Dispense sulle serie di potenze, funzioni esponenziali e trigonometriche

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1 Dispense sulle serie di potenze, funzioni esponenziali e trigonometriche Luca Biasco 1 27 dicembre Queste dispense sono prese, quasi verbatim, da alcune pagine del libro di Analisi Matematica 2 del mio maestro e amico Luigi Chierchia, che ringrazio per avermi insegnato queste cose ormai oltre vent anni fa.

2 2 Serie di potenze Si consideri la serie di potenze a n x n n 0 dove x è una variabile reale o complessa e a n sono numeri reali o complessi dati. Il problema è studiare la convergenza della successione N a nx n per N per valori di x in un intorno di 0. N.B. quanto segue varrà indifferentemente per x reale o complesso. Naturalmente nel primo caso x sarà il valore assoluto di x, nel secondo caso il modulo di x, ovvero x = x x, dove x è il complesso coniugato di x. thm:raggio Teorema 0.1 Sia 1 R := ( lim sup a n 1 n 1. La serie an x n converge assolutamente se x < R e non converge se x > R. Dimostrazione Si ha: lim sup( a n x n 1 n = x lim sup an 1 n = x 1 R e il teorema segue dal criterio della radice per serie numeriche 2. dfn:raggio ex:s2.1 Definizione 0.2 Il valore R =: ρ(f [0, ] definito nel Teorema 0.1 thm:raggio prende il nome di raggio di convergenza della serie di potenze f = a n x n. Esempio 0.3 È immediato verificare che ( x n ( (1 ρ n n =, (2 ρ n n x n ( = 0, (3 ρ n α x n = 1 n=1 n=1 n=1 e, nel caso (3, per α = 0 la serie non converge per x = 1, per α < 1 la serie converge per ogni x = 1, e per 1 α < 0 la serie diverge per x = 1 e converge per x = 1 (criterio di Leibnitz. Quindi, la convergenza per x uguale al raggio di convergenza va discussa di volta in volta. Se una serie di potenze ha raggio di convergenza R > 0 allora f(x := n 0 a n x n (0.1 cippa thm:continua definisce una funzione al variare di x < R nei reali o nei complessi. Tale funzione risulta continua: Teorema 0.4 Sia R > 0. Allora la funzione f definita in ( 0.1 cippa è continua in ogni punto x 0 con x 0 < R. 1 Adottiamo qui la convenzione che R = 0 se il limite superiore è + ed R = + se il limite superiore è 0. 2 Si ricorda il criterio della radice per serie numeriche a n: se lim sup a n n 1 < 1 allora la serie a n converge assolutamente; se lim sup a n n 1 > 1 allora a n non converge.

3 3 Dimostrazione Fissiamo R 0 tale che x 0 < R 0 < R. Sia ε > 0. Essendo R 0 < R, esiste N (abbastanza grande tale che a n R0 n < ε/3. (0.2 trippa Il polinomio f(x := N 1 è, ovviamente, una funzione continua, quindi esiste a n x n 0 < δ < R 0 x 0 tale che, se x x 0 < δ, allora f(x f(x 0 < ε/3. Sia ora x x 0 < δ; osserviamo che inoltre, dalla triangolare, x x 0 + x x 0 < x 0 + δ < R 0, f(x f(x 0 f(x f(x 0 + < ε. Quindi la funzione f è continua in x 0. ε 3 + a n x n + ε 3 + a n R0 n + a n x n + a n x 0 n a n R0 n a n x n 0 Data la serie di potenze in ( 0.1 cippa con raggio di convergenza R > 0, e fissato un intero k 0, si chiama polinomio di Taylor di grado k, il seguente polinomio: Si ha che dove f(x = p k (x + x k+1 p k (x := n=k+1 g k (x := k a n x n. (0.3 taylor a n x n k 1 = p k (x + x k+1 g k (x, (0.4 focaccia a n+k+1 x n. Notiamo che quest ultima è anch essa una serie di potenze con lo stesso raggio di convergenza R. Dal Teorema 0.4 thm:continua segue che g k è una funzione continua per ogni x < R. Invece della ( 0.4 focaccia scriveremo spesso più brevemente f(x = p k (x + O(x k+1. (0.5 focaccia2 Notiamo che esiste finito il f(x p k (x lim x 0 x k+1 = a k+1. (0.6 suadente

4 4 La funzione esponenziale nel campo complesso Definiamo per z C, 1 k exp(z := z k k!. (0.7 es.edo.8.1 ( 1 Poiché lim sup k! = 0 si ha che il raggio di convergenza della serie esponenziale ( 0.7 es.edo.8.1 è infinito. Dal Teorema 0.4 thm:continua segue che exp(z è una funzione continua per ogni z C o z R. Notiamo anche che se x R allora exp(x R. Vale la regola di addizione per la funzione esponenziale complessa ossia: exp(z + w = exp(z exp(w z, w C. (0.8 s2.e1 Dimostriamo la ( 0.8. s2.e1 Fissiamo due numeri complessi z e w. Cominciamo col fissare n (abbastanza grande tale che 2n exp(z + w (z + w k < ε (0.9 pecorino k! e Notiamo che da ( 0.10 pecorino2 seguono exp(z Inoltre dalla ( 0.10 pecorino2 segue che z j < ε, n < ε, n exp(w < ε. (0.10 pecorino2 < ε. (0.11 pecorino3 n n exp(z exp(w ( n = z exp(z j n n exp(w + exp(w z j exp(w ε + ε = ( exp(w + exp( z ε (0.12 Dalla formula binomiale di Newton otteniamo 2n = (z + w k n k! n = 2n k n + w k j 2n (k j! = + 2n 2n k=j w k j 2n (k j! =,

5 5 da cui segue la stima 2n (z + w k k! n z j z j ( 0.10 pecorino2 n + + n 2n = n z j z j + 2n (exp( z + exp( w ε. (0.13 Dalla triangolare e da ( 0.9,( pecorino 0.12,( ricotta 0.13 s2.408 segue che exp(z + w exp(z exp(w ε + ( exp(w + exp( z ε + (exp( z + exp( w ε. Dall arbitrarietà di ε segue la ( 0.8. s2.e1 Da ( 0.8 s2.e1 e dal fatto che exp(0 = 1 segue immediatamente che exp( z exp(z = 1 ossia che Notiamo anche che 3 exp(z := lim [exp(z] 1 = exp( z, z C. (0.14 s2.e2 n z k k! = lim n z k k! = lim n z k := exp(z. (0.15 s2.e3 k! Prima di passare a discutere le funzioni trigonometriche consideriamo brevemente la funzione exp(x per x reali. Innanzitutto facciamo vedere che Da ( 0.8 s2.e1 si ha, per ogni numero intero positivo q, che ossia exp(x = e x x R. (0.16 s2.e5 ( 1 ( 1 exp exp = exp(1 := e, q q }{{} (0.17 s2.er1 q volte Da ( 0.17 s2.er1 e da ( 0.8, s2.e1 se p e q sono numeri interi positivi, ( p exp q ( 1 exp = e 1 q. (0.18 s2.er2 q ( 1 = exp q ( 1 exp q } {{ } p volte = e p q. (0.19 s2.er3 3 Si ricorda che il complesso coniugato di una somma di numeri complessi è uguale alla somma dei complessi coniugati; inoltre l operazione di complesso coniugato è continua sul campo dei complessi ossia se z n z allora z n z.

6 6 Le funzioni exp(x e e x sono continue su [0, e, per quanto appena visto, coincidono sul sottoinsieme denso (in [0, dei razionali positivi; quindi coincidono in tutto [0,. Se x < 0, da ( 0.14 s2.e2 segue che e x = exp( x = exp(x 1 = 1/e x e dunque exp(x = exp( x 1 = (e x 1 = e x, il che mostra la validità di ( 0.16 s2.e5 per ogni x R. Possiamo ora facilmente ridimostrare le proprietà fondamentali della funzione x R e x = exp(x: dalla definizione di exp(x segue che e x > 0 per x 0 e poiché, per x < 0, exp(x = 1/ exp( x = 1/ exp( x si ha che exp(x = e x > 0 x R. (0.20 s2.exp.p1 Per ogni intero positivo k e per ogni x > 0, e x > quindi xk+1 (k + 1!, dunque ex /x k > x/(k + 1! e e x lim x x k = e lim x e x x k = 0 k N. (0.21 s2.exp.p2 In vista della ( 0.16 s2.e5 è uso comune definire e z, per ogni z C, come exp(z. Dalle ( 0.3, taylor ( 0.6 suadente con k = 0 e ( 0.7 es.edo.8.1 segue il seguente limite notevole e x 1 lim = 1. (0.22 torrone x 0 x Consideriamo il rapporto incrementale della funzione e x in un punto x 0, ovvero Da ( 0.8, s2.e1 ( 0.22 torrone otteniamo subito che e x e x0 x x 0. e x e x0 e x x0 1 lim = e x0 lim = e x0 > 0. x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Ne segue subito che e x è una funzione strettamente crescente su tutto R. Funzioni trigonometriche def.s2.trig Definizione 0.5 Per ogni z C si pone cos z := ( 1 k z2k (2k!, sen z := ( 1 k z 2k+1. (0.23 s2.trig1 (2k + 1!

7 7 Come per l esponenziale si verifica immediatamente che il raggio di convergenza di tali serie è infinito. Inolte è immediato verificare che, per ogni z, w C e per ogni x R: cos x R, sen x R, (0.24 cos( z = cos z, sen ( z = sen z, (0.25 cos z = eiz + e iz, sen z = eiz e iz 2 2i, (0.26 e iz = cos z + i sen z (formula di Eulero, (0.27 Re e ix = cos x, Im e ix = sen x ; (0.28 sen (z + w = sen z cos w + cos z sen w, (0.29 cos(z + w = cos z cos w sen z sen w, (0.30 e ix 2 = cos 2 x + sen 2 x = 1, (0.31 sen x 1 cos x lim = 1, lim x 0 x x 0 x 2 = 1, 2 (limiti notevoli, (0.32 cos x cos x 0 sen x sen x 0 lim = sen x 0, lim = cos x 0. (0.33 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Le ( 0.24 s2.t1 e ( 0.25 s2.t1 seguono immediatamente dalla definizione 0.5; def.s2.trig la ( 0.26 s2.t2 segue addizionando le serie esponenziali (cosa possibile essendo tali serie assolutamente convergenti; la ( 0.27 s2.t4 segue da ( 0.26; s2.t2 la ( 0.28 s2.t4 segue da ( 0.27 s2.t4 e da ( 0.24; s2.t1 le ( 0.29 s2.t3 e ( 0.30 s2.t3 seguono da ( 0.26, s2.t2 ( 0.8 s2.e1 e ( 0.27; s2.t4 da ( 0.15 s2.e3 e ( 0.8 s2.e1 segue che e ix 2 = e ix (e ix = e ix e ix = e 0 = 1 ossia la ( 0.31; s2.t5 i limiti notevoli in ( 0.32 caccola seguono dalle ( 0.3, taylor ( 0.6 suadente con k = 0 e k = 1 rispettivamente e dalla ( 0.23; s2.trig1 la ( 0.33 s2.t6 segue dalle ( 0.29,( s2.t3 0.30,( s2.t caccola Possiamo ora dare una definizione analitica di pigreco, il cui valore numerico è π = , Sia A l insieme degli zeri positivi del coseno ossia A := {x > 0 : cos x = 0}. Tale insieme è non vuoto. Infatti il coseno è una funzione continua tale che cos 0 = 1 mentre cos 2 := ( 2 6 6! 28 8! < 1 3. dfn:pi Definizione 0.6 π = 2α 1 dove α 1 := inf A.

8 8 Da tale definizione seguono le seguenti ben (? note proprietà di periodicità e di simmetria delle funzioni seno e coseno: per ogni z C si ha: sen π 2 = 1, ei π 2 = i, e iπ = 1, e i2πk = 1 k Z, (0.34 e z+2πi = e z, cos(z + 2π = cos z, sen (z + 2π = sen z, (0.35 ( π ( π ( π ( π sen 2 + z = sen 2 z, cos 2 + z = cos 2 z, (0.36 sen (π + z = sen (π z, cos(π + z = cos(π z. (0.37 Notiamo subito che cos x > 0 per x [0, π/2 (come segue dalla definizione di π e da cos 0 = 1. Allora dal secondo limite in ( 0.33 s2.t6 segue che la funzione sen x è strettamente crescente in [0, π/2. Mostriamo ora la ( s2.t7 Infatti, essendo π/2 = α 1 uno zero del coseno, da ( 0.31 s2.t5 segue che sen (π/2 = ±1, d altra parte la funzione sen x, che vale 0 in 0 risulta strettamente crescente tra 0 e π/2 quindi sen (π/2 = 1; dunque e iπ/2 = i; da ( 0.8 s2.e1 segue ( che e iπ = e iπ/2 e iπ/2 = i 2 = 1, e 2πi = e iπ e iπ = 1, e 2πik = e 2πi k = 1 con il che abbiamo dimostrato la validità di ( s2.t7 Le ( 0.35, s2.t8 ( 0.36 s2.t9 e ( 0.37 s2.t9 seguono ora immediatamente da ( 0.34 s2.t7 e da ( 0.8 s2.e1 o da ( 0.29 s2.t3 e ( s2.t3 Si noti che da tali proprietà di periodicità, simmetria e monotonia seguono i ben noti (? grafici di sen x e cos x (per x R.