M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE

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1 M.P. Cavaliere ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA MATEMATICA DISCRETA STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione di funzione, un operazione associa a ogni coppia ordinata (a, b) A A un elemento dia, se indichiamo con tale operazione, invece di ((a, b)) scriveremo a b, cioè: : A A A (a, b) a b Un operazione si dice: associativa se (a b) c = a (b c) a, b, c A commutativa se a b = b a a, b A 1. L addizione + e la moltiplicazione sono operazioni nell insieme dei numeri interi associative e commutative. 2. La composizione di applicazioni, nell insieme delle applicazioni da un insieme A in se stesso, è associativa. 3. La composizione di applicazioni, nell insieme delle applicazioni da N in se stesso, non è commutativa. Per esempio siano f : N N e g : N N cosí definite: f(n) = n 2, g(n) = n + 1; allora (f g)(n) = (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1 (g f)(n) = n La sottrazione nell insieme dei numeri interi non è né associativa né commutativa, infatti per esempio (5 3) 1 = 1 5 (3 1) = 3 e 5 1 = = 4. Un insieme A nel quale siano definite una o piú operazioni si dice struttura algebrica. Gruppi Un insieme G con una operazione : G G G si dice gruppo se: (1) è associativa; (2) c è un elemento neutro e per, cioè e G tale che g e = e g = g, g G; (3) ogni elemento ha un inverso (opposto se l operazione è l addizione), cioè g G g G tale che g g = g g = e. 1

2 2 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA Un gruppo si dice commutativo (o abeliano) se l operazione è commutativa. Proprietà: 1. Vale la legge di cancellazione (o regola di semplificazione), cioè: a b = a c = b = c Infatti poiché a tale che a a = e, moltiplicando per a si ottiene a (a b) = a (a c) e per la proprietà associativa si ha (a a) b = (a a) c, cioè b = e b = e c = c. 2. L inverso è unico. Infatti se a a = a a = e e a b = b a = e, si ha b = b e = b (a a ) = (b a) a = e a = a. 3. L inverso dell inverso di a è a. Infatti a è l unico elemento tale che a a = a a = e, quindi (a ) = a. Queste regole ci dicono che in un gruppo ogni equazione di primo grado a x = b oppure x a = b ha soluzione Se il gruppo non è commutativo a x = b e x a = b possono avere soluzioni diverse. Infatti moltiplicando per l inverso a di a si ottiene nel primo caso x = a b, nel secondo x = b a. Da tutto ciò risulta che nella tabellina del gruppo su ogni riga e colonna devono comparire tutti gli elementi del gruppo e una volta sola. Si vede quindi facilmente che (a meno di scambiare il nome degli elementi) per i gruppi di 2 o 3 elementi c e una sola tabellina possibile, mentre per quelli di 4 elementi ce ne sono due. 1. L insieme dei numeri naturali N con l addizione + non è un gruppo, infatti + è associativa e commutativa, 0 è l elemento neutro, ma n > 0 non c è l opposto. Analogamente N con la moltiplicazione non è un gruppo perchè è associativa e commutativa, 1 è l elemento neutro, ma n 1 non c è l inverso. 2. L insieme dei numeri interi Z con l addizione + è un gruppo commutativo, infatti + è associativa e commutativa, 0 è l elemento neutro e a Z a tale che a + ( a) = ( a) + a = 0. Invece Z con la moltiplicazione non è un gruppo perchè è associativa e commutativa, 1 è l elemento neutro, ma gli unici elementi che hanno inverso sono 1 e L insieme { 1, 1} Z con la moltiplicazione è un gruppo commutativo, infatti è associativa e commutativa, 1 è l elemento neutro e ogni elemento è l inverso di se stesso. 4. L insieme Q = Q\{0} con la moltiplicazione è un gruppo commutativo, infatti è associativa e commutativa, 1 è l elemento neutro e a b Q b a tale che a b b a = Sia A = {1, 2, 3}. L insieme S 3 delle applicazioni bigettive di A in A con la composizione di applicazioni è un gruppo con 6 elementi, detto gruppo delle permutazioni di 3 elementi: i : A A σ : A A σ 2 : A A τ 1 : A A τ 2 : A A τ 3 : A A

3 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA 3 Infatti è associativa, l elemento neutro è f 1, l inversa di f 4 è f 6 e f 1, f 2, f 3, f 5 sono ognuna l inversa di se stessa. S 3 non è commutativo perché f 2 f 3 f 3 f 2, infatti f 2 (f 3 (1)) = f 2 (2) = 3, mentre f 3 (f 2 (1)) = f 3 (1) = 2. Una permutazione f può anche essere denotata ( ) σ = ( ) 1 2 3, per esempio f(1) f(2) f(3) Se G con l operazione, L con l operazione sono due gruppi, il prodotto cartesiano G L con l operazione definita da (a, b) (c, d) = (a c, b d) è un gruppo con elemento neutro (e G, e L ). Infatti si vede facilmente che è associativa e che ogni elemento (a, b) ha inverso (a, b) = (a, b ) dove si denota l inverso nel rispettivo gruppo. In particolare se L = G il gruppo G G si denota G 2. Analogamente si definiscono G 3 e piú in generale G n. Un gruppo G si dice ciclico se esiste un suo elemento g tale che x G n Z tale che x = g n, dove con g n si intende g g g n volte se n 0 oppure g g g n volte se n < 0. Tale g si dice generatore di G. Per esempio Z è ciclico generato da 1, infatti ogni numero intero n è somma di n copie di 1 o di 1 a seconda del segno di n. Z 2 non è ciclico, infatti comunque scegliamo un elemento (a, b) esso non può generare tutti gli elementi di Z 2 perché per esempio l elemento (a, b) n(a, b) n Z, a meno che a = 0 oppure b = 0, ma allora non si ottengono gli elementi con entrambe le componenti non nulle. Sottogruppi Un sottoinsieme H del gruppo G si dirà un sottogruppo di G se H è un gruppo rispetto all operazione (che chiameremo ancora * ) indotta su H da quella di G. Ciò significa che e H, a b H a, b H, a H a H o equivalentemente a b H a, b H. 1. L insieme dei numeri pari P = {2n n Z } è un sottogruppo di Z. Infatti 2n 2m = 2(n m) P, mentre l insieme dei numeri dispari D = {2n + 1 n Z } non è un sottogruppo di Z. Infatti 2n + 1 (2m + 1) = 2(n m) / D. 2. Z è un sottogruppo di Q. 3. L insieme {1, 1} è un sottogruppo del gruppo moltiplicativo Q. 4. L insieme {i, σ, σ 2 } è un sottogruppo ciclico di S 3, e anche gli insiemi {i 1 }, {i 2 }, {i 3 }, mentre non sono sottogruppi gli insiemi {τ 1 2 } (perché non contiene l elemento neutro i) e {i 1 2 } (perché τ 1 τ 2 = σ / {i 1 2 }). Scrivere per esercizio le tabelline di questi sottogruppi. Esercizi: 1. Dire quali dei seguenti sottoinsiemi di Z 2 sono sottogruppi: H 1 = {(x, y) x + y = 1} H 2 = {(x, y) x + y = 0} H 3 = {(x, y) xy = 0} H 4 = {(t, t) t Z} H 5 = {(t, t 2 ) t Z}. 2. Sia ( S 4 il gruppo ) delle permutazioni di 4 elementi e siano i l applicazione identica, σ =. Provare che {i, σ} non è un sottogruppo di S e determinare il piú piccolo sottogruppo H tale che σ H, calcolarne l ordine e scriverne la tabella moltiplicativa. 3. Sia ( S 4 il gruppo) delle permutazioni ( di) 4 elementi ( e siano i ) l applicazione identica, τ 1 = = =

4 4 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA Provare che L = {i } è un sottogruppo di S 4 e scriverne la tabellina. 4. Siano g un gruppo e H e K due suoi sottogruppi. Provare che H K è un sottogruppo, mentre H K lo è solo se uno dei due sottogruppi è contenuto nell altro. Omomorfismi di gruppi Se G,, e e L,, u sono due gruppi diciamo che una applicazione f : G L è un omomorfismo di gruppi) se rispetta le operazioni, cioè se f(a 1 a 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ), a 1, a 2 G. Se inoltre f è bigettiva, f si dice isomorfismo, G e L si dicono isomorfi e si scrive G L. Si vede facilmente che: a) f(e) = u, infatti a G si ha f(e) f(a) = f(e a) = f(a) = u f(a), da cui per la legge di cancellazione in L si ottiene f(e) = u. b) f(a ) = f(a), a G. Infatti f(a) f(a ) = f(a a ) f(e) = u e analogamente f(a ) f(a) = u e dunque la tesi. 1. L applicazione f : G L definita da f(a) = u, a G è un omomorfismo di gruppi, mentre se si fissa un elemento b 0 u di L e si definisce h(a) = b 0, a G, questo non è un omomorfismo perchè h(e) u. 2. L applicazione identica i G : G G è un isomorfismo di gruppi. 3. f : Z Z definita da f(a) = 3a è un isomorfismo di gruppi. Infatti f(a + b) = 3(a + b) = 3a + 3b = f(a) + f(b). Si vede facilmente che f è bigettivo. 4. f : Z Z definita da f(a) = 3a+1 non è un omomorfismo di gruppi perché f(0) = f : Z Z definita da f(a) = a 2 non è un omomorfismo di gruppi perché f(1 + 1) = f(2) = 4 f(1) + f(1) = Sia G il gruppo moltiplicativo {e = (1, 1), g 1 = (1, 1), g 2 = ( 1, 1), g 3 = ( 1, 1)}. Allora G è isomorfo al sottoguppo di S 4 visto nell esercizio 3 precedente: { ( ) ( ) ( ) ( )} L = i = = = = Basta infatti porre f(e) = i, f(g j ) = τ j j = 1, 2, 3. Data f : G L abbiamo già definito l immagine di f come l insieme: Imf = f(g) = {y L x G, f(x) = y}. Se f è un omomorfismo, Imf è un sottogruppo di G (infatti comunque si scelgano due elementi y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ) in Imf si ha y 1 y 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) = f(x 1 x 2 ) Imf). Ricordiamo che f è surgettiva se e solo se Imf = L. Se f : G L è un omomorfismo, definiamo nucleo di f, l insieme degli elementi controimmagine di u: Kerf = f 1 (u) = {x G f(x) = u}. È chiaro che e Kerf, inoltre Kerf è un sottogruppo di G perché se a, b Kerf allora f(a b ) = f(a) f(b) = u u = u e quindi a b Kerf.

5 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA 5 Teorema. Un omomorfismo f : G L è iniettivo se e solo se Kerf = {e}. Dimostrazione. Se f è iniettiva allora Kerf = {e}, altrimenti due elementi distinti avrebbero immagine u. Viceversa se Kerf = {e} e se f(x 1 ) = f(x 2 ), allora u = f(x 1 ) f(x 2 ) = f(x 1 x 2 ) e quindi x 1 x 2 Kerf = {e}, da cui x 1 x 2 = e, quindi x 1 = x 2 e dunque f è iniettiva. Proposizione. Se f : G L è un omomorfismo e se y 0 L e x 0 f(x 0 ) = y 0 allora: f 1 (y 0 ) = x 0 Kerf = {x 0 z z Kerf}. G sono tali che Dimostrazione. È immediato che f 1 (y 0 ) x 0 Kerf. Infatti comunque si scelga z Kerf si ha f(x 0 z) = f(x 0 ) f(z) = y 0 u = y 0. Viceversa se t f 1 (y 0 ) allora f(t) = y 0, cioè f(t) = f(x 0 ), da cui si ottiene u = f(x 0 ) f(t) = f(x 0 t) e quindi x 0 t = z Kerf, ossia t = x 0 z e dunque f 1 (y 0 ) x 0 Kerf. 1. Sia f : Z 2 Z definita da f(a, b) = a. Poiché f(a, b) + f(c, d) = a + c = f(a + c, b + d) si ha che f è un omomorfismo di gruppi additivi. Kerf = {(a, b) Z 2 f(a, b) = 0} = {(0, b) b Z}. Se vogliamo calcolare f 1 (2), sapendo che f(2, 0) = 2 otteniamo f 1 (2) = (2, 0) + Kerf = {(2, b) b Z}. 2. Sia f : Z Z 2 definita da f(a) = (a, 0). Verificare per esercizio che f è un omomorfismo di gruppi additivi. Kerf = {a Z f(a) = (0, 0)} = {0}, quindi f è iniettivo. 3. Sia f : Q Q definito da f(x) = x, dove con x si indica il valore assoluto di x. Poichè xy = x y si ha che f è un omomorfismo di gruppi moltiplicativi. Risulta Kerf = {x Q f(x) = 1} = {1, 1}. Anelli Un insieme A con due operazioni + e si dice anello se: (1) A con la somma + è un gruppo commutativo; (2) Il prodotto è associativo; (3) vale la proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto, cioè (a + b)c = ac + bc e a(b + c) = ab + ac Inoltre A si dice anello commutativo se il prodotto è commutativo; A si dice anello con identità (o con 1) se in A c è un identità moltiplicativa, che denoteremo appunto 1 (o 1 A in caso di ambiguità). Proprietà: 1. a0 = 0b = 0. Infatti a + a0 = a(1 + 0) = a1 = a + 0 e per la legge di cancellazione a0 = 0; il caso 0b=0 è analogo. 2. ( a)b = ab = a( b) Infatti ( a)b + ab = ( a + a)b = 0b = 0 e a( b) + ab = a(b b) = a0 = ( a)( b) = ab Infatti ( a)( b) = (a( b)) = ( ab) = ab. Non è detto che se ab = 0 allora a = 0 oppure b = 0. Un anello A si dice integro se ab = 0 a = 0 oppure b = 0.

6 6 ELEMENTI DI MATEMATICA E LOGICA 1. L insieme dei numeri interi Z con l addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con identità, integro. 2. Se A è un anello, l insieme F A = {f : A A} delle funzioni di A in A con le operazioni + e cosí definite : (f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f g)(x) = f(x)g(x) è un anello commutativo con identità, non integro. Verificare che F A con la somma definita sopra e con la composizione di funzioni come moltiplicazione non è un anello perché non vale la proprietà distributiva. 3. Se A è un anello, possiamo considerare l insieme A[X] dei polinomi f(x) = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n dove a 0, a 1,..., a n A sono detti coefficienti del polinomio e X indeterminata. Se a n 0 si dice che il polinomio f(x) ha grado n e si scrive δf(x) = n, in tal caso a n si dice coefficiente direttivo di f(x). Dati due polinomi a coefficienti in un anello A, f(x) = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n e g(x) = b 0 + b 1 X + b 2 X b s X s, possiamo definire una somma e un prodotto nel modo seguente: f(x) + g(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )X + (a 2 + b 2 )X (a i + b i )X i +... f(x)g(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )X + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )X ( i j=0 a jb i j )X i +... Con tali operazioni A[X] diventa un anello, integro se A è integro. Osserviamo che il grado della somma di due polinomi è minore o uguale al massimo tra i due gradi. Il grado può diminuire se f e g hanno lo stesso grado e coefficienti direttivi opposti, per esempio f = 1+2X 3X 3, g = 2+X 2 +3X 3 hanno grado 3, mentre f +g = 3+2X +X 2 ha grado 2. Se A è integro il prodotto di due polinomi ha come grado la somma dei gradi, infatti se δf = n e δg = s il termine di grado massimo di fg è a n b s X n+s, quindi δ(fg) = n + s. 4. Se A, B sono due anelli, sul gruppo additivo A B si può definire oltre alla somma (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) anche un prodotto (a, b) (c, d) = (ac, bd). Con queste due operazioni A B è un anello con 1 A B = (1, 1), commutativo se A e B lo sono, ma non integro anche se A e B lo sono, perché per esempio (1, 0) (0, 1) = (0, 0). 5. Vedremo in seguito che l anello delle matrici è un anello non commutativo con identità, non integro.