Esercizi sulla soluzione dell equazione delle onde con il metodo della serie di Fourier

Transcript

1 Esercizi sulla soluzione dell equazione delle onde con il metodo della serie di Fourier Corso di Fisica Matematica 2, a.a Dipartimento di Matematica, Università di Milano 13 Novembre Problemi su un dominio limitato con condizioni di Dirichlet Esercizio 1. Sia data l equazione delle onde con velocità arbitraria v, definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Dirichlet u(a, t) = 0, u(b, t) = 0 t ; si indichi con L = (b a) la lunghezza dell intervallo. Si chiede di effettuare un cambio di variabili x = β(y), passando ad una nuova variabile spaziale y, in modo che con la nuova variabile il problema sia definito sull intervallo y [0, π]. Determinare il cambio di variabili (ossia la funzione β), e la forma dell equazione delle onde in termini di y; in particolare, determinare β in modo che l equazione sia ancora della stessa forma. Esercizio 2. Per l equazione delle onde con velocità arbitraria v, definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Dirichlet u(a, t) = 0, u(b, t) = 0 t ; si determini un cambio di variabili (lineare) (x, t) (ξ, τ) in modo che nelle nuove variabili l equazione sia scritta u ττ = u ξξ 1

2 (abbia cioè velocità unitaria) e sia definita per ξ [0, π]. Esercizio 3. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Dirichlet u(a, t) = 0, u(b, t) = 0 t. u(x, 0) = φ(x) ; u t (x, 0) = 0, assumendo φ L 2 [a, b]. Esercizio 4. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Dirichlet u(a, t) = 0, u(b, t) = 0 t. u(x, 0) = 0 ; u t (x, 0) = ψ(x), assumendo ψ L 2 [a, b]. Esercizio 5. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Dirichlet u(a, t) = 0, u(b, t) = 0 t. u(x, 0) = φ(x) ; u t (x, 0) = ψ(x), assumendo φ, ψ L 2 [a, b]. Esercizio 6. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [0, π] e con condizioni di Dirichlet u(a, t) = 0, u(b, t) = 0 t. 2

3 u(x, 0) = sin(x) + 3 sin(3x) ; u t (x, 0) = sin(2x). Esercizio 7. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [0, π] e con condizioni di Dirichlet u(a, t) = 0, u(b, t) = 0 t. u(x, 0) = x(π/2 x) sin(x) ; u t (x, 0) = 0. 2 Problemi su un dominio limitato con condizioni di Neumann Esercizio 8. Sia data l equazione delle onde con velocità arbitraria v, definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Neumann u x (a, t) = 0, u x (b, t) = 0 t ; si indichi con L = (b a) la lunghezza dell intervallo. Si chiede di effettuare un cambio di variabili x = β(y), passando ad una nuova variabile spaziale y, in modo che con la nuova variabile il problema sia definito sull intervallo y [0, π]. Determinare il cambio di variabili (ossia la funzione β), e la forma dell equazione delle onde in termini di y; in particolare, determinare β in modo che l equazione sia ancora lineare. Esercizio 9. Per l equazione delle onde con velocità arbitraria v, definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Neumann u x (a, t) = 0, u x (b, t) = 0 t ; si determini un cambio di variabili (lineare) (x, t) (ξ, τ) 3

4 in modo che nelle nuove variabili l equazione sia scritta u ττ = u ξξ (abbia cioè velocità unitaria) e sia definita per ξ [0, π]. Esercizio 10. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Neumann u x (a, t) = 0, u x (b, t) = 0 t. u(x, 0) = φ(x) ; u t (x, 0) = 0, assumendo φ L 2 [a, b]. Esercizio 11. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Neumann u x (a, t) = 0, u x (b, t) = 0 t. u(x, 0) = 0 ; u t (x, 0) = ψ(x), assumendo ψ L 2 [a, b]. Esercizio 12. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [a, b] e con condizioni di Neumann u x (a, t) = 0, u x (b, t) = 0 t. u(x, 0) = φ(x) ; u t (x, 0) = ψ(x), assumendo φ, ψ L 2 [a, b]. Esercizio 13. Si consideri l equazione delle onde 4

5 definita sull intervallo x [0, π] e con condizioni di Neumann u x (a, t) = 0, u x (b, t) = 0 t. u(x, 0) = cos(3x) cos(5x) ; u t (x, 0) = cos(x). Esercizio 14. Si consideri l equazione delle onde definita sull intervallo x [0, π] e con condizioni di Neumann u x (a, t) = 0, u x (b, t) = 0 t. u(x, 0) = 1 ; u t (x, 0) = 2 x 3 3 π x 2 + π 3 /2. 3 Altri problemi Esercizio 15. forzante, Si consideri l equazione delle onde in presenza di un termine + f(x, t) ; assumiamo che questa sia definita sull intervallo x [0, π] e con condizioni al bordo di Dirichlet, u(0, t) = 0, u(π, t) = 0 t. Assumiamo inoltre che f(x, t) soddisfi anch essa f(0, t) = f(π, t) = 0. Si discuta la soluzione generale di questa in termini delle proprietà di f(x, t). Esercizio 16. forzante, Si consideri l equazione delle onde in presenza di un termine + f(x, t) ; assumiamo che questa sia definita sull intervallo x [0, π], con u(0, t) = u(π, t) = 0. Si discuta la soluzione generale di questa per f(x, t) = sin(ωt) sin(x). 5

6 Esercizio 17. Si consideri l equazione delle onde in presenza di un termine forzante, + f(x, t) ; assumiamo che questa sia definita sull intervallo x [0, π], con u(0, t) = u(π, t) = 0. Si discuta la soluzione di questa per f(x, t) = sin(ωt) sin(x), con condizioni iniziali u(x, 0) = φ(x) ; u t (x, t) = ψ(x). (Con φ, ψ L 2 [0, π].) Esercizio 18. Si consideri l equazione delle onde in presenza di dissipazione e di un termine forzante, = u xx λ u t + f(x, t) ; assumiamo che questa sia definita sull intervallo x [0, π], con u(0, t) = u(π, t) = 0. Si discuta il comportamento asintotico della soluzione di questa per con condizioni iniziali f(x, t) = sin(t) sin(x), u(x, 0) = φ(x) ; u t (x, t) = ψ(x). (Con φ, ψ L 2 [0, π].) 6

7 4 Soluzioni 4.1 Problemi su un dominio limitato con condizioni di Dirichlet Esercizio 1. Per riportarsi all intervallo [0, π], è sufficiente che β(0) = a, β(π) = b. Detta α l inversa di β (dunque y = α(x)), abbiamo x = α (x) y ; 2 x 2 = α (x) y + [α (x)] 2 2 y 2. L equazione delle onde è quindi scritta come = α u y + (α ) 2 u yy. Per avere l equazione nella stessa forma, deve quindi essere α = 0 (il che implica anche α = cost). In altre parole, deve essere y = α(x) = α 0 +α 1 x, x = β(y) = β 0 +β 1 y (β 0 = α 0 /α 1, β 1 = 1/α 1 ). La condizione β(0) = a β(π) = b fornisce questo implica β 0 = a, β 1 = (b a)/π ; α 0 = aπ/(b a), α 1 = π/(b a). Abbiamo inoltre α (x) = α 1 e quindi l equazione è scritta come = v 2 (π 2 /L 2 ) u yy (vπ/l) 2 u yy. Esercizio 2. Per riportarsi all intervallo [0, π] si può procedere come nell esercizio 1; questo porta ad avere (indicando ora con ξ la nuova variabile spaziale) = (vπ/l) 2 u ξξ. Con un riscalamento della variabile t, cioè con t = γ τ (γ una costante numerica) abbiamo t = γ 1 τ, e quindi l equazione si riscrive come u ττ = γ 2 (vπ/l) 2 u ξξ ; è dunque sufficiente scegliere γ = L/(vπ). In altre parole, il cambiamento di variabili richiesto è x = a + b a π ξ, t = b a v π τ. 7

8 Il cambiamento di variabili inverso è ovviamente ξ = a π b a + π b a x, τ = v π b a t. Esercizio 3. Effettuiamo dapprima un cambio di variabili, cosicché nelle nuove variabili l equazione, che ora si scrive come = w 2 u yy con w = vπ/(b a) (si veda l esercizio 1), sia definita su [0, π]; il dato iniziale sarà allora u(y, 0) = φ(α 0 + α 1 y) := Φ(y). Abbiamo b a φ (x) φ(x)x. = π b a π 0 Φ (y) Φ(y) dy ; quindi φ L 2 [a, b] Φ L 2 [0, π]. Possiamo quindi sviluppare Φ in serie di Fourier. Avendo condizioni di Dirichlet, considereremo una serie di seni, Φ(y) = Φ sin(y), dove i coefficienti di Fourier sono dati da Φ = 2 π π 0 sin(x) Φ(y) dy. Analogamente, scriveremo per u(y, t) il suo sviluppo in serie di Fourier di soli seni: u(y, t) = a (t) sin(y) ; questo implica (y, t) = a (t) sin(y) ; u yy (y, t) = 2 a (t) sin(y). L equazione delle onde è quindi riscritta come [ a (t) + w 2 2 a (t) ] sin(y) = 0. Deve quindi essere che ha soluzione a (t) = c a (t) = w 2 2 a (t) cos(wt) + s sin(wt) 8

9 (senza somma su ). Abbiamo quindi u(y, t) = [c cos(wt) + s sin(wt)] sin(y). Al tempo t = 0 abbiamo u(y, 0) = c sin(y) ; u t (y, t) = s sin(y). Confrontando queste espressioni con i dati iniziali, dobbiamo quindi avere s = 0 ; c = Φ. In conclusione, u(y, t) = Φ cos(wt) sin(y) ; tornando alla variabile x, u(x, t) = Φ cos(wt) sin[(π/l)(x a)]. Esercizio 4. L esercizio si svolge quasi come il precedente. L unica differenza è che ora le condizioni iniziali, che si esprimono in termini di imporranno di avere La soluzione sarà quindi Ψ(y) = Ψ sin(y), c = 0, s = Ψ /w. u(y, t) = (Ψ /w) sin(wt) sin(y) ; tornando alla variabile x, u(x, t) = (Ψ /w) sin(wt) sin[(π/l)(x a)]. Esercizio 5. Procediamo come negli esercizi 3 e 4; avremo u(y, t) = [c cos(wt) + s sin(wt)] sin(y). Al tempo t = 0 abbiamo u(y, 0) = c sin(y) ; u t (y, t) = s sin(y). 9

10 Confrontando queste espressioni con i dati iniziali, ora espressi tramite le funzioni Φ(y) = Φ sin(y), Ψ(y) = Ψ sin(y), dobbiamo quindi avere c = Φ, s = (Ψ /w). In conclusione, u(y, t) = [Φ cos(wt) + (Ψ /w) sin(wt)] sin(y) ; tornando alla variabile x, u(x, t) = [Φ cos(wt) + (Ψ /w) sin(wt)] sin[(π/l)(x a)]. Esercizio 6. Dal risultato dell esercizio precedente sappiamo che la soluzione generale sarà u(x, t) = [Φ cos(vt) + (Ψ /v) sin(vt)] sin(x) ; dobbiamo quindi solo calcolare i coefficienti Φ e Ψ per lo sviluppo di Φ(x) = sin(x)+3 sin(3x) e di Ψ(x) = sin(2x) in serie di Fourier (sulla base delle funzioni trigonometriche f = sin x). Ma essendo Φ e Ψ già espresse in termini di una somma di seni, sappiamo immediatamente e senza alcun calcolo che che i coefficienti sono tutti nulli tranne La soluzione cercata è quindi Φ 1 = 1, Φ 3 = 3 ; Ψ 2 = 1. u(x, t) = cos(vt) sin(x) + (1/2v) sin(2vt) sin(2x) + 3 cos(3vt) sin(3x). Esercizio 7. Usando ancora la formula generale per la soluzione, ora con Ψ = 0 per ogni, abbiamo u(x, t) = [Φ cos(vt)] sin(x) ; si tratta nuovamente di calcolare i coefficienti Φ := 2 π π 0 sin(x) Φ(x) dx. 10

11 Nel caso in esame, Φ(x) = x(π/2 x) sin(x) e dobbiamo quindi calcolare gli integrali Risulta Φ = 2 π π 0 x (π x) sin 2 (x) dx. Φ 1 = (1/2) + (π 2 /6), (( ) ) 1 ( 1) Φ = (1 2 ) 2 4 ( 1). Notiamo che Φ = 0 per = 2m. La soluzione cercata è quindi u(x, t) = ( ) 3 + π 2 cos(vt) sin(x) 6 m=1 1 8(2m+1) [1 (2m + 1) 2 cos[(2m+1)vt] sin[(2m+1)x] ; ] Problemi su un dominio limitato con condizioni di Neumann Esercizio 8. Questo è esattamente uguale all esercizio 1 della sezione precedente: non conta quali siano le condizioni al bordo, ma solo quali siano i punti in cui queste hanno luogo. Esercizio 9. Questo è esattamente uguale all esercizio 2 della sezione precedente: non conta quali siano le condizioni al bordo, ma solo quali siano i punti in cui queste hanno luogo. Esercizio 10. Questo è simile all esercizio 3 della sezione precedente, ma le condizioni al bordo richiedono ora di sviluppare la u e le condizioni iniziali in serie di soli coseni (anziché di soli seni). Abbiamo quindi (dopo essere passati alla variabile y), isolando il termine = 0 (le somme saranno tutte per da 1 ad ), Φ(y) = Φ 0 + Φ cos(y), dove i coefficienti di Fourier sono dati da Φ 0 = 1 π π 0 Φ(y) dy, Φ = 2 π π 0 cos(y) Φ(y) dy. Analogamente, scriveremo per u(y, t) il suo sviluppo in serie di Fourier di soli coseni: u(y, t) = a 0 + a (t) cos(y) ; 11

12 questo implica (y, t) = a 0 (t) + a (t) cos(y) ; u yy (y, t) = 2 a (t) cos(y). L equazione delle onde è quindi riscritta come a 0 (t) + [ a (t) + w 2 2 a (t) ] cos(y) = 0. Deve quindi essere a 0 (t) = 0 ; a (t) = w 2 2 a (t) che ha soluzione a 0 (t) = a 00 + a 01 t ; a (t) = c cos(wt) + s sin(wt) (senza somma su ). Abbiamo quindi u(y, t) = (a 00 + a 01 t) + [c cos(wt) + s sin(wt)] cos(y). Al tempo t = 0 abbiamo u(y, 0) = a 00 + c sin(y) ; u t (y, t) = a 01 + s cos(y). Confrontando queste espressioni con i dati iniziali, dobbiamo quindi avere In conclusione, a 01 = 0, s = 0 ; a 00 = Φ 0, c = Φ. u(y, t) = Φ 0 + Φ cos(wt) cos(y) ; tornando alla variabile x, u(x, t) = Φ 0 + Φ cos(wt) cos[(π/l)(x a)]. Esercizio 11. Si procede come nell esercizio precedente, ma ora le condizioni iniziali impongono In conclusione, a 01 = Ψ 0, s = Ψ ; a 00 = 0, c = 0. u(y, t) = Ψ 0 t + (Ψ /w) sin(wt) cos(y) ; 12

13 tornando alla variabile x, u(x, t) = Φ 0 + (Ψ /w) sin(wt) cos[(π/l)(x a)]. Esercizio 12. Procediamo come negli esercizi 3 e 4; avremo u(y, t) = (a 00 + a 01 t) + [c cos(wt) + s sin(wt)] cos(y). Al tempo t = 0 abbiamo u(y, 0) = a 00 + c cos(y) ; u t (y, t) = a 01 + s cos(y). Confrontando queste espressioni con i dati iniziali, ora espressi tramite le funzioni Φ(y) = Φ 0 + Φ cos(y), Ψ(y) = Ψ 0 + Ψ cos(y), dobbiamo quindi avere In conclusione, a 00 = Φ 0, a 01 = Ψ 0 ; c = Φ, s = (Ψ /w). u(y, t) = (Ψ 0 + Ψ 0 t) + [Φ cos(wt) + (Ψ /w) sin(wt)] cos(y) ; tornando alla variabile x, u(x, t) = (Ψ 0 +Ψ 0 t) + [Φ cos(wt) + (Ψ /w) sin(wt)] cos[(π/l)(x a)]. Esercizio 13. Dalla formula generale ricavata con l esercizio precedente, abbiamo u(x, t) = (Ψ 0 + Ψ 0 t) + [Φ cos(vt) + (Ψ /v) sin(vt)] cos(x). Dobbiamo solo ricavare i coefficienti di Fourier (rispetto all abase f = cos(x)) Φ, Ψ per le funzioni Φ = cos(3x) cos(5x) e Ψ = cos(x). Dato che queste cosno già scritte come somma di coseni, i coefficienti saranno tutti nulli ad eccezione di Φ 3 = 1, Φ 5 = 1 ; Ψ 1 = 1. 13

14 La soluzione richiesta è quindi u(x, t) = (1/v) sin(vt) cos(x) + cos(3vt) cos(3x) cos(5vt) cos(5x). Esercizio 14. Possiamo ancora usare la formula generale u(x, t) = (Ψ 0 + Ψ 0 t) + [Φ cos(vt) + (Ψ /v) sin(vt)] cos(x). In questo caso i coefficienti Φ sono tutti nulli tranne Φ 0 = 1, mentre dobbiamo calcolare Ψ 0 = 1 π Ψ = 2 π π 0 π 0 2x 3 3πx 2 + π 3 /2 dx, cos(x) (2x 3 3πx 2 + π 3 /2) dx. Risulta Ψ 0 = 0 ; Ψ = (1 ( 1) ) 24 π 4. I termini con pari si annullano, e la soluzione cercata è quindi u(x, t) = 1 + (48/π) m 1 sin[(2m + 1)vt] cos[(2m + 1)x]. v (2m + 1) Altri problemi Esercizio 15. Le condizioni al bordo richiedono un estensione dispari all intervallo [ π, π], vale a dire che scriveremo u(x, t) = a (t) sin(x) ; come al solito questa implica (x, t) = a (t) sin(x) ; u xx (x, t) = 2 a (t) sin(x). Se f(x, t) L 2 [0, π] per ogni t, possiamo scrivere f(x, t) = f (t) sin(x). Con queste, l equazione delle onde si ricrive come [ a + v 2 2 ] a f sin(x) = 0. 14

15 L ortogonalità delle funzioni sin(x) per diversi assicura che deve essere a (t) = v 2 2 a (t) + f (t). ( ) Queste sono delle equazioni di secondo ordine, lineari ma non autonome. Le proprietà della soluzione dipenderanno dalle proprietà di f (t). Esercizio 16. Procedendo come nell esercizio precedente si giunge alla (*). Con la forma proporta per f(x, t), abbiamo f = 0 per 1, mentre per = 1 abbiamo f 1 = sin(ωt). Le equazioni saranno quindi { a (t) = v 2 2 a (t) per 1 a 1 (t) = v 2. a 1 (t) + sin(ωt) Le soluzioni delle equazioni per 1 sono ovviamente a (t) = c cos(vt) + s sin(vt) ; (1) l equazione per = 1 ha invece soluzione diversa a seconda che ω = ±v o meno (si veda il metodo generale di soluzione per equazioni lineari). Per ω 2 v 2, abbiamo a 1 (t) = c 1 cos(vt) + s 1 sin(vt) + 1 (v 2 ω 2 ) sin(ωt). (2.a) Quando invece ω = ±v, siamo in presenza di una risonanza, e la soluzione risulta essere a 1 (t) = c 1 cos(vt) + s 1 sin(vt) 1 2v t cos(vt). (2.b) Esercizio 17. I risultati dell esercizio 16 si applicano in questo caso; avremo quindi u(x, t) = a (t) sin(x), i coefficienti a saranno dati dalla (1) per 1, e dalla (2.a) o (2.b) per = 1, a seconda del valore di ω e più precisamente a seconda che si sia nel caso non risonante o risonante. In particolare, abbiamo quindi mentre per = 1 abbiamo a (0) = c, a (0) = v s ( 1) a 1 (0) = c 1, a 1 (0) = { v s1 + ω/(v 2 ω 2 ) per ω ±v v s 1 + 1/(2ω) per ω = ±v. 15

16 La condizione iniziale fornisce u(x, 0) = a (0) sin(x) ; u t (x, 0) = a (0) sin(x). D altra parte, sappiamo che deve essere u(x, 0) = φ(x) = φ (t) sin(x) ; u t (x, 0) = ψ(x) = ψ (t) sin(x). Ne segue che per 1 si ha per = 1 abbiamo c = φ, s = ψ /(v) ; c 1 = φ 1, s 1 = { (ψ1 /v) [(ω/v)/(v 2 ω 2 )] per ω ±v (ψ 1 /v) 1/(2ω) per ω = ±v Esercizio 18. Scriviamo come al solito u(x, t) = a (t) sin(x) ; avremo quindi = a (t) sin(x), u xx = 2 a (t) sin(x), u t = a (t) sin(x). Ricordando l espressione per il termine forzante, f(x, t) = sin(t) sin(x), abbiamo quindi che l equazione proposta, = u xx λ u t + f(x, t), si riscrive come [ a + 2 a + λ a δ 1 sin(t) ] sin(x). Per 1 abbiamo quindi a = 2 a λ a ; la soluzione di queste è a (t) = e λt [C + exp( /λ 2 t) + C exp( /λ 2 t)]. 16

17 Per = 1 abbiamo invece a 1 = a 1 λ a 1 sin(t) ; La soluzione di questa è data dalla più generale soluzione u 0 (t) dell omogenea associata, vale a dire di a 1 = a 1 λ a 1, più una soluzione particolare u p (t) dell equazione completa. Naturalmente u o (t) si ottiene dalla soluzione generale data sopra per = 1, cioè risulta u o (t) = e λt [C + 1 exp( 1 4/λ 2 t) + C 1 exp( 1 4/λ 2 t)]. La soluzione particolare può essere cercata in considerazione della forma funzionale del termine non omogeneo come somma di seno e coseno di t, u p (t) = A cos(t) + B sin(t) ; sostituendo nell equazione risulta che deve essere Abbiamo quindi A = 1/λ, B = 0. a 1 (t) = (1/λ) cos(t) + e λt [C + 1 exp( 1 4/λ 2 t) + C 1 exp( 1 4/λ 2 t)]. Notiamo ora che tutti i termini a (t) sono descrescenti in t, e così anche il termine u o nella soluzione per a 1 (t). Quindi, per t abbiamo u(x, t) (1/λ) cos(t) sin(x), e questo indipendentemente dalle condizioni iniziali cioè da φ(x) e ψ(x); la richiesta che essi appartengano ad L 2 [0, π] è però necessaria per legittimare l espansione in serie di Fourier di u(x, t). Si noti lo sfasamento tra la forzante f e la soluzione u: f = sin(t) sin(x) ; u = (1/L) cos(t) sin(x) = (1/L) sin(t + π/4) sin(x). 17