7.6 Esercizi svolti Trasformata di Fourier

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1 78 7 Trasformata di Fourier 7.6 Esercizi svolti Esercizio 7. Determinare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni : a x(t =u(t e t + u(t u(t + ; b x(t =e i3t p (t + ; c x(t =p (t ; ( d x(t =p T t T. e x(t =e it u(t u(t 4]; f x(t =te t ; g x(t = e t u(t. a utilizzando la proprietà di linearità e la definizione di funzione porta si ha che Fx(t] = F u(t e t u(t ++u(t ] = F u(t e t] Fu(t + u(t] = e F u(t e (t ] Fp (t +]. Utilizzando quindi la proprietà di traslazione si ottiene Fx(t] = e i F u(te t] e i F p (t], Fx(t] = e i +i ei sin, grazie agli Esempi 7.4e 7.5. b utilizzando la proprietà di traslazione si ha che e quindi Fx(t] = Fe i3t p (t + ] = e i Fe i3(t p (t] = e i 3i Fe i3t p (t], Fx(t] = ei( 3 sin( 3, ( 3 grazie alla proprietà di modulazione.

2 7.6 Esercizi svolti 79 c Utilizzando le proprietà di riscalamento e traslazione si ha Fx(t] = ( ( Fp (t ] = e i/ sin. d Utilizzando la proprietà di traslazione e l Esempio 7.4si ha ( Fx(t] = F p T t T ] = e i T F pt (t] = e i T ( T sin e Utilizzando la definizione di funzione porta e la proprietà di modulazione si ha Fx(t]( =Fe ix p 4 (t ]( =Fp 4 (t ](, Fx(t] = e i( sin((, grazie alla proprietà di traslazione e all Esempio 7.4. f Utilizzando la proprietà di derivazione rispetto a si ha Fx(t] = i d ( Fe t ] = i d d d ( + = 4i ( +. g Utilizzando la proprietà di derivazione di ordine rispetto a si ha Fx(t] = i d d ( Fe t u(t]] = d d ( = +i. ( + i 3. Esercizio 7. Determinare l antitrasformata di Fourier delle seguenti funzioni : a X( = sin ; b X( = a ; c X( =e ; d X( =we. a Grazie all Esempio 7.35 si ha che Fq T (t] = 8 sin (T/4 T,

3 80 7 Trasformata di Fourier Fq 4 (t]= sin (, avendo posto T = 4. Si conclude quindi che sin F ( grazie alla propretà di linearità. b Scomponendo in fratti semplici si ha che a = a ] = q 4(t, ( a + a Utilizzando l Esempio 7.43 si ha inoltre che F = iπ sign(, t e quindi F = iπ sign(e ia, t + a grazie alla proprietà di traslazione. Trasformando ambo i membri della precedente equazione e utilizzando la proprietà di simmetria si ha iπf sign(e ia] ] = F F =π t + a a t, e quindi F sign(e ia] = i a t, F = sign(teita, a i Si conclude quindi che F = (F F a a a + a = ( sign(te ita sign(te ita = a i i c Grazie all Esempio 7.4 si ha che Fe at ]= π a e /(4a,. sign(t sin(at. a Fe t /4 ]= πe, (7.0

4 7.6 Esercizi svolti 8 avendo posto a =. Si conclude quindi che 4 F e ]= /4, π e t grazie alla proprietà di linearità. d Osservando che d ( e /4 = t /4 dt e t e utilizzando la proprietà di derivazione rispetto a t si ha F t ] /4 = if e ] e t t /4 = πie, grazie a (7.0. Si conclude quindi che F e ] t = i 4 /4, π e t grazie alla proprietà di linearità. Esercizio 7.3 Determinare la trasformata di Fourier della funzione x(t =p T (t cos(at (a IR. Grazie alle formule di Eulero, alla proprietà di modulazione e all Esempio 7.4si ha che Fp T (t cos(at] = F p T (t eiat + e iat ] = ( F pt (te iat] + F p T (te iat] = (Fp T (t]( a+fp T (t]( + a = sin(( at/ ( a + sin(( + at/. ( + a Esercizio 7.4 Determinare la trasformata di Fourier della funzione x(t = sin (at (a IR. Come dimostrato nell Esempio 7.35, si ha che Fq T (t] = 8 sin (wt/4 T.

5 8 7 Trasformata di Fourier Per la proprietà di simmetria, si ha 8 sin ] (wt/4 F = FFq T T (t]]=πq T ( t =πq T (t, sin ] (wt/4 F = πt 4 q T (t. Se a>0, si pone T =4a e si ottiene sin ] (at F = aπp 4a (, (7. utilizzando come sempre la variabile per la trasformata di Fourier. Se invece a < 0si ha a = a e quindi sin ] (at sin ] ( a t sin ] ( a t F = F = F = a πp 4a (, grazie a (7. e alla parità della funzione sin t. Si conclude quindi che sin ] (at F = a πp 4a (, per ogni a IR. Esercizio 7.5 Determinare la trasformata di Fourier della funzione x(t =p T (t + T +p T (t T. Grafico Utilizzando la proprietà di traslazione e l Esempio 7.4, si ha che Fp T (t + T ] = ( T sin e it e Fp T (t T ] = ( T sin e it, Fx(t] = sin ( T (e it e it = 4 sin ( T cos (T. Esercizio 7.6 Determinare la trasformata di Fourier della funzione x(t =q T (t + T +q T (t T. Grafico

6 7.6 Esercizi svolti 83 Utilizzando la proprietà di traslazione e l Esempio 7.35, si ha che Fq T (t + T ] = 8 ( T T sin e it 4 e Fq T (t T ] = 8 ( T T sin 4 Fx(t] = 8 ( T (e T sin + e it = 6 ( T 4 T sin 4 cos (T. e it, Esercizio 7.7 Determinare la trasformata di Fourier della funzione x(t =, (a IR, a 0. a Grazie alla decomposizione in fratti semplice si ha che F = ( F F = ( F e ia F e ia a a t a t + a a t t = i ( e ia e ia F = i sin(a iπ sign( a i t a = π sign( sin(a, a per la proprietà di traslazione e l Esempio Esercizio 7.8 Usando la trasformata di Fourier della funzione f(x =e a t e l identità di Parseval, calcolare 0 (x + a dx, per ogni a IR, a 0. Come dimostrato nell Esempio 7.6, per ogni a>0, Fe a t ]= a + a. Applicando l identità di Parseval con x(t =e a t e X( = a si ha + a e a t + a dt = π + a d,

7 84 7 Trasformata di Fourier e quindi 0 e a t dt = a π e at dt = a π 0 ( + a d, ( + a d, essendo entrambe le funzioni integrande pari. Si conclude quindi che 0 (x + a dx = π e at dt = π e at + = π a 0 a a 4a. 3 0 Esercizio 7.9 Utilizzando l uguaglianza di Plancherel dimostrare che sin x cos x dx = x 8π. Utilizzando la formula di duplicazione sin x = sin x cos x si ottiene sin x cos x + ( ( sin x cos x sin x dx = dx x x x ( ( sin x sin(x = dx x x = ( ( 8 x sin x x sin(x dx. Si utilizza quindi l uguaglianza di Plancherel con x(t =p (t ey(t =p 4 (t, e quindi X( = sin( ey ( = sin(, ottenendo ( ( sin sin( d = p (tp 4 (tdt = π π, come desiderato che sin x cos x dx = x 8π. Esercizio 7.0

8 7.6 Esercizi svolti 85 Verificare che per ogni a IR : sin (at dt = a π. Per l Esercizio 7.6 si ha che per ogni a IR sin (at sin e i ] (at dt = F ( = a πq 4a (. Ponendo = 0 nella precedente equazione si ottiene sin (at dt = a πq 4a (0 = a π. Esercizio 7. Utilizzando le osservazioni fatte nell Esempio 7.4 verificare che /(σ πσ e (x m dx =, per ogni m IR e σ>0. Per l Esempio 7.4 si ha Fe at ]= π a e /(4a, che, per =0ea =/, implica e t / dt = F e t / ] (0 = π. (7. Utilizzando il cambio di variabile t = x m e l equazione (7. si ha quindi come σ desiderato che /(σ πσ e (x m dx = e t / dt =. π Esercizio 7.

9 86 7 Trasformata di Fourier Utilizzando la trasformata di Fourier determinare una funzione y(t soluzione dell equazione integrale y(t =r(t+ y(xr(t xdx dove r(t =e 3 t. Applicando la trasformata di Fourier ad ambo i membri dell equazione integrale si ottiene per linearità ] Fy(t] = Fe 3 t ]+F y(xr(t xdx, Fy(t] = Fe 3 t ]+F(y r(t] = Fy(t]Fr(t] = Fy(t] 6 9+, per la proprietà di convoluzione e l Esempio 7.6. Si conclude ricavando Fy(t] = 6 3+, e quindi y(t = 3e 3 t. 7.7 Esercizi proposti. Determinare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni : ( x(t =u(t + u(t u(t +e t ; ( ] sin e i e +i ( x(t =e it p (3t + ; e i( ] sin(3( (3 x(t =u(t +e t(+i ; e i ] sin(/ ( (4 x(t =p T t + T e it/ ] sin(t/. (5 x(t =e it u(t + u(t ]; e i( ] sin(( (6 x(t = e t ; 8 4 ] 3 (4+ 3

10 7.7 Esercizi proposti 87 (7 x(t =te t u(t. ( + i ] (8 x(t =e at u( t, (a IR, a > 0. a i ] (9 x(t = t + a, (a IR. iπ sign(eia ]. Determinare l antitrasformata di Fourier delle seguenti funzioni : ( X( = sin ; ( X( =p T (; (3 X( = (4 X( = ( + ; a ; p (t ( ] Tt πt sin ite t 4 cos(at sign(t i 3. Determinare la trasformata di Fourier di x(t =p T (te iat, (a IR. ( ] ( at ( a sin 4. Determinare la trasformata di Fourier di x(t =, (a,b IR, a b. (t a(t b π sign( ( e ia e ib] i(a b 5. Determinare la trasformata di Fourier di x(t = +t +4. π 3 +i 3 e 6. Determinare la trasformata di Fourier di x(t = t. iπ sign( cos ] 7. Dimostrare che per ogni a IR. 0 a + x dx = π a

11 88 7 Trasformata di Fourier 8. Utilizzando l uguaglianza di Parseval dimostrare che ( sin x dx = π. 0 x 9. Utilizzando l uguaglianza di Plancherel dimostrare che sin x x(a + x dx = π ( e a a per ogni a IR, a > Dimostrare che per ogni a IR, a > 0, si ha sin(ax dx = π. x