Prima prova parziale di Analisi Matematica 2 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 2013/14 17/05/2014

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1 Prima prova parziale di Analisi Matematica 2 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 7/05/204 ) Calcolare l integrale doppio ZZ ( x + y ) dx dy, A A è il quadrato di vertici (, 0), (, 2), (, 2), (, 0). 2) Data la forma di erenziale nello spazio! = g(z)+ y dx + x log x + z y dy + log y + xz dz, +z 4 determinare la funzione g(z) taleche! sia chiusa nel suo dominio e g(0) = 0. Stabilire poi se! è anche esatta nel suo dominio e trovarne una primitiva. Infine, parametrizzare Z il segmento (orientato) che congiunge i punti (, 2, 0) e (2, 4, 0) ecalcolare!. 3) Determinare la soluzione del problema di Cauchy 8 < y 0 y : x = e2/x 2 x 2 y(2) = e, specificandone il dominio.

2 Seconda prova parziale di Analisi Matematica 2 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 07/06/204 ) Calcolare Z 2 0 cos(x) ( p 2+cos(x)) 2 dx. 2) Sia f(z) = z 3 4 p 3iz 2 9z a) Trovare e classificare le singolarità della funzione f ecalcolarneiresidui. b) Sviluppare f in serie di Laurent nelle corone C = z 2 C :0< z < p 3 e C 2 = z 2 C :0< z 3 p 3i < 2 p 3. 3) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = sin(x)cos(x) x(x 2 +2x +2).

3 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 2/06/204 ) Determinare massimo e minimo assoluti della funzione nel triangolo di vertici (0, 0), (, 0) e (0, 3). f(x, y) =xy(3x + y 3) 2) Sia E il corpo solido ottenuto dall intersezione della sfera x 2 + y 2 + z 2 apple 4r 2 edel cilindro x 2 + y 2 apple r 2,r>0, e di densità = z. a) Calcolare la massa di E. b) Calcolare il momento di inerzia del solido E rispetto all asse z. 3) Calcolare Z + sin(x) x(x 2 +2) 2 dx y 00 (t)+4y 0 (t)+3y(t) = y(0) = 2, y 0 (0) = [a,b] è la funzione caratteristica dell intervallo [ a, b]. [,+) (t)

4 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 04/07/204 ) Calcolare l integrale doppio ZZ x y dx dy D D = {x 2 + y 2 apple,xapple 0} [ { x + y apple,x 0} 2) Calcolare Z z sin(iz) dz = {z 2 C : z i =3} (percorsa in senso antiorario). 3) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = cos(x) (x 2 +2) 3 8 >< y 0 + y 2x = p arctan( p x) x >: y() = 2, specificandone il dominio.

5 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 0/08/204 ) Calcolare l integrale triplo ZZZ E ( x + y ) dx dy dz E è i l s o l i d o o t t e n u t o d a l l i n t e r s e z i o n e d e l c o n o z 2 x 2 + y 2, z 0edelparaboloide x 2 + y 2 apple 8 2z. 2) Sia la curva nello spazio ottenuta dall intersezione della sfera x 2 + y 2 + z 2 =9edel piano p 2x + y =0,orientatainmodocheilversore(0, 0, ) sia tangente a nel punto di coordinate ( p Z p 3, 6, 0). Stabilire se è r e g o l a r e, c h i u s a, s e m p l i c e e c a l c o l a r e!,! = ydx + zdy + xdz. 3) Calcolare Z + sin x cos x (x )(x 2 +9) 2 dx 4) Calcolare Z z 4 +4 dz = {z 2 C : z = p 2} (percorsa in senso antiorario).

6 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 2/09/204 ) Determinare massimo e minimo assoluti della funzione nel disco chiuso di centro (0, 0) e raggio 2. f(x, y) =x 2 +4y 2 +6x +8 2) Calcolare l integrale doppio ZZ e y dx dy D D = { x + y apple,xapple 0} [ {x + y 2 apple 0,x 0} 3) Calcolare Z + sin x cos x (x 2 )(x 2 6x +0) dx y 00 (t)+4y 0 (t)+5y(t) =t y(0) = 0, y 0 (0) = [a,b] è la funzione caratteristica dell intervallo [ a, b]. [0,](t)

7 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 0/0/204 ) Sia E il corpo solido ottenuto dall intersezione del cono z apple 6 paraboloide z x 2 + y 2 edidensità = z 2. a) Calcolare la massa di E. b) Determinarne le coordinate del baricentro. p x2 + y 2 edel 2) Sviluppare in serie di Laurent la funzione f(z) = z 2 2iz 3 nelle corone C = z 2 C :0< z < p 3 e C 2 = {z 2 C :0< z z < 2}, z = i + p 2. 3) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = sin(x) x ( y 0 + 2xy x 2 + = 2x x 2 + log(x2 +) y(0) = 2 specificandone il dominio.

8 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 3/0/205 ) Calcolare l integrale doppio ZZ x + dx dy T è i l t r i a n g o l o d i v e r t i c i ( 2, 0), (0, 0) e (0, ). T 2) Calcolare Z z(e iz ) dz = {z 2 C : z =3} (percorsa in senso antiorario). 3) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f(x) = x < y 0 2y x = x3 arctan(x 2 ) : y( ) = 8 specificandone il dominio.

9 Ing. Informatica e dell Automazione A.A. 203/4 3/02/205 ) Determinare massimo e minimo assoluti della funzione nell insieme A = {x 2 + y 2 apple 4,y }. f(x, y) =x 2 + y 2 + xy 2) Sia la curva nello spazio definita da = {x 2 + y 2 2y =0} \ {y z =0}, orientata in modo che il versore (0, / p 2, / p Z 2) sia tangente a nel punto di coordinate (,, ). Calcolare!,! = y 2 dx + xydy + xzdz. 3) Sviluppare in serie di Laurent la funzione f(z) = z 2 +2iz +3 nelle corone C = {z 2 C :< z < 3} e C 2 = {z 2 C :0< z i < 4}. y 00 (t)+4y(t) = [0, ] (t) y(0) =, y 0 (0) = [a,b] è la funzione caratteristica dell intervallo [ a, b].