UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO Svolgimento della prova scritta di Matematica II 08 Giugno 2011

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1 Esercizio UNIVERSITÀ EGLI STUI I SALERNO della rova scritta di Matematica II Giugno In R con la struttura di sazio euclideo canonica si considerino le due rette: r : x y + ; s : x y ;. (a) dire se le rette sono ortogonali e, in caso contrario, calcolare cr; s; (b) trovare almeno due raresentazioni arametriche di r; (c) trovare una retta er P ( ; ) arallela ad s. a) I vettori direzionali delle rette sono v r (; ) e v s (; ), il cui rodotto scalare è: v r v s da cui si evince che le rette non sono tra loro ortogonali e quindi l angolo tra esse comreso è: cr; s [v r ; v s arccos v r v s jv r j jv s j arccos 5 arccos 5 b) Un unto di r è Q ( ; ), quindi una raresentazione arametrica è: x + t r : y t Un altro unto è L (; ) e quindi un altra raresentazione è: x + 6t r : y + t c) Una retta ax + by + c che sia arallela ad s deve avere ( b; a) v s ovvero deve essere del tio: x y + c : Imonendo il assaggio er P si ha: e quindi la retta cercata è: + c ) c 6 x y + 6 : Esercizio Si consideri l endomor smo f di R raresentato da A a a A a a

2 . (a) dire er quali valori di a R, si ha dim ker f e in tali casi calcolarne una base; (b) er i valori calcolati al unto a., dire se ( ; ; ) Im f; (c) dire er quali valori di a R, f è ortogonalmente diagonalizzabile su R a) Si ha dim ker f rka quindi a nché sia dim ker f deve aversi rka. A tal ne calcoliamo jaj e imoniamo che sia uguale a : jaj a a a a () a e a () rka a + 5a Vediamo quanto vale rka er questi valori di a. Abbiamo: a A ) ja ;;; j 6 ) rka e a A ) ja ;;; j 6 ) A Concludiamo che entrambi i valori di a trovati sono tali che dim ker f. b) Consideriamo a. ai conti fatti al unto recedente, una base di Im f è data da B f(; ; ) ; (; ; )g e a nché ( ; ; ) Im f deve aversi come in e etti è (in quanto r r ). Consideriamo a. ai conti fatti al unto recedente, una base di Im f è data da B f(; ; ) ; (; ; )g

3 e a nché ( ; ; ) Im f deve aversi come non è (il determinante in esame vale infatti 6). c) Perché f sia ortogonalmente diagonalizzabile su R, la matrice A dev essere simmetrica, cosa che non uò mai accadere osservando che a 6 a er ogni a R. Esercizio Studiare la convergenza e, se ossibile, calcolare la somma della seguente serie numerica: X n+ sin n cos n 5 n Per analizzare il carattere della serie e valutarne l eventuale convergenza studiamo l assoluta convergenza della serie, di conseguenza avremo: X n+ sin n cos n 5 n X sin n n+ 5 n X sin n n sin n 5 5 n X n jsin nj 5 n jsin nj 5 X n ; 5 5 dove P n n 5 de nisce una serie geometrica a ragione minore di e dunque convergente. La serie assegnata, essendo maggiorata da una serie geometrica convergente converge assolutamente er il criterio del confronto e dunque converge. Esercizio Stabilire er quali valori di c il unto A (; e ) è unto critico della seguente funzione F (x; y) (x c)y ln xy + x y ; doodichè, determinare la natura del unto A e degli ulteriori eventuali unti critici della funzione: n

4 Calcoliamo il gradiente della funzione imonendo che sia nullo nel unto A F x y ln xy + (x c) y x + xy F y (x c) ln xy + + x F x ; e e + ( c) e + e ce F y ; e ( c) + Il valore cercato è c : Il dominio della funzione è l insieme (x; y) R : x > ; y 6 I unti critici sono le soluzioni in del sistema: y ln xy + + x x ln xy + + x e sono A ; e e B ; e : Calcoliamo le derivate del secondo ordine: F xx y x + y F xy ln xy + x + F yy x y Quindi il unto A è di miniimo relativo e il unto B di massimo relativo. Esercizio 5 Risolvere le seguenti equazioni di erenziali a: y y + y (x ) (e x ) b: y + 9x y e x x y y() Cominciamo la risolvere la rima equazione y y + y (x ) (e x ) eterminiamo la soluzione dell equazione omogenea associata y y + y + $ ; ; y (x) c + c e x + c e x (soluz. omogenea ass.) l a soluzione articolare è del tio: y (x) x (Ax + B) e x + x (Cx + )

5 derivando e sostituendo nell equazione si calcolano i coe cienti ottenendo y (x) x x e x x (x + ) La soluzione dell equazione è: y (x) c + c e x + c e x x x e x x (x + ) Passiamo alla seconda equazione di erenziale: si tratta di una equazione di erenziale di Bernoulli dalla cui risoluzione si ottiene y(c; x) [(x )ex + c] x 9 ; c : Esercizio 6: eterminare il valore dell integrale curvilineo y (x + ) ds dove è la curva di equazioni arametriche ( x(t) t y(t) t [; ]: t A artire dalla arametrizzazione della curva ricaviamo ( x (t) (t) y (t) t da cui k (t)k r + 9 t : L integrale curvilineo dunque risulta: r (t) (t) + 9 dt t r (t) t dt s (t) 5 + t dt t s (t) + t dt 5

6 che er sostituzione z t e dz z z + z dz z h ( + z + Esercizio 7: ata la forma di erenziale lineare (t) risulta: i z z! A 7 7: 5 +! 5 +!(x; y) (xdx + 9ydy) 6 x 9y ;! A studiarne il dominio, la chiusura, l esattezza e determinarne le eventuali rimitive. eterminarne oi l integrale curvilineo sul segmento di equazioni arametriche (t; t), con t [ ; ]. Innanzitutto riscriviamo la forma nel modo seguente:!(x; y) x 6 x 9y dx + 9y 6 x 9y dy L insieme di de nizione risulta er 6 x 9y che raresenta la orzione di dominio interna alla ellisse di equazione x + y. Il dominio è dunque un aerto semlicemente connesso. La forma risulta chiusa, 6x y x 9y + 6 ; inoltre la forma è esatta dato che il dominio è semlicemente connesso. Calcoliamo la rimitiva: f(x; y) x 6 x 9y dx x 9y g(y) + f y x 9y g(y) 9y x 9y g (y) da cui g (y) ) g(y) c f(x; y) x 9y c: 6

7 A questo unto calcoliamo l integrale della forma lungo il segmento di equazioni arametriche x(t) t; y(t) t, con h i t [ ; ] e dunque di equazione cartesiana y x con x ; ossia dai unti A( ; ) e B( ; ). I unti A e B sono unti aartenenti al dominio essendo unti delle frontiera dell ellisse, di conseguenza essendo la forma esatta su tutto il dominio l integrale risulta la di erenza dei valori assunti dalla rimitiva nei unti considerati:! f(b) f(a) : Esercizio : Calcolare l integrale suer ciale x S + y 6 d; dove S e la sueri cie della sfera x + y + z : Parametrizziamo la suer cie utilizzando le coordinate olari sferiche: < x sin cos ' y sin sin ' ; : z cos dove [; ] e ' [; ]; da cui (cos cos '; cos sin '; sin ), ' ( sin sin '; sin cos '; ) quindi i j k j ^ ' j cos cos ' cos sin ' sin sin sin ' sin cos ' i( sin cos ') + j( sin sin ') + k( sin cos ) q sin cos ' + sin sin ' + sin cos q sin + sin cos sin (sin + cos ) sin S l elemento di suer cie diviene dunque sin e dunque l integrale si riduce a x! + y ( sin cos ') ( sin sin ') d + sin d'd 6 6 ( sin cos ') sin d'd + cos ' d' sin d + sin ' d' ( sin sin ') sin d'd 6 sin d 7

8 Esercizio 9: Calcolare l integrale doio dove é il dominio (x + y ) + x + y dxdy (x; y) : x + y 9; x [ f(x; y) : x + y 9 : y xg: Passando alle coordinate olari risulta unque 5 Esercizio : + d 5 h arctg + dd i Calcolare il usso del camo vettoriale F 5 arctg + arctg :! x + y k uscente dalla z orzione del araboloide de nita da x + y z 9: La suer cie assegnata x + y z la si uo vedere come unione delle due seguenti suer ci S che raresenta il arabolide di equazione z x + y ; dove (x; y) f(x; y) : x + y 9g ed S che raresenta il iano di equazione z ; dove (x; y) f(x; y) : x + y 9g: Calcoliamo i vettori relativi alla rima ed alla seconda suer cie. Nel caso di S risulta: < x(u; v) u S : y(u; v) v : z(u; v) u + v ; dove (u; v) ; otteniamo ' u (; ; u); ' v (; ; v); da cui i j k ' u ^ ' v u i( u) + j( v) + k: Nel caso di S si ha che v < x(u; v) u S : y(u; v) v : z(u; v)

9 dove (u; v) ; otteniamo ' u (; ; ); ' v (; ; ); da cui i j k ' u ^ ' v k: Il usso uscente dalla suer cie sarà la somma dei ussi uscenti dalle due sueri ci considerate. Cominciamo a calcolare quello uscente dalla sueri cie S ; er il quale occorre invertire il segno al vettore normale alla sueri cie er ottenere il usso uscente dalla suer cie e non quello entrante: F(u; v) [ (' u ^ ' v )] dudv! u + v u + v k i( u + v dudv u) + j( v) + k dudv a questo unto assiamo alle coordinate olari ed otteniamo: d d : Calcoliamo adesso il usso uscente dalla sueri cie S : F(u; v) (' u ^ ' v) dudv u + v dudv a questo unto assiamo alle coordinate olari ed otteniamo: da cui d : d 6; Per il secondo esercizio facoltativo, dalla alicazione del secondo Teorema di Guldino ne discende che Area y G L() y ds 6 : (G baricentro di ) 9