Compiti di Analisi Matematica 2

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DEL SALENTO FACOLTÀ DI INGEGNERIA Compiti di Analisi Matematica 2 per il C.d.L. in Ingegneria dell Informazione Angela Albanese

2 Informazioni legali: Questi appunti sono prodotti in proprio con il metodo Xerox presso il Dipartimento di Matematica dell Università del Salento. Sono stati adempiuti gli obblighi previsti dal D.L.L.31/8/1945 n.660 riguardanti le pubblicazioni in proprio. Nota: Questo libro viene rilasciato gratuitamente agli studenti dell Università del Salento, ed a tutti quelli che fossero interessati agli argomenti trattati, mediante Internet. Gli autori concedono completa libertà di riproduzione (ma non di modifica) del presente testo per soli scopi personali e/o didattici, ma non a fini di lucro. Indirizzo dell autore: Angela Albanese Università del Salento, Dipartimento di Matematica Ennio De Giorgi, via per Arnesano, Lecce angela.albanese@unisalento.it

3 INDICE 1 Compito di Analisi Matematica 2 del 13 Febbraio Compito di Analisi Matematica 2 del 27 Febbraio Compito di Analisi Matematica 2 del 15 Aprile Compito di Analisi Matematica 2 del 4 Luglio Compito di Analisi Matematica 2 del 16 Settembre Compito di Analisi Matematica 2 del 3 Aprile Compito di Analisi Matematica 2 del 15 Gennaio Compito di Analisi Matematica 2 del 12 Febbraio Compito di Analisi Matematica 2 dell 8 Giugno Compito di Analisi Matematica 2 del 7 Settembre i

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5 CAPITOLO 1 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 13 FEBBRAIO 2013 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 13 Febbraio 2013 { y 2 y + y = 0 y(0) = 1, y (0) = Calcolare il seguente integrale doppio y dx dy, (x 2 + y 2 ) 2 dove E = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4x, y 3x}. E 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y, z) = xy(x 2 + z 2 1) nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + z 2 1, 0 y 1}. 4. Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { Y (t) + 2Y (t) + Y (t) = F (t) Y (0) = 1, Y (0) = 0, dove F (t) = tχ ]0,1[, t R. 1

6 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 13 Febbraio 2013 { y 2 y + y = 0 y(0) = 1, y (0) = Calcolare il seguente integrale doppio E y dx dy, (x 2 + y 2 ) 2 dove E = {(x, y) R 2 : 1 x 2 + y 2 4x, y 3x}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y, z) = xy(x 2 + z 2 1) nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + z 2 1, 0 y 1}. 4. Studiare la convergenze puntuale e uniforme della seguente successione di funzioni f n (x) = x x n, x R, n N.

7 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 13 Febbraio Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { Y (t) + 2Y (t) + Y (t) = F (t) Y (0) = 1, Y (0) = 0, dove F (t) = tχ ]0,1[, t R. 2. Usando i metodi del analisi complessa calcolare l integrale improprio 0 sin x x(x 2 + 1) dx.

8 CAPITOLO 2 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 27 FEBBRAIO 2013 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 27 Febbraio 2013 { 2y y y = te t y(0) = 1, y (0) = Calcolare il seguente integrale triplo log(x 2 + y 2 + 1) dx dy dz, dove E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 1}. E 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x(x y 2 ) nell insieme E = {(x, y) R 2 : x 2 y 1 x 2 }. 4. Stabilire se la funzione f(x) = cos x x 2 + 3, x R, possiede la Trasformata di Fourier e precisare le principali proprietà di f e della sua Trasformata di Fourier ˆf. Calcolare esplitamente la Trasformata di Fourier di f. 4

9 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 27 Febbraio 2013 { 2y y y = te t y(0) = 1, y (0) = Calcolare il seguente integrale triplo log(x 2 + y 2 + 1) dx dy dz, dove E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 1}. E 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x(x y 2 ) nell insieme E = {(x, y) R 2 : x 2 y 1 x 2 }. 4. Studiare la convergenza puntuale, assoluta puntuale, uniforme e totale della seguente serie di funzioni (e x 1) n. n n=1 Inoltre, calcolare la funzione somma di tale serie.

10 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 27Febbraio Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { 6Y (t) 5Y (t) Y (t) = 0 Y (0) = 2, Y (0) = Stabilire se la funzione f(x) = cos x x R, x possiede la Trasformata di Fourier e precisare le principali proprietà di f e della sua Trasformata di Fourier ˆf. Calcolare esplitamente la Trasformata di Fourier di f. 3. Definizione di funzioni olomorfa e di funzione analitica. Teorema sull analiticità delle funzioni olomorfe.

11 CAPITOLO 3 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 15 APRILE 2013 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 15 Aprile 2013 { y 3y + 2y = e3t e t +1 y(0) = 1, y (0) = Calcolare il seguente integrale doppio x dx dy, x + y dove E = {(x, y) R 2 : 1 x + y 2, y 2x 2y}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione E f(x, y, z) = xy + z 2 nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2 }. 4. Data la funzione di variabile complessa f(z) = 1 z e1/z, determinare le singolarità di f, classificarle e calcolare il relativo residuo. Scrivere poi lo sviluppo di Laurent di f in z 0 = 0, precisandone l insieme di convergenza. 7

12 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 15 Aprile 2013 { y 3y + 2y = e3t e t +1 y(0) = 1, y (0) = Calcolare il seguente integrale doppio E x dx dy, x + y dove E = {(x, y) R 2 : 1 x + y 2, y 2x 2y}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y, z) = xy + z 2 nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2 }. 4. Dato il campo vettoriale F (x, y) = (e x 1 cos(y 1), e x 1 sin(y 1)), stabilire se esso è conservativo. In caso affermativo, determinare il potenziale f di F tale che f(0, 0) = 1.

13 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 15 Aprile Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { 6Y (t) 5Y (t) Y (t) = 0 Y (0) = 2, Y (0) = Data la funzione di variabile complessa f(z) = 1 z e1/z, determinare le singolarità di f, classificarle e calcolare il relativo residuo. Scrivere poi lo sviluppo di Laurent di f in z 0 = 0, precisandone l insieme di convergenza. 3. Definizione di funzioni olomorfa e di funzione analitica. Teorema sull analiticità delle funzioni olomorfe.

14 CAPITOLO 4 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 4 LUGLIO 2013 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 4 Luglio 2013 { yy + 2(y ) 2 = 0 y(0) = 1, y (0) = Calcolare il seguente integrale triplo (x 2 + y 2 ) dx dy dz, dove E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 1, x 0}. E 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x(x 2 + y 2 1) nell insieme E = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, x 0}. 4. Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale 0 log 2x (x + 1) 3 dx. 10

15 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 4 Luglio 2013 { yy + 2(y ) 2 = 0 y(0) = 1, y (0) = Calcolare il seguente integrale triplo (x 2 + y 2 ) dx dy dz, E dove E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 1, x 0}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x(x 2 + y 2 1) nell insieme E = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, x 0}. 4. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni f n (x) = nx + 1, n N, x R. nx 2 + 1

16 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 4 Luglio Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { 6Y (t) 5Y (t) Y (t) = 0 Y (0) = 2, Y (0) = Data la funzione di variabile complessa f(z) = z z 2 + 8, determinare le singolarità di f, classificarle e calcolare il relativo residuo. Scrivere poi lo sviluppo di Laurent di f in z 0 = 0, precisandone l insieme di convergenza. 3. Definizione di funzioni olomorfa e di funzione analitica. Teorema sull analiticità delle funzioni olomorfe.

17 CAPITOLO 5 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 16 SETTEMBRE 2013 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 16 Settembre 2013 { y = y + t 2 y 2 y(0) = Calcolare il seguente integrale doppio tan(x + y) dx dy, x + y dove E = {(x, y) R 2 : π 4 x + y π 3, x y 2x}. E 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y, z) = x 2 2y 2 + xz nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, z 1}. 4. Determinare se esiste la trasformata di Laplace inversa della funzione f(s) = 2s 3 s 3 s 2 s

18 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 16 Settembre 2013 { y = y + (cos t)y 2 y(0) = Calcolare il seguente integrale triplo log(x 2 + y 2 + 1) dx dy dz, dove E = {(x, y, z) R 3 : 0 z x 2 + y 2 1}. E 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x x + y + 1 nell insieme E = {(x, y) R 2 : x y 2x, xy 3, x 0}. 4. Data la serie di funzioni n=1 ( ) n 1, x studiare la convergenza puntuale, assoluta puntuale, uniforme e totale. Calcolare poi la somma delle serie.

19 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 16 Settembre Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { 6Y (t) 5Y (t) Y (t) = 0 Y (0) = 2, Y (0) = Data la funzione di variabile complessa f(z) = z z 2 + 8, determinare le singolarità di f, classificarle e calcolare il relativo residuo. Scrivere poi lo sviluppo di Laurent di f in z 0 = 0, precisandone l insieme di convergenza. 3. Definizione di funzioni olomorfa e di funzione analitica. Teorema sull analiticità delle funzioni olomorfe.

20 CAPITOLO 6 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 3 APRILE 2014 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 3 Aprile 2014 { y + 2y 3y = te t y(0) = 0, y (0) = Calcolare il seguente integrale triplo z x 2 + y dxdydz dove E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, 0 z 1}. 3. Determinare gli estremi relativi (se esistono) della funzione E f(x, y) = x 4 + y 4 2(x y) 2 + 2, (x, y) R Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale sin x x(x 2 + 1) dx. 16

21 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 3 Aprile 2014 { y + 2y 3y = te t y(0) = 0, y (0) = Calcolare il seguente integrale doppio y dx dy, E dove E = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 2x 0}. 3. Determinare gli estremi relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x 4 + y 4 2(x y) 2 + 2, (x, y) R Sviluppare in serie di Fourier la funzione 2π-periodica f così definita f(x) = x, x [ π, π].

22 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 3 Aprile Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { 6Y (t) 5Y (t) Y (t) = 0 Y (0) = 2, Y (0) = Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale sin x x(x 2 + 1) dx. 3. Definizione di derivabilità in C. Teorema di Cauchy-Riemann.

23 CAPITOLO 7 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 15 GENNAIO 2015 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 15 Gennaio 2015 { y + y = (y ) 2 2. Calcolare il seguente integrale triplo y(0) = 1 2, y (0) = 1. E z dx dy dz, dove E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1, x 2 + y 2 + z 2 2z}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y, z) = z 2 xy nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1, z 0}. 4. Utilizzando i metodi dell analisi complessa, calcolare il seguente integrale improprio sin x x(1 + x 2 ) dx. R 19

24 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 15 Gennaio 2013 { y + y = (y ) 2 y(0) = 1 2, y (0) = Calcolare il seguente integrale triplo z dx dy dz, E dove E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1, x 2 + y 2 + z 2 2z}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y, z) = z 2 xy nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 1, z 0}. 4. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente successione di funzioni f n (x) = x x 2 + n + 1 n 2, x R, n,.

25 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 15 Gennaio Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { Y (t) + 2Y (t) + Y (t) = F (t) Y (0) = 1, Y (0) = 0, dove F (t) = tχ ]0,1[, t R. 2. Utilizzando i metodi dell analisi complessa, calcolare il seguente integrale improprio sin x x(1 + x 2 ) dx. 3. Funzioni analitiche e relative proprietà. R

26 CAPITOLO 8 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 12 FEBBRAIO 2015 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 12 Febbraio 2015 { y = x+y x y 1 y(1) = Calcolare il seguente integrale triplo (z + 1) x 2 + y 2 dx dy dz, dove E = {(x, y, z) R 3 : 0 z x 2 + y 2 1}. E 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y, z) = x z nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1, x + y + z = 1}. 4. Stabilire se esiste la trasformata di Fourier della funzione In caso affermativo, calcolarla. f(x) = x x 2 + x + 1, x R. 22

27 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 12 Febbraio 2015 { y = x+y x y 1 y(1) = Calcolare il seguente integrale triplo (z + 2) x 2 + y 2 dx dy dz, E dove E = {(x, y, z) R 3 : 0 z x 2 + y 2 1}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y, z) = x z nell insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1, x + y + z = 1}. 4. Sviluppare in serie di Fourier la funzione 2-periodica f definita in [ 1, 1] da f(x) = { 0 per x [ 1, 0], x(x 1) per x [0, 1].

28 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 12 Febbraio Stabilire se esiste la trasformata di Fourier della funzione f(x) = x x 2 + x + 1, x R. In caso affermativo, calcolarla. 2. Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { Y (t) + Y (t) = F (t) Y (0) = 1, Y (0) = 0, dove F (t) = χ ]0,1[, t R. 3. Punti di singolarità isolata. Teorema sulla serie di Laurent in una corona circolare.

29 Integrazione di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 12 Febbraio 2015 { y + 2ty 2 = y y(0) = Risolvere mediante la Trasformata di Laplace il Problema di Cauchy { Y (t) + 2Y (t) = F (t) Y (0) = 1, Y (0) = 0, dove F (t) = χ ]0,1[, t R. 3. Stabilire se esiste la trasformata di Fourier della funzione In caso affermativo, calcolarla. f(x) = 4. Funzioni analitiche e relative proprietà. x x 2 + x + 1, x R. 5. Teorema di esistenza e unicità globale del PdC per intervalli compatti.

30 CAPITOLO 9 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DELL 8 GIUGNO 2015 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 270 Lecce, 8 Giugno 2015 { y y = cos t + e t y(0) = 0, y (0) = Calcolare il seguente integrale doppio x(x + y) dx dy, y dove D = {(x, y) R 2 : 1 x + y 2, y 2x 2y}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione D f(x, y) = x 2 + 2y 2 x nell insieme D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 2x 0}. 4. Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale cos x x 2 x + 2 dx. 26

31 Compito di Analisi Matematica 2, d.m. 509 Lecce, 8 Giugno 2015 { y y = cos t + e t y(0) = 0, y (0) = Calcolare il seguente integrale doppio D x(x + y) y dx dy, dove D = {(x, y) R 2 : 1 x + y 2, y 2x 2y}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x 2 + 2y 2 x nell insieme D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, x 2 + y 2 2x 0}. 4. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione di funzioni f n (x) = x + n, n N, x R. nx + 1

32 Compito di Matematica Applicata, d.m. 509 Lecce, 8 Giugno Stabilire se esiste la trasformata di Fourier della funzione f(x) = In caso affermativo, calcolarla. x x 2 + 2x + 5, x R. 2. Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale 3. Funzioni analitiche e relative proprietà. cos x x 2 x + 2 dx.

33 CAPITOLO 10 COMPITO DI ANALISI MATEMATICA 2 DEL 7 SETTEMBRE 2015 Facoltà di Ingegneria Compito di Analisi Matematica 2. d.m. 270 Lecce, 7 Settembre 2015 y = y (y ) 2 y(0) = 0 y (0) = 1/2. 2. Calcolare il seguente integrale di superficie xy dσ, φ dove φ è la superficie cartesiana con sostegno l insieme E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, 0 z 1}. 3. Determinare gli estremi assoluti e relativi (se esistono) della funzione f(x, y) = x(x 2 y + 2) nell insieme E = {(x, y) R 2 : x 2 y x 2 + 3}. 4. Data la funzione di variabile complessa f(z) = 1 z 2 + 4, 29

34 determinare le singolarità di f, classifficarle e calcolare il relativo residuo. Scrivere poi lo sviluppo di Laurent di f in z 0 = 2i, precisandone l insieme di convergenza.