NON SFOGLIARE IL TESTO PRIMA CHE VENGA DATO UFFICIAMENTE INIZIO ALLA PROVA DAL DOCENTE

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1 AL110 - Algebra 1 - A.A. 2015/2016 Valutazione in itinere - II Prova (Gennaio 2016) Matricola (O ALTRO IDENTIFICATIVO) Cognome: Nome: esercizio punti max valutazione LEGGERE ATTENTAMENTE LE AVVERTENZE NON SFOGLIARE IL TESTO PRIMA CHE VENGA DATO UFFICIAMENTE INIZIO ALLA PROVA DAL DOCENTE AVVERTENZE: Utilizzare soltanto gli spazi bianchi di questo fascicolo per lo svolgimento degli esercizi: NON si accettano altri fogli. Svolgere gli esercizi in modo conciso, ma esauriente, nello spazio assegnato. Fino a due punti ulteriori (bonus) potranno essere assegnati agli elaborati scritti in modo molto chiaro. Fino a due punti (malus) potranno essere tolti agli elaborati scritti in modo confuso o difficilmente leggibile. Un bonus del 5% di punti ottenuti potrà essere assegnato a coloro che consegneranno l elaborato entro la prima scadenza fissata dai docenti. 1

2 2 ESERCIZIO 1. (1) Sia f : N N, definita da f(n) := n + 1, per ogni n N. Stabilire se f è iniettiva o/e suriettiva e mostrare che esistono infinite applicazioni f : N N tali che f f = id N (dove id N : N N è l applicazione identica). (2) Sia g : N N, definita da g(n) := n 2, per ogni intero naturale n pari e g(n) := n+1 2, per ogni intero naturale n dispari, n N. Stabilire se g è iniettiva o/e suriettiva e mostrare che esistono infinite applicazioni g : N N tali che g g = id N (dove id N : N N è l applicazione identica). (3) Sia X := {6, 7}. Determinare (a) (f g)(x); (b) (f g) 1 (X); (c) (g f)(x); (d) (g f) 1 (X).

3 3 ESERCIZIO 2. (1) Determinare per quali valori del parametro λ, con 1 λ 14, il seguente sistema di congruenze è risolubile: 5X λ (mod 15) 4X 2 (mod 13) 15X 3 (mod 17). (2) Per ciascun valore intero (positivo) di λ, con 1 λ 14, per il quale il sistema precedente è risolubile, determinare esplicitamente tutte le sue soluzioni. (3) Determinare l intero k, con 0 k 53, in modo tale che k (mod 54), spiegando il metodo utilizzato. (4) Stabilire se, per ogni n N, risulta 10 (n 5 n) (cioè, n 5 ha la stessa cifra finale di n, in base 10).

4 4 ESERCIZIO 3. Sia K := Z/3Z = {0, 1, 2}, dove k := [k] 3 = k + 3Z e sia { ( ) } a b SL(2, K) := M := a, b, c, d K e det(m) = 1. c d E noto che SL(2, K) è un gruppo con l operazione di prodotto di matrici righe colonne (si assuma tale fatto senza dimostrarlo). Si ponga { ( ) } a b G := N := a, b, d K e det(n) = 1, 0 d cioè G è il sottoinsieme di SL(2, K) formato dalle matrici con c = 0 fissato. (1) Osservare che ogni elemento non nullo a di K è invertibile (rispetto al prodotto in K) e risulta a 1 = a. (2) Determinare esplicitamente tutti gli elementi di G. (3) Mostrare che G con il prodotto righe colonne è un sottogruppo di SL(2, K). (4) Stabilire se G con il prodotto righe colonne è un gruppo abeliano.

5 5 RIPETERE Matricola (o altro identificativo) Cognome: Nome: esercizio punti max valutazione ESERCIZIO 4. Sia f(t ) un polinomio. (1) Si mostri che, se f(t ) R[T ] e α C \ R è una radice di f(t ), allora il coniugato α di α è una radice di f(t ). (2) Si deduca che, se f(t ) R[T ] e il numero complesso i è una radice di f(t ), allora f(t ) è divisibile per T in R[T ]. (3) Posto f(t ) := T 4 + 3T 3 + 2T 2 + 3T + 1 Z[T ], si trovi l espansione di f(t ) in fattori irriducibili in Z[T ], Q[T ], R[T ], C[T ]. Si deduca anche l espansione in fattori irriducibili in (Z/2Z)[T ] del polinomio f(t ) i cui coefficienti sono le classi di resto modulo 2 dei coefficienti di f(t ). (4) Siano p, q interi primi arbitrari (e non necessariamente distinti). Si discuta l irriducibilità del polinomio f(t ) = T 3 + pt + pq in Z[T ], al variare di p, q, esibendo inoltre i suoi fattori irriducibili non banali, quando esso è riducibile.

6 6 { n } ESERCIZIO 5. Si consideri il seguente sottoinsieme A := 2 t n, t Z di Q. (1) Si dimostri che A è un sottoanello di Q tale che Z A, e si precisi se A è un ideale di Q. (2) Si stabilisca se A è un dominio e/o un campo. (3) Si trovino tutti gli elementi invertibili di A. (4) Sia p un fissato numero primo dispari. Si dimostri che, al variare di n, t ( n ) Z, la seguente posizione f 2 t := [n] p [2 t ] 1 p determina una ben definita funzione f : A Z/pZ. Si stabilisca se f è un omomorfismo di anelli. (5) Si determinino Ker(f) ed Im(f).

7 7 ESERCIZIO 6. (1) Si consideri la permutazione σ := (4 6 3) 2 (4 2 6) ( ) 2016 S 9. (a) Si determini struttura ciclica e segno di σ. (b) Si determinino le potenze di σ e se ne deduca l ordine. (c) Si trovino i sottogruppi del sottogruppo ciclico G := σ di S 9 e per ciascuno di essi un generatore. (2) Sia P := P(N) l insieme delle parti di N, sia X P l insieme dei numeri naturali pari, e sia E la relazione di equivalenza su P definita ponendo (A, B) E : A X = B X. (a) Si dica se [{1, 2}] E = [{1, 4}] E e se [{1, 2}] E = [{3, 2}] E. (b) Si caratterizzino gli insiemi A P tali che [A] E = [N] E. (c) Detto Y l insieme dei multipli di 4 (quindi Y X e Y P), si stabilisca, per ciascuna delle seguenti applicazioni, f Y : P/E P, definita da [A] E A Y, f X : P/E P, definita da [A] E A X, se essa è ben definita, e in caso affermativo se essa è iniettiva e/o surgettiva. (3) Sia p un fissato numero primo. Si stabilisca se esistono coppie (t, u) Z Z che risolvono l equazione diofantea in due indeterminate T ed U T p+1 + U p T 2 U = p p! + (p!) p 1.

8 8 SOLUZIONE ESERCIZIO 1 (1) Fissato comunque un intero k N, l applicazione f k definita ponendo f k (0) := k, e f k (n) := n 1 per ogni n 1 è tale che f k f = id N. (2) Fissato comunque un intero naturale k 1, l applicazione g k definita ponendo g k (n) := 2n, per ogni n N con n k, e g k (k) := 2k 1 per ogni n 1 è tale che g g k = id N. (3, a) {4, 5}; (3, b) {9, 10, 11, 12}; (3, c) {4}; (3, d) {10, 11, 12, 13}. SOLUZIONE ESERCIZIO 2 (1) MCD(5,15) = 5 e 5 deve dividere λ e quindi λ = 5, 10, quando 1 λ 14. (2) Per λ = 5 il sistema ha come soluzione x 7 (mod 663). Per λ = 10 il sistema ha come soluzione x 449 (mod 663). (3) Modulo 54, si ha che , , , e quindi = , cioè k = 13. (4) Risposta affermativa. Si dimostra (ad esempio) per induzione su n. Basta osservare che (n + 1) 5 (n + 1) = n 5 n + 10(n 3 + n 2 + 5n(n 3 + 1) e che n(n 3 + 1) è un intero pari. SOLUZIONE ESERCIZIO 3 (1) Basta osservare che 2 2 = 1 in K quindi (2) 1 = 2. (2) det(n) = 1 se e soltanto se ad = 1 se e soltanto se a = d 0. Quindi, ci sono 6 matrici distinte in G, ottenibili al variare di a = d {1, 2} e di b {0, 1, 2}. (3) Basta osservare che ( se N 1 ) e N 2 sono in G anche N 1 N 2 è una matrice di G; 1 0 G; 0 1 ( ) ( ) d b a b N 1 = G, se N = G. 0 a 0 d (4) G è un gruppo abeliano, infatti essendo uguali gli elementi della diagonale principale di ogni matrice di G (cioè a = d), allora prendendo due matrici qualunque N 1 e N 2 in G, si vede facilmente svolgendo i calcoli che N 1 N 2 = N 2 N 1. G non è un sottogruppo normale di SL(2, K), perché x G x 1 non è necessariamente contenuto in G, al variare di x SL(2, K). Ad esempio se x := allora è subito visto che ( ) SL(2, K) ; g := x 1 = e si calcola facilmente che x g x 1 / G. ( ) ( ) G, SOLUZIONE ESERCIZIO 4 Le parti (1) e (2) sono state svolte durante le esercitazioni. (3) È immediatamente visto che i è radice di f, quindi T è un fattore di f in R[T ], per la parte (2). Con facili calcoli si ottiene f(t ) = (T 2 +1)(T 2 +3T +1). Questa è la fattorizzazione di f in prodotto di polinomi irriducibili in Z[T ], Q[T ]. Invece i fattori irriducibili di f(t ) in R[T ] sono T 2 + 1, T α, T β, essendo α, β le radici di T 2 + 3T + 1 (che

9 9 sono reali). Ovviamente, le radici di f(t ) in C[T ] sono T i, T + i, T α, T β. In (Z/2Z)[T ] si ha f(t ) = (T + 1) 2 (T 2 + T + 1). Il polinomio T 2 + T + 1 è irriducibile in (Z/2Z)[T ] essendo di secondo grado e privo di radici. (4) Per p distinto da q il polinomio f(t ) è p-eisenstein, e quindi è irriducibile, essendo primitivo, sia su Z[T ] che su Q[T ]. Se invece p = q si ha f(t ) = T 3 +pt +p 2. Tale polinomio, essendo di terzo grado, è irriducibile su Z[T ] e Q[T ] se e soltanto se è privo di radici razionali. Per quanto visto a lezione, tali eventuali radici sono ±1, ±p, ±p 2. Si vede immediatamente che 1, 1 non sono radici di f, per ogni numero primo p. Si ha invece f(p) = p 2 (p+2), dunque f(p) = 2 se e solo se p = 2 (0 non è accettato non essendo un numero primo). f( p) = p 3 che non si annulla per qualsiasi primo p. Infine f(p 2 ) = p 2 (p 4 + p + 1), f( p 2 ) = p 2 ( p 4 p + 1). Osserviamo che le equazioni U 4 + U + 1 = 0, U 4 U + 1 = 0 non ammettono soluzioni razionali (perché né 1 né 1 sono soluzioni), a fortiori non ammettono soluzioni che siano numeri primi. In definitiva f(t ) ha radici se e soltanto se p = 2 e in tale caso 2 è una radice. Per tale valore di p l espansione di f(t ) come prodotto di fattori irriducibili (in Z[T ]) è f(t ) = (T + 2)(T 2 2T + 2). SOLUZIONE ESERCIZIO 5 (1) Si vede immediatamente che A è un sottoanello di Q. Infatti contiene 0 e inoltre la differenza di 2 elementi di A è ancora in A (la verifica è di routine). Siccome il denominatore del generico elemento di A può assumere il valore 1 si ha immediatamente che Z A. (2) Trattandosi di un sottoanello di Q ed essendo Q un campo, allora A è un dominio. Inoltre A non è un campo perché, per esempio 3 non è invertibile in A. (3) Precisamente, gli invertibili di A sono i numeri razionali del tipo ±2 t, con t Z. (4) Essendo p 2, [2 t ] p è invertibile in Z/pZ. Rimane solo da far vedere che f è ben definita, i.e., che la sua legge non dipende dal rappresentante della generica frazione n/2 t A. Se allora n/2 t = m/2 u si ha n2 u = m2 t, i.e., [n] p [2 u ] p = [m] p [2 t ] p. Moltiplicando ambo i membri dell ultima uguaglianza per l inverso di [2 u ] p [2 t ] p segue la conclusione. Il fatto che f sia un omomorfismo di anelli è una semplice conseguenza delle definizioni. (5) Si ha Ker(f) = pa := {px : x A} e Im(f) = Z/pZ. SOLUZIONE ESERCIZIO 6 (1) Si ha con facili calcoli σ = ( ) (2 4). Segue immediatamente che σ è pari e ha ordine 6, come si può anche verificare esplicitamente calcolando le potenze di σ. Pertanto il sottogruppo ciclico generato da σ ha 2 sottogruppi non banali, uno di ordine 3, generato da σ 2, e uno di ordine 2, generato da σ 3. (2a) La prima uguaglianza è vera, la seconda è falsa. (2b) [A] E = [N] E se e soltanto se A contiene tutti i numeri dispari. (2c) la funzione f Y non è ben definita. Infatti [{2}] E = [{4}] E ma {2} Y {4} Y. Invece la funzione f X è ben definita ed iniettiva. Non è surgettiva perché tutti gli insiemi che appartengono all immagine di f X sono insiemi contenenti i numeri pari. (3) Se esistesse una soluzione (t, u) della equazione assegnata, allora, ovviamente ([t] p, [u] p ) sarebbe una soluzione dell equazione ottenuta da quella assegnata riducendo i coefficienti modulo p, i.e., si avrebbe t p+1 + u p t 2 u 1 (mod p)

10 10 D altra parte, stante il Piccolo Teorema di Fermat, si ha t p+1 + u p t 2 u = t 2 (t p 1 1) + u(u p 1 1) 0 (mod p), una contraddizione. Dunque l equazione assegnata non ammette soluzioni in Z Z.