funzioni reali) x(t) = 0 2 X(f) cos ( 2πft + arg X(f) ) df (15) 3

5 eorema di Rayleigh E = X(f) 2 df (16) Modulazione a prodotto S(f) = X(f f 0 ) ejϕ 2 + X(f + f 0) e jϕ 2 (17) Ripetizione periodica di un segnale x(t) x p (t) = k= Coefficienti di Fourier della ripetizione periodica di un segnale x(t) eorema del campionamento nel dominio delle frequenze Funzione di trasferimento di un sistema LI x(t k) (18) c n = f 0 X(nf 0 ) (19) f 0 1 2t m (20) H(f) = A y A x e j(ϕ y ϕ x ) (21) Funzione di trasferimento e F-trasformate H(f) = Y(f) X(f) Uscita di un sistema LI in regime sinusoidale y(t) = V YM cos ( 2πf 0 t + ϕ Y ) V YM = V XM H(f0 ) ϕ y = ϕ X + arg H(f 0 ) (22) (23) Caratteristiche di fase e di ampiezza di un sistema LI in regime sinusoidale Risposta di un sistema LI a un segnale costante H(f) = V YM V XM (24) arg H(f) = ϕ y ϕ x (25) y(t) = AH(0) (26) 4

6 Risposta di un sistema LI a un segnale periodico x(t) = A 0 + n=1 y(t) = A 0 H(0) + A n cos ( 2πnf 0 t + ϕ n ) n=1 A H(nfo n ) ) cos (2πnf 0 t + ϕ n + arg H(nf 0 ) (27) Funzione di trasferimento di un sistema LI espresso da un circuito Frequenza di taglio H(f) = V y V x (28) f t : H(ft ) = 1 2 max H (29) Versione non-distorta di un segnale y(t) = Ax(t t 0 ) (30) Condizioni di non-distorsione H(f) = A (31) arg H(f) = 2πft 0 (32) Funzione di trasferimento di sistemi LI in parallelo Funzione di trasferimento di sistemi LI in serie Funzionale Distribuzione come integrale Delta di Dirac δ(t) Delta di Dirac come limite H(f) = H 1 (f) + H 2 (f) (33) H(f) = H 1 (f)h 2 (f) (34) : x(t) x(t) ] R (35) x(t) ] = f(t)x(t) dt (36) δ(t)x(t) dt = x(0) (37) lim D (t) = δ(t) (38) 0 5

7 Proprietà di traslazione della delta di Dirac δ(t t 0 )x(t) dt = x(t 0 ) (39) Proprietà di simmetria della delta di Dirac δ( t) = δ(t) (40) Proprietà integrale della delta di Dirac t δ(τ) dτ = u(t) (41) Proprietà di convoluzione della delta di Dirac x(t) δ(t) = x(t) (42) F-trasformata della delta di Dirac F δ(t) ] = 1 (43) F-trasformata di una costante F A] = Aδ(f) (44) F-trasformata di un fasore F Ae j2πf0t ] = Aδ(f f 0 ) (45) F-trasformata di un segnale x(t) periodico F x(t) ] = F-trasformata di sign(t) n= c n δ(f nf 0 ) (46) F sign(t) ] = 1 jπf (47) F-trasformata del gradino unitario F u(t) ] = 1 j2πf + 1 δ(f) (48) 2 F-trasformata di t x(τ) dτ ] F x(τ) dτ = X(f) j2πf + X(0)δ(f) 2 Risposta impulsiva di un sistema LI (49) h(t) = δ(t) ] (50) 6

8 Uscita di un sistema LI nota la risposta impulsiva Risposta impulsiva come limite delle risposte agli impulsi Risposta impulsiva come derivata della risposta al gradino y(t) = x(t) h(t) (51) h(t) = lim 0 D (t) ] (52) Risposta impulsiva nei sistemi causali Condizione necessaria e sufficiente per la stabilità i.l.u.l. h(t) = d dt u(t) ] (53) h(t) = 0, se t < 0 (54) Funzione di trasferimento e risposta impulsiva Integratore a finestra mobile Integral-seno Risposta del passa-basso a sign(t) h(t) dt < + (55) H(f) = F h(t) ] (56) h(t) = u(t) u(t ) (57) H(f) = sinc(f)e jπf (58) Si(z) = z 0 sin ξ ξ dξ (59) y(t) = 2 π Si( 2πB/t t 0 ) ) (60) 7

9 Risposta del passa-basso a rect(t) y(t) = 1 π ( Si ( 2πB/t t 0 ) ) Si ( 2πB(t t 0 ) )) (61) Segnale tempo-discreto a frequenza di campionamento f s x n = x(t n ) = x(n) (62) f s = 1 (63) F-trasformata di un segnale tempo-discreto X s (f) = F s {xn } ] = F-antitrasformata per segnali tempo-discreti n= x n e j2πnf (64) x n = Fs 1 Xs (f) ] = 1 X s (f)e j2πnf df (65) f s f s Periodicità della F-trasformata di un segnale tempo-discreto F-trasformata di un segnale tempo-discreto traslato nel tempo X s (f) = X s (f + f s ) (66) F s {xn m } ] = X s (f)e j2πmf (67) 8

10 Convoluzione {x n } {y n } = x k y n k = k= k= x n k y k (68) F s {xn } {y n } ] = X s (f)y s (f) (69) Delta di Dirac discreta {δ n } = { 1, se n = 0 0, se n 0 (70) F s {δn } ] = 1 (71) {x n } {δ n } = {x n } (72) Segnale PAM (Pulse Amplitude Modulation) s(t) = {x n } g(t) = F-trasformata del campionamento di un segnale tempo-continuo X s (f) = f s + k= x n g(t n) (73) X(f + kf s ) (74) Condizione del teorema del campionamento nel dominio del tempo f s 2f m (75) Applicazione del teorema del campionamento nel dominio del tempo x(t) = n= x n g(t n) (76) g(t) = 2Bsinc(2B) dove B f m, f s f m ] Applicazione del teorema del campionamento nel dominio del tempo con B = f s 2 ( ) t n x(t) = x n sinc n= Bit necessari per codificare L intervalli nella conversione A-D (77) m log 2 L (78) Bit-rate in uscita dal convertitore A-D B r = m f s (79) Risposta impulsiva tempo-discreta {h n } = {δ n } ] (80) {y n } = {x n } {h n } (81) 9

11 Funzione di trasferimento tempo-discreta Funzione di trasferimento di un filtro IIR H s (f) = H s (f) = F s {hn } ] (82) N 1 1 Funzione di trasferimento di un filtro FIR H s (f) = k=0 h k e j2πkf (83) M h ke j2πkf k=1 N 1 k=0 Funzione di trasferimento di un filtro puramente ricorrente H s (f) = 1 h k e j2πkf (84) h 0 (85) M h ke j2πkf k=1 10