ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 10 giugno Soluzioni compito 1

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1 ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 0 giugno 06 - Soluzioni compito E Si trovi l insieme di definizione I, di convergenza puntuale A e la funzione limite f(x) della seguente successione di funzioni di variabile reale f n (x) = e n(x )3 nx +. Si dica se la convergenza è uniforme in A; nel caso non lo sia, si determini almeno un insieme di convergenza uniforme. Le funzioni f n (x) sono ben definite per x R. Quindi I = R. Il limite puntuale f(x) esiste finito per x. Quindi A = [, + ), e qui la funzione limite è f(x) = 0. Osservando che, per x si può stimare con f n (x) nx + nx convergenza è uniforme in tutto A. E Si determinino gli zeri delle seguenti funzioni di variabile complessa e si dica di che ordine sono. f(z) = e z g(z) = e (z ) Gli zeri della f(z) sono i punti z k in cui e z k =. Quindi Allora gli zeri sono i punti z k = + kπi, k Z. e z k = z k = log z k = kπi, k Z. n, si verifica che la La derivata della f(z) è f (z) = e (z ) 0 per ogni z C. Ne segue che gli zeri della f(z) sono tutti di ordine. Gli zeri della g(z) sono i punti z k in cui e (z k ) =. Quindi e (z k ) = (z k ) = log z k = kπi, k Z. Calcolando le radici complesse e scrivendo insieme i casi k = ±n, n N, troviamo z n,j = nπ e i( π 4 +j π ), per n N e j = 0,,, 3. Allora gli zeri sono i punti z n,j = + nπ e i( π 4 +j π ), n N e j = 0,,, 3. La derivata della g(z) è g (z) = (z )e (z ) 0 per ogni z C \ {}. Ne segue che gli zeri z n,j, per n, della g(z) sono tutti di ordine.

2 Verifichiamo poi l ordine di z 0 =. Utilizzando lo sviluppo di Taylor si trova la scrittura g(z) = + (z ) n = n= (z ) n, ne segue che z 0 è uno zero di ordine. E 3 Dire se la seguente funzione di variabile complessa è trasformata di Laplace di un segnale: In caso affermativo, ricostruire tale segnale. e 3s s + 5s Ricordando che L[f(t t 0 )](s) = e t0s L[f(t)](s), è sufficiente invertire il segnale s +5s e poi traslarlo. s +5s, per s, da cui possiamo determinare il segnale come: s f(t) = res(e st F (s), s ) + res(e st F (s), s ), dove s = 5 9 ed s = 5+ 9 sono i punti singolari di e st F (s). Si tratta di due poli semplici e i residui valgono res(e st F (s), s ) = es t = e 5 9 t s s 9 res(e st F (s), s ) = es t = e 5+ 9 t s s 9 Traslando si trova il segnale f(t) = 9 ( e 5+ 9 (t 3) e 5 9 (t 3) ). D (i) Data la funzione f(t) periodica di periodo 6 e definita nell intervallo [0, 6) come t α (t 8), t [0, 6) \ {} f(t) = 0, t = dire per quali valori di α è continua a tratti in R, per quali è regolare a tratti in R e per quali è di quadrato sommabile in [0, 6]. (ii) Dire per quali valori di α la serie di Fourier di f(t) converge puntualmente in R e calcolare la somma S(t) della serie di Fourier per i valori t = 8, t = 5 e t = 4.

3 (i) Per α 0 la funzione è continua a tratti, mentre è regolare a tratti solo per α ed α = 0. Per α < la funzione è quadrato sommabile. (ii) Quando la funzione f(t) è regolare a tratti la serie di Fourier converge puntualmente. Per i valori di α S(8) = Per α = 0 S(8) = [ 8 α 4 α], S(5) = f(5) = f(3) = 5, S(4) = lim t f(t) = 0. [ ] 8 = 5, S(5) = f(5) = f(3) = 5, S(4) = lim f(t) = 6. t D (i) Data f(x) : x [ ρ, + ρ] R, ρ > 0, dare la definizione di prolungamento analitico di f al cerchio del piano complesso di centro il punto e raggio ρ e provare che, se tale prolungamento esiste, esso è unico. (ii) Trovare l insieme di definizione della funzione f(x) definita da f(x) = e n (x )n n e trovare il suo prolungamento analitico ad un cerchio del piano complesso di centro il punto, specificandone il raggio. (ii) Utilizzando il criterio di D Alembert, si trova che il raggio di convergenza della serie che definisce f(x) è ρ = e. Inoltre converge per ρ = e. La f(x) è allora definita nell intervallo [ e, + e). Il prolungamento analitico della f(x) è definito dalla serie complessa f(z) = e n n (z )n, che ha lo stesso raggio di convergenza ρ = e, ed è quindi definita nel cerchio B e () = {z C : z < e}. 3

4 ANALISI MATEMATICA II Sapienza Università di Roma - Laurea in Ingegneria Informatica Esame del 0 giugno 06 - Soluzioni compito E Si trovi l insieme di definizione I, di convergenza puntuale A e la funzione limite f(x) della seguente successione di funzioni di variabile reale f n (x) = ( ) n. log x Si dica se la convergenza è uniforme in A; nel caso non lo sia, si determini almeno un insieme di convergenza uniforme. Le funzioni f n (x) sono ben definite per x, 0,. Quindi I = R \ {, 0, }. Il limite puntuale f(x) esiste finito per x e e per 0 < x < e. Quindi A = (, e] ( e, 0) (0, e ) [e, + ), e la funzione limite è 0 x (, e) ( e f(x) =, 0) (0, e ) (e, + ) x = e, e. La convergenza è uniforme nei sottoinsiemi di A della forma (, e ε ], ε > 0; [ e + ε, 0), e > ε > 0; (0, e ε 3], e > ε 3 > 0; [e + ε 4, + ), ε 4 > 0; oltre che nell unione di due o più sottoinsiemi di questa forma. E Si determinino gli zeri delle seguenti funzioni di variabile complessa e si dica di che ordine sono. f(z) = e z g(z) = e z Gli zeri della f(z) sono i punti z k in cui e z k =. Quindi Allora gli zeri sono i punti z k = kπi, k Z. e z k = z k = log z k = kπi, k Z. La derivata della f(z) è f (z) = e z 0 per ogni z C. Ne segue che gli zeri della f(z) sono tutti di ordine. Gli zeri della g(z) sono i punti z k in cui e z k =. Quindi e z k = z k = log z k = kπi z k = kπi, k Z. Calcolando le radici complesse e scrivendo insieme i casi k = ±n, n N, troviamo z n,j = nπ e i( π 4 +j π ), per n N e j = 0,,, 3. 4

5 La derivata della g(z) è g (z) = 4ze z 0 per ogni z C \ {0}. Ne segue che gli zeri z n,j, per n, della g(z) sono tutti di ordine. Verifichiamo l ordine di z 0 = 0. Utilizzando lo sviluppo di Taylor si trova la scrittura g(z) = ne segue che z 0 = 0 è uno zero di ordine. (z ) n = n= n z n, E 3 Dire se la seguente funzione di variabile complessa è trasformata di Laplace di un segnale: In caso affermativo, ricostruire tale segnale. e s s + 3s + Ricordando che L[f(t t 0 )](s) = e t0s L[f(t)](s), è sufficiente invertire il segnale s +3s+ e poi traslarlo. s +3s+, per s, da cui possiamo determinare il segnale come: s f(t) = res(e st F (s), s ) + res(e st F (s), s ), dove s = 3 5 ed s = 3+ 5 sono i punti singolari di e st F (s). Si tratta di due poli semplici e i residui valgono res(e st F (s), s ) = es t = e 3 5 t s s 5 res(e st F (s), s ) = es t = e 3+ 5 t s s 5 Traslando si trova il segnale f(t) = 5 ( e 3+ 5 (t ) e 3 5 (t ) ). D (i) Data la funzione f(t) periodica di periodo 7 e definita nell intervallo [0, 7) come t α sen t, t [0, 7) \ {} f(t) = 3, t = dire per quali valori di α è continua a tratti in R, per quali è regolare a tratti R e per quali è di quadrato sommabile in [0, 7]. (ii) Dire per quali valori di α la serie di Fourier di f(t) converge puntualmente in R e calcolare la somma S(t) della serie di Fourier per i valori t =, t = 0 e t = 8. 5

6 (i) Per α 0 la funzione è continua a tratti, mentre è regolare a tratti solo per α ed α = 0. Per α > la funzione è quadrato sommabile. (ii) Quando la funzione f(t) è regolare a tratti la serie di Fourier converge puntualmente. Per i valori di α S() = 6α sen 7, S(0) = f(0) = f(6) = 5 α sen 6, S(8) = lim t f(t) = 0. Per α = 0 S() = sen 7, S(0) = f(6) = sen 6, S(8) = lim f(t) = sen. t D (i) Data f(x) : x [ ρ, ρ] R, ρ > 0, dare la definizione di prolungamento analitico di f al cerchio del piano complesso di centro l origine e raggio ρ e provare che, se tale prolungamento esiste, esso è unico. (ii) Trovare l insieme di definizione della funzione f(x) definita da f(x) = n + 4 xn e trovare il suo prolungamento analitico ad un cerchio del piano complesso di centro l origine, specificandone il raggio. (ii) Il raggio di convergenza della serie che definisce f(x) è ρ =. Inoltre converge per ρ = ±. La f(x) è allora definita nell intervallo [, ]. Il prolungamento analitico della f(x) è definito dalla serie complessa f(z) = n + 4 zn, che ha lo stesso raggio di convergenza ρ =, ed è quindi definita nel cerchio B (0) = {z C : z < }. 6