Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log(1 + x 2 y) lim x 2 x"

Transcript

1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del Esercizio 1. (14 punti) Data la funzione = log(1 + x y) i) determinare il dominio e studiare l esistenza del ite (x,y) (,) x x ii) determinare massimo e minimo di su Ω = { (x, y) R : x + (y 1) 1, y 1 }. Esercizio. (1 punti) Data la curva (γ, I), con I = [ π, π ] e parametrizzazione i) dire se è regolare; γ : [ π, π ] ( ( R, γ(t) = sin(t), t + π ) ) ii) usare il Teorema del Rotore per calcolare l area dell insieme D deitato dal sostegno di (γ, I), dall asse delle ascisse e dalla retta x = 1. Esercizio 3. (1 punti) Data la superficie Σ = { (x, y, z) R 3 : x + y = arctan z } i) scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P = ii) calcolare il volume del solido V = { (x, y, z) R 3 : x + y arctan z, z 1 }. ( π,, 1 ); 1

2 Svolgimento Esercizio 1. Data la funzione = log(1 + x y) i) determinare il dominio e studiare l esistenza del ite (x,y) (,) x x Il dominio della funzione è determinato dall insieme ed è rappresentato nella figura 1. Dom(f) = { (x, y) R : 1 + x y > } 4 4 Figure 1: Il dominio di f. Per studiare il ite, osserviamo innanzitutto che (, ) è un punto interno al dominio, e possiamo quindi considerare tutte le possibili direzioni di avvicinamento al punto. Iniziamo a studiare dunque il ite lungo le rette {y = λx} con λ R, e restringendoci ai punti per cui x >. Si trova y=λx, (x,y) (,) x x = log(1 + λx 3 ) x + x = x dove abbiamo usato log(1 + t) t per t. Se il ite esiste è dunque uguale a. Tuttavia, il ite notevole che abbiamo usato prima per il logaritmo, ci suggerisce che se usiamo la restrizione {y = x} con x > otteniamo Dunque il ite non esiste. y= x, (x,y) (,) x x = log(1 + x x) x + x = 1. x

3 ii) determinare massimo e minimo di su Ω = { (x, y) R : x + (y 1) 1, y 1 }. L insieme Ω è quello raffigurato nella Figura, e osserviamo che è interamente contenuto nel dominio della funzione Figure : L insieme Ω Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione. La funzione f è sempre differenziabile nei punti del dominio. Passiamo quindi alla ricerca dei punti critici liberi, che sono soluzioni del sistema xy 1+x y = x 1+x y = 1 + x y > Risolvendo il sistema si trova che i punti critici liberi sono tutti i punti della forma P = (, y ). Passiamo allo studio di f sul bordo. Il bordo di Ω ha due spigoli e consiste di due pezzi, il segmento e la semi-circonferenza Q 1 = (1, 1) e Q = ( 1, 1) Γ 1 = {y = 1, 1 x 1} Γ = {x + (y 1) = 1, y 1} Studiamo il comportamento su Γ 1 con il metodo diretto, usando la parametrizzazione γ 1 (t) = (t, 1), t [ 1, 1] Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile g 1 (t) = f(γ 1 (t)) = log(1 + t ), t [ 1, 1] 3

4 Poiché g 1 (t) = t, troviamo che l unico punto critico è t 1+t =. Aggiungendo i punti estremi del segmento [ 1, 1], annotiamo dunque i punti di interesse Q 3 = γ 1 () = (, 1), γ 1 ( 1) = Q e γ 1 (1) = Q 1. Per studiare il comportamento su Γ usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Infatti Γ è curva di livello della funzione G(x, y) = x + (y 1). Quindi dobbiamo quindi cercare soluzioni (x, y, λ) del sistema xy 1+x y = λx x 1+x y = λ(y 1) x + (y 1) = 1 e considerare solo soluzioni con y 1. Analizzando la prima equazione, otteniamo che il sistema è equivalente a x x = y x 1+x = λ(y 1) y = λ 1+x y x = λ(y 1) x + (y 1) 1+x = 1 y x + (y 1) = 1 e quindi a e infine x = λ = y {, } x = λ = y {, } x λ = y 1+x y x = y(y 1) x + (y 1) = 1 x λ = y 1+x y x = y(y 1) 3y 4y = Dal primo gruppo di soluzioni dobbiamo escludere y =, e dunque troviamo solo (, ) che, essendo λ =, è un punto critico libero, e infatti è del tipo P. Imponendo y 1 nel secondo sotto-sistema, troviamo che l ultima equazione ha soluzione y = 4 3, e dunque troviamo i punti critici vincolati ( ) ( ) Q 4 = 3, 4 e Q 5 = 3 3, 4. 3 I valori che dobbiamo confrontare sono dunque f(p ) = f(, y ) =, f(q 1 ) = f(q ) = log(), f(q 3 ) =, f(q 4 ) = f(q 5 ) = log per cui il massimo di f è log ( 59 7) e il minimo è. ( )

5 Esercizio. Data la curva (γ, I), con I = [ π, π ] e parametrizzazione [ γ : π, π ] ( ( R, γ(t) = sin(t), t + π ) ) i) dire se è regolare; Dobbiamo vedere se esiste t ( π, π ) tale che γ (t) =. Derivando le componenti di γ(t) otteniamo γ (t) = cos(t) ( ) t + π che si annulla solo per t = π. Essendo questo valore non interno a I, concludiamo che γ è regolare. ii) usare il Teorema del Rotore per calcolare l area dell insieme D deitato dal sostegno di (γ, I), dall asse delle ascisse e dalla retta x = 1. Studiamo la curva (γ, I). La curva non è chiusa e il suo sostegno è l insieme nella figura 3, con estremi γ( π ) = ( 1, ) = P e γ( π ) = (1, π ) = Q. Usando il Teorema del Rotore si ottiene Area(D) = Figure 3: Il sostegno della curva (γ, I) D 1dxdy = L(F, + D) per campo F = (F 1, F ) definito su R con la proprietà che rot(f) = 1, e + D è il bordo di D parametrizzato in senso anti-orario. Dalla definizione di D troviamo quindi che con Γ dato dal sostegno di (γ, I), D = Γ Γ 1 Γ Γ 1 = {y =, 1 x 1} 5

6 parametrizzato da e parametrizzato da Dalla scelta delle parametrizzazioni segue che = 1 1 γ 1 (t) = (t, ), t [ 1, 1], Γ = { x = 1, y π } γ (t) = (1, t), t [, π ]. Area(D) = L(F, + D) = L(F, γ 1 ) + L(F, γ ) L(F, γ) = π F 1 (t, ) dt + π F (1, t) dt π (F 1 (γ(t)) cos(t) + F (γ(t))(t + π ) ) dt Per semplificare i calcoli, scegliamo F(x, y) = (, x), per cui sostituendo nei tre integrali troviamo π Area(D) = + π 1 dt π ( ) π = π sin(t) t cos(t) π (t + π ) sin(t) dt = + π cos(t) π π = π 4. Esercizio 3. Data la superficie Σ = { (x, y, z) R 3 : x + y = arctan z } i) scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P = ( π,, 1 ); La superficie Σ è scritta come insieme di livello della funzione differenziabile che verifica F (x, y, z) = x y 1 1+z F (x, y, z) = x + y arctan z ( ) π e in particolare F (P ) = F,, 1 = π 1 Quindi P è un punto regolare per Σ, e l equazione cartesiana del piano tangente a Σ in P è data da ( ) π π x 1 (z 1) =. ii) calcolare il volume del solido V = { (x, y, z) R 3 : x + y arctan z, z 1 } 6

7 Si tratta di un solido di rotazione della forma { (x, y, z) R 3 : a z b, x + y g (z) } dove b = 1, g(z) = arctan z, e dunque z, ossia a =. Possiamo quindi applicare la formula Volume(V ) = b a πg (z) dz = 1 ( π arctan z dz = π z arctan z 1 ) log(1 + 1 z ) = π 4 π log. 7

8 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio 1. (14 punti) Data la funzione = log(1 + xy ) i) determinare il dominio e studiare l esistenza del ite (x,y) (,) y x ii) determinare massimo e minimo di su Ω = { (x, y) R : (x 1) + y 1, x 1 }. Esercizio. (1 punti) Data la curva (γ, I), con I = [ π, π ] e parametrizzazione i) dire se è regolare; γ : [ π, π ] (( R, γ(t) = t + π ) ), sin(t) ii) usare il Teorema del Rotore per calcolare l area dell insieme D deitato dal sostegno di (γ, I), dall asse delle ordinate e dalla retta y = 1. Esercizio 3. (1 punti) Data la superficie Σ = { (x, y, z) R 3 : x + y = log(1 + z) } i) scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P = ii) calcolare il volume del solido ( V = { (x, y, z) R 3 : x + y log(1 + z), z e 1 }.,, e 1 ); 8

9 Svolgimento Esercizio 1. Data la funzione = log(1 + xy ) i) determinare il dominio e studiare l esistenza del ite (x,y) (,) y x Il dominio della funzione è determinato dall insieme ed è rappresentato nella figura 4. Dom(f) = { (x, y) R : 1 + xy > } 4 4 Figure 4: Il dominio di f. Per studiare il ite, osserviamo innanzitutto che (, ) è un punto interno al dominio, e possiamo quindi considerare tutte le possibili direzioni di avvicinamento al punto, restringendoci ai punti per cui x >. Iniziamo a studiare dunque il ite lungo le rette {y = λx} con λ R con x >. Si trova y=λx, (x,y) (,) y x = log(1 + λ x 3 ) x + λx = x dove abbiamo usato log(1 + t) t per t. Se il ite esiste è dunque uguale a. Proviamo a dimostrarlo scrivendo y x xy y x = y x dove abbiamo usato la disuguaglianza log(1 + t) t per t. Poiché (x,y) (,) y x = si ha in effetti che il ite esiste ed è. 9

10 ii) determinare massimo e minimo di su Ω = { (x, y) R : (x 1) + y 1, x 1 }. L insieme Ω è quello raffigurato nella Figura 5, e osserviamo che è interamente contenuto nel dominio della funzione Figure 5: L insieme Ω Per studiare massimo e minimo assoluto di f su Ω dobbiamo considerare i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a Ω, sui punti critici vincolati al bordo di Ω, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione. La funzione f è sempre differenziabile nei punti del dominio. Passiamo quindi alla ricerca dei punti critici liberi, che sono soluzioni del sistema y 1+x y = xy 1+x y = 1 + xy > Risolvendo il sistema si trova che i punti critici liberi sono tutti i punti della forma P = (x, ). Passiamo allo studio di f sul bordo. Il bordo di Ω ha due spigoli e consiste di due pezzi, il segmento e la semi-circonferenza Q 1 = (1, 1) e Q = (1, 1) Γ 1 = {x = 1, 1 y 1} Γ = {(x 1) + y = 1, x 1} Studiamo il comportamento su Γ 1 con il metodo diretto, usando la parametrizzazione γ 1 (t) = (1, t), t [ 1, 1] Componiamo con f e otteniamo la funzione di una variabile g 1 (t) = f(γ 1 (t)) = log(1 + t ), t [ 1, 1] 1

11 Poiché g 1 (t) = t, troviamo che l unico punto critico è t 1+t =. Aggiungendo i punti estremi del segmento [ 1, 1], annotiamo dunque i punti di interesse Q 3 = γ 1 () = (1, ), γ 1 ( 1) = Q e γ 1 (1) = Q 1. Per studiare il comportamento su Γ usiamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Infatti Γ è curva di livello della funzione G(x, y) = (x 1) + y. Quindi dobbiamo quindi cercare soluzioni (x, y, λ) del sistema y = λ(x 1) 1+x y xy 1+x y = λy (x 1) + y = 1 e considerare solo soluzioni con x 1. Analizzando la seconda equazione, otteniamo che il sistema è equivalente a y y = λ(x 1) 1+x y y = λ(x 1) 1+x y = y x (x 1) + y 1+x = 1 y = λ (x 1) + y = 1 e quindi a e infine λ = y = x {, } λ = y = x {, } y y = x(x 1) x 1+x y = λ (x 1) + y = 1 y y = x(x 1) λ = x 1+x y 3x 4x = Dal primo gruppo di soluzioni dobbiamo escludere x =, e dunque troviamo solo (, ) che, essendo λ =, è un punto critico libero, e infatti è del tipo P. Imponendo x 1 nel secondo sotto-sistema, troviamo che l ultima equazione ha soluzione x = 4 3, e dunque troviamo i punti critici vincolati ( ) ( ) 4 Q 4 = 3, 4 e Q 5 = 3 3,. 3 I valori che dobbiamo confrontare sono dunque f(p ) = f(x, ) =, f(q 1 ) = f(q ) = log(), f(q 3 ) =, f(q 4 ) = f(q 5 ) = log per cui il massimo di f è log ( 59 7) e il minimo è. ( )

12 Esercizio. Data la curva (γ, I), con I = [ π, π ] e parametrizzazione i) dire se è regolare; γ : [ π, π ] (( R, γ(t) = t + π ) ), sin(t) Dobbiamo vedere se esiste t ( π, π ) tale che γ (t) =. Derivando le componenti di γ(t) otteniamo ( ( ) ) γ t + π (t) = cos(t) che si annulla solo per t = π. Essendo questo valore non interno a I, concludiamo che γ è regolare. ii) usare il Teorema del Rotore per calcolare l area dell insieme D deitato dal sostegno di (γ, I), dall asse delle ordinate e dalla retta y = 1. Studiamo la curva (γ, I). La curva non è chiusa e il suo sostegno è l insieme nella figura 6, con estremi γ( π ) = (, 1) = P e γ( π ) = (π, 1) = Q Usando il Teorema del Rotore si ottiene Area(D) = Figure 6: Il sostegno della curva (γ, I) D 1dxdy = L(F, + D) per campo F = (F 1, F ) definito su R con la proprietà che rot(f) = 1, e + D è il bordo di D parametrizzato in senso anti-orario. Dalla definizione di D troviamo quindi che con Γ dato dal sostegno di (γ, I), parametrizzato da e parametrizzato da Dalla scelta delle parametrizzazioni segue che D = Γ Γ 1 Γ Γ 1 = {x =, 1 y 1} γ 1 (t) = (, t), t [ 1, 1], Γ = { y = 1, x π } γ (t) = (t, 1), t [, π ]. Area(D) = L(F, + D) = L(F, γ 1 ) L(F, γ ) + L(F, γ) = 1

13 1 π = F (, t) dt 1 π F 1 (t, 1) dt + π ( F 1 (γ(t))(t + π ) ) + F (γ(t)) cos(t) dt Per semplificare i calcoli, scegliamo F(x, y) = ( y, ), per cui sostituendo nei tre integrali troviamo π Area(D) = + π 1 dt π ( ) π = π sin(t) t cos(t) π (t + π ) sin(t) dt = + π cos(t) π π = π 4. Esercizio 3. Data la superficie Σ = { (x, y, z) R 3 : x + y = log(1 + z) } i) scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P = ( La superficie Σ è scritta come insieme di livello della funzione differenziabile che verifica F (x, y, z) = x y 1 1+z F (x, y, z) = x + y log(1 + z) e in particolare F (P ) = F (,,, e 1 ); ), e 1 = 1 e Quindi P è un punto regolare per Σ, e l equazione cartesiana del piano tangente a Σ in P è data da ( ) x + ( ) y 1 (z e + 1) =. e ii) calcolare il volume del solido V = { (x, y, z) R 3 : x + y log(1 + z), z e 1 }. Si tratta di un solido di rotazione della forma { (x, y, z) R 3 : a z b, x + y g (z) } dove b = e 1, g(z) = log(1 + z), e dunque z, ossia a =. Possiamo quindi applicare la formula b e 1 ( ) Volume(V ) = πg e 1 (z) dz = π log(1 + z) dz = π (1 + z) log(1 + z) z = π. a 13

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 )

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = tan(2x 2 + 3y 2 ) Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-9- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log 1 + (x y 2 ) x 2.

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = log 1 + (x y 2 ) x 2. Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 7-7-6 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del xy + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + sin

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del xy + 2x + 2y + 2xy + 2x + 2y + sin Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 9--8 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del 7-- Esercizio. punti Data la funzione fx, y = log x + y x + y + x y i trovare tutti i punti critici; ii trovare massimo e minimo assoluti

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 30-0-08 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del f(x, y) = x 2 + y 2

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del f(x, y) = x 2 + y 2 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del -7- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del A

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del A Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del -7-5 - A Esercizio ( punti Data la funzione f(x, y = x + y + 4xy 8x 4y + 4 i trovare tutti i punti critici e, se possibile, caratterizzarli

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del y 2

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del y 2 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 15--18 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = sin( x 2 + 2y 2 )

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = sin( x 2 + 2y 2 ) Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 9--9 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del -6- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = 2 x 2 y 2 x y 2 + x y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = 2 x 2 y 2 x y 2 + x y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del -7- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle Esercizio

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = x 2 + 2y 2 x 3 y 3

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del f(x, y) = x 2 + 2y 2 x 3 y 3 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del 7-7-8 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del f(x, y) = x sin y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del f(x, y) = x sin y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del 4-- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del A. f(x, y) = x + y 2 + log(x y)

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del A. f(x, y) = x + y 2 + log(x y) Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del 4-6- - A - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del f(x, y) = arctan xy + x + y

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del f(x, y) = arctan xy + x + y Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito A del -7-2 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.

Dettagli

Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 15 Aprile 2009 (Ingegneria Edile e Architettura)

Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 15 Aprile 2009 (Ingegneria Edile e Architettura) Soluzione della prova scritta di Analisi Matematica II del 5 Aprile 009 Ingegneria Edile e Architettura x. Calcolare J = ds essendo γ la curva ottenuta intersecando γ + y il cilindro di equazione x + y

Dettagli

ESERCIZI SU MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI. m(x, y, z) = (2x 2 + y 2 )e x2 y 2, f(x, y) = (y x 2 )(y x2. f(x, y) = x 3 + (x y) 2,

ESERCIZI SU MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI. m(x, y, z) = (2x 2 + y 2 )e x2 y 2, f(x, y) = (y x 2 )(y x2. f(x, y) = x 3 + (x y) 2, ESERCIZI SU MASSIMI E MINIMI DI FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI VALENTINA CASARINO Esercizi per il corso di Analisi Matematica, (Ingegneria Gestionale, dell Innovazione del Prodotto, Meccanica e Meccatronica,

Dettagli

Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati

Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati Alcuni esercizi risolti da esami di anni passati Andrea Braides ( x. Calcolare, se esiste, il limite lim (x,y (, x + y log + y + x 3 y. x + y Dato che log( + s = s + o(s per s, abbiamo lim (x,y (, ( x

Dettagli

Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica)

Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) COGNOME NOME Matr. Firma dello studente A Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni è corretta. Indicatela con una croce. È consentita una sola correzione

Dettagli

Analisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 29 Gennaio 2018

Analisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 29 Gennaio 2018 nalisi Matematica II - Ingegneria Meccanica/Energetica - 29 Gennaio 218 1) ia data la funzione f(x, y, z) = (x 2 + y 2 1) 2 + 8 a) tudiare l esistenza di massimi e minimi assoluti della funzione f nella

Dettagli

A Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito d esame

A Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito d esame COGNOME NOME Matr. Firma dello studente A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni

Dettagli

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA A.A Primo appello del 5/5/2010

COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA A.A Primo appello del 5/5/2010 COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA A.A. 29- Primo appello del 5/5/2 Qui trovate le tracce delle soluzioni degli esercizi del compito. Ho tralasciato i calcoli da Analisi (che comunque sono parte della risoluzione),

Dettagli

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo compito in itinere 30 Giugno 2016

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo compito in itinere 30 Giugno 2016 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo compito in itinere Giugno 6 Cognome: Nome: Matricola: Es.: 9 punti Es.: 9 punti Es.: 6 punti Es.4: 9 punti Totale. Si consideri

Dettagli

Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2

Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2 a.a 2005/06 Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2 Funzioni di due variabili a cura di Roberto Pagliarini Vediamo prima di tutto degli esercizi sugli insiemi

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del

ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 3..7 TEMA Esercizio Calcolare l integrale log(3) 4 dx Svolgimento. Si ha log(3) 4 dx = (ponendo ex = t, per cui dx = dt/t) e = 4 3

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott.

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Università di Trieste Facoltà d Ingegneria Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica Dott Franco Obersnel Lezione 8: estremi vincolati Esercizio 1 Scomporre il numero 411 nella

Dettagli

Estremi vincolati, Teorema del Dini.

Estremi vincolati, Teorema del Dini. Estremi vincolati, Teorema del Dini. 1. Da un cartone di 1m si deve ricavare una scatola rettangolare senza coperchio. Trovare il massimo volume possibile della scatola.. Trovare gli estremi assoluti di

Dettagli

Analisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011)

Analisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011) Corso di laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI compito del 9/09/0 Docente: Claudia Anedda Calcolare, tramite uno sviluppo in serie noto, la radice quinta di e la radice cubica di 9 Utilizzando la

Dettagli

1 Note ed esercizi risolti a ricevimento

1 Note ed esercizi risolti a ricevimento 1 Note ed esercizi risolti a ricevimento Nota 1. Il polinomio di Taylor della funzione f x, y) due variabili), del secondo ordine, nel punto x 0, y 0 ), è P 2 x, y) = f x 0, y 0 ) + f x x 0, y 0 ) x x

Dettagli

Estremi vincolati, Teorema del Dini.

Estremi vincolati, Teorema del Dini. Estremi vincolati, Teorema del Dini. 1. Da un cartone di 1m si deve ricavare una scatola rettangolare senza coperchio. Trovare il massimo volume possibile della scatola.. Trovare gli estremi assoluti di

Dettagli

Soluzione del Il campo è irrotazionale, come si verifica facilmente poiché xy (1 xy) log(1 xy) y 1 xy. y 1 xy. y < 1 x per x > 0,

Soluzione del Il campo è irrotazionale, come si verifica facilmente poiché xy (1 xy) log(1 xy) y 1 xy. y 1 xy. y < 1 x per x > 0, Soluzione del..15 1. Il campo è irrotazionale, come si verifica facilmente poiché ( ) xy (1 xy) log(1 xy) = ( ) xy log(1 xy) y 1 xy y 1 xy ( ) x = x x y x 1 xy (1 xy). Il campo è definito dove 1 xy >,

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 29 settembre 2012

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 29 settembre 2012 Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9 settembre A) Data la funzione f(x, y) = { xy x se (x, y) (, ) se (x, y) = (, ), i) stabilire se risulta continua

Dettagli

Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A.008-009 - Prof. G.Cupini Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Dettagli

Estremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.

Estremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima. Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..

Dettagli

Analisi Matematica 2: Scritto Generale, Cognome e nome:...matricola:...

Analisi Matematica 2: Scritto Generale, Cognome e nome:...matricola:... Analisi Matematica 2: Scritto Generale, 21.02.2017 Cognome e nome:....................................matricola:......... es.1 es.2 es.3 es.4 es.5 es.6 es.7 somma 5cr. 6 6 6 6 6 - - 30 6/9cr. 5 5 5 5 5

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE II ISTITUZIONI DI MATEMATIHE II SEONDO ESONERO Esercizio 1. Data la funzione f(x, y) = (x + y )(1 y) i) se ne studi il segno. ii) Si trovino i punti critici di f e se ne studi le natura. iii) Sia D = {(x,

Dettagli

Esame di Analisi Matematica 2 25/2/2013 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Energetica A.A. 2012/2013

Esame di Analisi Matematica 2 25/2/2013 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Energetica A.A. 2012/2013 Esame di Analisi Matematica 2 25/2/203 Corsi di Laurea in Ingegneria Meccanica e Energetica A.A. 202/203 A Esercizio 0. Riportare esclusivamente la risposta a ciascuno dei questi a-d di sotto. Gli elaborati

Dettagli

Esercizi su estremi vincolati e assoluti

Esercizi su estremi vincolati e assoluti Esercizi su estremi vincolati e assoluti Esercizio 1. di sul quadrato Determinare i punti di minimo e di massimo (e i relativi valori di minimo e massimo) assoluto f(x, y) = x cos(πy) Q = [0, 1] [0, 1].

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

= 2x 2λx = 0 = 2y 2λy = 0

= 2x 2λx = 0 = 2y 2λy = 0 ESERCIZI SULLA OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA ESERCIZIO Determinare i punti di massimo e minimo di f x, y = x y soggetta al vincolo x + y = Il vincolo è chiuso e limitato (circonferenza di raggio ) e la funzione

Dettagli

1. Riconoscere la natura delle coniche rappresentate dalle seguenti equazioni e disegnarle:

1. Riconoscere la natura delle coniche rappresentate dalle seguenti equazioni e disegnarle: Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 204-205 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi proposti n. 3: Funzioni a due variabili. Riconoscere

Dettagli

Campi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti

Campi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti Campi conservativi e forme esatte - Esercizi svolti 1) Dire se la forma differenziale è esatta. ω = 2 2 (1 + 2 2 ) 2 d + 2 2 (1 + 2 2 ) 2 d 2) Individuare in quali regioni sono esatte le seguenti forme

Dettagli

Fondamenti di Analisi Matematica 2 - a.a. 2016/2017 Primo appello

Fondamenti di Analisi Matematica 2 - a.a. 2016/2017 Primo appello Fondamenti di Analisi Matematica 2 - a.a. 216/217 Primo appello Esercizi senza svolgimento - Tema 1 Ω = { x, y, z) R 3 : 4x 2 + y 2 + z 2 1, z }. x = ρ/2) sen ϕ cos ϑ, 1. y = ρ sen ϕ sen ϑ, ρ [, 1], ϕ

Dettagli

Istituzioni di Matematiche Modulo A (ST)

Istituzioni di Matematiche Modulo A (ST) Istituzioni di Matematiche Modulo A ST) V I foglio di esercizi ESERCIZIO. Si calcoli + sin t) dt t cos t + log + t))dt e + tg t + e t )dt cos t dt t. Calcoliamo il primo dei due. Si tratta di un ite della

Dettagli

Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 +

Studiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 + Esercizi del 2//09. Data la funzione f(x) = ln(x 2 2x) (a) trovare il dominio, gli eventuali asintoti e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Disegnare il grafico della funzione. (b) Scrivere

Dettagli

Soluzioni degli esercizi proposti nella sessione estiva Terni Perugia. F NdS. div F = 2 div F dxdydz = 2volume (V ) = 36π.

Soluzioni degli esercizi proposti nella sessione estiva Terni Perugia. F NdS. div F = 2 div F dxdydz = 2volume (V ) = 36π. Soluzioni degli esercizi proposti nella sessione estiva 2-2 Terni Perugia ) Sia F = (2x, y, z) e V il volume delimitato dalle superfici: la semisfera S := z = 9 x 2 y 2 ed il disco S 2 di equazione z =,

Dettagli

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2016/2017

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2016/2017 Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 6/7 C.d.L. in Ingegneria Informatica ed Elettronica - Università degli Studi di Perugia Prova scritta del 5 giugno 7. Assegnati ( l insieme E {(x,

Dettagli

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione ESERCIZIO SVOLTO N 1 Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione f(x, y) = y 2 x 2 Trovare gli eventuali punti stazionari e gli estremi di f Il dominio della funzione è dato da dom

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Vedremo tra breve un metodo per studiare il problema di trovare il minimo e il massimo di una funzione su di un sottoinsieme dello spazio ambiente che non sia un aperto. Abbiamo

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito A del Analisi Maemaica II Corso di Ingegneria Gesionale Compio A del -6-7 - È obbligaorio consegnare ui i fogli, anche la brua e il eso. - Le rispose senza giusificazione sono considerae nulle. Esercizio. puni

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI

CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI Notiamo che lo studio delle funzioni assegnate f,..., f 4 si riduce a considerare

Dettagli

1 Limiti e continuità

1 Limiti e continuità Calcolo infinitesimale e differenziale Gli esercizi indicati con l asterisco (*) sono più impegnativi. Limiti e continuità Si ricorda che per una funzione di più variabili, la definizione di continuità

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi) Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................

Dettagli

ARGOMENTI MATEMATICA PER L INGEGNERIA

ARGOMENTI MATEMATICA PER L INGEGNERIA ARGOMENTI DI MATEMATICA PER L INGEGNERIA VOLUME 2 Esercizi proposti Quando non diversamente precisato, nel seguito si intenderà( sempre che nel piano sia stato introdotto un sistema cartesiano ortogonale

Dettagli

Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati. Analisi Matematica 3. Esercizi svolti nelle lezioni. V. Del Prete

Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati. Analisi Matematica 3. Esercizi svolti nelle lezioni. V. Del Prete Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati A.A.00-0 Analisi Matematica 3 Esercizi svolti nelle lezioni V. Del Prete Numeri complessi Argomenti ed esercizi svolti nelle lezioni 30.09.00 e

Dettagli

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II

Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) A.A.009-00 - Università di Bologna - Prof. G.Cupini Esercizi sulle funzioni di due variabili: parte II (Grazie agli studenti del corso

Dettagli

DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Clinica Canale PZ A.A. 2017/2018 Codocente: Dott. Salvatore Fragapane

DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Clinica Canale PZ A.A. 2017/2018 Codocente: Dott. Salvatore Fragapane DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Clinica Canale PZ A.A. 07/08 Codocente: Dott. Salvatore Fragapane Lezione - 09/03/08, dalle 6.00 alle 8.00 in aula 6 Es. Studiare

Dettagli

ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2010/11. Calcolare la lunghezza del grafico di f. Suggerimento: ricordare che, se h(u) è una funzione continua e.

ESAMI E ESERCITAZIONI A.A. 2010/11. Calcolare la lunghezza del grafico di f. Suggerimento: ricordare che, se h(u) è una funzione continua e. ESAMI E ESERCITAZIONI AA 2010/11 ANDREA RATTO Sommario In questo file presentiamo esercitazioni ed esami relativi al Corso Integrato di Matematica per Scienze dell Architettura 1 Esercitazione del 2 Maggio

Dettagli

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A

Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio

Dettagli

Istituzioni di Analisi 2 (programma, domande ed esercizi)

Istituzioni di Analisi 2 (programma, domande ed esercizi) Istituzioni di Analisi programma, domande ed esercizi) nona settimana Argomenti trattati Dal libro di testo: 3. punti critici vincolati), 3.3. estremi assoluti), 0.3. e 0.3. solo la definizione di compatto

Dettagli

Analisi Matematica 2: Scritto Generale, , Versione A. Cognome e nome:...matricola:...

Analisi Matematica 2: Scritto Generale, , Versione A. Cognome e nome:...matricola:... Analisi Matematica : Scritto Generale, 7.9.16, Versione A Cognome e nome:....................................matricola:......... es.1 es. es.3 es.4 es.5 es.6/7 somma 5cr. 6 6 6 6 6 3 9cr. 5 5 5 5 5 /3

Dettagli

g(x, y) = b y = h 1 (x), x I 1 oppure x = h 2 (y), y I 2 riconducendosi alla ricerca degli estremanti di una funzione in una sola variabile:

g(x, y) = b y = h 1 (x), x I 1 oppure x = h 2 (y), y I 2 riconducendosi alla ricerca degli estremanti di una funzione in una sola variabile: Estremi vincolati Un problema di ottimizzazione vincolata consiste nella ricerca degli estremanti di una funzione in presenza di un vincolo, cioè limitatamente ad un certo sottoinsieme del dominio di f:

Dettagli

Risoluzione del compito n. 1 (Febbraio 2018/1)

Risoluzione del compito n. 1 (Febbraio 2018/1) Risoluzione del compito n. Febbraio 8/) PROBLEMA Considerate la curva Φθ) = rθ)cosθ, rθ)senθ, θ/ ), θ. a) Determinate la funzione rθ) in modo che il sostegno di Φ stia sulla superficie conica C = {z =

Dettagli

Campi vettoriali. 1. Sia F (x, y) = ye x i + (e x cos y) j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per F, se esiste.

Campi vettoriali. 1. Sia F (x, y) = ye x i + (e x cos y) j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per F, se esiste. Campi vettoriali. Sia F (x, y = ye x i + (e x cos y j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per F, se esiste.. Sia F (x, y = xy i + x j un campo vettoriale. Determinare un potenziale per F, se

Dettagli

Modulo di Matematica

Modulo di Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 05/06 Corso di Laurea in Biotecnologie Modulo di Matematica Esame del 0/0/06 N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato.

Dettagli

Argomento 7 - Studi di funzioni Soluzioni Esercizi

Argomento 7 - Studi di funzioni Soluzioni Esercizi Argomento 7 - Studi di funzioni Soluzioni Esercizi Sol. E. 7. f() = log + 4 Insieme di definizione : Limiti : 4 log + = + 0 + (confronto tra infiniti in cui prevale la potenza) 4 log + = log = + + + Notiamo

Dettagli

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati

Dettagli

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 26.1.

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 26.1. Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II Padova, 6.1.16 Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare le

Dettagli

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2011/2012

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2011/2012 Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. / C.d.L. in Ingegneria Informatica ed Elettronica - Università degli Studi di Perugia Prova scritta del 7 giugno. ( punti) Disegnare l insieme E (x,

Dettagli

es.1 es.2 es.3 es.4 es.5 somma Analisi Matematica 2: Primo Parziale, , Versione A Cognome e nome:...matricola:...

es.1 es.2 es.3 es.4 es.5 somma Analisi Matematica 2: Primo Parziale, , Versione A Cognome e nome:...matricola:... es. es. es. es.4 es.5 somma 5 4 8 8 5 Analisi Matematica : Primo Parziale,.4.7, Versione A Cognome e nome:....................................matricola:.......... Calcolare la lunghezza della curva di

Dettagli

Analisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005

Analisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005 Analisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005 Prova orale il: Docente: Determinare, se esistono, il massimo ed il minimo assoluto della funzione

Dettagli

sen n x( tan xn n n=1

sen n x( tan xn n n=1 8 Gennaio 2016 Nome (in stampatello): 1) (8 punti) Discutere la convergenza della serie di funzioni al variare di x in [ 1, 1]. n x( tan xn n ) xn sen n 2) (7 punti) Provare che la forma differenziale

Dettagli

Soluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti

Soluzione. Il dominio E consiste nella parte di spazio contenuta nella sfera ma esterna al cono rappresentata in Figura 1. Infatti Esercizio 1 (G. Ziglio). (6 punti) Calcolare il volume della porzione di spazio E interna alla sfera di equazione x 2 + y 2 + z 2 = 1 ed esterna al cono di equazione z 2 = x 2 + y 2 E = (x, y, z) R x 2

Dettagli

ANALISI MATEMATICA II 6 luglio 2010 Versione A

ANALISI MATEMATICA II 6 luglio 2010 Versione A ANALISI MATEMATICA II 6 luglio 2 Versione A Nome Cognome: Matricola Codice corso Docente: Corso di Laurea: Analisi II 75 cr. Analisi D Analisi II V.O. Analisi C es. 23 es. 245 es 24 es. es. 3 pinti b c

Dettagli

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del log 1 + x2 y 2

Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del log 1 + x2 y 2 Analisi Maemaica II Corso di Ingegneria Gesionale Compio del 5-7-7 - È obbligaorio consegnare ui i fogli, anche la brua e il eso. - Le rispose senza giusificazione sono considerae nulle. Esercizio. puni

Dettagli

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale Analisi e geometria 2 Seconda Prova in Itinere Docente: 2 7 212 Cognome: Nome: Matricola: Ogni risposta dev essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello

Dettagli

Anno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A

Anno Accademico Corso di Laurea in Scienze biologiche Prova scritta 1 di Istituzioni di Matematiche del 13 febbraio 2007 COMPITO A del 13 febbraio 007 COMPITO A 1. Dire per quali valori del parametro reale λ, il seguente sistema lineare x + y = 1 x + y = x y = λ ammette soluzioni e trovarle.. Siano date le rette r : x + 3y + 3 = 0

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19/06/2010 A

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica 2 del 19/06/2010 A Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale Prova Scritta di Analisi Matematica del 9/6/ A ) ata la funzione f(x, y) x y log( + x + y ), a) stabilire dove risulta derivabile parzialmente nel suo

Dettagli

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9.

Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9. Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II Padova, 19.9.2016 Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2015/2016

Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2015/2016 Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 5/6 C.d.L. in Ingegneria Informatica ed Elettronica - Università degli Studi di Perugia Prova scritta del 6 giugno 6. Determinare massimi e minimi

Dettagli

Analisi II, a.a Soluzioni 4

Analisi II, a.a Soluzioni 4 Analisi II, a.a. 17-18 Soluzioni 4 1) Consideriamo le curve in forma parametrica in R φ : R R, φ(t) = (cos t, cos(t)), φ : R R, φ(t) = (1 + cos t, sen t) φ :], π/[ R, φ(t) = (sen t, cos t) φ : R R, φ(t)

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 2 ING. GESTIONALE prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 17/01/2017

ANALISI MATEMATICA 2 ING. GESTIONALE prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 17/01/2017 I.1 ANALISI MATEMATICA 2 ING. GESTIONALE prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 17/01/2017 1. Trovare il minimo e il massimo assoluti, e i punti di estremo a essi relativi, della funzione nell insieme

Dettagli

Esercitazioni di Matematica

Esercitazioni di Matematica Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +

Dettagli

ANALISI MATEMATICA II PROVA DI TEORIA (23/6/2009)

ANALISI MATEMATICA II PROVA DI TEORIA (23/6/2009) ANALISI MATEMATICA II PROVA DI TEORIA (23/6/2009) 1. Sia S = { } (x, y, z) : x 2 + y 2 = 4, 0 z 3 + x. Scrivere le equazioni parametriche di una superficie regolare che abbia S come sostegno. 2. Enunciare

Dettagli

ESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 2006/2007

ESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 2006/2007 ESERCIZI I ANALISI II Ingegneria Civile e dei Trasporti (M-Z) a.a. 006/007 1 FUNZIONI IN UE VARIABILI (I parte) Insiemi di definizione eterminare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni in due

Dettagli

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo Appello 7 Settembre 2016

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 2 Secondo Appello 7 Settembre 2016 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Secondo Appello 7 Settembre 6 Cognome: Nome: Matricola: Es.: punti Es.: 7 punti Es.3: 7 punti Es.4: 7 punti Totale. Sia f : R 3 R 3 l applicazione

Dettagli

Analisi Vettoriale - Primo esonero - 26 ottobre 2006

Analisi Vettoriale - Primo esonero - 26 ottobre 2006 Analisi Vettoriale - Primo esonero - 26 ottobre 26 Esercizio 1. ia F (x, y) = e xy + x 2 y 2x 2y + 1. a) imostrare che l equazione F (x, y) = definisce implicitamente, in un intorno del punto P = (1, ),

Dettagli

Prove d Esame A.A. 2012/2013

Prove d Esame A.A. 2012/2013 Complementi di Analisi Polo di Savona Complementi di Analisi Matematica Prove d Esame A.A. 2012/2013 1- PrCam.TEX [] Complementi di Analisi Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011 Prima Prova parziale

Dettagli

Modulo di Matematica

Modulo di Matematica Università degli Studi di Udine nno ccademico 5/6 Corso di Laurea in Biotecnologie Modulo di Matematica Esame del 4/7/6 N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Tempo

Dettagli

ANALISI MATEMATICA 2 ING. ENERGETICA prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 05/02/2019

ANALISI MATEMATICA 2 ING. ENERGETICA prof. Daniele Andreucci Prova tecnica del 05/02/2019 I ANALISI MATEMATICA ING ENERGETICA prof Daniele Andreucci Prova tecnica del //9 Si consideri la funzione x+yarctg x 3 y fx,y = x +y, x,y,,, x,y =, A Si dimostri che f è differenziabile in, B Si dimostri

Dettagli

1 Limiti di funzioni di più variabili

1 Limiti di funzioni di più variabili 1 Limiti di funzioni di più variabili Sia f : D R N R e x 0 un punto di accumulazione per D. Riportiamo alcune utili strategie per verificare se la funzione ammette o non ammette ite finito in x 0. Le

Dettagli

Massimi e minimi vincolati

Massimi e minimi vincolati Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché

Dettagli

Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 27 gennaio 2012 Uno svolgimento

Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 27 gennaio 2012 Uno svolgimento Analisi Matematica 3 (Fisica) Prova scritta del 27 gennaio 22 Uno svolgimento Prima di tutto, eccovi alcuni commenti che potrebbero aiutarvi a svolgere meglio le prove scritte. Ad ogni domanda del testo

Dettagli

Foglio 3 Esercizi su forme differenziali lineari ed integrali di seconda specie (alcuni con cenno di soluzione).

Foglio 3 Esercizi su forme differenziali lineari ed integrali di seconda specie (alcuni con cenno di soluzione). Università degli Studi di Padova Facoltà di Ingegneria Laurea in Ingegneria Gestionale e MeccanicaMeccatronica, V. Casarino P. Mannucci (-) Foglio 3 Esercizi su forme differenziali lineari ed integrali

Dettagli

TEMA 1. F (x, y) = e xy + x + y.

TEMA 1. F (x, y) = e xy + x + y. FONDAMENTI DI ANALII MATEMATICA 2 Commissione F. Albertini, V. Casarino, M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica, Vicenza Vicenza, 23 gennaio 217 Primo appello Avvertenza: Nella prima

Dettagli