Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del A. f(x, y) = x + y 2 + log(x y)

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1 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del A - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. 5 punti Data la funzione i determinare il dominio; fx, y x + y + logx y ii trovare tutti i punti critici liberi e dire se si tratta di punti di minimo locale, di massimo locale o di sella; iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D dato dalla parte interna al triangolo di vertici,,, e,. Esercizio. 8 punti Data la superficie Σ { x, y, z R 3 : z, x + y sinπz } i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; ii dire se esiste il piano tangente a Σ in tutti i suoi punti; iii calcolare il volume del solido U { x, y, z R 3 : z, x + y sinπz } iv calcolare il flusso uscente da Σ per il campo di vettori x + y Fx, y, z x + y x +z+

2 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del B - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. 5 punti Data la funzione i determinare il dominio; fx, y x + y x y ii trovare tutti i punti critici liberi e dire se si tratta di punti di minimo locale, di massimo locale o di sella; iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D dato dalla parte interna al triangolo di vertici,,, e,. Esercizio. 8 punti Data la superficie Σ { x, y, z R 3 : z, x + y 4z z } i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; ii dire se esiste il piano tangente a Σ in tutti i suoi punti; iii calcolare il volume del solido U { x, y, z R 3 : z, x + y 4z z } iv calcolare il flusso uscente da Σ per il campo di vettori Fx, y, z y +z+ x y + z

3 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del C - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. 5 punti Data la funzione i determinare il dominio; fx, y x + y + logy x ii trovare tutti i punti critici liberi e dire se si tratta di punti di minimo locale, di massimo locale o di sella; iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D dato dalla parte interna al triangolo di vertici,,, e,. Esercizio. 8 punti Data la superficie { π } Σ x, y, z R 3 : z, x + y cos z i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P ii dire se esiste il piano tangente a Σ in tutti i suoi punti;,, ; iii calcolare il volume del solido { U x, y, z R 3 π } : z, x + y cos z iv calcolare il flusso uscente da Σ per il campo di vettori Fx, y, z y +z y + z x + y 3

4 Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Biomedica Compito del D - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche quelli della brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. 5 punti Data la funzione i determinare il dominio; fx, y x + y y x ii trovare tutti i punti critici liberi e dire se si tratta di punti di minimo locale, di massimo locale o di sella; iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D dato dalla parte interna al triangolo di vertici,,, e,. Esercizio. 8 punti Data la superficie Σ { x, y, z R 3 : z, x + y z z } i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P ii dire se esiste il piano tangente a Σ in tutti i suoi punti; iii calcolare il volume del solido,, ; U { x, y, z R 3 : z, x + y z z } iv calcolare il flusso uscente da Σ per il campo di vettori x + y Fx, y, z x + y x +z 3 4

5 Svolgimento Esercizio - A. Data la funzione i determinare il dominio; Il dominio della funzione è l insieme fx, y x + y + logx y Dominio { x, y R : x y > } che è il semipiano aperto sotto la bisettrice del primo e terzo quadrante. ii trovare tutti i punti critici liberi e dire se si tratta di punti di minimo locale, di massimo locale o di sella; Cerchiamo innanzitutto i punti nel dominio che annullano il gradiente. Si trova + x y fx, y y x y e quindi ponendo f, si trova che l unico punto critico libero è 3 P, che si trova nel dominio. Per risolvere il sistema f si osserva che la prima equazione implica x y, che sostituito nella seconda implica y. A questo punto la conclusione è immediata. Per caratterizzare P possiamo usare la matrice Hessiana di f, che è una matrice simmetrica perché f è almeno di classe C sul dominio, essendo composizione di funzioni almeno di classe C. La matrice Hessiana di f è data da H f x, y x y x y x y x y Quindi 3 H f, Si osserva che det H f 3,, per cui P è un punto di sella. iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D dato dalla parte interna al triangolo di vertici,,, e,. Dobbiamo prendere in considerazione i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a D, sui punti critici vincolati al bordo di D, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione. Non ci sono punti critici liberi interni a D, infatti P del punto precedente si trova su un lato di D. Inoltre la funzione è differenziabile in D. Per studiare i punti critici vincolati al bordo di D, dividiamo il bordo in tre parti e usiamo le parametrizzazioni + t γ t t + t, t [, ] γ t t + t t, t [, ] 5

6 γ 3 t t + t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile + t t, t [, ] g t fγ t + t + log + t, t [, ] g t fγ t + t + log t t [, ] g 3 t fγ 3 t + t + t t [, ] e le studiamo separatamente. La funzione g ha derivata g t + +t < per t,, e quindi non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Quindi, i punti da considerare sono Q γ,, Q γ, La funzione g ha derivata g t t t che nell intervallo, si annulla solo in t, che studiando la derivata seconda di g si capisce essere un minimo locale. Quindi, i punti da considerare sono Q 3 γ,, Q 4 γ t,, Q 5 γ, ed, essendo t un minimo locale sappiamo che fq 4 fq 3 e fq 4 fq 5. La funzione g 3 ha derivata g 3t t che nell intervallo, si annulla solo in t 3, che studiando la derivata seconda di g 3 si capisce essere un minimo locale. Quindi, i punti da considerare sono 3 Q 6 γ 3,, Q 7 γ 3 t 3,, Q 8 γ 3, ed, essendo t 3 un minimo locale sappiamo che fq 7 fq 6 e fq 7 fq 8. Quindi dobbiamo confrontare i valori fq fq 6, fq fq 3 + log, fq 4 + log + fq 5 fq 8, fq Da quanto visto prima, per il massimo di f dobbiamo confrontare solo fq, fq, fq 3, fq 5, fq 6 e fq 7. Da cui, essendo + log < log < < e concludiamo max f D Per il minimo di f dobbiamo invece confrontare fq 4 ed fq 7. Da quanto visto prima sappiamo che fq 3 + log fq 4 Inoltre poiché fq > fq 3 log < 3 4 log 6 < log e3 6 < e 3 6

7 cosa che si ottiene usando ad esempio e 3 >, 7 3 9, 683. Quindi concludiamo che min f D + log + Esercizio - B. Data la funzione i determinare il dominio; Il dominio della funzione è l insieme fx, y x + y x y Dominio { x, y R : x y } che è il semipiano chiuso sotto la bisettrice del primo e terzo quadrante. ii trovare tutti i punti critici liberi e dire se si tratta di punti di minimo locale, di massimo locale o di sella; Cerchiamo innanzitutto i punti nel dominio che annullano il gradiente. Si trova x y fx, y y + x y e quindi ponendo f, si trova che l unico punto critico libero è P, che si trova nel dominio. Per risolvere il sistema f si osserva che la prima equazione implica x y, che sostituito nella seconda implica y +. A questo punto la conclusione è immediata. Per caratterizzare P possiamo usare la matrice Hessiana di f, che è una matrice simmetrica perché f è almeno di classe C su {x y > }, essendo composizione di funzioni almeno di classe C. La matrice Hessiana di f è data da Quindi H f x, y x y 3 x y 3 x y 3 + x y 3 H f, Si osserva che det H f, e traccia Hf, 3 >, per cui entrambi gli autovalori sono positivi e quindi P è un punto di minimo locale. iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D dato dalla parte interna al triangolo di vertici,,, e,. Dobbiamo prendere in considerazione i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a D, sui punti critici vincolati al bordo di D, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione. Non ci sono punti critici liberi interni a D, infatti P del punto precedente è esterno a D. Inoltre la funzione è differenziabile nella parte interna a D. 5 7

8 Per studiare i punti critici vincolati al bordo di D, dividiamo il bordo in tre parti e usiamo le parametrizzazioni t γ t t + t, t [, ] γ t t + t, t [, ] t t γ 3 t t + t, t [, ] t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile g t fγ t t t, t [, ] g t fγ t + t t t [, ] g 3 t fγ 3 t t + t t [, ] e le studiamo separatamente. La funzione g ha derivata g t t < per t,, e quindi non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Quindi, i punti da considerare sono Q γ,, Q γ, La funzione g ha derivata g t t + t > per t,, e quindi non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Quindi, i punti da considerare sono Q 3 γ,, Q 4 γ, La funzione g 3 ha derivata g 3t + t > per t,, e quindi non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Quindi, i punti da considerare sono Quindi dobbiamo confrontare i valori Q 5 γ 3,, Q 6 γ 3, fq fq 5, fq fq 3, fq 4 fq 6 e concludiamo max D f, min f D Esercizio - C. Data la funzione fx, y x + y + logy x i determinare il dominio; Il dominio della funzione è l insieme Dominio { x, y R : y x > } che è il semipiano aperto sopra la bisettrice del primo e terzo quadrante. ii trovare tutti i punti critici liberi e dire se si tratta di punti di minimo locale, di massimo locale o di sella; 8

9 Cerchiamo innanzitutto i punti nel dominio che annullano il gradiente. Si trova y x fx, y y + y x e quindi ponendo f, si trova che l unico punto critico libero è P 3, che si trova nel dominio. Per risolvere il sistema f si osserva che la prima equazione implica y x, che sostituito nella seconda implica y +. A questo punto la conclusione è immediata. Per caratterizzare P possiamo usare la matrice Hessiana di f, che è una matrice simmetrica perché f è almeno di classe C sul dominio, essendo composizione di funzioni almeno di classe C. La matrice Hessiana di f è data da H f x, y y x y x y x y x Quindi H f 3, Si osserva che det H f 3,, per cui P è un punto di sella. iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D dato dalla parte interna al triangolo di vertici,,, e,. Dobbiamo prendere in considerazione i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a D, sui punti critici vincolati al bordo di D, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione. Non ci sono punti critici liberi interni a D, infatti P del punto precedente è esterno a D. Inoltre la funzione è differenziabile in D. Per studiare i punti critici vincolati al bordo di D, dividiamo il bordo in tre parti e usiamo le parametrizzazioni γ t t + t, t [, ] γ t t γ 3 t t + t + t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile + t t, t [, ] t, t [, ] + t g t fγ t + t + log + t, t [, ] g t fγ t t log t t [, ] g 3 t fγ 3 t t + + t t [, ] e le studiamo separatamente. La funzione g ha derivata g t + t + +t > per t,, e quindi non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Quindi, i punti da considerare sono Q γ,, Q γ, 9

10 La funzione g ha derivata g t t > per t,, e quindi non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Quindi, i punti da considerare sono Q 3 γ,, Q 4 γ, La funzione g 3 ha derivata g 3t + + t > per t,, e quindi non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Quindi, i punti da considerare sono Quindi dobbiamo confrontare i valori Q 5 γ 3,, Q 6 γ 3, fq fq 5, fq fq log, fq 4 fq 6 5 e concludiamo essendo < log <. max f 5, min f D D Esercizio - D. Data la funzione i determinare il dominio; Il dominio della funzione è l insieme fx, y x + y y x Dominio { x, y R : y x } che è il semipiano chiuso sopra la bisettrice del primo e terzo quadrante. ii trovare tutti i punti critici liberi e dire se si tratta di punti di minimo locale, di massimo locale o di sella; Cerchiamo innanzitutto i punti nel dominio che annullano il gradiente. Si trova + y x fx, y y y x e quindi ponendo f, si trova che l unico punto critico libero è P, che si trova nel dominio. Per risolvere il sistema f si osserva che la prima equazione implica y x, che sostituito nella seconda implica y. A questo punto la conclusione è immediata. Per caratterizzare P possiamo usare la matrice Hessiana di f, che è una matrice simmetrica perché f è almeno di classe C su {y x > }, essendo composizione di funzioni almeno di classe C. La matrice Hessiana di f è data da Quindi H f x, y H f, y x 3 y x 3 y x 3 + y x 3 5

11 Si osserva che det H f, e traccia Hf, 3 >, per cui entrambi gli autovalori sono positivi e quindi P è un punto di minimo locale. iii trovare massimo e minimo assoluti di f ristretta all insieme D dato dalla parte interna al triangolo di vertici,,, e,. Dobbiamo prendere in considerazione i valori che la funzione assume sui punti critici liberi interni a D, sui punti critici vincolati al bordo di D, e sugli eventuali spigoli del bordo e punti di non derivabilità della funzione. Non ci sono punti critici liberi interni a D, infatti P del punto precedente è esterno a D. Inoltre la funzione è differenziabile nella parte interna a D. Per studiare i punti critici vincolati al bordo di D, dividiamo il bordo in tre parti e usiamo le parametrizzazioni γ t t + t, t [, ] γ t t γ 3 t t + t + t Componiamo con f e otteniamo le funzioni di una variabile t t, t [, ] t, t [, ] t g t fγ t t t, t [, ] g t fγ t t + t t [, ] g 3 t fγ 3 t t + t t [, ] e le studiamo separatamente. La funzione g ha derivata g t t t che nell intervallo, si annulla solo in t 3, che studiando la derivata seconda di g si capisce essere un minimo locale. Quindi, i punti da considerare sono Q γ,, Q γ t, 3, Q 3 γ, ed, essendo t un minimo locale sappiamo che fq fq e fq fq 3. La funzione g ha derivata g t + t > per t,, e quindi non ha punti critici in, e i suoi valori di massimo e minimo sono assunti agli estremi dell intervallo. Quindi, i punti da considerare sono Q 4 γ,, Q 5 γ, La funzione g 3 ha derivata g 3t + t che nell intervallo, si annulla solo in t 3. Quindi, i punti da considerare sono Q 6 γ 3,, Q 7 γ 3 t 3,, Q 8 γ 3, Quindi dobbiamo confrontare i valori fq fq 6, fq 4 3 3, fq3 fq 4 fq 5 fq 8, fq 7 4 Da quanto visto prima, per il massimo di f dobbiamo confrontare solo fq, fq 3, fq 5 ed fq 7. Da cui concludiamo max D f

12 Per il minimo di f dobbiamo invece confrontare fq, fq 5 ed fq 7. Da cui, essendo fq 7 > fq 3 fq, concludiamo min f D Esercizio - A. Data la superficie Σ { x, y, z R 3 : z, x + y sinπz } i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; Consideriamo Σ come l insieme di livello della funzione F x, y, z x + y sinπz. Si trova x F x, y, z y π cosπz Quindi in particolare F P Possiamo quindi considerare F P il vettore normale a Σ in P e l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P si scrive quindi x + y + z y Alternativamente si poteva parametrizzare Σ come superficie di rotazione tramite sinπt cos ϕ σt, ϕ sinπt sin ϕ con P σ, π. Il vettore normale n in P si poteva allora trovare tramite np σ t, π σ ϕ, π e concludere come sopra. ii dire se esiste il piano tangente a Σ in tutti i suoi punti; Ragionando come sopra basta dimostrare che F x, y, z per ogni x, y, z Σ. Il sistema F x, y, z ha come soluzione i punti della forma,, + k, per ogni k Z. Ma si verifica facilmente che nessuno di questi punti appartiene a Σ. Alternativamente, usando la parametrizzazione di sopra bisogna dimostrare che il vettore normale non si annulla. Si trova che n per t, e ϕ qualsiasi, che corrispondono ai punti,, e,,. Questi punti, non regolari per la parametrizzazione di prima, vanno trattati a parte con una nuova parametrizzazione ad esempio come grafico di funzioni. t

13 iii calcolare il volume del solido U { x, y, z R 3 : z, x + y sinπz } L insieme U è la parte interna alla superficie Σ e quindi è un solido di rotazione. Allora la cosa più conveniente è usare le coordinate cilindriche. Poniamo quindi xρ, ϕ, t ρ cos ϕ yρ, ϕ, t ρ sin ϕ zρ, ϕ, t t e ricordiamo che det J ψ ρ. Sostituendo nelle condizioni per U troviamo l insieme D { ρ, ϕ, t, +, π R : t, ρ sinπt } { ρ, ϕ, t : t, ρ } sinπt, ϕ π Quindi il calcolo del volume di U diventa VolumeU Ω dxdydz π D ρ dρdϕdt sinπt dϕ dt π π sinπt ρ dρ dϕ dt sinπt dt iv calcolare il flusso uscente da Σ per il campo di vettori x + y Fx, y, z x + y x +z+ Possiamo applicare il Teorema della Divergenza se valgono le seguenti condizioni le ipotesi del teorema: il campo deve essere differenziabile; la superficie deve essere chiusa, regolare e orientabile; la parte interna U alla superficie deve essere contenuta nel dominio del campo. Verifichiamo le condizioni nel nostro caso. Innanzitutto ci dobbiamo convincere che Σ sia chiusa. Essendo una superficie di rotazione non è difficile disegnarla anche approssimativamente, ottenendo Il campo F ha dominio Ω R 3 \ {, y, }, ed è differenziabile su Ω perché le sue componenti si ottengono come composizione di funzioni differenziabili. Tralasciamo le ipotesi di regolarità e di orientabilità di Σ, che diamo per buone. Infine bisogna verificare che U Ω. Per far questo basta notare che U {z }. Applichiamo quindi il Teorema della Divergenza e concludiamo che Φ Σ F divf dxdydz dxdydz VolumeU come calcolato al punto precedente. Abbiamo usato U divfx, y, z F x + F y + F 3 z U Esercizio - B. Data la superficie Σ { x, y, z R 3 : z, x + y 4z z } 3

14 Figure : La superficie Σ i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; Consideriamo Σ come l insieme di livello della funzione F x, y, z x + y 4z z. Si trova x F x, y, z y 8z 4 Quindi in particolare F P Possiamo quindi considerare F P il vettore normale a Σ in P e l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P si scrive quindi x + y + z x Alternativamente si poteva parametrizzare Σ come ellissoide di centro,, e semiassi,,, oppure come superficie di rotazione tramite σt, ϕ 4t t cos ϕ 4t t sin ϕ con P σ,. Il vettore normale n in P si poteva allora trovare tramite np σ t, σ ϕ, e concludere come sopra. ii dire se esiste il piano tangente a Σ in tutti i suoi punti; Ragionando come sopra basta dimostrare che F x, y, z per ogni x, y, z Σ. Il sistema F x, y, z ha come soluzione il punto,, che si verifica facilmente non appartenere a Σ. t 4

15 Alternativamente, si poteva usare la parametrizzazione vedi es. -A. iii calcolare il volume del solido U { x, y, z R 3 : z, x + y 4z z } L insieme U è la parte interna alla superficie Σ e quindi è un solido di rotazione. Allora la cosa più conveniente è usare le coordinate cilindriche. Poniamo quindi xρ, ϕ, t ρ cos ϕ yρ, ϕ, t ρ sin ϕ zρ, ϕ, t t e ricordiamo che det J ψ ρ. Sostituendo nelle condizioni per U troviamo l insieme D { ρ, ϕ, t, +, π R : t, ρ 4t t } Quindi il calcolo del volume di U diventa VolumeU { ρ, ϕ, t : t, ρ } 4t t, ϕ π Ω dxdydz π D ρ dρdϕdt 4t t dϕ dt π π 4t t ρ dρ dϕ dt 4t t dt 3 π iv calcolare il flusso uscente da Σ per il campo di vettori Fx, y, z y +z+ x y + z Possiamo applicare il Teorema della Divergenza se valgono le seguenti condizioni le ipotesi del teorema: il campo deve essere differenziabile; la superficie deve essere chiusa, regolare e orientabile; la parte interna U alla superficie deve essere contenuta nel dominio del campo. Verifichiamo le condizioni nel nostro caso. Innanzitutto ci dobbiamo convincere che Σ sia chiusa. Essendo una superficie di rotazione non è difficile disegnarla anche approssimativamente, ottenendo Il campo F ha dominio Ω R 3 \ {x,, }, ed è differenziabile su Ω perché le sue componenti si ottengono come composizione di funzioni differenziabili. Tralasciamo le ipotesi di regolarità e di orientabilità di Σ, che diamo per buone. Infine bisogna verificare che U Ω. Per far questo basta notare che U {z }. Applichiamo quindi il Teorema della Divergenza e concludiamo che Φ Σ F divf dxdydz dxdydz VolumeU 3 π come calcolato al punto precedente. Abbiamo usato U divfx, y, z F x + F y + F 3 z U 5

16 Figure : La superficie Σ Esercizio - C. Data la superficie { Σ x, y, z R 3 π } : z, x + y cos z i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; Consideriamo Σ come l insieme di livello della funzione F x, y, z x + y cos π z. Si trova x F x, y, z y π sin π z Quindi in particolare F P Possiamo quindi considerare F P il vettore normale a Σ in P e l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P si scrive quindi x + y + z x + y Alternativamente si poteva parametrizzare Σ come superficie di rotazione tramite cos π t cos ϕ σt, ϕ cos π t sin ϕ con P σ, π 4. Il vettore normale n in P si poteva allora trovare tramite e concludere come sopra. np σ t, π σ ϕ, π 4 4 t 6

17 ii dire se esiste il piano tangente a Σ in tutti i suoi punti; Ragionando come sopra basta dimostrare che F x, y, z per ogni x, y, z Σ. Il sistema F x, y, z ha come soluzione i punti della forma,, k, per ogni k Z. Ma si verifica facilmente che nessuno di questi punti appartiene a Σ. Alternativamente, si poteva usare la parametrizzazione vedi es. -A. iii calcolare il volume del solido { U x, y, z R 3 π } : z, x + y cos z L insieme U è la parte interna alla superficie Σ e quindi è un solido di rotazione. Allora la cosa più conveniente è usare le coordinate cilindriche. Poniamo quindi xρ, ϕ, t ρ cos ϕ yρ, ϕ, t ρ sin ϕ zρ, ϕ, t t e ricordiamo che det J ψ ρ. Sostituendo nelle condizioni per U troviamo l insieme { π } D ρ, ϕ, t, +, π R : t, ρ cos t Quindi il calcolo del volume di U diventa VolumeU { π } ρ, ϕ, t : t, ρ cos t, ϕ π Ω dxdydz π D ρ dρdϕdt iv calcolare il flusso uscente da Σ per il campo di vettori π π π cos t dϕ dt π cos t dt 4 Fx, y, z y +z y + z x + y q cos π t ρ dρ dϕ dt Possiamo applicare il Teorema della Divergenza se valgono le seguenti condizioni le ipotesi del teorema: il campo deve essere differenziabile; la superficie deve essere chiusa, regolare e orientabile; la parte interna U alla superficie deve essere contenuta nel dominio del campo. Verifichiamo le condizioni nel nostro caso. Innanzitutto ci dobbiamo convincere che Σ sia chiusa. Essendo una superficie di rotazione non è difficile disegnarla anche approssimativamente, ottenendo Il campo F ha dominio Ω R 3 \{x,, }, ed è differenziabile su Ω perché le sue componenti si ottengono come composizione di funzioni differenziabili. Tralasciamo le ipotesi di regolarità e di orientabilità di Σ, che diamo per buone. Infine bisogna verificare che U Ω. Per far questo basta notare che U {z }. Applichiamo quindi il Teorema della Divergenza e concludiamo che Φ Σ F divf dxdydz dxdydz VolumeU 4 U 7 U

18 Figure 3: La superficie Σ come calcolato al punto precedente. Abbiamo usato divfx, y, z F x + F y + F 3 z Esercizio - D. Data la superficie Σ { x, y, z R 3 : z, x + y z z } i scrivere l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P,, ; Consideriamo Σ come l insieme di livello della funzione F x, y, z x + y z z. Si trova x F x, y, z y z Quindi in particolare F P Possiamo quindi considerare F P il vettore normale a Σ in P e l equazione cartesiana del piano tangente a Σ nel punto P si scrive quindi x + y + z x + y Alternativamente si poteva parametrizzare Σ come sfera di centro,, e raggio, oppure come superficie di rotazione tramite t t cos ϕ σt, ϕ t t sin ϕ t 8

19 con P σ, π 4. Il vettore normale n in P si poteva allora trovare tramite e concludere come sopra. np σ t, π σ ϕ, π 4 4 ii dire se esiste il piano tangente a Σ in tutti i suoi punti; Ragionando come sopra basta dimostrare che F x, y, z per ogni x, y, z Σ. Il sistema F x, y, z ha come soluzione il punto,, che si verifica facilmente non appartenere a Σ. Alternativamente, si poteva usare la parametrizzazione vedi es. -A. iii calcolare il volume del solido U { x, y, z R 3 : z, x + y z z } L insieme U è la parte interna alla superficie Σ e quindi è un solido di rotazione. Allora la cosa più conveniente è usare le coordinate cilindriche. Poniamo quindi xρ, ϕ, t ρ cos ϕ yρ, ϕ, t ρ sin ϕ zρ, ϕ, t t e ricordiamo che det J ψ ρ. Sostituendo nelle condizioni per U troviamo l insieme D { ρ, ϕ, t, +, π R : t, ρ t t } Quindi il calcolo del volume di U diventa VolumeU { ρ, ϕ, t : t, ρ } t t, ϕ π Ω dxdydz π D ρ dρdϕdt t t dϕ dt π π t t ρ dρ dϕ dt t t dt 4 3 π come si poteva concludere se si vedeva U come interno alla sfera di raggio. iv calcolare il flusso uscente da Σ per il campo di vettori x + y Fx, y, z x + y x +z 3 Possiamo applicare il Teorema della Divergenza se valgono le seguenti condizioni le ipotesi del teorema: il campo deve essere differenziabile; la superficie deve essere chiusa, regolare e orientabile; la parte interna U alla superficie deve essere contenuta nel dominio del campo. Verifichiamo le condizioni nel nostro caso. Innanzitutto ci dobbiamo convincere che Σ sia chiusa. Essendo una superficie di rotazione non è difficile disegnarla anche approssimativamente, ottenendo la sfera di,, e raggio. 9

20 Il campo F ha dominio Ω R 3 \{,, 3}, ed è differenziabile su Ω perché le sue componenti si ottengono come composizione di funzioni differenziabili. Tralasciamo le ipotesi di regolarità e di orientabilità di Σ, che diamo per buone. Infine bisogna verificare che U Ω. Per far questo basta notare che U {z }. Applichiamo quindi il Teorema della Divergenza e concludiamo che Φ Σ F divf dxdydz dxdydz VolumeU 4 3 π come calcolato al punto precedente. Abbiamo usato U divfx, y, z F x + F y + F 3 z U