UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA. Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari

Transcript

1 UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA Analisi Matematica II per Ingegneria Prof. C. Sinestrari Risposte sintetiche) agli esercizi del 15.XII NB si ricorda che l equazione del piano passante per un punto x, y, z ) perpendicolare a un vettore v 1, v 2, v 3 ) è data da v 1 x x ) + v 2 y y ) + v 3 z z ) =.) Il punto corrisponde a u, v) = 1, 2) e il piano tangente ha equazione 4x 2y +z = 4. Indicato con U il cerchio di centro, ) e raggio 2, l area vale U 1 + 4u 2 + v 2 ) dv = dθ ρ 2 ρ dρ = Il punto corrisponde a u, v) =, 2) e il piano tangente ha equazione 2y + z =. Indicato con U il cerchio di centro, ) e raggio 3, l area vale U 1 + u 2 + v 2 dv = dθ ρ 2 ρ dρ = Si ha σ u σ v = rr + cos u), quindi l area vale rr + cos u) dv = 4π 2 rr. 4. Il punto corrisponde a u, v) = 2, π/2) e il piano tangente ha equazione x + z = π. L integrale di fx, y) = x + y vale π ucos v + sen v) 4 + u 2 = 2u 4 + u 2 = ). 5. Il punto corrisponde a θ, φ) = π/2, π/4) e il piano tangente ha equazione y + z = 2 2. L area vale π dθ 4 sin φ dφ = 16π. La semisfera corrisponde a φ [, π/2]. L integrale di fx, y, z) = z sulla semisfera vale Il flusso vale dθ π/2 dθ 2 cos φ)4 sin φ)dφ = 8π. π/2 2 cos 2 φ)4 sin φ) dφ = 16

2 6. L area del cono vale L integrale di fx, y, z) = x 2 + y 2 + z vale 5v dv = 5π. Il flusso vale v 2 + 2v) 5v dv = π. 2vcos 2 u + sin 2 u) v) dv = π. 7. L area vale L integrale di funzione vale 2 dv = 8π. 4 + v 2 )2 dv = 14 mentre il flusso di F è nullo, in quanto si trova che F, ˆn = su tutti i punti di. 8. Il punto corrisponde a u, v) = 5 6 π, ) e il piano tangente ha equazione 3x + y + 2z = 8. Il flusso vale v 2 )6 2v) dv = 28π Una superficie come nelle ipotesi si può parametrizzare ponendo Essendo f di classe C 1, anche σ lo è. Inoltre σ u = 1,, f ), σ v = x σu, v) = u, v, fu, v)), u, v) D., 1, f y ), σ u σ v = f ) x, f y, 1 pertanto σ u σ v è non nullo, qualunque sia la funzione f. NB Gli esercizi 1,2 riguardavano superfici di questo tipo). 1. Applicando il teorema della divergenza, e tenendo presente che gli integrali di x e di z sulla sfera sono nulli per simmetria, troviamo a) div F dxdydz = dxdydz =. R V R V R b) div F dxdydz = 2x + 1) dxdydz = 1 volv R ) = 4 R V R V R 3 πr3. c) div F dxdydz = 2z 3)dxdydz = 3 volv R ) = 4πR 3. R V R V R

3 11. Osserviamo che V = 1 2 dove 1 e 2 indicano rispettivamente la base inferiore e superiore di V. La normale uscente da V su 1 e 2 è data rispettivamente da ˆk e ˆk. Il teorema della divergenza implica allora div F dxdydz = F, ˆn dσ F, ˆk dσ + F, ˆk dσ. 1 2 V In tutti e tre i casi da considerare, si verifica che div F =. Abbiamo quindi F, ˆk dσ F, ˆk dσ. 1 2 Nel calcolare gli integrali a secondo membro, va tenuto presente che z = su 1 e z = 1 su 2, e che 1 e 2 hanno area pari a 4π, essendo cerchi di raggio 2. Troviamo nei tre casi a) 1 dσ ) dσ = b) F, ˆn dσ = 1 dσ 2 1 ds = area 2 ) = 4π c) F, ˆn ds = 1 5 dσ 2 5 ds = 5 area 1 ) 5 area 2 ) = 4π 12. Per il calcolo utilizzeremo il teorema della divergenza. Indichiamo con la sfera piena di centro,, ) e raggio 2, e con la parte di con z 1. Allora =, mentre = 1 2, dove 1 e 2 sono i dischi con x 2 + y = 3 contenuti nei piani z = e z = 1 rispettivamente. Osserviamo che la normale esterna su 1 e 2 è data rispettivamente da ˆk e da ˆk. Pertanto si avrà div F dxdydz. div F dxdydz + F, ˆk dσ 1 F, ˆk dσ. 2 Per il calcolo degli integrali tripli, osserviamo che le sezioni orizzontali z della sfera sono cerchi di centro, ) e raggio 4 z 2. a) Abbiamo div F = 4y + 2z 3z 2. Osserviamo che per simmetria l integrale di 4y + 2z è nullo sia su che su, quindi basterà integrare il termine 3z dz 3z 2 ) dxdy = z 2 2 3z 2 )π4 z 2 ) = π. Per il calcolo del flusso attraverso, osserviamo che F, ˆk = F 3 = z 2 z 3 z quindi è costante sia su 1 che su 2 e vale rispettivamente 3 e. Abbiamo pertanto dz 3z 2 ) dxdy + z 3 dσ 1 ) dσ 2 = 34 5 π + 3 area 1) + area 2 ) = π + 9π + 3π = 5 5 π. b) In questo caso abbiamo div F = 3, pertanto 3 vol ) = 32π.

4 Inoltre F, ˆk = x 2 y 2 1 su 1, mentre F, ˆk = x 2 y su 2. L integrale di x 2 y 2 su 1 e su 2 non è difficile da calcolare, ma poiché dà lo stesso valore sui e dischi che hanno una z diversa ma sono uguali per quanto riguarda le x e le y) e va preso con segno opposto, dà contributo nullo al risultato finale. Possiamo quindi trascurare questi termini e trovare = 3 dz 3 dxdy + z x 2 y 2 1) dσ 1 x 2 y 2 + 1) dσ 2 π4 z 2 ) dz area 1 ) area 2 ) = 22π 3π 3π = 16π. 13. Indichiamo con la sfera piena di centro,, ) e raggio 2, e chiamiamo stavolta la parte di con x e y. Allora =, mentre = 1 2, dove 1 e 2 sono semicerchi di raggio 2 contenuti rispettivamente nei piani x = e y =. La normale esterna su 1 e 2 è data rispettivamente da î e da ĵ. Pertanto si avrà div F dxdydz. div F dxdydz + F, î dσ + 1 F, ĵ dσ. 2 a) Abbiamo div F = 2x 2z + 2. Osserviamo che per simmetria 2x ha integrale nullo su ma non su ) e che 2z ha integrale nullo sia su che. Pertanto 2 dxdydz = 2vol ) = 64 Osserviamo che su 1 si ha F, î = F 1 = x 2 2xy = perché x = su 1. Su 2 si ha F, ĵ = F 2 = 1 + y 2 = 1 perché y = su 2. Pertanto 2 + 2x) dxdydz + dσ dσ 2 = 2vol ) + = 16 3 π dφ π/2 π + 4π + 2π = 34 dθ 2 2ρ cos θ sin φ)ρ 2 sin φ)dρ + area 2 ) b) Abbiamo div F = 2x+2yz +2z +1. Come prima, 2x ha integrale nullo su, ma non su. Invece 2yz + 2z ha integrale nullo sia su che, perché cambia segno se cambia segno z, mentre e sono simmetrici rispetto al piano z =. Pertanto 1 dxdydz = vol ) = 32 Su 1 si ha F, î = F 1 = x 2 + sin z = sin z che ha integrale nullo su 1 per simmetria. Su 2 si ha F, ĵ = F 2 = y 2 z 2 = 2. Pertanto F, ˆn dσ = 2x + 1) dxdydz + sin z dσ + 1 2) dσ 2 = 4π π 4π = 8

5 14. a) Calcoliamo il flusso usiamo la definizione. Scegliamo come verso della normale quello che punta all esterno del cilindro, che è anche quello del vettore normale dato dalla parametrizzazione σ u σ v = 2 cos u, 2 sen u, ). Troviamo rot F = x y, x + y + 1, 21 + z) ), rot F, σ u σ v = 41 + sen u), quindi il flusso vale rot F, ˆn dσ = 41 + sen u) dv = 24π. Usiamo ora il teorema di Stokes. Il bordo è costituito dalle e circonferenze ad altezza z = e z = 3, da percorrere rispettivamente in senso antiorario e orario, precisamente = γ γ 3 ) dove: γ t) = 2 cos t, 2 sen t, ), γ 3 t) = 2 cos t, 2 sen t, 3). Troviamo quindi F dr = [2 sen t + cos t) 2 sin t) + 2 sen t cos t)2 cos t) + ]dt [8 sen t + cos t) 2 sin t) + 8 sen t cos t)2 cos t) + ]dt = 8π + 32π = 24π, lo stesso risultato trovato prima. b) Calcoliamo il flusso usiamo la definizione. Si ha che rot F = zî + 1 x)ˆk. Parametrizziamo in coordinate polari x = cos θ sin φ, y = sin θ sin φ, z = cos φ, con θ [, 2π], φ [, π/2]. Troviamo rot F, σ θ σ φ = sin φ cos φ. Scegliamo come verso della normale quello che punta verso l esterno in direzione opposta all origine). Osservando che σ θ σ φ punta nel verso opposto a quello scelto, troviamo rot F, ˆn dσ = dθ π/2 sin φ cos φ dφ = π. Usiamo ora il teorema di Stokes. Il bordo è la circonferenza di centro l origine e raggio 1 nel piano z =, percorsa in verso antiorario, che può essere parametrizzata come x = cos t, y = sin t, z =, con t [, 2π]. Troviamo F dr = [cos t sin t) sin t) + cos t)cos t) + ]dt = π. c) Calcoliamo il flusso usiamo la definizione. Scegliamo come verso della normale quello che punta all esterno del cono, che è anche quello del vettore normale dato dalla parametrizzazione σ u σ v = 2 v)cos u, sen u, 1). Troviamo rot F = xz, yz, 2 ), rot F, σ u σ v = 2 v) 2 vcos 2 u sen 2 u) + 22 v), quindi il flusso vale rot F, ˆn dσ = dv [2 v) 2 vcos 2 u sen 2 u) + 22 v)] = 6π.

6 Usiamo ora il teorema di Stokes. Il bordo si può scrivere come = γ γ 1 ) dove: γ t) = 2 cos t, 2 sen t, ), γ 1 t) = cos t, sen t, 1). Troviamo quindi F dr = [ 2 sen t) 2 sin t) + 2 cos t)2 cos t) + ]dt [ sen t) sin t) + cos t)cos t) + ]dt = 8π 2π = 6π. 15. a) Come suggerito nel testo, calcoliamo il flusso di F utilizzando il teorema della diveregnza. Indichiamo con la sfera piena di centro,, 1) e raggio 2, in modo che =. Abbiamo div F = 2z + x 3 + 2y 2 e possiamo osservare che il termine x 3 ha integrale nullo su per simmetria non così il termine 2z, poiché il centro della sfera ha coordinata z = 1). Utilizziamo l integrazione per strati in coordinate cilindriche più adatte soprattutto in vista del successivo punto b)). 2z + 2y 2 ) dxdydz = = 2π 4 z) 2 dz dρ 2z + 2ρ 2 sen 2 θ)ρ dθ z3 + 2z z 2 ) z z2 ) 2 ) 4 dz = π. Il flusso di rot F è banalmente zero per il teorema di Stokes, in quanto non ha bordo. b) Sia ora la parte di con z. Abbiamo = D, dove D è il cerchio di centro,, ) e raggio 3 nel piano z =. Su D la normale esterna vale ˆk e quindi F, ˆn = F 3 = x 3 + 2y 2 )z, perché z su D. Troviamo quindi div F dxdydz F, ˆn dσ D = div F dxdydz = 2z + 2y 2 ) dxdydz 4 z) 2 = dz dρ 2z + 2ρ 2 sen 2 θ)ρ dθ = 2π z3 + 2z z 2 ) z z2 ) 2 ) dz = π. Calcoliamo il flusso di rot F col teorema di Stokes. positivo al modo seguente: γt) = 3 cos t, 3 sen t, ), Il bordo di si parametrizza in senso t [, 2π]. Il flusso vale quindi 1 3 sen t) 3 cos t 3 ) cos t + = 3π.

7 16. a) Osserviamo che il termine x 3 ha integrale nullo per simmetria. Troviamo quindi 2z + x 3 + 2y 2 ) dxdydz = 2z + 2y 2 ) dxdydz = = 2 2z dz dρ 2z + 2ρ 2 sen 2 θ)ρ dθ ) π 2z2 2z) 2 2 2z)4 + dz = π. b) Abbiamo = D dove D è il cerchio di centro,, ) e raggio 2 nel piano z =. Il teorema della divergenza ci dà quindi div F dxdydz F, ˆn dσ D Osserviamo che div F = 2z + x 3 + 2y 2, quindi l integrale triplo coincide con quello calcolato in a). Inoltre, osserviamo che su D la normale esterna vale ˆk e quindi F, ˆn = F 3 = x 3 + 2y 2 )z 1, perché z su D. Ricordano che l integrale della funzione 1 coincide con l area di D, che vale 4π, concludiamo π 4π) = π. Calcoliamo il flusso di rot F col teorema di Stokes. positivo al modo seguente: Il bordo di si parametrizza in senso γt) = 2 cos t, 2 sen t, ), t [, 2π]. Il flusso vale quindi 1 2 sen t) 2 cos t 2 cos t + ) = 4π. 17. Le identità si dimostrano con un calcolo diretto usando le definizioni. 18. a) Il gradiente di una funzione f è sempre irrotazionale, qualunque sia f, mentre non è detto che sia solenoidale. Con un calcolo diretto, troviamo prima ) x f = x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, y x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2, z x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 e poi div f) = ; quindi in questo caso f è anche solenoidale. b) Indicando con R la superficie sferica, su R si ha x 2 + y 2 + z 2 = R 2 e pertanto f = x, y, z ). D altra parte ˆn = x R 3 R 3 R 3 R, y R, z R ), perché il versore normale a una sfera centrata nell origine ha le stesse componenti del punto a cui è applicato, normalizzate in modo da avere lunghezza uno. Deciamo che, su R, vale Il flusso vale pertanto f, ˆn = x2 + y 2 + z 2 R 4 = 1 R 2. f, ˆn ds = area R) R R 2 = 4πR2 R 2 = 4π.

8 c) Se un tale campo esistesse, il flusso di rot G = f attraverso una qualunque superficie chiusa sarebbe nullo per il teorema di Stokes. Ma ciò è contraddetto dal risultato del punto precedente. d) La superficie in questione è il bordo di, la sfera piena di centro 2,, ) e raggio 1. Osserviamo che non contiene l origine, e quindi f è definita su tutto. Essendo la divergenza di f identicamente nulla, il flusso di f attraverso è nullo per il teorema della divergenza. e) In questo caso l origine è interna alla sfera, quindi l argomentazione del punto precedente va modificata. Indichiamo con la sfera piena di centro 2,, ) e raggio 1 privata della sfera piena di centro l origine e raggio 1. In questo modo non contiene l origine e f è definita su tutto. Il bordo di è costituito dalla superficie sferica nel testo dell esercizio che indichiamo con ) e dalla superficie 1, caso particolare di quelle considerate nel punto b). La normale uscente da coincide con quella uscente da e con quella entrante in 1. Applicando il teorema della divergenza a f su, ricordando che f ha divergenza nulla, e facendo attenzione al verso delle normali, troviamo = fx, y, z) dxdydz = f, ˆn ds = f, ˆn ds f, ˆn ds = f, ˆn ds + 4π. 1 Ne segue che il flusso cercato vale 4π. f) Se non contiene,, ), si ragiona come in d). Se contiene,, ), si adatta il ragionamento di e), rimuovendo da una sfera piena di centro,, ) e raggio R > sufficientemente piccolo da non intersecare. Si applica poi il teorema della divergenza alla regione così ottenuta, trovando che il flusso attraverso coincide con quello attraverso R, cioè vale 4π.