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1 1 2 Avvertenze Matematica Discreta (elementi) E-O CdL Informatica 3 dicembre 2003 Queste fotocopie sono distribuite solo come indicazione degli argomenti svolti a lezione e NON sostituiscono in alcun modo il libro di testo: A. Facchini, Algebra e matematica discreta, Decibel Zanichelli Marina Cazzola (marina@matapp.unimib.it) Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca Al libro di testo si rimanda per l effettivo svolgimento degli argomenti (e per la rettifica di eventuali errori contenuti in queste pagine). Matematica Discreta (elementi) E-O p. 1 Matematica Discreta (elementi) E-O p Gruppi Strutture algebriche Un monoide in cui ogni elemento è invertibile è detto gruppo In altre parole Definizione La struttura algebrica (A, ) dotata di una operazione è detta gruppo se è una operazione in A è associativa u A a A a A b A a u = u a = a a b = b a = u Matematica Discreta (elementi) E-O p. 3 Matematica Discreta (elementi) E-O p (N, +) non è un gruppo l unico elemento invertibile in N è 0 is03/ (Z, +) è un gruppo per ogni a Z esiste l elemento a per cui si ha a + ( a) = 0 nel caso di operazione di somma, come in questo caso, si preferisce il termine opposto al termine inverso (Z, ) non è un gruppo gli unici elementi invertibili in (Z, ) sono 1 e 1 per gli elementi di Z in genere il termine invertibile sottointende rispetto al prodotto Matematica Discreta (elementi) E-O p. 5 is03/ (Z n, +) è un gruppo per ogni [a] n Z n esiste l elemento [ a] n per cui si ha [a] n + [ a] n = [0] n anche in questo caso si preferisce il termine opposto al termine inverso (Z n, )? (A A, )? Quali sono gli elementi invertibili di (Z n, ) e di (A A, )? Matematica Discreta (elementi) E-O p. 6 7 Elementi invertibili di (A A, ) 8 Elementi invertibili di (A A, ) is03/ Per definizione σ A A è invertibile se e solo se esiste τ A A tale che σ τ = τ σ = id Osserviamo che id : a a è una applicazione biunivoca, e quindi τ σ = id implica che σ è iniettiva σ τ = id implica che σ è suriettiva Possiamo concludere che condizione necessaria affinchè σ sia invertibile è che σ sia biunivoca Matematica Discreta (elementi) E-O p. 7 is03/ Viceversa abbiamo visto (22 ottobre 2003) che se σ è una applicazione biunivoca di A in A allora esiste una applicazione biunivoca τ di A in A tale che per ogni a,b A si ha a = σ(b) b = τ(a) È immediato verificare che τ σ = σ τ = id In altre parole Proposizione Una applicazione di A in A è invertibile rispetto a se e solo se è biunivoca. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 8

2 9 Esercizi 10 Per un n fissato, determinare gli elementi invertibili di Z n si tratta di individuare quelle classi [a] n per le quali è possibile determinare una classe [b] n tale che [a] n [b] n = [1] n anche per Z n il termine invertibile in genere sottointende rispetto al prodotto (per l operazione di somma si preferisce il termine opposto ) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 9 L elemento [a] n Z n è invertibile in (Z n, ) se e solo se è possibile determinare una classe [b] n tale che cioè se e solo se cioè se e solo se [a] n [b] n = [1] n [a b] n = [1] n ab 1 (mod n) Prima di proseguire analizziamo il problema più in generale: dati a e c Z è possibile determinare b Z tale che ab c (mod n)? Matematica Discreta (elementi) E-O p Congruenze lineari 12 Dati a,b Z l equazione ax b (mod n) (nell incognita x Z) è detta congruenza lineare. È possibile determinare un tale x Z se e solo se esiste k Z tale che ovvero ax = b +kn ax kn = b Matematica Discreta (elementi) E-O p. 11 is03/ Dobbiamo a questo punto ricordare alcune cose viste a esercitazione dati due interi a e b (non entrambi nulli) tramite l algoritmo euclideo delle divisioni successive è possibile determinare un massimo comun divisore d di a e b il massimo comun divisore di a e b così determinato è sempre positivo l algoritmo delle divisioni successive permette anche di determinare due interi x e y tali che (identità di Bezout) ax+by = d Matematica Discreta (elementi) E-O p Equazioni diofantee 14 Congruenze lineari dati a,b,c Z l equazione is03/ ax +by = c ha soluzioni in Z se e solo se MCD (a,b) c una soluzione particolare x 0,y 0 è determinabile tramite l identità di Bezout una volta determinata una soluzione particolare, tutte e sole le soluzioni sono gli interi della forma b x = x 0 + MCD (a,b) k y = y a 0 MCD (a,b) k dove k è un qualsiasi numero intero. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 13 Dati a,b Z la congruenza lineare is03/ a x b (mod n) (nell incognita x Z) è equivalente all equazione diofantea (nelle incognite x e k Z) ax kn = b Ha quindi soluzioni se e solo se MCD (a,n) b L identità di Bezout ci permette di determinare esplicitamente una soluzione particolare (x 0,k 0 ), dalla quale ricavare tutte le possibili soluzioni. Matematica Discreta (elementi) E-O p Applicando la definizione, un elemento [a] n è invertibile in (Z n, ) se e solo se esiste una classe [x] n tale che is03/ questo significa ovvero [a] n [x] n = [1] n [a x] n = [1] n a x 1 (mod n) congruenza che è risolubile se e solo se MCD (a,n) 1 quindi [a] n è invertibile in (Z n, ) se e solo se MCD (a,n) = 1. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 15 Esercizio L elemento [2583] 4712 è invertibile in Z 4712? is03/ Osserviamo che in questo caso il termine invertibile sottointende rispetto al prodotto [2583] 4712 è invertibile in Z 4712 se e solo se MCD (2583,4712) 1 Utilizziamo l algoritmo delle divisioni successive per determinare MCD (2583,4712) 141 = = = = = = = = = = = Matematica Discreta (elementi) E-O p =

3 = = = = = = = = = = = = = = 3 1 (14 4 3) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 17 is03/ 1 = 3 1 (14 4 3) = = 5 ( ) 1 14 = = ( ) = = ( ) = = ( ) = =... = Possiamo rileggere l ultima eguaglianza modulo [1] 4712 = [1671] 4712 [2583] [0] 4712 Matematica Discreta (elementi) E-O p Esercizi Abbiamo quindi ottenuto che [2583] 4712 è invertibile in (Z 4712, ) In N N si consideri la relazione di equivalenza definita ponendo is03/ l inverso di [2583] 4712 è [1671] 4712 Quando il modulo è più piccolo si possono fare i conti più velocemente: Quali sono gli elementi invertibili di (Z 5, )? [1] 5, [2] 5, [3] 5, [4] 5 Quali sono gli elementi invertibili di (Z 6, )? [1] 6, [5] 6 Esercizio Negli esempi determinare esplicitamente gli inversi degli elementi invertibili. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 19 is03/ (a 1,a 2 ) (b 1,b 2 ) se e solo se a 1 +b 2 = a 2 +b 1 Si consideri quindi l insieme quoziente (N N). in (N N) la somma [(a 1,a 2 )] + [(b 1,b 2 )] = [(a 1 +b 1,a 2 +b 2 )] è ben definita ( (N N), + ) è un gruppo Matematica Discreta (elementi) E-O p Esercizi 22 Anelli In Z (Z \ {0}) si consideri la relazione di equivalenza definita ponendo is03/ (a 1,a 2 ) (b 1,b 2 ) se e solo se a 1 b 2 = a 2 b 1 Si consideri quindi l insieme quoziente (Z (Z \ {0})). in (Z (Z \ {0})) il prodotto [(a 1,a 2 )] + [(b 1,b 2 )] = [(a 1 b 2 +b 1 a 2,a 2 b 2 )] è ben definito ( (Z (Z \ {0})), + ) è un gruppo? Suggerimento scrivere la coppia (a 1,a 2 ) come frazione a 1 /a 2 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 21 Un anello è una struttura algebrica con due operazioni (A, +, ), tale che is03/ (A, +) è un gruppo abeliano (A, ) è un semigruppo le operazioni + e si comportano bene l una rispetto all altra, nel senso che per ogni a,b,c A si ha a (b +c) = (a b) + (a c) (a +b) c = (a c) + (b c) (proprietà distributive di + rispetto a ) L operazione + è chiamata somma di A mentre l operazione è chiamata prodotto di A Matematica Discreta (elementi) E-O p Nomenclatura 24 Nomenclatura Ricordiamo che dire che (A, +) è un gruppo abeliano significa chiedere che + è una operazione in A, ovvero per ogni coppia di elementi a, b di A è univocamente determinata a +b A a,b,c A (a +b) +c = a + (b +c) is03/ u A a A a +u = u +a = a in questo caso u è chiamata zero di A ed è spesso indicata con il simbolo 0 A o 0 a A b A a +b = b +a = 0 tale elemento b (che dipende da a) è detto opposto di a ed è indicato con il simbolo a a,b A a +b = b +a Matematica Discreta (elementi) E-O p. 23 Dire che (A, ) sia un semigruppo significa chiedere che is03/ è una operazione in A, ovvero per ogni coppia di elementi a, b di A è univocamente determinato a b A a,b,c A (a b) c = a (b c) OSSERVAZIONE Alcuni testi nella definizione di anello chiedono che (A, ) abbia la struttura di monoide cioè è richiesto che u A a A a u = u a = a Noi diremo che A è un anello con unità o anello con identità. In questo caso tale u è chiamata uno di A ed è indicata con il simbolo 1 A o 1 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 24

4 25 Esercizio 26 Esercizio Il libro di testo, nella definizione, chiede che se un anello A ammetta unità 1 si abbia che 1 = 0. Omettendo questa clausola, ovvero si accettando che 1 possa coincidere con 0, dare un esempio di anello in cui 0 = 1. Sia X un insieme. Nell insieme delle parti P(X) sono definite le due operazioni e. (P(X),, ) è un anello? È dotato di unità? (P(X),, ) è un anello? È dotato di unità? Matematica Discreta (elementi) E-O p. 25 Matematica Discreta (elementi) E-O p Anelli con unità 28 Sia (A, +, ) un anello con unità utilizziamo espressamente la notazione (A, +,, 1) a indicare che 1 è tale unità ha senso analizzare l invertibilità degli elementi di A anche rispetto al prodotto osserviamo che tutti gli elementi sono invertibili rispetto alla somma, quindi la domanda quali elementi di A sono invertibili rispetto alla somma non ha alcun senso. Definizione In un anello con unità (A, +, ) diremo che a A è invertibile b A a b = b a = 1 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 27 (Z, +, ) è un anello commutativo con unità il numero 1 anello commutativo significa che è commutativa (+ è sempre commutativa) gli unici elementi invertibili dell anello Z sono 1 e 1 is03/ (Q, +, ) è un anello commutativo con unità 1 tutti gli elementi a b = 0 sono invertibili: a b ba = 1 (R, +, ) è un anello commutativo con unità 1 ogni elemento non nullo è invertibile ad esempio 2 è invertibile con inverso 1 = Matematica Discreta (elementi) E-O p is03/ Si può dimostrare che in un anello (A, +, ) l elemento 0 non è invertibile. Questo dipende dal fatto che si può dimostrare che b A 0 b = 0, da cui b A 0 b = 0 = 1 Relativamente alla ricerca di elementi invertibili, osserviamo quindi che Q e R hanno il massimo di elementi invertibili possibile. Questa osservazione detta la seguente definizione Definizione Un campo è un anello commutativo con unità in cui ogni elemento non nullo è invertibile. Sono campi: is03/ (Q, +, ) (R, +, ) (C, +, ) (Z n, +, )? [a] n è invertibile in (Z n, +, ) se e soltanto se MCD (a,n) = 1 in Z 5 tutti gli elementi, eccetto [0] 5, sono invertibili in Z 6 gli unici elementi invertibili sono [1] 6 e [5] 6 (Z n, +, ) è un campo se e soltanto se n è un Matematica Discreta (elementi) E-O p. 29 numero primo Matematica Discreta (elementi) E-O p Divisori dello zero is03/ Prima di passare alla dimostrazione, ci conviene osservare che in un anello ci sono elementi che hanno un comportamento peculiare in Z 6 le classi [4] 6 e [3] 6 sono elementi non nulli, ma il loro prodotto è nullo [4] 6 [3] 6 = [12] 6 = [0] 6 questo ha come conseguenza il fatto che non valgono leggi di cancellazione: da non segue [4] 6 [3] 6 = [2] 6 [3] 6 [4] 6 = [2] 6 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 31 Definizione In un anello (A, +, ) un elemento a A è detto divisore dello zero se a = 0 e se esiste un elemento b A, b = 0 tale che is03/ a b = 0 b a = 0 Osserviamo che se a è un elemento invertibile di (A, +, ) allora a non è un divisore dello zero di A. Dimostrazione Se a è invertibile, allora esiste a 0 tale che a a 0 = a 0 a = 1. Ma allora qualunque sia b A si ha a b = 0 implica a 0 (a b) = a 0 0 = 0 da cui 0 = a 0 (a b) = (a 0 a) b = 1 b = b. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 32

5 33 34 Proposizione (Z n, +, ) è un campo se e soltanto se n è un numero primo Dimostrazione Se n non è un numero primo, allora n = a b con a e b diversi da ±1 e da ±n. Ma allora [a] n [b] n = [n] n = [0] n Quindi [a] n e [b] n, essendo divisori dello zero, non sono invertibili, e Z n non è un campo. Viceversa, se n è un numero primo, allora qualunque sia a Z si ha che { 1 se n a MCD (a,n) = n se n a Matematica Discreta (elementi) E-O p. 33 In altre parole { 1 se [a]n = [0] MCD (a,n) = n n se [a] n = [0] n Cioè [a] n è invertibile se e solo se [a] n = [0] n. Esercizio Per ogni n, si indichi con Z n l insieme degli elementi invertibili di Z n. Mostrare che (Z n, ) è un gruppo. Suggerimento: dal momento che la proprietà associativa vale in (Z n, ), allora deve valere anche in un qualsiasi sottoinsieme di Z n, etc. Quali sono i punti della definizione che vanno effettivamente verificati? Matematica Discreta (elementi) E-O p Funzione φ di Eulero 36 Funzione φ di Eulero Definizione L applicazione che ad ogni intero n associa il numero di elementi invertibili di Z n è detta funzione φ di Eulero Se con Z n denotiamo l insieme degli elementi invertibili di Z n, allora φ : n Z n Abbiamo visto che, se p è un numero primo, allora ogni elemento non nullo di Z p è invertibile, ovvero Z p = Z p \ { } [0] p e quindi φ(p) = p 1 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 35 Proposizione Se MCD (m,n) = 1, allora φ(m n) = φ(m) φ(n) Se p è un numero primo e k un qualsiasi intero maggiore o uguale a 1, allora φ(p k ) = p k p k 1 Osserviamo che È proprio lo studio astratto della struttura algebrica dei gruppi (Z n, ) che ci permette di mostrare queste proprietà Grazie a queste proprietà siamo in grado di calcolare il valore di φ(n), qualunque sia n, pur di essere in grado di scomporre n in fattori primi. Matematica Discreta (elementi) E-O p Scomposizione in fattori primi 38 Teorema di Eulero-Fermat is03/ Dal punto di vista computazionale la scomposizione in fattori primi è un problema difficile. Esercizio Scomporre in fattori primi il numero La funzione di Eulero ha una importante proprietà Teorema di Eulero-Fermat Se MCD (a,n) = 1, allora a φ(n) 1 (mod n) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 37 Un buon riferimento sul Teorema di Eulero-Fermat e sulle possibili applicazioni in crittografia è L. Childs, Algebra un introduzione concreta, ETS Editrice Childs lo chiama Teorema di Eulero, p. 102 Le principali applicazioni sono i test di primalità, Childs p. 235 is03/ Se p è un numero primo, il Teorema di EF si può enunciare nella forma (Piccolo Teorema di Fermat) se p a allora a p 1 1 (mod p) che equivale a dire che qualunque sia a Z a p a (mod p) (questa è la forma del PTF riportata da Facchini, Matematica Discreta (elementi) E-O p. 38 p. 392) 39 Test di primalità 40 Test di primalità is03/ Dal punto di vista computazionale i due seguenti problemi sono differenti Scomporre in fattori primi il numero Stabilire se è primo il numero Un test di primalità per n è una condizione necessaria perché n sia un numero primo Ad esempio, condizione necessaria perché n sia primo è che per ogni 0 < a < n si abbia a n 1 1 (mod n) is03/ La fallibilità di un test di primalità sta nel fatto che si tratta di condizioni necessarie, ma non sufficienti. Sono necessari studi probabilistici per dare una stima dell affidabilità del test (di quanto la condizione necessaria è distante dall essere anche sufficiente). I sistemi di crittografia moderni si basano sul fatto che la scomposizione in numeri primi sia un problema difficile dal punto di vista computazionale. Matematica Discreta (elementi) E-O p. 39 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 40

6 41 42 Relazioni d ordine Insiemi (parzialmente) ordinati Dato un insieme A, una relazione su A è detta relazione di ordine o semplicemente ordinamento su A se è riflessiva antisimmetrica transitiva ovvero se a A a a a,b A ( a b b a ) a = b a,b,c A (a b b c) (a c) Matematica Discreta (elementi) E-O p. 41 Matematica Discreta (elementi) E-O p. 42