Esercizio 1.1. Trovare il volume V della figura racchiusa tra il piano z = 8x + 6y e il rettangolo R = [0, 1] [0, 2]. (8x + 6y) dx dy. x=1. 4x 2.

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1 Esercizi Versione provvisoria. Giugno 6. Indice Integrali doppi. isposte Integrali doppi generalizzati 6. isposte Coordinate sferiche 7 4 Integrali tripli 8 4. isposte Nome file: Es integrali multipli 6.te Pag.

2 Integrali doppi Esercizio.. Trovare il volume V della figura racchiusa tra il piano z 8 + 6y e il rettangolo [, ] [, ]. Soluzione. Si osservi che f(, y 8 + 6y per (, y. Dunque: V (8 + 6y dy ( 4 + 6y dy (4 + 6y dy 4y + 3y Se avessimo scambiato l ordine di integrazione, avremmo ottenuto lo stesso risultato: V (8 + 6y dy ( 8y + 3y y ( Esercizio.. Calcolare il volume V della figura limitata al di sopra dal grafico della funzione z e +y e al di sotto dal rettangolo [, 3] [, ]. Soluzione. Si noti che f(, y e +y > per ogni (, y. Allora si ha: Esercizio.3. Calcolare V 3 e +y dy dy ( e +y 3 (e y+3 e y+ dy y e y+3 e y+ e 5 e 4 (e 4 e 3 e 5 e 4 + e 3 π π sin( + y dy. Pag.

3 Soluzione. Si ha: π π sin( + y dy π π ( cos( + y π dy ( cos(y + π + cos y dy sin(y + π + sin y π sin 3π + sin π ( sin π + sin Esercizio.4. Calcolare l integrale (8 + 6y da dove {(, y, y } Soluzione. La regione è mostrata nella figura a fianco. Sezionando il dominio con linee verticali, otteniamo: V (8 + 6y da [ ] (8 + 6y dy (8y + 3y y y ( y y Figura Sezionando invece con linee orizzontali, si ha: V (8 + 6y da [ ] (8 + 6y dy y/ ( 4 + 6y y/ dy (4 + 6y (y + 6 y y dy 4y + y 6 5 y5/ (4 + 4y 3 y 3/ dy y y/ Figura Pag. 3

4 Esercizio.5. Trovare il volume del solido V delimitato dai tre piani coordinati e dal piano di equazione + y + 4z 4. Soluzione: Il solido è mostrato nella figura 3(a, insieme a una sua sezione verticale. 4 y (,, z + y + 4z 4 y + 4 (,, (, 4, y (a (b Il volume V è dato da Figura 3 f(, y da, dove f(, y z 4 (4 y e la regione, mostrata nella figura 3(b, è {(, y :, y + 4}. Usando sezioni verticali di si ha V 4 (4 y da [ +4 ] 4 (4 y dy ( 8 (4 y y +4 8 (4 y 48 ( Esercizio.6. Calcolare la massa totale della regione D {(, y π, y sin } nell ipotesi che la densità (superficiale di massa δ(, y sia proporzionale alla distanza dall asse delle. Soluzione. La nostra ipotesi è che si abbia δ(, y ky, con k costante positiva. Allora la massa totale sarà data dall integrale doppio ky dy D Pag. 4

5 Si ha: π [ sin ] π y dy π ( ysin y y ( ysin y y π π sin cos π 4 Quindi la massa totale è k π 4. Esercizio.7. Calcolare i seguenti integrali. D 4 y dy con D {(, y : + y 4}.. D ( + sin y dy dove D [, ] [, ] 3. D ( sin y dy dove D [, ] [, π] 4. D sin y3 dy dove D {(, y :, y } 5. D y dy dove D {(, y :, y } Esercizio.8. Calcolare il volume del solido S {(, y, z 3, y, z 4 y}. Esercizio.9. Calcolare l integrale T y dy, dove T è il triangolo di vertici (,, (,, (,. Esercizio.. Calcolare l integrale D dy, dove D è la regione delimitata dai grafici delle funzioni y + e y,. Esercizio.. Calcolare l integrale Q (sin + cos y dy, dove Q [, π/] [, π/]. Esercizio.. Passando a coordinate polari, calcolare l integrale D ( + y dy, dove D è il disco: D {(, y + y a } (a >. Esercizio.3.. Utilizzando un integrale doppio, calcolare l area del cerchio di raggio, cioè calcolare +y dy.. Calcolare l area della (regione di piano interna all ellisse dy. a + y b + y a b, cioè calcolare Esercizio.4. Passando a coordinate polari, calcolare l integrale D e ( +y dy, dove D è il disco: D {(, y : + y a } Pag. 5

6 . isposte Esercizio π ( cos. 5. D y dy Esercizio.8 S. Esercizio.9 Esercizio. Esercizio. y dy [ y] ( ( T y dy 8. D dy (sin + cos y dy π. Q. Esercizio. Esercizio.4 D ( + y dy πa4. D e ( +y dy π( e a. Integrali doppi generalizzati Esercizio.. Passando a coordinate polari, calcolare l integrale D è il disco: D {(, y + y a } (a >. dy, dove D +y Esercizio.. Passando a coordinate polari, calcolare l integrale e ( +y dy Esercizio.3. Verificare che. isposte + e π. Esercizio. Si tratta di un integrale doppio generalizzato, perché la funzione integranda non è limitata in un intorno dell origine. Il significato da dare all integrale è il seguente. Si calcola l integrale sulla regione D \ D ε, dove D ε è un dischetto di raggio ε centrato nel punto singolare (nel nostro caso l origine, e si calcola il limite dell integrale per ε. Se tale limite esiste finito, si dice che l integrale è convergente in D (e, per definizione, il valore del limite è l integrale su D. Passando a coordinate polari, l integrale dy D\D ε + y è dato da π + y dy dϑ D\D ε a ε r dr π(a ε r Pag. 6

7 il cui limite, per ε, è πa. Esercizio. L integrale va inteso come icordando l esercizio.4, si ha e ( +y dy π. lim a + e ( +y dy +y a (. Esercizio.3 Occorre scrivere il quadrato dell integrale come prodotto di due integrali identici rispetto a due diverse variabili d integrazione e poi passare in coordinate polari. ( + ( + ( + e e e y dy e ( +y dy Dunque + π dθ + e r r dr [ π lim ] k k + e r π e π 3 Coordinate sferiche Le coordinate sferiche del punto P di 3 sono costituite dalla terna (r, ϕ, θ dove r, ϕ π è la colatitudine e θ π è la longitudine (si veda la figura. z P ϕ r H O θ K L y Pag. 7

8 Il legame tra coordinate cartesiane (, y, z e coordinate sferiche (r, ϕ, θ è il seguente: OK cos θ r sin ϕ cos θ y OK sin θ r sin ϕ sin θ z r cos ϕ (3. 4 Integrali tripli Esercizio 4.. Calcolare l integrale Q (y + z 3 dydz, dove Q [, ] [, ] [, 3]. Esercizio 4.. Scrivere l elemento di volume in coordinate sferiche r, ϕ, ϑ, dove < ϕ < π è la colatitudine e < ϑ < π la longitudine. Esercizio 4.3. Calcolare l integrale triplo + y dy dz E dove E è la regione compresa tra il cilindro + y 6 e i piani z 5 e z 4. Esercizio 4.4. Calcolare l integrale triplo E z dy dz dove E è il solido delimitato dal paraboloide z 4 + 4y e dal piano z 4. Esercizio 4.5 (Volume della sfera. Utilizzando un integrazione multipla trovare il volume della sfera di raggio. Esercizio 4.6. Utilizzando un integrazione multipla trovare il volume dell ellissoide di equazione a + y b + z c Esercizio 4.7. Trovare il centroide (baricentro nel caso di densità costante del tetraedro delimitato dai piani coordinati e dal piano di equazione + y 3 + z 4 Esercizio 4.8. La sfera S di raggio e centro O(,, ha densità f(, y, z a + y + z + b. Calcolare la massa ed individuare il centro di massa della sfera S. Esercizio 4.9. La semisfera (superiore N di raggio e centro O(,, ha densità f(, y, z a + y + z + b. Calcolare la massa ed individuare il centro di massa della sfera S. Esercizio 4.. Calcolare il momento d inerzia di una sfera omogenea di raggio e massa m, rispetto ad un asse per il centro. Esercizio 4.. Calcolare il momento di inerzia di un cilindro omogeneo di raggio, altezza h e massa m, rispetto al suo asse. Pag. 8

9 4. isposte Esercizio 4. Q y + z 3 dydz 89 Esercizio 4. L elemento di volume è dv r (sin φdrdφdϑ. Esercizio 4.3 In coordinate cilindriche r cos ϑ, y r sin ϑ, z z, ϑ π, r 4, 5 z 4, si ha: E + y dy dz π 4 dϑ dz 5 4 r dr π π Esercizio 4.4 Per descrivere il solido E in coordinate cilindriche ( r cos θ, y r sin θ, z z si osservi che, in corrispondenza del piano z il raggio r vale zero mentre in corrispondenza del piano z 4, r vale uno. Inoltre, fissato r e θ, z varia dal paraboloide che ha equazione z 4r al piano di equazione z 4. Pertanto le coordinate cilindriche r, θ, z sono soggette alle seguenti limitazioni: r, θ π, 4r z 4. E z dy dz π 4 rdr dθ zdz π 4r 8(r r 5 dr 6 3 π Si noti che è possibile calcolare lo stesso integrale modificando l ordine di integrazione delle variabili. In tal caso però bisogna modificare in modo opportuno gli estremi di integrazione. Ad esempio E z dy dz 4 π z zdz dθ rdr 4 π zdz dθ [ r ] z π 4 4 z dz 6 3 π Esercizio 4.5 Primo modo (con un integrale triplo. Se S indica la regione di spazio occupata dalla sfera di centro l origine e raggio, cioè S {(, y, z 3 + y + z } allora il volume V della sfera è dato da V S dydz Passando in coordinate sferiche si ottiene V π dθ φ dφ r sinφ dr; con pochi calcoli si ottiene V 4 3 π3. Secondo modo (con un integrale doppio. Sia D il disco di centro l origine e raggio Pag. 9

10 D {(, y + y } Il volume V della sfera è espresso dal seguente integrale doppio Passando in coordinate polari si ottiene V π dθ r r dr π dθ 3 Esercizio 4.6 V y dy D Se si effettua il cambio di coordinate ax y by z cz il volume V dell ellissoide è dato dal seguente integrale V dv [ ] ( r 3 π 3 3 dθ 4 3 π3 dove S {(X, Y, Z 3 X + Y + Z } e dv abc dx dy dz (dv è l elemento infinitesimo di volume nelle coordinate X, Y, Z. Pertanto il volume dell ellissoide è S V 4 3 πabc Esercizio 4.7 Se T è la regione di spazio delimitata dal tetraedro allora il suo centroide P (, y, z è dato da T δdv T T δdv y yδdv T T δdv z zδdv T δdv Posto δ(, y, z per ogni (, y, z T (il tetraedro ha densità costante si ha 3 4 δdv 6 4. Quindi (fare una figura T 4 In modo analogo si trova y 3 4, z. 3( 4( dy y 3 dz Pag.