Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 2015/2016

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1 Prove scritte dell esame di Analisi Matematica II a.a. 5/6 C.d.L. in Ingegneria Informatica ed Elettronica - Università degli Studi di Perugia Prova scritta del 6 giugno 6. Determinare massimi e minimi relativi della funzione f(x, y) = x 3 + x y + y ; Determinarne quindi massimo e minimo assoluti, se esistono, nel triangolo di vertici A = (, ), B = (, ), C = (, ). Il campo d esitenza della funzione è tutto R e f C (R), quindi gli eventuali punti estremanti sono da ricercare solo tra quelli che annullano il gradiente. Ora, essendo fx (x, y) 3x + 4xy = x f y (x, y) x (3 4x) = x = x = 3/4 + y = y = x y = x i punti da studiare sono (, ) e (3/4, /6). La matrice hessiana è H f (x, y) = ( 6x + 4y 4x 4x la quale in (3/4, /6) ha determinante negativo, cosicché tale punto è di sella. Poiché invece in (, ) la matrice ha determinante nullo, per stabilire la natura di tale punto critico dobbiamo ricorrere alla definizione: si ha che f(, ) = e che f y= (x, y) = x 3, che è una funzione positiva per x > e negativa per x < ; allora il punto non è né di massimo né di minimo relativo per f. Sul triangolo assegnato la funzione ammette sia massimo assoluto che minimo assoluto per il teorema di Weierstrass. Dallo studio precedente risulta che tali punti si possono trovare solo sulla frontiera del triangolo. Si ha: f AB (x, y) = x 3, x [, ] f BC (x, y) = + y + y = ( + y), y [, ] f AC (x, y) = 3x 3 + x, x [, ] che sono tutte funzioni crescenti nei rispettivi domini; quindi (, ) è punto di minimo assoluto per f sul triangolo e (, ) è punto di massimo assoluto; allora è il minimo di f sul triangolo e 4 è il massimo.. Posto D = (x, y) R : x y 3x, x y }, calcolare il seguente integrale doppio x L insieme D è D y x exy dxdy. ),

2 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 Osserviamo che esso si può riscrivere nel seguente modo: D = (x, y) R : yx 3, } xy. Possiamo quindi trasormare D in un rettangolo operando il seguente cambiamento di variabili: T u = y : x, (x, y) D v = xy da cui Inoltre si ha Allora D = (u, v) R : u 3, / v }. det D T (x, y) = u x(x, y) = y u x 3 y (x, y) = x v x (x, y) = y v y (x, y) = x det D T (u, v) = det D T (x(u, v), y(u, v)) = 3u e dunque j = det D T (u, v) = 3u. Se applichiamo l integrazione per cambiamento di variabili otteniamo: y x exy dxdy = ue v 3u dudv = D = [,3] [/,] 3 u 3u du 3. Determinare l insieme di convergenza assoluta della serie di funzioni n= / (x )n (n + ), x 3 (x + 3) n+ e stabilire se in tale insieme le serie converge totalmente. La serie puo essere scritta come segue: ( ) x n (x + 3) (n + ) x + 3 n= = 3 y x. e v dv = 3 (e e).

3 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 3 e quindi basta studiare la serie n= (n + ) ( ) x n. x + 3 ( ) Posto f n (x) = (n + ) x n, x+3 consideriamo la serie assoluta + n= f n(x) = + Si ha: x x x x se f n (x) = x =, allora la serie si riduce al termine per n = e dunque converge assolutamente ad (e la serie assegnata converge a /5); se f n (x), applichiamo il criterio del rapporto, per cui f n+ (x) n + lim = lim x n + f n (x) n + n + x + 3 = x x + 3 ; allora la serie converge assolutamente per x x + 3 < x < x + 3 x > e non converge assolutamente per x x + 3 > x < ; se x x+3 = x =, allora la serie assoluta si riduce alla serie numerica + n= (n + ) che ovviamente non converge. Allora l insieme di convergenza assoluta è I = ], + [. Si ha n= e quindi non si ha convergenza totale su I. sup f n (x) = (n + ) x I n=

4 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 4 Prova scritta del 7 giugno 6. Sapendo che la funzione densità è δ(x(t), y(t), z(t)) = t, calcolare la massa ed il baricentro della fune di equazioni parametriche x(t) = t y(t) = t, t z(t) = 3 t3 La fune è parametrizzata da una curva regolare, infatti le equazioni parametriche sono di classe C e (x (t), y (t), z (t)) (, t, t ) (,, ) sempre. Si ha ds = + 4t + 4t 4 dt = ( + t )dt; risulta allora m = Per il baricentro osserviamo che x B = m y B = m z B = m. Sia F (x, y) = δ(x(t), y(t), z(t))( + t )dt = x(t)δ(x(t), y(t), z(t))( + t )dt = y(t)δ(x(t), y(t), z(t))( + t )dt = z(t)δ(x(t), y(t), z(t))( + t )dt = ( y ) x, y x xy un campo vettoriale piano. t( + t )dt = t(t + t 3 )dt = t (t + t 3 )dt = 3 t3 (t + t 3 )dt = 3 a) Provare che F è conservativo in Ω = (x, y) R : x >, y > }. b) Calcolare la famiglia dei potenziali di F su Ω. x = t c) Calcolare F d r + y dy, ove γ : 4t + 5 y = t γ γ a) Il campo F è irrotazionale, infatti F C (Ω) e F (x,y) y, t [, 3]. = x = F (x,y) x. (t + t 3 )dt = (t + t 4 )dt = 5 (t 3 + t 5 )dt = 7 (t 4 + t 6 )dt = Poiché l insieme Ω è convesso e F è irrotazionale, possiamo concludere che F è conservativo. b) Per determinare la famiglia dei potenziali di F, impostiamo il sistema U x (x, y) = y x U y (x, y) = y x xy. Integrando la prima equazione rispetto ad x abbiamo U(x, y) = y x dx = y x + c(y). Derivando questa rispetto ad y otteniamo U y (x, y) = x + c (y)

5 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 5 la quale, sostituita nella seconda equazione, fornisce da cui c(y) = y + c, c IR. x + c (y) = y x xy x y c (y) = y Allora U(x, y) = y x + y + c, c IR è la famiglia dei potenziali di F. c) Passiamo ora a calcolare l integrale curvilineo lungo la curva γ che congiunge il punto (,) con il punto (,). Dato che il campo è conservativo, il primo integrale si può calcolare come differenza di potenziale agli estremi di γ; il secondo è un integrale di linea di II specie, quindi: γ F d r + y dy = U(, ) U(, ) + γ 3 = + [ t / t ] 3 = + 3 =. 3. Denotato con A il campo d esistenza della funzione f(x, y) = xy di f in A o ; determinare quindi i punti estremanti di f in A. y(t) y (t)dt = 3 + (t ) dt = x 4 y, studiare la derivabilità Intanto il campo d esistenza A = (x, y) IR : x semiassi e 3. 4 y }, cioè l ellisse (piena) di centro l origine e Derivabilità. In A o gli eventuali punti di non derivabilità sono quelli che annullano il modulo, cioè x = y =. Studiamo (, y), y [ 3, 3]: R(h) = f(h, y) f(, y) h = hy h 4 y h y y, h > y y, h < dunque tale limite esiste solo se y = ; quindi i punti (, y), y [ 3, 3] \ } non sono di derivabilità per f, mentre f x (, ) =. Analogamente si otterrà che i punti (x, ), x [, ]\} non sono di derivabilità per f, mentre f y (, ) =. Punti estremanti. I punti estremanti sono da ricercare negli insiemi:

6 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 6 A F r A = (x, y) IR : x 4 y = }; J A o = (x, y) A o : x = y = } \ (, )}: I A o = (, ), (/ 3, 3), ( / 3, 3), (/ 3, 3), ( / 3, 3)}; infatti in (, ) il gradiente si annulla per quanto visto nel passo precedente; studiando poi per x > y > (f simmetrica) abbiamo f x (x, y) = y x 4 y x y = 4 4y( x 4 y x 4 y ) x y = f y (x, y) = x x 4 y xy = x( x 4 y ) xy = [ y 4( x [ x ( x 3x 4 = x 4 = y 4 y 4 y x 4 y ) x ] = ] ) y = x = 4 3 y. = 3 }} x y x x 4 = y 4 y = x 4 Ora osserviamo che f(x, y) = su A F r A, J A o ed in (, ), mentre è positiva altrove. Allora i suddetti punti sono tutti di minimo assoluto per f. Inoltre f è continua su A compatto, quindi deve avere anche massimo assoluto; essendo f(/ 3, 3) = f( / 3, 3) = f(/ 3, 3) = f( / 3, 3) (ancora dalla simmetria), ne consegue che i punti (/ 3, 3), ( / 3, 3), (/ 3, 3), ( / 3, 3) sono di massimo assoluto per f su A. 3 Prova scritta dell luglio 6. Calcolare gli integrali generali delle seguenti equazioni differenziali: a) y = ty + t; b) y + 3y = t + a) L equazione differenziale è a variabili separabili, infatti si può scrivere come y = t(y + ). Essendo y +, non ci sono integrali singolari. Inoltre una soluzione y( ) deve verificare da cui y (t) = t ; integrando rispetto ad t si ricava +y (t) arctan y(t) = t + c, c IR y(t) = tan(t + c), c IR. b) L equazione differenziale è lineare del II ordine completa. La sua equazione caratteristica è r + 3r = che ha soluzioni r = 3 e r =. Allora l integrale generale dell equazione omogenea associata all equazione data è y o = c + c e 3t, c, c IR. Dal metodo di somiglianza un integrale particolare dell equazione completa è del tipo y p (t) = t(at + B). Allora y p(t) = At + B e y p(t) = A, che sostituite nell equazione data forniscono A = /6 e B = /. Dunque y p (t) = t(t/6 + /). Concludendo, l integrale generale dell equazione completa è y(t) = y o (t) + y p (t) = c + c e 3t + t + t 6, c, c IR.

7 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 7. Calcolare il volume della regione di spazio E interna alla sfera x + y + z = e compresa tra le superfici z = x + y e z = 3x + 3y. Le due superfici sono due coni retti ad una falda con asse z e vertice nell origine. La sezione di E nel piano yz è Risolviamo il problema passando a coordinate sferiche: x = ρ sin ϕ cos θ y = ρ sin ϕ sin θ, (ϕ, θ, ρ) [, π] [, π].ir + z = ρ cos ϕ Ricordando che ϕ è la colatitudine, l insieme E viene trasformato in E = (ϕ, θ, ρ) : π/6 ϕ π/4, θ π, ρ 3}. Allora si ha V (E) = = E π/4 π/6 dxdydz = ρ sin ϕ dϕdθdρ = E sin ϕ dϕ π dθ 3 ρ dρ = [ cos ϕ] π/4 π/6 π [ρ3 /3] 3 = = ( / + 3/) π 7 3 = ( + 3) π. 3. Determinare l insieme di convergenza assoluta della serie di funzioni n= x n (x + ) n 4 n, x e stabilire se in tale insieme le serie converge totalmente. La serie assoluta della serie data è Posto f n (x) = 4 n x x+ n si ha: n= x 4 n x + n, x, e la studiamo con il criterio del rapporto. se f n (x) = x =, allora la serie si riduce alla serie nulla e dunque converge assolutamente a ;

8 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 8 se f n (x), allora f n+ (x) lim = lim n + f n (x) n + 4 n x 4 n + x + = x x + ; allora sicuramente la serie converge assolutamente se x x + < x < x + x + x + < x x < ; la prima disequazione non è mai verificata in IR, mentre la seconda sussiste per 5 < x < + 5 d altra parte, la serie non converge assolutamente per x x + > x < 5 x > + 5 ; 4 n che ovvia- se x x+ = x = ± 5, allora la serie assoluta si riduce alla serie numerica + mente non converge. ] [ Allora l insieme di convergenza assoluta è I = 5, + 5. Si ha n= e quindi non si ha convergenza totale su I. 4 Prova scritta del 5 settembre 6 sup f n (x) = x I n= 4 n. Determinare l insieme di convergenza assoluta della serie di funzioni n= ; n= e x+n x n tg n, x IR \ }. Stabilire se la serie converge totalmente in tale insieme. Riscriviamo la serie nel seguente modo: + e x tg n n= ( e x ) n, x IR \ }. Chiaramente il suo termine generale non non si annulla mai, quindi possiamo subito applicare il criterio del rapporto alla serie assoluta associata alla serie data ed ottenere che: se e x < x x > e x < e x > e, allora la serie assoluta converge; se e x > x x < e x e < x < < x < e, allora la serie assoluta non converge; se e = x = e x = ±e, allora la serie assoluta si riduce alla serie numerica e ±e + n= tg n, la x quale diverge per confronto asintotico con la serie + n= n essendo lim n + Concludiamo quindi che l insieme di convergenza assoluta della serie di funzioni data è I =], e[ ]e, + [. tg n n =.

9 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 Per quanto riguarda la convergenza totale della serie di funzioni nell insieme di convergenza assoluta, osserviamo che tg ( e ) n = tg n x n. n= sup x I Dalla caratterizzazione della convergenza totale per le serie di funzioni deduciamo che la serie data non converge totalmente in I.. Sia D = (x, y, z) : x + y z π}; si calcoli la massa del solido D supponendo che la densità δ sia data da δ(x, y, z) = z+. Conviene utilizzare le coordinate cilindriche: L insieme D è allora il trasformato del dominio n= x = ρ cos θ, y = ρ sin θ, z = z; j = ρ. D := (θ, ρ, z) : θ π, ρ π, ρ z π}. Applicando dunque le formule di cambiamento di variabili e quelle di integrazione per fili si ha ( M(D) = D z + dxdydz = π ) D z + ρ dθdρdz = [,π] [, ρ π] ρ z + dz dθdρ = [ = ρlog (π + ) ρlog (ρ + ) ] dθdρ; [,π] [, π] Usando ora le formule di riduzione per gli integrali doppi ed osservando che si sta integrando una funzione a variabili separabili definita su un rettangolo, si ottiene π [ M(D) = π ρlog (π + ) ρlog (ρ + ) ] dρ = = π log (π + ) π π [ ρ ρlog (ρ + )dρ = }} per parti = π log (π + ) π log (ρ + ) [ = π π log (π + ) π log (π + ) π π π ρ = π [ ρ log(ρ + ) ] π = π π log (π + ). 3. Determinare il valore del parametro k per cui il campo F (x, y, z) = (z, 3z, + x + ky + log z) ρ ] ρ ρ + dρ = ] ρ ρ + dρ sia conservativo in A = (x, y, z) IR 3 : z > }. Per tale valore di k determinare quindi la funzione potenziale U tale che U(,, ) =. =

10 Prove scritte di Analisi Matematica II - a.a. 5/6 Essendo A un insieme convesso, condizione necessaria e sufficiente perché il campo sia conservativo è che esso sia irrotazionale, per cui Per k = 3 la famiglia dei potenziali è quella per cui F y (x, y, z) = F (x, y, z) = x F z (x, y, z) = F 3 (x, y, z) x = F z (x, y, z) = F 3 (x, y, z) y 3 = k. U x U y U z (x, y, z) = z (x, y, z) = 3z (x, y, z) = + x + 3y + log z. Per determinare l espressione di U integriamo la prima rispetto ad x: U(x, y, z) = z dx = xz + c(y, z). Per ricavare l espressione di c deriviamo rispetto ad y e sostituiamo nella seconda equazione: 3z = U y c (x, y, z) = (y, z) y da cui c(y, z) = 3z dy = 3yz + h(z). Allora U(x, y, z) = xz + 3yz + h(z). Per ricavare h deriviamo rispetto a z e sostituiamo nella terza equazione: da cui + x + 3y + log z = U z (x, y, z) = x + 3y + h (z) h(z) = ( + log z) dz = z log z + p, p R. Allora la famiglia dei potenziali è U(x, y, z) = xz + 3yz + z log z + p, p R. Concludendo, il potenziale cercato è quello per cui = U(,, ) = p p = 3 e quindi U(x, y, z) = xz + 3yz + z log z 3.