R 2 e i numeri complessi

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1 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 1 R e i numeri complessi 1. R come spazio vettoriale R, ossia l insieme delle coppie ordinate x, y con x e y in R è uno spazio vettoriale su R cioè è possibile definire la somma di due elementi o vettori di R ed il prodotto di un vettore x, y R con uno scalare a R: x 1, y 1 + x, y := x 1 + x, y 1 + y ax, y := ax, ay S P È immediato verificare che la somma in S è commutativa e associativa; l elemento neutro è 0 := 0, 0; per ogni vettore x, y R esiste l opposto x, y := x, y tale che x, y + x, y = 0; vale la proprietà distributiva.. Coordinate polari x, y R \{0}! r, t 0, [0, π tale che x = r cos t, y = r sen t ; 1 infatti: r := x + y cosicché x/r, y/r S 1 e t è l unico numero in [0, π tale che x/r, y/r = cos t, sen t. Definizione 1 Se z = x, y R \{0} e r, t 0, [0, π sono le sue coordinate polari, r prende il nome di norma di z, e si denota r := z, e t prende il nome di argomento principale di z e si denota con t = Arg z. 3. Prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy Schwartz Se z 1 = x 1, y 1 e z = x, y sono due elementi di R si definisce il loro prodotto scalare come z 1 z := x 1 x + y 1 y. È immediato verificare che il prodotto scalare è commutativo z 1 z = z z 1 ed è lineare in ogni componente a 1 z 1 + a z z 3 = a 1 z 1 z 3 + a z z 3, z i R, a i R, ed analogamente per la seconda componente. Osservazione i z z = z per ogni z = x, y R. ii Il prodotto scalare ha una semplice interpretazione geometrica. Siano z i := x i, y i 0 due vettori in R non nulli, e siano r i, t i le coordinate polari di z i. Dalle formule di addizione per il coseno otteniamo: z 1 z = r 1 cos t 1, sen t 1 r cos t, sen t = r 1 r cos t 1 cos t + sen t 1 sen t = r 1 r cost 1 t. 3

2 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre Da tale relazione segue in particolare la seguente disuguaglianza di Cauchy Schwartz: z 1 z z 1 z, z i R. 4 Si noti che se uno dei vettori z i è nullo tale disuguaglianza è ovviamente verificata col segno =. iii Vista la grande importanza della disuguaglianza di Cauchy Schwartz, ne diamo una seconda dimostrazione algebrica ossia che non fa uso delle funzioni trigonometriche. Riscriviamo la 4 ponendo z i = x i, y i : x 1 x + y 1 y x 1 + y 1 x + y. 5 Dividendo per r 1 r i termini nella 5 ed usando, si ha che 5 è equivalente a x 1, ȳ 1 x, ȳ 1 6 dove x i := x i /r i e ȳ i := y i /r i, cosicché x i, ȳ i S 1. Si osservi che, ab a + b, a, b R, 7 poiché tale relazione è equivalente alla relazione a b 0. Dunque, x 1, ȳ 1 x, ȳ x 1 x + ȳ 1 ȳ x 1 + x = x 1 + ȳ 1 + x + ȳ = 1. + ȳ 1 + ȳ 4. Disuguaglianza triangolare Per ogni z i := x i, y i R si ha z 1 + z z 1 + z. 8 Dimostrazione Elevando al quadrato e cancellando termini uguali si vede che la relazione 8 è equivalente a x 1 x + y 1 y x 1 + y 1 x + y, che è implicata immediatamente dalla disuguaglianza di Cauchy Schwartz Norma e distanza Dalla definizione di norma e dal punto 4 segue subito che la norma verifica le seguenti proprietà assiomi della norma : n 1 z 0, z R e z = 0 se e solo se z = 0 n az = a z, z R e a R n 3 z 1 + z z 1 + z, z i R Definizione 3 Se z 1 e z sono due elementi di R si definisce la distanza o distanza euclidea di z 1 da z il numero non negativo dz 1, z := z 1 z. 9

3 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 3 Dalle prorpietà della norma i iii segue immediatamente che la distanza verifica le seguenti proprietà assiomi della distanza : d 1 dz 1, z 0, z i R e dz 1, z = 0 se e solo se z 1 = z d dz 1, z = dz, z 1, z i R d 3 dz 1, z dz 1, z 3 + dz 3, z, z i R. 6. Il campo complesso Il campo complesso C è, per definizione, la terna R, +,, cioè R equipaggiato con due operazioni binarie, dette somma e prodotto complesso, definite come segue: x 1, y 1 + x, y := x 1 + x, y 1 + y x 1, y 1 x, y := x 1 x y 1 y, x 1 y + y 1 x Gli elementi di C sono, dunque, semplicemente coppie ordinate di numeri reali z = x, y. SC PC Osservazione 4 i Si noti che, mentre la somma complessa coincide con la somma S di R come spazio vettoriale vedi 1, il prodotto complesso è assai diverso sia dal prodotto in P in 1, che dal prodotto scalare : esso infatti è una operazione binaria da R in R : ad una coppia di vettori z 1 e z in R associa un terzo vettore z in R. ii La somma in SC è come già osservato in 1 commutativa e associativa; l elemento neutro è il vettore o numero complesso 0 := 0, 0; l opposto di z = x, y è z := x, y. Proposizione 5 i Il prodotto complesso è commutativo e associativo. ii L elemento neutro del prodotto complesso è 1 := 1, 0. iii Se z = x, y 0 il reciproco di z, denotato z 1 o 1/z è dato da x z 1 = x + y, y x + y. iv Vale la proprietà distributiva: z 1 z + z 3 = z 1 z + z 1 z 3, z i R. 10 Dimostrazione i La commutatività è ovvia. Per l associatività dobbiamo verificare che x 1, y 1 x, y x 3, y 3 = x 1, y 1 x, y x 3, y 3, 11 o anche, in vista della commutatività di, x 1, y 1 x, y x 3, y 3 = x 3, y 3 x, y x 1, y 1. 1 D altra parte, dalla definizione di * si ha che x 1, y 1 x, y x 3, y 3 = x 1 x y 1 y, x 1 y + y 1 x x 3, y 3 = x 1 x x 3 y 1 y x 3 x 1 y y 3 y 1 x y 3, x 1 x y 3 y 1 y y 3 + x 1 y x 3 + y 1 x x 3, che è simmetrica in 1 e 3 ossia scambiando gli indici 1 e 3 tra loro otteniamo lo stesso risultato e dunque 1 e quindi 11 è verificata. ii, iii e iv sono semplici verifiche dirette che seguono immediatamente dalla definizione di.

4 4 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre Osservazione 6 i Un campo X, +, è un insieme X dotato di due operazioni binarie + e tali che X, + è un gruppo commutativo 1 ; X\{0}, dove 0 è l elemento neutro di + è un gruppo commutativo ; vale la proprietà distributiva. Esempi di campi sono Q, R e C. ii 0, 1 := 0, 1 0, 1 = 1, 0 = 1, 0 = 1. Il numero complesso 0, 1 prende il nome di unità immaginaria. L esistenza di tale elemento è alla base della definizione di campo complesso. 7. R come sottoinsieme di C Sia j : x R jx := x, 0 C. 13 La funzione j, come è immediato verificare, è un isomorfismo di R su jr C, cioè j è iniettiva e conserva la somma e il prodotto con i rispettivi elementi neutri: jx + y = jx + jy, jxy = jx jy, j0 = 0 := 0, 0, j1 = 1 := 1, Tale isomorfismo permette di identificare R con jr identificando x R con jx C. Tele identificazione è consistente con le notazioni 0 = 0, 0 e 1 = 1, 0 per le unità additive e moltiplicative di C. Possiamo, ora, introdurre la notazione classica. Innanzitutto il prodotto z 1 z verrà denotato analogamente a quanto si fa in R semplicemente con z 1 z : analogamente le potenze verrranno denotate z n : e l unità immaginaria 0, 1 verrà denotata con i := 0, 1: z 1 z := z 1 z, z 1, z C ; 15 z n := z } {{ z }, z C ; 16 n volte 0 := 0, 0, 1 := 1, 0, i := 0, Dunque, tramite l identificazione di R con jr, scriveremo ogni numero complesso z = x, y come z = x + iy =: jx + 0, 1 jy = x, y Complesso coniugato e modulo Se z = x + iy C denotiamo con z C il suo complesso coniugato definito come il modulo di z è per definizione il numero non negativo z = x iy = x, y ; 19 z := x + y. 0 1 Ossia, per ogni x, y, z X vale: x + y = y + x; x + y + z = x + y + z; 0 X tale che x + 0 = 0 + x = x per ogni x X; per ogni x esiste x X tale che x + x = 0. Ossia, per ogni x, y, z X vale: x y = y x; x y z = x y z; 1 X tale che x 1 = 1 x = x per ogni x X; per ogni x esiste x 1 X tale che x x 1 = 1.

5 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 5 In vista dell identificazione fatta, abbiamo 3 Se = x j + iy j C, e, da 1, z z = z. 1 z 1 z = x 1 iy i x iy = x 1 x y 1 y ix 1 y + y 1 x = z 1 z, z 1 z = z 1 z z 1 z = z 1 z = z 1 z. 3 Dunque il prodotto complesso conserva sia il complesso coniugato che il modulo. Definizione 7 Dato z = x+iy chiameremo x la parte reale di z e y la parte immaginaria di z e scriveremo: x := Re x + iy, y = Im x + iy. 4 Dalla definizione di complesso coniugato seguono immediatamente le relazioni Re z = z + z, Im z = z z i Numeri complessi e coordinate polari Usando le coordinate polari in R, si ha che x + iy := x, y = rcos t + i sen t := rcos t, sen t dove r è il modulo di z e t := Argz è l argomento principale di z: r := z 1/ = x + y, t = Argz [0, π. 6 Il prodotto complesso ha una forma particolarmente semplice in coordinate polari: se = x j + iy j = r j cos t j + i sen t j C, si ha dunque z 1 z = r 1 r cos t 1 + i sen t 1 cos t + i sen t = r 1 r cos t 1 cos t sen t 1 sen t + icos t 1 sen t + sen t 1 cos t = r 1 r cost 1 + t + sen t 1 + t ; 7 z 1 z = z 1 z, argz 1 z = Argz 1 + Argz, 8 dove 4 argz 1 z := Argz 1 z + πk con k = [t 1 + t /π]. infine, il complesso coniugato corrisponde a cambiare segno all argomento di z: z := x + iy = r cos t + ir sen t = r cos t ir sen t = r cos t + i sen t Successioni e serie complesse La convergenza in C è una semplice generalizzazione della convergenza in R. 3 Nella notazione introdotta all inizio, avremmo z z = x, y x, y = x + y, 0. 4 In generale argz = Argz + πk per un qualche intero k Z.

6 6 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre Definizione 8 Una successione di numeri complessi {z n } = {x n + iy n } converge a z 0 = x 0 + iy 0 C, e scriveremo se e solo se z 0 z n oppure z n z 0, 30 ε > 0, N Z + tale che z n z 0 < ε, n N. 31 Osservazione 9 Poiché z n z 0 = x n x 0 + y n y 0 max{ x n x 0, y n y 0 } si ha che z n z 0 implica che le due successioni reali {x n } e {y n } convergono rispettivamente a x 0 e y 0 ; viceversa se x n x 0 e y 0 y 0, dai noti teoremi sui limiti di successioni in R, segue che la successione x n x 0 + y n y 0 0, cioè z n z 0. Dunque dire che z n z 0 è equivalente a dire che Re z n Re z 0 e Im z n Im z 0. Esempio 1. Consideriamo la successione z n = a n con a C. Se a < 1 e x n +iy n := z n = a n, allora max{ x n, y n } a n = a n 0, dunque, in tal caso lim a n = 0. Se a = 1, a n = 1. Se a > 1 allora lim a n a n = e quindi a n non converge. Anche nel caso in cui a S 1 \{1} si può dimostrare che z n non converge. Analogamente si trattano le serie complesse: dire che la serie z k converge equivale a dire che la successione converge e quindi, per quanto visto prima, equivale a dire che le due serie reali x k e yk convergono, dove x k + iy k = z k. In particolare, diremo che una serie z k converge assolutamente se converge la serie a termini positivi z k, in qual caso converge la serie 5 zk. Come nel caso reale il simbolo z k ha una certa ambiguità poiché denota sia la successione { n z k} sia, qualora la successione sia convergente, il suo limite. Infine, nel caso di assoluta convergenza come nel caso reale, si ha z k z k z k. 3 Esempio La serie geometrica. Sia Come nel caso reale, otteniamo w n := a k aw n = w n aw n = n+1 a k a k = 1 a n+1 5 Infatti, sia n x k che n y k sono maggiorate da n z k e dunque se z k converge assolutamente, convergono assolutamente anche le serie x k e y k e quindi le serie x k e y k convergeranno a due numeri reali x 0 e y 0 cosicché z k = x 0 + iy 0. k=1

7 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 7 e dunque, se a 1, si ha w n = 1 an+1 1 a e, in vista dell Esempio 1, se a < 1, otteniamo la formula nota nel caso reale della serie geometrica di ragione a: a k = 1 1 a 34, a C, a < La serie esponenziale in C La serie expz := z k 36 converge assolutamente e expz z k = e z. 37 Tale serie prende il nome di funzione esponenziale complessa ed è forse la funzione più importante della analisi matematica. Osserviamo che se t R, allora expit : n it k = cos t + i sen t, it k it k n 1 k! + it k+1 k + 1! i k t k k! + lim n 1 i 1 k tk k! + lim i n 1 i k t k+1 k + 1! 1 k t k+1 k + 1! tale formula, ossia expit = cos t + i sen t, t R, 38 prende il nome di formula di Eulero. La funzione expz sui reali ossia per z R coincide con e z e dunque se x e y sono reali si ha che expx + y = expx expy. Tale relazione vale anche nel caso complesso. Teorema 10 Teorema di addizione per l esponenziale complesso expz + w = expz expw, z, w C. 39

8 8 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre Dimostrazione Dalla formula del binomio di Newton che vale inalterata in C z + w k expz + w : dove Poiché lim w k ε n := il teorema è conseguenza dell identità 1 k k 0 j k n k=j j=1 lim n Per dimostrare la 41, osserviamo dapprima che k w k j j w k j k j! w k j k j! w k j k j! n j w k k=n j+1 n+1 n n = n + 1! n + 1! = w k w k = w k ε n. 40 w k = expz expw, lim ε n = n + 1 j! ; dunque per ogni coppia di interi non negativi la cui somma è n + 1 si ha 1 1 n+1, j, k N tali che k + j = n n + 1! Ora, se R max{ z, w }, dalla 4, osservando che j + k = n + 1 nel termine di destra della 40, si ha che n ε n R n Rn+1 1 Rn+1 n, n + 1! n + 1! j=1 k=n j+1 che, per n che tende a, tende a zero. j=1 k=n j+1

9 L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 9 Osservazione 11 i Poiché la funzione expz estende al campo complesso la funzione x R e x estendendo anche la relazione 39 a tutto C, si pone e z := expz, z C. 43 ii Grazie al teorema di addizione e alla formula di Eulero si ha, per ogni z = x + iy C, e z = e x+iy = e x e iy = e x cos y + i sen y 44 e dunque Re e z = e x cos y, Im e z = e x sen y. 45 iii Dalla formula di Eulero e dal teorema di addizione segue immediatamente che se s e t sono reali, allora cost + s + i sen t + s = e it+s = e it e is = cos t + i sen tcos s + i sen s = cos t cos s sen t sen s + i sen t cos s + cos t sen s, relazione che fornisce una nuova prova delle formule di addizione per il seno ed il coseno.