Analisi Matematica 2, Scritto Generale, Per quali valori di > e uniformemente convergente per ogni x 2 [; +) la serie di funzioni n x + n 4 x

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1 Analisi Matematica 2, Scritto Generale, Consideriamo la serie di Fourier f (x) = a k= [a k cos(kx) + b k sen (kx)] ; dove f (x) = jxj per x 2 ( ; ) e una funzione pari. a. Calcolare i coecienti a, a m e b m. b. Discutere la convergenza della serie. c. Calcolando la derivata termine a termine, cioe g(x) = k= [kb k cos(kx) ka k sen (kx)] : determinare g(x) per ogni x 2 [ ; ]. d. Applicare l'uguaglianza di Parseval per trovare la somma della serie n= (2n + ) 4 : 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione dierenziale y (t) + 4y (t) + 3y(t) = 6e 2t cos(3t); e la soluzione sotto le condizioni iniziali y() = e y () = Determinare i massimi e i minimi (relativi e assoluti) della funzione f : D! R 2 f (x; y) = xy 2 ; dove D = f(x; y) 2 R 2 : x 2 y 2 g: 4. Consideriamo il solido di rotazione ottenuto girando il graco della funzione f (x) = sen (x) per x 2 [; 2] rispetto all'asse x. a. Calcolare l'area della supercie S del solido. b. Sia ~n il versore normale esterno (dove esiste). Calcolare R S (~ V ; ~n) d, dove ~V = (x + y + z)(; ; ).

2 Analisi Matematica 2, Scritto Generale, Per quali valori di > e uniformemente convergente per ogni x 2 [; +) la serie di funzioni n x + n 4 x? 2 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione di Bernouilli y 2x 3 y 2 = 2xy; e trovare la soluzione sotto la condizione iniziale y(994) =. Si calcoli anche la soluzione sotto la condizione iniziale y() =. 3. Sia f : R 2! R la funzione denita da f (x; y) = 8 < : (; ) e b. @y in R2? (x y 2 ) sen x 2 ; (x; y) 6= (; ) + y2 ; (x; y) = (; ). c. E dierenziabile la funzione f nel punto (; )? 4. Sia V il solido connesso in R 3 limitato dalle supercie z = ; x y 2 = ( cos z); 2 e contenuto nel cilindro f(x; y; z) 2 R 3 : x y 2 g. a. Calcolare il volume del solido V. b. Calcolare l'area della supercie limitante questo solido.

3 Analisi Matematica 2, Scritto Generale, Consideriamo la serie di Fourier x = a k= (a k cos kx + b k sen kx) : a. Calcolare i coecienti a k e b k. b. Calcolare la somma della serie di Fourier per ogni x 2 [ ; ]. c. Stabilire se = k= (kb k cos kx ka k sen kx) : In altre parole, stabilire se e permessa la derivazione termine a termine. d. Calcolare la somma della serie a 2 k= a 2 k + b 2 k : 2. Consideriamo l'equazione di Eulero non omogenea y (x) + 7 x y (x) + 9 x 2 y(x) = x 3 : a. Calcolare la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea. b. Calcolare la soluzione generale dell'equazione non omogenea. 3. Calcolare i minimi e massimi (relativi e assoluti) della funzione f (x; y; z) = x 2y 3z 2 sotto il vincolo x + y + z = 22. p 4. Sia V il solido in R 3 limitato dalla supercie conica z = 3(x y 2 ) e la parte inferiore della supercie sferica x y (z 2) 2 =. a. Calcolare il volume del solido V. b. Calcolare l'area della supercie limitante questo solido.

4 Analisi Matematica 2, Scritto Generale, Consideriamo la serie di funzioni f n (x); f n (x) = ( )n x 2 ( + x 2 ) n : a. Dimostrare che la serie P f n(x) e assolutamente convergente per ogni x 2 R. b. Dimostrare che la serie P jf n(x)j e uniformemente convergente in x 2 [a; +) per ogni a >. c. Dimostrare che la serie P jf n(x)j non e uniformemente convergente in x 2 R. 2. Consideriamo l'equazione non omogenea y (x) + 2 y (x) + 5 y(x) = e x cos(2x): a. Calcolare la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea. b. Calcolare la soluzione dell'equazione non omogenea sotto le condizioni iniziali y() = e y () =. 3. Calcolare i minimi e massimi (relativi e assoluti) della funzione f (x; y; z) = x 4 + 8y z 4 sotto il vincolo x + y + z = a. Calcolare l'integrale Z Z e (x+y) arctg r y x dxdy utilizzando la sostituzione x = r cos 2 ' e y = rsen 2 '. b. Calcolare Z Z r y lim n! n2 e n(x+y) arctg x c. Calcolare lim n! Z n Z n y x + y n n arctg r y x dxdy: dxdy:

5 Analisi Matematica 2 (F), Scritto Generale, Consideriamo la serie di Fourier + jxj = a [a n cos(nx) + b n sen (nx)] : a. Calcolare i suoi coecienti e discutere la sua convergenza (uniforme). b. Consideriamo la serie di Fourier g(x) = [nb n cos(nx) na n sen (nx)] ottenuta calcolando la derivata termine a termine. Discutere se e permessa la derivazione termine a termine e calcolare la somma g(x) per ogni x 2 [ ; ]. c. Calcolare (2k + ) 4 : k= Si consiglia l'applicazione dell'uguaglianza di Parseval. 2. Consideriamo l'equazione non omogenea y (x) + 6 y (x) + 5 y(x) = 4e x cos(2x): a. Calcolare la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea. b. Calcolare la soluzione dell'equazione non omogenea sotto le condizioni iniziali 3. Sia y() = 5 e y () =. f (x; y) = 8 >< >: x 3 x 2 ; (x; y) 6= (; ) + y2 ; (x; y) = (; ). a. Dimostrare la continuita della funzione f : R 2! R. b. Calcolare le derivate parziali della funzione f in (; ). c. Dimostrare che la funzione f non e dierenziabile in (; ). 4. Per n = ; ; 2; consideriamo l'integrale I n = Z x n e x dx = t n+ Z dove abbiamo sostituito x = ty per qualsiasi t >. y n e ty dy; a. Dimostrare che e permessa la derivazione rispetto a t sotto il segno dell'integrale. b. Calcolando la derivata rispetto a t si dimostri l'espressione c. Calcolare I n esplicitamente. Il risultato dello scritto scadra il I n+ = (n + )I n :

6 Analisi Matematica 2 (F), Scritto Generale, Sia > una costante. Consideriamo la serie di funzioni f n (x); f n (x) = n x x n 3 : a. Dimostrare che la serie di funzioni e puntualmente convergente se < < 2. b. Dimostrare che la serie di funzioni e uniformemente convergente in x 2 R se < < 2. c. Dimostrare che la serie di funzioni e uniformemente convergente in x 2 [; ] se < < 2. Si consiglia lo studio della serie di funzioni P f n (x). 2. Consideriamo l'equazione di Bernouilli y 3 x y = 9 2 x4 y =3 : a. Trovare la soluzione generale. b. Spiegare perche si trovano le due soluzioni ; x < y(x) = (x 5 x 2 ) 3=2 ; x sotto la condizione iniziale y() =. 3. Calcolare i massimi e minimi della funzione f (x; y) = x+y 2 sotto il vincolo x y 2 =. 4. Per < < < + consideriamo l'integrale Z 2 Z Z xe yx2 dxdy = Z 2 xe yx2 dydx: a. Scrivere la parte a sinistra come un integrale rispetto a y e la parte a destra come un integrale rispetto a x. b. Prendendo il limite se! + e! +, calcolare Z e x2 e 2x2 x dx: Il risultato dello scritto scadra il

7 Analisi Matematica 2 (F), Scritto Generale, Sia f (x) = jsen 2xj = a [a n cos nx + b n sen nx] : a. Determinare i coecienti a, a n e b n. Si nota che a n = per n dispari. b. Discutere la convergenza (assoluta, uniforme) della serie di Fourier di f. c. Calcolare la somma 4n Consideriamo l'equazione dierenziale y (x) + 3y (x) + 2y (x) = 4x 6x + 32: a. Trovare la soluzione generale dell'equazione omogenea. b. Trovare la soluzione generale dell'equazione non omogenea. c. Trovare la soluzione dell'equazione non omogenea sotto la condizione iniziale y() = y () = y () =. 3. Calcolare i massimi e minimi della funzione f (x; y; z) = 5 x y z sotto il vincolo x y z 2 = : 4. Sia V il solido in R 3 limitato dalle supercie x y 2 = ( cos z); 2 che si trova tra i piani z = e z = 2. a. Calcolare il volume del solido V. b. Calcolare l'area della supercie limitante questo solido. Il risultato dello scritto scadra il

8 Analisi Matematica 2 (F), Scritto Generale, Consideriamo la serie di potenze f (x) = n= ( ) n (3n + )2 3n x3n+2 : a. Trovare il raggio di convergenza R. b. Trovare la somma per x 2 ( R; R). c. Trovare la somma per x = R e per x = R se esiste. 2. Consideriamo l'equazione dierenziale y (x) y(x) = ( + e x ) 2 : a. Trovare la soluzione generale dell'equazione omogenea. b. Trovare la soluzione generale dell'equazione non omogenea. c. Trovare la soluzione dell'equazione non omogenea sotto la condizione iniziale y() = y () =. 3. Calcolare i massimi e minimi della funzione f (x; y; z) = x 2y 3z 2 sotto i vincoli x + y z = 3 x + y + z = 3: 4. Consideriamo la forma dierenziale! = 2xy dx + y2 ( + y 2 ) 2 dy: a. Vericare che e esatta. b. Trovare una R primitiva. c. Calcolare!, dove e il segmento da (; ) a (; 2). Il risultato dello scritto scadra il

9 Parziale, Analisi Matematica 2, Siano h 2 C[; ) e 2 ( ; ). Applicare il teorema delle contrazioni (oppure un altro metodo) per dimostrare l'esistenza di una soluzione unica u 2 C[; ) dell'equazione integrale lineare u(t) Z e (t+s) u(s) ds = h(t); t 2 [; ): 2. Sia f (x) = jsen 2xj = a [a n cos nx + b n sen nx] : a. Determinare i coecienti a, a n e b n. Si nota che a n = per n dispari. b. Discutere la convergenza (assoluta, uniforme) della serie di Fourier di f. c. Calcolare la somma 3. Consideriamo la serie di potenze 4n 2. f (x) = n= 4n + x4n+ : a. Trovare il raggio di convergenza R. b. Trovare la somma per x 2 ( R; R). c. Trovare la somma per x = R. 4. Consideriamo l'equazione dierenziale y (x) + 3y (x) + 2y (x) = 4x 6x + 32: a. Trovare la soluzione generale dell'equazione omogenea. b. Trovare la soluzione generale dell'equazione non omogenea. c. Trovare la soluzione dell'equazione non omogenea sotto la condizione iniziale y() = y () = y () =. Ex. : 7 pt., Ex. 2: 8 pt., Ex. 3: 8 pt., Ex. 4: 7 pt.

10 Analisi Matematica 2, Scritto Generale, Consideriamo la serie di Fourier f (x) = a k= [a k cos(kx) + b k sen (kx)] ; dove f (x) = x 2 per x 2 ( ; ). a. Calcolare i coecienti a, a m e b m. b. Discutere la convergenza della serie. c. Calcolando la derivata termine a termine, cioe g(x) = k= [kb k cos(kx) ka k sen (kx)] : determinare g(x) per ogni x 2 [ ; ]. d. Applicare l'uguaglianza di Parseval per trovare la somma della serie n= (2n + ) 4 : 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione dierenziale y (t) 6y (t) + 3y(t) = 4e 3t cos(2t); e la soluzione sotto le condizioni iniziali y() = e y () =. 3. Calcolare i minimi e massimi (relativi e assoluti) della funzione f (x; y; z) = x + 2y z sotto il vincolo x y z 2 = Consideriamo il solido di rotazione ottenuto girando il graco della funzione f (x) = cos(x) per x 2 [; 4] rispetto all'asse x. a. Calcolare l'area della supercie S del solido. b. Sia ~n il versore normale esterno (dove esiste). Calcolare R S (~ V ; ~n) d, dove ~V = (x + y + z)(; ; ). Il risultato dello scritto scadra il

11 Analisi Matematica 2, Scritto Generale, Consideriamo la serie di Fourier f (x) = a k= [a k cos(kx) + b k sen (kx)] ; dove f (x) = x per x 2 ( 2 ; 2 ) e f (x) = per x 2 ( ; 2 ] [ [ 2 ; ). a. Calcolare i coecienti a, a m e b m. b. Trovare la somma della serie per x 2 f ; 2 ; ; 2 ; g. c. In quali dei seguenti intervalli di x c'e la convergenza uniforme: [ 4 ; 4 ], [; 2 ], [ 3 4 ; ]? 2. Consideriamo l'equazione dierenziale t 2 u (t) 3tu (t) + 4u(t) = t + : a. Trovare la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea. b. Trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. 3. Determinare i massimi e minimi (relativi e assoluti) e i punti di sella della funzione f (x; y) = x 4 + y 4 + 4x 2 8xy + 4y 2 : 4. In coordinate polari consideriamo la funzione r() = j cos j: a. Determinare se la curva e chiusa, semplice, o regolare. b. Calcolare la lunghezza della corrispondente curva. c. Calcolare l'area della supercie del solido di rotazione ottenuto rotando la gura rispetto all'asse x. Il risultato dello scritto scadra il