UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO Prova scritta di Matematica II 06 Luglio 2011

Transcript

1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO Prova scritta di Matematica II 6 Luglio Gli studenti che devono sostenere l esame da 9 CFU risolvano i quesiti numero Gli studenti che devono sostenere l esame da 6 CFU (con geometria) risolvano i quesiti numero Gli studenti che devono sostenere l esame da 6 CFU (senza geometria) risolvano i quesiti numero Classi care la seguente conica h y hy 4hy = al variare del parametro h R. Scriviamo la matrice associata alla conica A e la matrice associata alla forma quadratica A = Calcoliamo i determinanti delle due matrici: h h h h h h h h det A = 4h 3 det A = h h Si ha che la conica è non degenere per det A 6= cioè per h 6=. Per h = la conica è degenere e, dato che det A =, si tratta di una coppia di rette parallele. Resta da controllare la somma A A (per h = ) = = quindi le rette sono parallele coincidenti. Per h 6= la conica è non degenere e varia a seconda del segno di det A. Abbiamo: det A = per h h = cioè per h = e h = : il primo di questi valori è da scartare perché azzera anche det A, mentre per il secondo valore di h la conica è una parabola; det A < per h h < cioè per h < e h > : per questi valori di h la conica è una iperbole; det A > per h h > cioè per < h < : per questi valori di h la conica è una ellisse; in questo caso dobbiamo fare un ulteriore indagine A

2 studiando il segno di tra det A = (h ) Studiamo il segno del prodotto appena scritto: osserviamo che per < h <, h 3 è positivo e quindi 4h 3 <, mentre il termine h è positivo per h >, pertanto tra det A < nel caso in esame e perciò la conica è una ellisse reale. 4h 3. Si considerino i seguenti sottospazi di R 4 W = f(; y; z; t) R 4 j y z t = g e V = h(; ; ; ); (; ; ; )i (a) Calcolare la dimensione e una base di V \ W. (b) Calcolare la dimensione e una base di V W. a) Osservando che i generatori dati per V sono linearmente indipendenti, in quanto non proporzionali tra loro, si ha che v V, 9a; b R : v = a (; ; ; ) b (; ; ; ) ossia V = f(a; b; b; b) : a; b Rg. I vettori dello spazio V \ W sono sia vettori di V che di W, quindi sostituendo la rappresentazione parametrica dei vettori di V nel sistema rappresentativo di W, si ricavano (se esistono) i valori dei parametri a; b per i quali (a; b; b; b) appartiene a W, cioè j y z t = y z t = a b b b = =) a = b. Dunque e quindi si ha V \ W = f(b; b; b; b) : b Rg B V \W = f(; ; ; )g e dim (V \ W ) = : b) La dimensione dello spazio somma V W è data dalla relazione di Grassman dim V W = dim V dim W dim V \ W dove dim V = ; dim V \ W =. Rimane da calcolare dim W di cui è stato assegnato il sistema rappresentativo di equazione, quindi la matrice incompleta dei coe cienti del sistema ha rango uguale a e dim W = 4 = 3:Si ha pertanto: dim V W = 3 = 4. Poiché V W R 4 e dim V W = dim R 4, quindi possiamo dare come base di V W la base canonica di R 4.

3 3. Studiare la convergenza e, se possibile, calcolare la somma della seguente serie numerica: X n= e n n : Veri chiamo la condizione necessaria per la convergenza: lim n n! e n = (posto m = e n ) = lim log m m! m = (moltiplichiamo e dividiamo per m) = lim m! = e = da cui la serie non converge. m log m m log m = e m m 4. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi e assoluti della seguente funzione nel suo insieme di de nizione. F (; y) = sin cos ( y) Osserviamo che la funzione è de nita in R e che F (; y) : Calcoliamo i punti critici della funzione F = cos cos ( y) sin sin ( y) = F y = sin sin ( y) = sin = [ sin ( y) = cos cos ( y) = sin = cos ( y) = [ (Gli altri sistemi non hanno soluzione) I punti critici sono A h;k = h; (k h) B h ;k = h ; Calcoliamo le derivate del secondo ordine: cos cos ( y) = sin ( y) = cos = (k h ) F = sin cos ( y) cos sin ( y) F y = cos sin ( y) sin cos ( y) F yy = sin cos ( y) h; k; h ; k Quindi i punti A h;k sono punti di sella ( essendo det H = F y < ); i punti B h ;k sono di massimo assoluto se h e k hanno la stessa parità e sono di

4 minimo assoluto se hanno una parità diversa (det H = sin cos ( y) > e F = sin cos ( y)). ( si osserva che F (B h ;k ) = ( k e quindi assume i valori massimo e minimo assoluti rispettivamente). )h 5. Risolvere le seguenti equazioni di erenziali a: y 4y = e cosh b: y = y a) L equazione può essere riscritta nella forma y y 4 y 4y = ( e ) Determiniamo la soluzione dell equazione omogenea associata y 4y = la soluzione particolare è del tipo: 4 = $ = ; = 4; y () = c c e 4 (soluz. omogenea ass.) y p () = (A B) (C D) e derivando e sostituendo nell equazione si calcolano i coe cienti ottenendo La soluzione dell equazione è: y p () = 6 3 y () = c c e 4 b) L equazione può essere riscritta nella forma: 8 e e y = y y y y 4 = y y ( 4 ) = y y y = ( ) y y 4

5 che rappresenta una equazione a variabili separabili, da cui: y dy = ( ) d arctan y = = = ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d = (risolvendo il secondo integrale per parti otteniamo) = arctan ( ) c 6. Determinare le coordinate del baricentro dell arco di curva (spirale logaritmica) di equazioni parametriche (t) = a e t cos t ; y(t) = a e t sin t ; t [; ] (a > ): Si ricordi che le coordinate del baricentro sono: G = ds: ds ; y G = Le coordinate cartesiane del baricentro G sono date dalle formule G = ds ; y G = y ds ; = Nella fattispecie è quindi si ha ds = p (t) y (t) dt = p a e t dt; = p a e t dt = p a e ; dopodichè, tenendo presenti gli integrali inde niti (calcolati per parti): e t cos tdt = e t 5 sin t 5 cos t c e t sin tdt = e t 5 cos t 5 sin t c ds : y ds ; dove =

6 si ottiene G = a ds = e y G = a y ds = e e t cos tdt = 5 ( e )a; e t sin tdt = 5 ( e )a: 7. Data la forma di erenziale!(; y) = f (; y)d f (; y)dy 8 >< >: f (; y) = y y 4 f (; y) = y y 4 ; y 4 studiarne il dominio, la chiusura e l esattezza, determinando una primitiva (se possibile). Calcolarne inoltre l integrale curvilineo lungo la curva y = fra i punti di ascissa e nel quadrante (nell ordine). =@y =@, la forma è chiusa nel suo dominio D = R f; g ; quindi esatta in ogni componente semplicemente connessa di D: Dopodichè si ottiene: f (; y)d = arctan y c(y) = f(; y); imponendo successivamente = y y 4 c (y) = f (; y); che implica in ne c (y) = y =) c(y) = y : La primitiva dunque è f(; y) = arctan y y c: Visto l arco di curva indicato (parabola con asse orizzontale e vertice nell origine), l integrale curvilineo si può calcolare brevemente come! = f(; p ) f(; ) = arctan c arctan c = : 8. Calcolare il seguente integrale super ciale z p 6 6y d S dove S rappresenta la super cie del paraboloide z = y con (; y) appartenenti al dominio D; incluso nel primo quadrante, delimitato dalle rette y = e y = e dalle circonferenze centrate nell origine di raggi e 3.

7 L elemento di super cie diventa d = p ( 6u )( 6v ) diventa 4(u v ) dudv = u cos dd = D Calcolare il seguente integrale ( 8 y )ddy D 56u v = p 6u 6v : L integrale ln ( sin ) ln ( sin ) dove D é il dominio delimitato dalle rette y =, y = 5, 4 y = 3, 4 y =. : Va fatta la sostituzione u = y v = 4 y. Il det jacobiano è 8. E l integrando diventa uv, da cui D ( 8 y )ddy = 5 3 uvdudv = 6: 8 4. (Facoltativo) Calcolare l integrale r z 7 d; S dove S e la superi cie dell ellissoide 4 y 6 z 9 = : In coordinate polari sull ellissoide = sin t cos s; y = 4 sin t sin s; z = 3 cos s l integrale diventa R R sentdsdt di immediata risoluzione.