Seconda prova in itinere. Logica e Algebra. 10 luglio Esercizio 1 Si considerino le seguenti formule della logica del primo ordine:

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1 Seconda prova in itinere Logica e Algebra luglio 5 Esercizio Si considerino le seguenti formule della logica del primo ordine: a) x y A x, aa y, a A f x, y, b) z A f x, z, b c) x y A x, aa y, a A f x, y, a z A f x, z, Si considerino ora le seguenti interpretazioni: a b ) I nella quale il dominio è Z 7, A è da interpretarsi come l uguaglianza, moltiplicazione, la costante a come la classe dello e la costante b come la classe di ; ) I nella quale il dominio è Z 6, A è da interpretarsi come l uguaglianza, moltiplicazione, la costante a come la classe dello e la costante b come la classe di f come l operazione di f come l operazione di Si dica, per ciascuna delle formule, se sono vere, false, soddisfacibili ma non vere in ciascuna delle due interpretazioni assegnate Si porti la formula c) in forma normale prenessa e si dica se si tratta di una formula logicamente valida Esercizio Si consideri la struttura algebrica (Z, ) in cui la legge di composizione interna è così definita: x, y ϵ Z x y = x + y + dove + denota l usuale operazione di addizione di numeri interi Si dimostri che è un gruppo Denotati con P e D rispettivamente l (Z, ) insieme dei numeri pari e l insieme dei numeri dispari, si stabilisca se (P, ) e (D, ) sono sottogruppi di (Z, ) In caso affermativo si stabilisca se sono sottogruppi normali 3 Si consideri l applicazione f : Z Z così definita: x ϵ Z f (x) = x e si stabilisca se f è un omomorfismo tra i gruppi (Z, ) e (Z, +) GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA

2 Traccia di soluzione della seconda prova in itinere del /7/5 Esercizio La formula a) nell interpretazione ) dice che in Z 7 esistono divisori dello ed è quindi falsa poiché Z 7 è un campo e come tale non ha divisori dello Nell interpretazione ) invece dice che esistono divisori dello in Z 6 ed è vera in quanto ad esempio [] 6, [3] 6 sono una coppia di divisori dello La formula b) nell interpretazione ) dice che, per ogni elemento z di Z 7, x z [] 7 o, in altre parole, che x non ammette inverso rispetto al prodotto in Z 7 Ovviamente è non soddisfatta in tutti gli assegnamenti che danno ad x un valore diverso da [] 7 (in quanto ogni elemento di Z 7 \{[] 7 } ammette un inverso) mentre è soddisfatta dall assegnamento che pone x = [] 7 (in quanto in ogni anello, quindi anche in Z 7, il prodotto di ogni elemento dell anello per lo zero dà come risultato zero) Nell interpretazione ) la formula b) dice che, per ogni z elemento di Z 6, x z [] 6 7 o, in altre parole, che x non ammette inverso rispetto al prodotto in Z 6 Tale formula è ancora soddisfatta dall assegnamento x = [] 6 ed è soddisfatta inoltre da tutti gli assegnamenti che attribuiscono ad x un valore diverso da [5] 6 o da [] 6 (le restanti classi, infatti, avendo un rappresentante non primo con 6, non ammettono inverso) Le classi [5] 6 e [] 6 invece ammettono rispettivamente come inversi [5] 6 e [] 6 e quindi gli assegnamenti che danno ad x o il valore [5] 6 o il valore [] 6 non soddisfano fa formula In entrambe le interpretazioni, dunque, la formula b) è soddisfacibile ma non vera La formula c) ha come antecedente la formula a) e come conseguente la formula b), dunque è vera nell interpretazione ), perché l antecedente è sempre falso, mentre è soddisfacibile ma non vera nella interpretazione ) in quanto l antecedente è vero e il conseguente soddisfacibile ma non vero (in particolare non è soddisfatta dagli assegnamenti x = [] 6 e x = [5] 6 mentre è soddisfatta dagli assegnamenti che danno ad x un qualsiasi altro valore in Z 6 ) La forma normale prenessa di c) è A u, aa y, a A f u, y, a A f x, z u yz, b Tale formula è equivalente alla formula c) e quindi non è logicamente valida perché non è vera in ogni interpretazione, infatti ad esempio non è vera nell interpretazione ) Esercizio Dimostriamo che (Z, ) è un gruppo: Proprietà associativa: siano x, y, z ϵ Z Allora

3 (x y) z = (x + y + ) z = x + y + + z + = x + y + z + 4 x (y z) = x (y + z + ) = x + y + z + + = x + y + z + 4 quindi (x y) z = x (y z) Esistenza dell elemento neutro: siano x, y ϵ Z Allora x y = x se e solo se x + y + = x e quindi se e solo se y = Inoltre x = + x + = x quindi è l elemento neutro di Z rispetto a Esistenza dell inverso: siano x, y ϵ Z Allora x y = se e solo se x + y + = e quindi se e solo se y = x 4 Inoltre ( x 4) x = x 4 + x + = quindi x 4 è l inverso di x in Z rispetto a Segue che (Z, ) è un gruppo Verifichiamo se P è sottogruppo di (Z, ) Siano x, y ϵ P, allora: x (y) - = x ( y 4) = x y 4 + = x y = (x y ) ϵ P Per il criterio di caratterizzazione dei sottogruppi si ha che (P, ) è sottogruppo di (Z, ) Inoltre (P, ) è un sottogruppo normale in quanto, per ogni z ϵ Z, risulta z x z - = (z + x + ) ( z 4) = z + x + z 4 + = x ϵ P Si poteva arrivare alla stessa conclusione osservando che (Z, ) è un gruppo abeliano (e quindi tutti i suoi sottogruppi sono normali), infatti x y = x + y + = y + x + = y x Verifichiamo se D è sottogruppo di (Z, ) Siano x +, y + ϵ D, allora: (x + ) (y + ) - = (x + ) ( y 4) = x + y 4 + = x y = (x y ) e quindi, poiché (x + ) (y + ) - non appartiene a D, per il criterio di caratterizzazione dei sottogruppi si ha che (D, ) non è sottogruppo di (Z, ) 3 Verifichiamo se f è un omomorfismo Siano x, y ϵ Z Allora f (x y) = f (x + y + ) = (x + y + ) = x + y + 4 f (x) + f (y) = x + y Poiché f (x y) f (x) + f (y) segue che f non è un omomorfismo tra i gruppi (Z, ) e (Z, +) 3

4 Recupero prima prova in itinere Logica e Algebra luglio 5 Esercizio Si consideri la seguente tavola di verità A B C f (A, C ) a) Trovare una fbf f (A, C ) contenente solo i connettivi e avente come tavola di verità quella data b) Dire se valgono le seguenti deduzioni nella teoria L: A B L f A C L f c) Provare i risultati trovati al punto precedente utilizzando la risoluzione Esercizio Si consideri la relazione binaria R su Z definita nel seguente modo: x, y ϵ Z (x, y) ϵ R sse 3 x + y Si stabilisca quali proprietà soddisfa R e si dica se R è una relazione d equivalenza o una relazione d ordine Posto A = { x ϵ Z x, x dispari}, si scriva la matrice d incidenza della relazione S su A definita nel seguente modo: x, y ϵ A (x, y) ϵ S sse (x, y) ϵ R x y e si dimostri che S è una relazione d ordine Si determinino, se esistono, gli elementi massimali, minimali, massimo e minimo di A rispetto ad S Si stabilisca se (A, S) è un reticolo e, in caso negativo, si consideri una relazione T contenente S tale che (A, T) sia un reticolo Si conti il numero di funzioni contenute in S e si esibisca un esempio di funzione, scelta fra esse, che non ammette inversa GIUSTIFICARE OGNI RISPOSTA 4

5 Traccia di soluzione del recupero della prima prova in itinere del /7/5 Esercizio a) Dalla tavola di verità ricaviamo la forma normale disgiuntiva della formula data: f (A, C ) ( A B ( A B ( A B (( A B) ( A B) ( A B)) C (( A B) ( A ( B B))) C (( A B) A) C (( A A) ( B A)) C ( B A) C ( ( B A) (( AB) b) Per il teorema di correttezza e completezza forte risulta che A B f e A C L f se e solo se A B f e A C f Segue che la prima deduzione è falsa in quanto l interpretazione v tale che v (A) = v (B) = v ( = è un modello per A B ma non per f La seconda deduzione, invece, è vera in quanto i modelli di A C sono le interpretazioni v e v 3 tali che v (A) = v (B) = v ( = e v 3 (A) = v 3 ( =, v 3 (B) = che sono entrambi modelli per f c) Proviamo i risultati trovati al punto precedente utilizzando la risoluzione Scriviamo in forma a clausole le formule: A B A B f (( B A) ( B A) C ( B A) C ( B ( A Si ottiene l insieme di clausole di input S = {{A, B}, { C}, {A, C}} e risulta che Ris(S) = S Poiché Ris(S) si ha che la deduzione A B f è falsa Pertanto, per il teorema di correttezza e completezza forte, anche A B f è una deduzione falsa in L Scriviamo in forma a clausole le altre formule: A C ( f ) ( B A) C Si ottiene l insieme di clausole di input S = {{A}, {C}, {A, B}, {C}} e quindi si ottiene subito la seguente derivazione per risoluzione della clausola vuota: (I) {C} (clausola di input) L L 5

6 (II) {C} (clausola di input) (III) (risolvente di (I) e (II)) Pertanto la deduzione A C f è vera e quindi, per il teorema di correttezza e completezza forte, A C L f Esercizio La relazione R è riflessiva in quanto, per ogni xz, 3 3x e quindi 3 x + x da cui si segue che (x, x)r Pertanto R è anche seriale La relazione R è simmetrica, infatti se (x, y)r allora 3 x + y e quindi esiste un intero h tale che x + y = 3h, da cui y = 3h - x Allora y + x = 6h - 4x + x = 3(h - x) con h - x intero Pertanto 3 y + x e così (y, x)r Segue che R è simmetrica mentre non è antisimmetrica in quanto se una relazione è contemporaneamente simmetrica e antisimmetrica deve essere contenuta nella relazione identica La relazione R è transitiva, infatti se (x, y)r ed (y, z)r si ha che 3 x + y, 3 y + z, ovvero x + y = 3h, y + z = 3k con h, kz Sommando membro a membro queste ultime uguaglianze si ha x + 3y + z = 3(h+k) ovvero x + z = 3(h + k - y) con h + k - zz Pertanto 3 x + z e quindi (x, z)r La relazione R è dunque una relazione di equivalenza mentre non è una relazione d ordine Sia ora A = {, 3, 5, 7, 9} La relazione S ha la seguente matrice di incidenza: Si vede subito dalla matrice che S è riflessiva (sulla diagonale principale ci sono solo ) ed antisimmetrica (gli unici fuori dalla diagonale principale presentano uno in posizione simmetrica rispetto alla diagonale principale) Si può arrivare alla stessa conclusione osservando che S è l intersezione della relazione R (che è riflessiva) con la relazione (che è riflessiva ed antisimmetrica) ed è noto che l intersezione di due relazioni riflessive è riflessiva e che ogni relazione contenuta in una relazione antisimmetrica è antisimmetrica Infine R e sono entrambe transitive e quindi la loro intersezione S è transitiva Pertanto S è una relazione d ordine su A 6

7 Il diagramma di Hasse della relazione S su A è il seguente dunque 7, 5, 9 sono elementi massimali e, 5, 3 sono elementi minimali di A rispetto ad S Non ci sono ovviamente né massimi né minimi A non è un reticolo rispetto ad S in quanto ad esempio e 5 non ammettono estremo superiore Una relazione T che contenga S tale che (A,T) sia reticolo è, ad esempio, la seguente T={(,), (,3),(,7),(,9),(,5),(3,3),(3,9),(3,5),(5,5),(7,7),(7,5)} Infatti è facile osservare che T è riflessiva, antisimmetrica e transitiva e quindi è una relazione d ordine, inoltre tutti gli elementi di R sono in T e quindi T contiene R, ed infine, per ogni xa, inf{,x} =, sup {,x} = x, inf{5,x) = x, sup{5,x} = 5, inf{x,x} = sup{x,x} = x, inf{3,7} =, sup{3,7}=5, inf{3,9} = 3, sup{3,9} = 9, inf{7,9} =, sup{7,9} = 5 Dunque (A,T) è un insieme parzialmente ordinato in cui ogni coppia di elementi di A ammette sia inf sia sup ed è un reticolo, come si poteva osservare facilmente dal diagramma di Hasse di A rispetto a T: Le funzioni da A ad A contenute in S devono avere come matrice di incidenza una matrice che abbia un solo per ogni riga e nessun nelle posizioni in cui nella matrice di incidenza di S c è Per costruire la matrice di incidenza di una funzione contenuta in S dobbiamo quindi eliminare un dalla prima riga e dalla seconda riga della matrice di incidenza di R e questo si può fare in = 4 modi diversi Ci sono quindi 4 funzioni del tipo richiesto Una funzione da A ad A contenuta in R che non ammetta inversa è ad esempio la seguente f() =,f(3) = 9, f(5) = 5,f(7) = 7,f(9) = 9 Tale funzione infatti non è iniettiva (e quindi neppure suriettiva) in quanto f(3)=f(9) e pertanto non ammette inversa 7