Esercizi sulle trasformate di Fourier

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Graziano Grande
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1 Esercizi sulle trasformate di Fourier Corso di Fisica Matematica, a.a. 3-4 Dipartimento di Matematica, Università di Milano 8 Novembre 3 Questi esercizi richiederanno il calcolo di integrali a volte non semplici; in tutti i casi semplici e no il calcolo degli integrali non verrà discusso nelle soluzioni, e gli studenti sono invitati a far uso di una tavola degli integrali (o strumento equivalente, ad esempio un programma di manipolazione algebrica quali Maple, Matlab, Mathematica, Macsyma..., che svolga gli integrali). D altra parte, in alcuni casi il calcolo è semplificato dal considerare delle proprietà generali delle trasformate di Fourier; queste sono discusse nelle note disponibili in rete, oltre che naturalmente nei testi di riferimento. Ricordiamo che la convenzione usata nelle dispense e nel corso (ed anche nelle soluzioni di questi esercizi) è la seguente: data una funzione f(x) F, la sua trasformata di Fourier è la funzione f() = f(x) e ix dx ; la antitrasformata di Fourier della funzione f() è data da f(x) = f() e ix d. Proprietà di trasformate di Fourier Esercizio. Dimostrare che per f(x) una funzione pari si ha f() = f(x) cos(x) dx. Esercizio. Dimostrare che per f(x) una funzione dispari si ha f() = i f(x) sin(x) dx.

2 Esercizio 3. Dimostrare che se f(x) è una funzione reale, e si decompone come f(x) = f + (x) + f (x), dove f ± ( x) = ±f(x), allora Re( f()) = f + () ; Im( f()) = f () Calcolo di trasformate di Fourier Nella soluzione di alcuni esercizi di questa sezione può essere utile tenere a mente i risultati degli esercizi precedenti. Esercizio 4. Si calcoli la trasformata di Fourier f() della funzione f(x) = e x. Esercizio 5. Si calcoli la trasformata di Fourier f() della funzione f(x) = sgn(x) e x. Esercizio 6. Si calcoli la trasformata di Fourier f() della funzione f(x) = x e x. Esercizio 7. Si calcoli la trasformata di Fourier f() della funzione (in cui α è un parametro reale variabile) { per x < α f(x) = per x α. Esercizio 8. Si calcoli la trasformata di Fourier f() della funzione f(x) = +α e x y dy. α Esercizio 9. Si calcoli la trasformata di Fourier f() della funzione f(x) = ( + x) e x. Esercizio. Si calcoli la trasformata di Fourier f() della funzione f(x) = + x.

3 3 Calcolo di antitrasformate di Fourier Gli esercizi di questa sezione si possono risolvere sia direttamente sia utilizzando delle proprietà delle trasformate ed antitrasformate di Fourier ed i risultati degli esercizi precedenti. Esercizio. Si calcoli la antitrasformata di Fourier f(x) della funzione f() = +. Esercizio. Si calcoli la antitrasformata di Fourier f(x) della funzione f() = +. Esercizio 3. Si calcoli la antitrasformata di Fourier f(x) della funzione f() = ( + ). Esercizio 4. Si calcoli la antitrasformata di Fourier f(x) della funzione f() = sin(). Esercizio 5. Si calcoli la antitrasformata di Fourier f(x) della funzione f() = sin() ( + ). Esercizio 6. Si calcoli la antitrasformata di Fourier f(x) della funzione f() = e. Esercizio 7. Si calcoli la antitrasformata di Fourier f(x) della funzione f() = x e x. 3

4 4 Soluzioni 4. Proprietà di trasformate di Fourier Esercizio. Per definizione, f() = = + f(x) e ix dx = f(x) [cos(x) i sin(x)] dx [ + f(x) cos(x) dx i := [I () i I ()]. ] f(x) sin(x) dx Per f pari, è evidente che I () = ; d altra parte, sempre per la parità di f(x) (e di cos(x)) si ha anche I (x) = il che completa la dimostrazione. f(x) cos(x) dx = f(x) cos(x) dx, Esercizio. Procedendo come nell esercizio, per f dispari segue I () =. D altra parte, la funzione f(x) sin(x), prodotto di due funzioni dispari, è pari; dunque I (x) = il che completa la dimostrazione. f(x) sin(x) dx = f(x) sin(x) dx, Esercizio 3. Scrivendo f = f + +f, e ricordando che la trasformata di Fourier è lineare, abbiamo subito f() = f + () + f (). D altra parte, i due esercizi precedenti ci mostrano come f + () = J +(), dove gli integrali J ± sono definiti da f () = i J (), J + () = f + (x) cos(x) dx ; J () = Avendo supposto f reale il che naturalmente implica che anche f (x) sin(x) dx. f + (x) := f(x) + f( x) ed f (x) := f(x) f( x) 4

5 lo siano i due integrali sono reali; dunque f() = [J () i J ()] e le parti reale ed immaginaria di f() sono immediatamente identificate, e corrispondono proprio alle trasformate f + e f di f + ed f rispettivamente. 4. Calcolo di trasformate di Fourier Esercizio 4. Bisogna calcolare l integrale f() = e x e ix dx al variare di R. La parità della funzione f(x) assicura che possiamo scrivere f() = e x cos(x) dx = e x cos(x) dx. Risulta che e x cos(x) dx = e dunque f() = +. +, Esercizio 5. La funzione in oggetto è ora dispari; dunque abbiamo f() = i + e x sin(x) dx = i e x sin(x) dx. Risulta che e x sin(x) dx = e dunque f() = i +, +. Esercizio 6. La funzione f(x) e`dispari; abbiamo quindi, usando le stesse formule usate nell esercizio precedente, f() = i x e x sin(x) dx. 5

6 Risulta che x e x sin(x) dx = e quindi f() = i ( + ), ( + ). Esercizio 7. In questo caso, f() = f(x) e ix dx = +α e ix dx = α α cos(x) dx. Con una integrazione elementare abbiamo y cos(x) dx = sin(α) notiamo che per = l integrale si riduce ad α, che è anche il limite del valore ottenuto per generico quando. Quindi, in conclusione, ; f() = sin(α) = sin(α). Esercizio 8. La funzione può essere riscritta come f(x) = +α e x y dy α f(x) = g(x y) h(y) dy ( ) in cui abbiamo definito g(x) = e x, h(x) = { per x α per x > α ; notiamo che queste funzioni sono state considerate, rispettivamente, negli esercizi e 4. La formula (*) esprime il fatto che f(x) si esprime come il prodotto di convoluzione delle funzioni g(x y) ed h(y); ciò implica (si vedano gli appunti disponibili in rete o i testi di riferimento) che f() = ĝ() ĥ(). 6

7 Come calcolato in precedenza, ĝ() = + ; ĥ() = sin(α). Ne segue immediatamente f() = sin(α) ( + ). Esercizio 9. La funzione f(x) proposta si scrive come f(x) = f (x) + f 3 (x), con f ed f 3 le funzioni incontrate negli esercizi e 3 rispettivamente. Ne segue che f() = f () + f 3 () e, dai risultati di detti esercizi, f () = + ; f3 () = i ( + ). Pertanto, f() = ( + ) i ( + ). Esercizio. Procedendo per calcolo diretto, bisogna calcolare l integrale f() = trattandosi di una funzione pari, abbiamo Risulta che e dunque + x e ix dx ; f() = cos(x) dx. + x + x cos(x) dx = e, f() = e. E anche possibile procedere senza effettuare calcoli, grazie all esercizio 4. Infatti, la funzione f(x) è proprio (a meno di un termine costante) quella ottenuta 7

8 transformando la funzione e x ; quest ultima è una funzione di modulo integrabile, quindi antitrasformando la sua trasformata si riotterrebbe la funzione di partenza; quindi dunque abbiamo A[ /(/( + x ))] = / A[(/( + x ))] = e x ; A[f] = A[(/( + x ))] = / e x. D altra parte, sappiamo che per funzioni pari si ha ne segue immediatamente che T [f] = A[f] : T [f] = f() = / e x. 4.3 Calcolo di antitrasformate di Fourier Esercizio. Si deve calcolare l integrale f(x) = + eix d ; notiamo che, usando la formula di Eulero per l esponenziale e la parità delle funzioni, I(x) = + eix d = cos(x) d ; + risulta inoltre Abbiamo quindi + cos(x) d = e x. f(x) = e x. Allo stesso risultato si sarebbe potuti giungere usando il risultato dell esercizio 4 della sezione precedente ed il fatto che f(x) è L (in effetti, L ) e continua. Esercizio. Abbiamo ora f(x) = + eix d ; 8

9 notiamo che, usando la formula di Eulero per l esponenziale e la parità delle funzioni, I(x) = risulta inoltre Abbiamo quindi + eix d = i sin(x) d ; + + sin(x) d = sgn(x) e x. f(x) = sgn(x) e x ; nuovamente questo risultato corrisponde a quanto si sarebbe potuto dedurre direttamente dal risultato dell esercizio corrispondente della precedente sezione. Esercizio 3. In questo caso abbiamo risulta che e quindi f(x) = ( + ) eix d ; ( + ) eix d = x e x, f(x) = x e x. Esercizio 4. Anche in questo caso si tratta dell inverso del corrispondente esercizio della sezione precedente. Abbiamo risulta che Abbiamo quindi f(x) = sin() dove abbiamo definito e ix d = f(x) = χ a (x) = sin() e ix d ; [sgn( x) + sgn( + x)]. χ (x), { per x a per x > a 9

10 Esercizio 5. Anche in questo caso riotterremo la funzione considerata nell esercizio corrispondente della sezione precedente, ma in una forma diversa. Procedendo direttamente all integrazione, risulta essere f(x) = = = + sin() ( + ) eix d + sin() ( + cos(x) d ) [sgn( x) ( cosh( x) + sinh( x) ) + sgn( + x) ( cosh( + x) + sinh( + x) )] In conclusione, trattando separatamente i casi x e x, abbiamo f(x) = { [ e cosh(x)] per x e sinh( x ) per x > ( ) Esercizio 6. Si tratta della stessa funzione di cui abbiamo calcolato la trasformata nell esercizio 4 della precedente sezione. Ricordiamo che per una funzione pari, T [f] = A[f]; ne segue dunque immediatamente, confrontando il risultato di quell esercizio, che f = + x. Esercizio 7. Anche in questo caso abbiamo già incontrato la stessa funzione, nell esercizio 6 della precedente sezione. Ricordiamo che per una funzione dispari, T [f] = A[f]; ne segue dunque immediatamente, confrontando il risultato di quell esercizio, che f = i ( + ).

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