Algebra. Mattia Natali. 7 luglio 2011

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1 Algebra Mattia Natali 7 luglio 2011 Indice 1 Relazioni Definizioni Prodotto cartesiano Relazione Cardinalità Grafo d incidenza Matrice d incidenza Intersezione e unione Prodotto tra relazioni Grafo d incidenza Matrice d incidenza Proprietà del prodotto di relazioni Proprietà associativa Non commutativo Relazione inversa Relazione identica Relazioni binarie Proprietà seriale Grafo incidenza Matrice d incidenza Proprietà riflessiva Proprietà simmetrica Proprietà antisimmetrica Proprietà transitiva Proprietà ereditate Ereditarietà con operazioni tra relazioni Insiemi di proprietà (Chiusure) Osservazione: Esempio: Creazione delle chiusure Chiusura riflessiva Chiusura simmetrica Chiusura transitiva Altre chiusure Matrici d incidenza Esempio:

2 4 Relazioni d equivalenza Classe di equivalenza Partizione di un insieme A Relazione d ordine Diagramma di Hasse: Massimo minimo di un insieme Funzioni Funzioni iniettive e suriettive Proprietà Funzione inversa Funzioni e relazioni di equivalenza Cardinalità Definizioni Leggi di composizione Proprietà delle operazioni binarie su un insieme A Esistenza dell elemento neutro (o identità) in A rispetto a Esistenza di uno zero in A rispetto a Esistenza dell elemento inverso rispetto a di un elemento x A Struttura algebrica Definizioni Semigruppo Monoide Gruppo Notazioni Struttura algebrica ad anello Anello privo di divisori dello zero Corpo Reticolo Sottostrutture Criteri Criterio di caratterizzazione di sottogruppi Criterio di caratterizzazione dei sottoanelli Relazioni di congruenza con le operazioni Operazione indotta Struttura quoziente Aritmetica modulare Strutture simili e omomorfismi Definizioni Proposizioni I teorema di fattorizzazione degli omorfismi Complementi sulle strutture algebriche Sottogruppo normale Omomorfismi Esempio Sottoanello ideale Somma diretta di strutture algebriche

3 1 Relazioni 1.1 Definizioni Prodotto cartesiano Si chiama prodotto cartesiano degli n insiemi A 1, A 2,..., A n, l insieme A 1 A 2 A n = {a 1, a 2,..., a n a i A i, i = 1, 2,..., n} Relazione Si chiama relazione R (n-aria o di arità n) un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A 1, A 2,..., A n. Se R = si definisce relazione vuota. Con R = A 1 A 2 A n si chiama relazione universale ω. Un esempio di relazione può essere R = {(a, c), (a, d), (b, e)}, solitamente una relazione è un insieme di coppie (relazioni binarie) Cardinalità Numero di elementi in un dato insieme. Esempio: A 1 = Grafo d incidenza È un oggetto matematico in cui abbiamo dei vertici, avendo A 1 = {a, b, c} A 2 = {x, y, z, w} R = {(a, x), (a, w), (b, x), (b, y), (b, z)} si pongono gli elementi di A 1 sinistra e quelli di A 2 a destra, poi con le frecce si legano i vari elementi degli insiemi come definito dalla relazione R. a x b c y z w Matrice d incidenza La matrice d incidenza è definita in questo modo: M R = come righe abbiamo gli elementi di A 1 mentre nelle colonne abbiamo gli elementi A 2, se una coppia di elementi i, j sono in relazione mettiamo un 1 nella casella a i,j. 3

4 1.2 Intersezione e unione Siano M T, M R matrici d incidenza definite in questo modo M T = M R = per calcolare le intersezioni R T avremo M R T = basta calcolare il prodotto elemento per elemento di M R con M T. Per l unione R T facciamo la somma binaria (1 + 1 = 1) tra gli elementi. M R T = M R + M T = identifichiamo + con somma binaria. 1.3 Prodotto tra relazioni Grafo d incidenza Siano A 1 = {a, b, c} A 2 = {x, y, z, w} Aggiungiamo anche A 3 = {h, k} e sia R A 1 A 2, T A 2 A 3 R T = {(a 1, a 3 ) a 2 A 2, (a 1, a 2 ) R e (a 2, a 3 ) T } A 1 A 3 R = {(a, x), (a, w), (b, x), (b, y), (b, z)} A 1 A 2 T = {(x, h), (z, h), (w, k)} A 2 A 3 Per determinare il prodotto tra le relazioni R T in un grafo d incidenza devo vedere le coppie che mi permettono di arrivare alla fine del percorso; un esempio di percorso sarà (l ho evidenziato nel grafo d incidenza): a b c x y z w h (a, w) R (w, k) T (a, k) R T continuando in questo modo la nostra relazione finale sarà R T = {(a, h), (a, k), (b, h)} k 4

5 1.3.2 Matrice d incidenza Scriviamo le matrici d incidenza M R = M T = con M R matrice che ha come righe gli elementi di A 1, come colonne A 2 e M T ha come righe gli elementi di A 2 e come colonne gli elementi di A 3. Il prodotto tra queste matrici sarà M R T = M R M T = facciamo in pratica il prodotto righe per colonne binario ossia se il risultato è 1 poniamo Proprietà del prodotto di relazioni Le proprietà che vengono soddisfatte dal prodotto di relazioni sono: Proprietà associativa Consideriamo 4 insiemi A 1,, A 2, A 3, A 4 e tre relazioni R A 1 A 2, T A 2 A 3, S A 3 A 4 è associativo: (R T ) S = R (T S) Proviamo la doppia inclusione: 1. (R T ) S R (T S) 2. R (T S) (R T ) S Dimostrazione. Punto (1) Sia (a 1, a 4 ) (R T ) }{{}}{{} S, allora esiste a 3 A 3 tale che (a 1, a 3 ) }{{} R }{{} T e (a 3, a 4 ) S. A A 1 A 3 3 A 4 A 1 A 2 A 2 A 3 Segue che esiste a 2 A 2 tale che (a 1, a 2 ) R, (a 2, a 3 ) R T. Quindi (a 1, a 2 ) R, (a 2, a 4 ) T S, cioè (a 1, a 4 ) R (T S) e così (R T ) S R (T S) Non commutativo R T T R però ci sono alcuni casi in cui vale R T = T R in questo caso le relazioni si chiamano permutabili. 5

6 1.5 Relazione inversa Sia A 1, A 2 insiemi e sia R A 1 A 2. Sia inoltre R 1 A 2 A 1 che viene definita in questo modo R 1 = {(a 2, a 1 ) (a 1, a 2 ) R} in pratica basta scambiare le coppie. Per esempio se R = {(a, x), (a, w), (b, x), (b, y), (b, z)} avremo R 1 = {(x, a), (w, a), (x, b), (y, b), (z, b)} Nel grafo d incidenza invertiamo il senso delle frecce mentre per la matrice d incidenza basta fare la trasposta M R = M R 1 = (M R ) T = Relazione identica La relazione identica I A1 = {(a 1, a 1 ) a 1 A 1 } A 1 A 1 questa relazione identica funge come elemento neutro, ossia come 1 nei numeri reali, infatti I A1 R = R se scambiamo l ordine dobbiamo stare attenti all insieme che stiamo considerando attenzione però che }{{} R I A2 = R }{{} A 1 A 2 A 2 A 2 R R 1 I A1 R 1 R I A2 infatti per esempio M R R 1 = = M IA Relazioni binarie Noi siamo interessati a questo tipo di relazioni. Sia A insieme e R relazione binaria su A se R A A, ossia avremo delle relazioni che lavorano sugli elementi dello stesso insieme. Alcune relazioni note sono: Relazione vuota:. Relazione identica: I A. Relazione universale: ω A sono tutte le possibili coppie (A A). 6

7 Sia n N, definiamo potenza n-esima di R: R n = R R... R (n-volte) se n = 0 R 0 = I A. Siano n, m N 0 1. R n+m = R n R m 2. (R n ) m = R n m Osservazione: se n è negativo le relazioni precedenti possono non valere! Sia n Z\N 0 ossia se n < 0 R n = R 1 R R 1 ( n-volte) 2.1 Proprietà seriale Sia R A A, R = {(a, b), (a, c), (b, c)} la proprietà seriale significa che x A y A (x, y) R Grafo incidenza In termini di grafo d incidenza significa che da ogni vertice deve uscire almeno una freccia. Se un vertice ha solo frecce che entrano la relazione non è seriale. Sia A = {a, b, c} e R = {(a, b), (a, c), (b, c)} in questo caso R non è seriale (dal vertice c non esce nessuna freccia). a c b Matrice d incidenza Affinchè sia seriale su ogni riga della matrice deve essere almeno 1. Con R definito come prima abbiamo M R = quindi R non è seriale. Osservazione: la matrice identica è una relazione seriale. 2.2 Proprietà riflessiva x A (x, x) R Grafo d incidenza: una relazione è riflessiva se ogni elemento ha un anello, ossia la freccia entra ed esce dallo stesso elemento. Basta anche solo 1 elemento senza un anello per dire che la relazione non è riflessiva. Per quanto riguarda la matrice d incidenza dobbiamo avere tutti 1 sulla diagonale principale. Osservazione: la matrice identità I A è riflessiva. 7

8 2.3 Proprietà simmetrica x, y A ((x, y) R (y, x) R) ogni volta che (x, y) R deve appartenere anche la coppia (x, y) R. Nel grafo d incidenza dobbiamo avere la doppia freccia per le coppie che vi sono nella relazione. In altre parole se abbiamo un arco che va da x a y dobbiamo avere anche l arco che va da y a x. Dalla matrice d incidenza possiamo verificare se gode della proprietà simmetrica se anche la matrice è simmetrica. Se abbiamo un insieme non finito, in generale, possiamo verificare che la relazione sia simmetrica verificando che R 1 R. La matrice vuota è simmetrica (infatti è una matrice con tutti gli elementi pari a 0). 2.4 Proprietà antisimmetrica x, y A ((x, y) R (y, x) R x = y) Per verificare ciò possiamo verificare che R R 1 I A, ossia possiamo fare il prodotto tra le due matrici e verificare che gli unici 1 sono solo sulla diagonale principale ossia otteniamo una matrice identità. Un altro metodo è verificare se nella posizione a i,j = 1 allora in a j,i = 0, mentre possiamo avere a i,j = a j,i = 0. In altre parole non possiamo avere a i,j = a j,i = 1 con j i. La diagonale principale non ci da nessun problema, possiamo avere sia 1 che 0. Altro metodo ancora è sommare la matrice con la sua trasposta: se otteniamo una matrice con tutti i 2 presenti sulla diagonale principale allora è antisimmetrica, al contrario, se otteniamo dei 2 fuori dalla diagonale principale allora non è antisimmetrica. Dal grafo d incidenza se abbiamo un arco che va da a a b non dobbiamo avere l arco opposto, ossia che va da b ad a, ma possiamo avere gli autoanelli. Osservazione: possono esistere relazioni che possono essere sia non simmetriche che non antisimmetriche. 2.5 Proprietà transitiva x, y, z A ((x, y) R (y, z) R (x, z) R) Nel grafo d incidenza se abbiamo un arco che va da a a b e un altro che va da b a c e infine abbiamo anche un arco che parte da a a c allora la relazione è transitiva, questo deve succedere per ogni terna presente nella relazione. Per quanto riguarda le matrici, per esempio se abbiamo M R = è transitiva perchè se a i,j = 1 e a j,k = 1 allora anche a i,k = 1. Se questo non accade la relazione non è transitiva. Un metodo più veloce consiste nel guardare il quadrato della matrice, cioè se io riesco a dimostrare che R 2 R allora R è transitiva. Facciamo un esempio: M R 2 = M R R = M R M R = = R 2 R

9 per fare il prodotto, facciamo il prodotto riga per colonna e mettiamo 1 se otteniamo x 1. Siccome l unico 1 che abbiamo ottenuto è un elemento che apparteneva già ad R allora significa che la relazione gode della proprietà transitiva. Osservazioni: La relazione vuota è transitiva. La relazione identità è transitiva. La relazione universale è transitiva. 2.6 Proprietà ereditate Sia A insieme, R, V, S A A, V R S: vedi tabella 1. R V S Seriale No Sì Riflessiva No Sì Simmetrica No No Antisimmetrica Sì No Transitiva No No Tabella 1: Ereditarietà delle proprietà Ereditarietà con operazioni tra relazioni R A A, T A A: vedi tabella 2. R, T R T R T R T Seriali No Sì Sì Riflessive Sì Sì Sì Simmetriche Sì Sì No Antisimmetriche Sì No No Transitive Sì No No Tabella 2: Proprietà ereditate dalle operazioni tra relazioni 3 Insiemi di proprietà (Chiusure) Sia A insieme, R A A. P insieme di proprietà che A può soddisfare esempio P = {propr. riflessiva, prop. simmetrica}. Sia T A A una relazione, la definiamo chiusura di R rispetto a P (o P -chiusura di R) se soddisfa le seguenti proprietà: 1. R T. 2. T soddisfa tutte le proprietà di P. 3. Se S A A tale che R S e S soddisfa le proprietà di P allora T S. Ossia T è la minima relazione binaria che soddisfa le due proprietà qua sopra. 9

10 In altre parole la P -chiusura di R, se esiste, è la minima chiusura che contiene R e ha tutte le proprietà in P. La P -chiusura se esiste è unica. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano S e T due P -chiusure di R distinte. R S, S soddisfa le proprietà di P ( S T ). R T, T soddisfa le prioprietà di P ( T S). Da qui segue S = T per il punto 3, il che è assurdo. 3.1 Osservazione: Se: 1. Esiste almeno una relazione contenente R che soddisfa tutte le proprietà di P. 2. L intersezione di tutte le relazioni che soddisfano le proprietà di P soddisfa ancora tutte le proprietà di P. Allora esiste la P -chiusura di R. P -chiusura di R: X = { S A A R S, S soddisfa le proprietà di P } S X In generale non è detto che si verifichi il punto 2. Per esempio la proprietà seriale non la soddisfa. Lo stesso discorso vale per la proprietà antisimmetrica (nella tabella 2 sembrerebbe di sì, ma la tabella parte dal presupposto che entrambe le relazioni siano antisimmetriche). S Esempio: Sia A = {a, b}, R = {(a, b)}, P = { Proprietà seriale }. Affinchè T sia una chiusura dobbiamo avere che T = {(a, b), (b, a)} R T S S = {(a, b), (b, b)} R S T quindi non riusciamo a creare l insieme T -chiusura rispetto alla proprietà seriale. 3.2 Creazione delle chiusure Ricorda che è molto importante l ordine con cui sono scritte le proprietà Chiusura riflessiva Vogliamo la minima relazione che soddisfa la seguente proprietà, in altre parole aggiugo le coppie che ci mancano. In questo caso per soddisfare la proprietà riflessiva abbiamo bisogno della matrice identità: R I A Chiusura simmetrica Per esempio abbiamo una relazione R = {..., (a, b),... } e ci manca la coppia (b, a), per ottenere la minima relazione per la proprietà simmetrica facciamo R R 1 (ricordo che R 1 = R T ). 10

11 3.2.3 Chiusura transitiva Dobbiamo fare l unione di potenze di R, ossia n N significa che n > 0. La formula significa R 1 R 2... R n.... Dimostrazione. T = n N Rn. Abbiamo che: R R R 2... T. Siano a 1, a 2, a 3 A tale che (a 1, a 2 ) T,(a 2, a 3 ) T. Quindi la nostra tesi è che (a 1, a 3 ) T. Allora esistono h, k N tale che (a 1, a 2 ) R h, (a 2, a 3 ) R k quindi (a 1, a 3 ) R h R k. Per il prodotto tra le relazioni valgono le proprietà delle potenze ossia R h R k = R h+k quindi (a 1, a 3 ) R h+k T. I punti 1 e 2 della T -chiusura sono soddisfatti, ora passiamo al punto 3 ossia che è la minima relazione che soddisfa queste proprietà. Sia S A A tale che S è transitiva e R S, la nostra tesi è che T S. R n R S T V R T S V R S R S R R S S R 2 S 2 S R2 S R S R 2 R S S R 3 S 2 S R 3 S questo vale n N, R n S. Quindi tutto quello che ho scritto significa che T = n N R n S e che quindi anche il punto 3 è soddisfatto Altre chiusure Chiusura riflessiva e simmetrica: R I A R 1 Chiusura riflessiva e transitiva: n N (R I A) n oppure possiamo scriverlo anche nel seguente modo: n N {0} Rn con R 0 = I A. Chiusura simmetrica e transitiva: n N ( R R 1 ) n Chiusura riflessiva, simmetrica e transitiva: n N {0} ( R R 1 ) n oppure possiamo scriverlo così n N ( R R 1 I A ) n. 11

12 3.3 Matrici d incidenza Esempio: Sia A = {a, b, c, d}, R = {(a, a), (a, b), (b, d), (c, d)} la matrice d incidenza è M R = Chiusura riflessiva di R: la chiusura riflessiva significa fare l unione con I A ossia M R1 = Chiusura simmetrica di R: facciamo una chiusura simmetrica di R, rendiamo simmetrica la matrice M R2 = Chiusura transitiva: bisogna fare il prodotto binario riga per colonna M R 2 = per fare in fretta nel prodotto adotta questa tecnica: in questo caso abbiamo nella prima riga un 1 in prima, seconda e quarta colonna; ora guardo le colonne e verifico se in prima, seconda o quarta riga vedo degli 1, se la risposta è affermativa pongo un 1 nella prima riga nella colonna in cui ho visto l 1. Così faccio per la seconda, terza e quarta riga: ma in questo caso non trovo più nessun 1 e quindi ho finito M R 3 = notiamo che M R 2 = M R 3, significa che stiamo unendo sempre lo stesso insieme, quindi non abbiamo bisogno di andare avanti all infinito. Quindi T = n N R n = R R 2 4 Relazioni d equivalenza A insieme, R A A. R è una relazione d equivalenza se soddisfa: 1. Riflessiva. 12

13 2. Simmetrica. 3. Transitiva. Esempio: relazione di congruenza R Z Z modulo n con n > 1. a, b Z (a, b) R se e solo se n a b a b (mod n) se e solo se n a b il simbolo n a b significa che n divide a b. Possiamo definire la stessa cosa anche in questo modo: h, k Z h k se e solo se z Z k = h z 1. Riflessiva: sia a Z. Tesi: a a (mod n) n 0 = a a n a a a a (mod n) 2. Simmetrica: siano a, b Z tale che a b (mod n). Tesi: b a (mod n). 3. Transitività: guarda dispense. n a b z Z tale che a b = z n z Z tale che b a = z {}}{ ( z) n z Z tale che b a = z n b a (mod n) Un esempio più normale è la relazione di uguaglianza sull insieme dei numeri naturali N. 4.1 Classe di equivalenza Sia A insieme, ρ A A relazione d equivalenza. Chiamiamo classe di equivalenza (rispetto a ρ) avente come rappresentante a, o più semplicemente ρ-classe di a, l insieme [a] ρ = {b A (a, b) ρ} a A Esempio: Fissiamo n = 2. a, b Z abbiamo a b (mod 2) se e solo se 2 a b se e solo se z Z a b = 2 z. Indichiamo con [0] 2 le classi dei numeri pari e [1] 2 per i numeri dispari. L insieme delle ρ-classi di A si dice insieme quoziente di A rispetto a ρ e si indica { } A/ρ = [a] ρ a A nel nostro caso l insieme quoziente di Z rispetto a 2 sarà: Z /2 = {[0] 2, [1] 2 }. 4.2 Partizione di un insieme A Sia dato l insieme {B i i I} i I tale che B i A, esso è una partizione se 1. i I B i = A. 2. Se B i B j allora B i = B j. Se un elemento appartiene ad una certa classe non può appartenere ad una classe diversa. Possiamo notare che data una relazione d equivalenza ρ su un insieme A, le ρ-classi di A sono una partizione di A perchè l unione di tutte le varie classi formano A e l intersezione di qualsiasi classe genera l insieme vuoto, la partizione così creata prende il nome di partizione indotta da ρ. 13

14 5 Relazione d ordine Sia A insieme, R A A, R è una relazione d ordine se è 1. Riflessiva. 2. Antisimmetrica. 3. Transitiva. x, y sono confrontabili rispetto a R se: (x, y) R XOR (y, x) R Si dice relazione d ordine totale se tutte le coppie di elementi di A sono confrontabili. In generale R viene definito insieme parzialmente ordinato (poset = partially ordered set), se invece la relazione è totale si parla di insieme totalmente ordinato. Esempi: Numeri reali (R, ) sappiamo che se x y y x x = y soddisfa la proprietà antisimmetrica, riflessiva e soddisfa anche la proprietà transitiva quindi è una relazione d ordine. È anche totale perchè tutte le sue coppie sono confrontabili. Inclusione d ordine ( ): A insieme, P (A) = {B B A} insieme delle parti di A, verifichiamo che l inclusione debole è una relazione d ordine su P (A). Dimostriamo la proprietà riflessiva e antisimmetrica X X X Y Y X X = Y la proprietà transitiva Ma in questo caso non è totale perchè: quindi X e Y non sono confrontabili. Relazione di divisibilità in N X Y Y Z Essa soddisfa la proprietà riflessiva: k = 1 x y k 1 N y = k 1 x y x k 2 N x = k 2 y soddisfa anche la proprietà transitiva X Z A = {a, b, c} X = {a, b} P (A) Y = {b, c} P (A) X Y e Y X x, y N x y se e solo se k N : y = Kx x x. Soddisfa la proprietà antisimmetrica: y = k 1k 2 y k 1 k 2 = 1 k 1 = k 2 = 1 y = x x y k 1 N : y = k 1 x y z k 2 N : z = k 2 y = k 2 k }{{} 1 x k N : z = k x x z k Non è una relazione totale perchè per esempio 2 non divide 3 e 3 non divide 2 (2 3, 3 2). 14

15 Relazione di divisibilità in Z: Essa soddisfa la proprietà riflessiva: k = 1 x y k 1 Z : y = k 1 x y x k 2 Z : x = k 2 y x, y Z x y se e solo se k Z y = Kx x x. Non soddisfa la proprietà antisimmetrica: y = k 1k 2 y k 1 k 2 = 1 k 1 = k 2 = 1 k 1 = k 2 = 1 x = y perchè non riesco a dimostrare che x = y, quindi non è una relazione d ordine. Il < oppure non sono relazioni d ordine perchè non soddisfano la proprietà riflessiva a causa dei vincoli troppo stretti. In alcuni libri, affinchè sia una relazione d ordine, non è neccessario che debbano soddisfare la proprietà riflessiva, ma questo porta a degli effetti collaterali (per esempio anche l insieme vuoto diventa una relazione d ordine). NB: per identificare che R è una relazione d ordine (x, y) R possiamo scrivere x y oppure y x (nota che x è il primo elemento e y è il secondo in entrambi i casi). Siccome la relazione d ordine contiene la proprietà antisimmetrica, in generale non riusciamo a creare una sua chiusura perchè la chiusura della proprietà antisimmetrica non esiste. Quindi solitamente faccio la chiusura per la proprietà simmetrica e transitiva, se poi noto che la relazione ottenuta soddisfa anche la proprietà antisimmetrica allora sono riuscito a creare la mia chiusura, altrimenti non esiste. 5.1 Diagramma di Hasse: Si dà per scontato che ci siano gli autoanelli (perchè soddisfa la proprietà simmetrica). Non c è nessun arco che va avanti e torna indietro per la proprietà antisimmetrica, ma si assume che ogni arco vada dal vertice che sta più in basso a quello che sta più in alto nel disegno. Quindi scriviamo y Poi se x x y y z x z z y Esempio: A = {2, 3, 4, 6, 12, 13}, x, y A con (x y se e solo se x y) abbiamo che 2 2, 2 4, 2 6, 2 12, 3 3, 3 6, 3 12, 4 4, 4 12, 6 6, x La matrice sarà M =

16 per crearla immagina che le righe e le colonne siano rappresentate dai numeri e verifica se sono divisibili. Affinchè sia totale se abbiamo un 1 nella posizione a i,j dobbiamo avere 0 nella posizione a j,i e viceversa. 5.2 Massimo minimo di un insieme Sia A insieme, relazione d ordine su A con B A, m A. m A, m è minimo di A rispetto a se m è massimo di A rispetto a se x A m x (m, x) x A questi elementi possono anche non esistere. Nell esempio del diagramma di Hasse vediamo che non c è un numero sopra tutti o sotto tutti. Se dall insieme A precedente eliminassimo l elemento 13 avremmo come diagramma di Hasse e in questo caso 12 è un massimo. 12 x m 4 6 m è elemento minimale di A rispetto a se 2 3 x A (x m x = m) nel diagramma di Hasse vediamo gli elementi più in basso, sempre nel caso precedente l insieme dei numeri minimali sono M 1 = {2, 3, 13} c è anche il 13 perchè è un elemento isolato; in altre parole per ogni a A si ha o a non confrontabile con m o m a. Analogo discorso per gli elementi massimali che li definiamo in questo modo: m elemento massimale di A rispetto a se x A (m x x = m) quindi non ci devono essere elementi sopra gli elementi massimali (gli elementi più in alto) quindi M 2 = {12, 13}, ricorda che devi prendere anche gli elementi non confrontabili. Sia ora B un sottoinsieme dell insieme parzialmente ordinato A. m minorante di B rispetto a se: m maggiorante di B rispetto a se x B m x x B x m Esempio: abbiamo A = {2, 3, 4, 6, 12} e B = {4, 12}. Abbiamo come maggioranti C 1 = {12} e minoranti D 1 = {2, 4} (nei minoranti di B non compare il 3 perchè non è confrontabile con gli elementi di B). Ossia dobbiamo vedere quelli che stanno sopra e quelli che stanno sotto in entrambi diagrammi di Hasse degli insiemi A e B, inoltre gli elementi che andiamo a scegliere devono essere confrontabili con tutti gli elementi di B. Non è necessario che il maggiorante o minorante appartenga a B. 16

17 L estremo inferiore di B (inf B) è massimo (se esiste) dell insieme dei minoranti. L estremo superiore di B (sup B) è minimo (se esiste) dell insieme dei maggioranti. (A, ) reticolo se x, y A ( inf {x, y} sup {x, y}) esempio di reticolo Funzioni Sia A, B insiemi f A B funzione se x A!y B (x, y) f se sappiamo che è una funzione possiamo scriverla con la notazione f : A B oppure f (x) = y. f (A) = {f (x) x A} y B f 1 (y) = {x A f (x) = y} l unico elemento b associato ad a dalla relazione f viene indicato con f(a) e chiamato immagine di a mediante f, l elemento a viene invece detto controimmagine di b. Supponiamo che A, B insiemi finiti così possiamo a scrivere il grafo e la matrice d incidenza: M R = ma questa non è una funzione perchè per ogni riga ci deve essere uno e un solo 1 per definizione. Ad esempio sarà una funzione la matrice M f = f R f funzione Il grafo d incidenza da ogni vertice deve uscire una e una sola freccia. Prodotto tra due funzioni: sia A, B, C insiemi, f : A B, g : B C il prodotto tra due funzioni è una funzione f g A C f g : A C definita da f g = g (f (x)) per ogni a A. In generale non è commutativo ed è invece associativo. Per dimostrare che, in generale, due funzioni sono uguali (h = k), dobbiamo verificare che x X h (x) = k (x) cioè l immagine dell elemento x è la stessa in entrambe le funzioni. Relazione Identica è definita I A = {(x, x) x A} i A : A A i B : B B i A f = f = f i B Relazione inversa: sia f : A B la relazione inversa è f 1 B A, ma in generale non è sempre detto che esista. 17

18 6.1 Funzioni iniettive e suriettive f iniettiva se x 1, x 2 A (f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 ) questo significa che ogni elemento b B deve avere al più una controimmagine in A. La iniettività si può anche scrivere così: x 1, x 2 A (x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 )) Esempio: vediamo se la funzione f è iniettiva M f = affinchè sia tale dobbiamo avere al più un 1 su ogni colonna e su ogni riga un solo 1. Nel grafo d incidenza dobbiamo avere al più una freccia che entra nei vertici (e da ogni elemento di A deve uscire uno e un solo arco). NB: prima verifica che la funzione sia effettivamente tale! f suriettiva ogni elemento di B deve avere almeno una controimmagine di A ossia Esempio: la matrice y B x A f (x) = y f (A) = B M f = essa non è suriettiva perchè la terza e quarta colonna non ha nessuna controimmagine. Ma con questa matrice non riusciremo mai ad avere una funzione suriettiva perchè avremmo massimo 3 controimmagini (su 4 necessarie). Per avere la suriettività come minimo dobbiamo avere A B in altre parole il numero di righe deve essere maggiore o uguale delle colonne (gli elementi di A devono essere maggiori o uguali di B). Per esempio questa è una funzione suriettiva: 1 0 M f = Per quanto riguarda il grafo di incidenza se ad ogni vertice che rappresenta un elemento di B arriva almeno un arco. f è biunivoca (o biiettiva) se f è iniettiva e suriettiva. La matrice d incidenza avrà su ogni riga e su ogni colonna uno e un solo 1. Il grafo d incidenza, da ogni vertice di A uscirà una e una sola freccia, in ogni vertice di B entrerà una e una sola freccia Proprietà Sia f : A B, g : B C due funzioni. 1. Se f, g sono iniettive allora f g è iniettiva anch essa. 2. Se f, g suriettive f g suriettiva. 3. Idem se fossero biunivoche. In generale non possiamo dire il contrario. 18

19 4. f g iniettiva f iniettiva. 5. f g suriettiva g suriettiva. 6. f g biunivoca f iniettiva e g suriettiva. Dimostrazione. (Punto 1) Siano a 1, a 2 A tale che f g (a 1 ) = f g (a 2 ) la tesi è a 1 = a 2 g (f (a 1 )) = g (f (a 2 )) f (a 1 ) = f (a 2 ) a 1 = a 2 C.V.D. 6.2 Funzione inversa Sia g : B A funzione inversa se si verificano i seguenti fatti: f g = i A e g f = i B. La relazione inversa f 1 di una funzione f : A B è una funzione se e solo se f è biunivoca. Una funzione h è definita inversa destra di f se Una funzione k è inversa sinistra di f se h : B A tale che f h = i A k : B A tale che k f = i B per verificare se una funzione è inversa destra o sinistra ci sono dei teoremi: Teorema 1. f ammette inversa destra se e solo se f iniettiva. f ammette inversa sinistra se e solo se f suriettiva. Dimostrazione. Prima parte. ( ) ( ) h : B A tale che f h = i A. Noi sappiamo che i A è iniettiva e quindi, per la proprietà 4, anche f lo è. Idea supponiamo di avere A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4, 5} e abbiamo f : A B iniettiva f a 1 b 2 c 3 costruiamo una sua inversa destra ampliando la relazione inversa di f e la chiameremo h: a h b 2 c 3 per gli elementi di b B che non avevano una controimmagine nella funzione f abbiamo scelto ad arbitrio c A. Quindi vediamo che h è una funzione ed è inversa destra perchè x A, f h (x) = i A (x) = x cioè f h = i A

20 Teorema 2. Se f ammette inversa destra e inversa sinistra allora queste coincidono. Dimostrazione. Ipotesi: k : B A, k f = i B e h : B A, f h = i A tesi k = h. k = k i A = k (f h) = (k f) h = i B h = h Abbiamo usato per la dimostrazione l associatività del prodotto di funzioni. Teorema 3. f ammette l inversa se e solo se f è biunivoca. In tal caso la funzione inversa è unica f Funzioni e relazioni di equivalenza Se ρ è una relazione di equivalenza avevamo visto che X /ρ partizione di X, però non avevamo detto che vale anche il viceversa, ossia che ad ogni partizione è associata una relazione d equivalenza. Sia f : A B, l insieme { f 1 (b) b B } l avevamo definito come controimmagine; possiamo notare inoltre che f 1 (b) = {a A f (a) = b} è una partizione di A, quindi è l insieme delle classi di equivalenza di una relazione di equivalenza su A che chiamiamo ker f. Definiamo ker f in questo modo: x, y (x, y) ker f se e solo se f (x) = f (y) Sia ρ relazione di equivalenza di A, chiameremo proiezione canonica π ρ : A A /ρ in cui x A, π ρ (x) = [x] ρ ossia è la funzione che associa a ogni elemento la sua classe d equivalenza. Teorema 4. (1 teorema di fattorizzazione delle applicazioni) f : A B prendiamo la proiezione canonica riferita a ker f, ossia π ker f : A A /ker f. Esiste un unica funzione g : A /ker f B tale che f = π ker f g, inoltre g è iniettiva. A f B π ker f A/ker f g Dimostrazione. g : A /ker f B, [x] A /ker f g ([a]) = f (a), dobbiamo far vedere che è una funzione (per ogni elemento di partenza esiste un unica immagine ed esiste almeno una). Supponiamo che [a 1 ] = [a 2 ] ossia la stessa classe la scriviamo con due rappresentanti diversi. Calcoliamo g ([a 1 ]) siccome le due classi sono uguali significa che (a 1, a 2 ) ker f ma per come è definita ker f sappiamo che f (a 1 ) = f (a 2 ) quindi possiamo concludere che g ([a 1 ]) = g ([a 2 ]) e quindi non dipende dal rappresentante, quindi la funzione è ben posta. a A π ker f g (a) = g (π ker f (a)) = g ([a]) = f (a) Osserviamo che come conseguenza del teorema di fattorizzazione si ottiene che f (A) è in corrispondenza biunivoca con A /ker f. 20

21 7 Cardinalità Se A = B hanno la stessa cardinalità allora esiste una funzione biunivoca f : A B. Se A B significa che esiste una funzione iniettiva da A a B, ossia esiste una corrispondenza biunivoca tra A e un sottoinsieme di B. Se A < B allora esiste la funzione iniettiva da A a B ma non esiste nessuna funzione biunivoca con B. Teorema 5. Teorema di Cantor: se A insieme, P (A) insieme delle parti di A allora A < P (A) (ossia non esisterà una funzione biunivoca). Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che A B e A B affinchè sia A < B. h : A P (A) x A, h (x) = {x}, x, y x y {x} {y} h (x) h (y) abbiamo dimostrato che è iniettiva. Ora dimostriamo che non è biunivoca: supponiamo per assurdo che A (x) = P (A), cioè: g : A P (A) funzione biunivoca con l insieme B definito in questo modo B }{{} A = x A x / g (x) }{{} P (A), poichè B P (A), B ammette una controimmagine x A tale che g ( x) = B perchè la funzione, essendo biunivoca, è anche suriettiva. Si possono presentare due casi: 1. x g ( x) x B, ma allora segue, per la definizione dell insieme B, che x / g ( x) il che è assurdo. 2. x / g ( x) x B = g ( x) x g ( x) il che è assurdo Quindi abbiamo dimostrato la tesi per assurdo ossia g : A P (A) biunivoca. A 7.1 Definizioni Diciamo che l insieme A è finito ed ha cardinalità n se ha la stessa cardinalità di {1, 2,..., n}. Diciamo che A è infinito se non è finito, ovvero se non ha cardinalità n per alcun n intero positivo. Una caratterizzazione degli insiemi infiniti è la seguente: Un insieme è infinito se e solo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Un insieme infinito ha la potenza del numerabile se ha la stessa cardinalità di N, ha la potenza del continuo se ha la stessa cardinalità di R. Ricordiamo che Z e Q sono numerabili. 21

22 8 Leggi di composizione Consideriamo n N insiemi: A 1, A 2,..., A n, A insiemi. La funzione ω : A 1 A 2... A n A si chiama legge di composizione n-aria (o di arità n) di A 1, A 2,..., A n a valori in A. (x 1, x 2,..., x n ) A 1 A 2... A n, abbiamo che a = ω (x 1, x 2,..., x n ) è il risultato ed è unico perchè abbiamo detto che ω è una funzione. Se A 1 = A 2 =... = A n = A ossia se tutti gli insiemi sono uguali, ω : A A... A A si }{{} n volte chiama legge di composizione n-aria interna su A oppure più semplicemente operazione. Se n = 2 operazione binaria. Se n = 1 operazione unaria. Esempi: Sia ω : Z Z, x Z, ω (x) = x che ω 2 : Z Z Z, ω (x, y) = x + y sono delle leggi di composizione interna. Se sostituissi Z con N la prima operazione non sarebbe più una legge di composizione interna perchè potrei uscire dall insieme N. Consideriamo l insieme A = {a, b, c}, abbiamo la legge di composizione binaria : A A A. (a, b) = c, ora utiliziamo la notazione infissa che siamo soliti usare: a b = c. La nostra legge a a = a b a = a c a = b di composizione è definita in questo modo: a b = c b b = b c b = a, ma possiamo a c = a b c = c c c = a usare la tavola di composizione scritta in questo modo * a b c a a c a b a b c c b a a Tabella 3: Tavola di composizione 8.1 Proprietà delle operazioni binarie su un insieme A : A A A, è commutativa: x, y A x y = y x, dalla tavola di composizione 3 guardiamo se è simmetrica per verificare che sia commutativa. associativa: x, y, z A x (y z) = (x y) z = x y z. Se n N definisco la potenza n-esima in questo modo: x n = x } x {{... x }. Se m, n N allora: n volte 1. x n x m = x n+m 2. (x n ) m = x n m 22

23 8.1.1 Esistenza dell elemento neutro (o identità) in A rispetto a e A x A x e = x = e x significa che dà sempre lo stesso numero se moltiplicato a destra o a sinistra. Se invece vale solo quando è a destra si dice elemento neutro a destra, il viceversa si chiama elemento neutro a sinistra. Se invece esistono entrambi allora devono essere uguali. Se siamo certi dell esistenza dell elemento neutro possiamo definire l esponente uguale a 0: x A x 0 = e. Se esiste l elemento neutro possiamo verificare nella tavola di composizione se c è una riga o una colonna che si ripetono uguali in corrispondenza dello stesso elemento. Nella tabella 3 possiamo vedere che esiste l elemento neutro a sinistra (2^ riga uguale agli elementi dell operazione) Esistenza di uno zero in A rispetto a z A x A z x = z = x z se vale la prima uguaglianza abbiamo uno zero a sinistra, se abbiamo solo la seconda uguaglianza abbiamo uno zero a destra. Se invece li abbiamo entrambi allora sono uguali. Dalla tavola di composizione vediamo se abbiamo una riga o colonna che si ripete sempre lo stesso elemento, se è una riga allora abbiamo uno zero a sinistra se era una colonna a ripetersi abbiamo uno zero a destra Esistenza dell elemento inverso rispetto a di un elemento x A Si dice che x è invertibile se x A x x = e = x x questo vale solo se l elemento è invertibile n Z\ (N {0}) possiamo definire x n = x x... x n volte. Se si ha solo x x = e, x si dice elemento inverso a sinistra, se invece si ha solo x x = e, x si dice elemento inverso a destra. Se esiste inverso destro e inverso sinistro e la funzione è associativa allora le inverse coincidono. 9 Struttura algebrica Una struttura algebrica è una coppia ordinata di elementi, la indicheremo con (A, Ω) oppure < A, Ω >, A è un insieme e viene chiamato sostegno della struttura algebrica; Ω è un insieme di leggi di composizioni interne. Potrei avere una o due leggi di composizione o operazioni, ma in generale Ω contiene un numero finito di leggi di composizione. La struttura algebrica è finita se il sostegno della struttura algebrica è di cardinalità finita. 9.1 Definizioni Semigruppo Il semigruppo è una struttura algebrica (A, ) in cui l operazione è binaria ed associativa ossia a, b, c A a (b c) = (a b) c Esempi di semigruppo: Insieme delle matrici M (n n, N) semigruppo rispetto a, ossia la moltiplicazione fra matrici. 23

24 ( ) ins. finito Semigruppo libero: Σ alfabeto, indichiamo w parola su Σ, e indichiamo con non vuoto Σ + insieme di tutte le parole su Σ. Concatenazione è definita w 1, w 2 Σ + w 1 w 2 = w 1 w 2 Per esempio se abbiamo Σ = {a, b, c}, w 1 = abbca, w 2 = bc, w 1 w 2 = abbcabc. (Σ +, ) semigruppo libero Monoide Una struttura algebrica (A, ) si chiama monoide se è un semigruppo che ammette elemento neutro rispetto all operazione binaria, significa quindi che e A a A (a e = e a = a) ricordati che devi verificare anche la proprietà associativa (affinchè sia un semigruppo). Esempi: [ ] 1 0 L insieme delle matrici M (n n, Z) oppure Q o R, l elemento neutro è la matrice 0 1 identità. Σ alfabeto ε Σ con ε parola vuota. Σ = Σ + {ε} non cambia la parola, quindi è l elemento neutro. Quindi (Σ, ) si chiama monoide libero Gruppo Il gruppo è un monoide (A, ) in cui ogni elemento ammette inverso rispetto a. Ossia è un insieme A con una legge di composizione binaria associativa cha ammette elemento neutro e inverso. Esempi: Insieme delle matrici A M (n n, R) tali che det A 0. f : A A biunivoche. Si definisce abeliano se soddisfa la proprietà commutativa ossia a, b A a + b = b + a Proposizione. Esistono altre definizioni di gruppo, sia (A, ) struttura algebrica tale che è associativa. Sono equivalenti: 1. (A, ) gruppo. 2. { e A a A e a = a a A b A b a = e oppure { e A a A a e = a a A b A a b = e. 3. a, b A { a x = b x a = b ammettono ciascuna una ed una sola soluzione. 24

25 9.1.4 Notazioni A volte si usa per la legge di composizione la notazione additiva a + b, in tal caso l elemento neutro è chiamato 0, l inverso di a è chiamato opposto di a ed indicato col simbolo a e la potenza n-esima di a è indicata con na (na = a + a + + a). }{{} n-volte Con la notazione moltiplicativa l elemento inverso viene indicato con a 1 e l elemento neutro invece lo indicheremo con 1. La potenza n-esima nella notazione moltiplicativa viene definito come a n = } a a {{... a }. n-volte Struttura algebrica ad anello Passiamo ora alle strutture algebriche con due leggi di composizione binarie. Anello: (A, +, ) se soddisfa le seguenti proprietà: 1. (A, +) è un gruppo abeliano detto gruppo additivo dell anello. 2. (A, ) semigruppo si chiama semigruppo moltiplicativo dell anello, dobbiamo verificare che vale la proprietà associativa. 3. Devono valere le proprietà distributive di rispetto a +: a, b, c A a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c Se vale la proprietà commutativa anche per il prodotto (per l addizione deve valere per forza) si chiama anello commutativo. Anello unitario se il semigruppo della moltiplicazione è un monoide. Esempi: Insieme delle matrici (M (n n, Z), +, ) anello. (Z, +, ) anello commutativo unitario. Proposizione. In un anello (A, +, ) si ha: 1. a A a 0 = 0 a = a, b A a ( b) = ( a) b = (a b) Dimostrazione. Siano a, b A a b = a (b + 0) = a b + a 0 1. a b = (a b) + 0 membri, quindi avremo a b + 0 = a b + a 0 aggiungiamo l opposto ad entrambi i =0 {}}{ (a b) + a b +0 = = 0 + a 0 0 = a 0 =0 {}}{ (a b) + a b +a 0 analogamente 0 a = 0 ed effettivamente, in base alla definizione di zero ( a A che è uno zero. z a = a z = z) abbiamo verificato 25

26 2. Dimostriamo il secondo punto 0 = a 0 = a (b + ( b)) = a b + a ( b) (a b) = a ( b) e quindi analogamente si dimostra che (a b) = ( a) b Anello privo di divisori dello zero Sia (A, +, ) anello si definisce privo di divisori dello zero se non esistono a, b A tale che a 0, b 0 e a b = 0. In un anello (A, +, ) valgono le leggi di cancellazione se: a, b, c A, a 0 (a b = a c b = c) Proposizione. (A, +, ) è un anello privo di divisori dello zero se e solo se in esso valgono le leggi di cancellazione. Dimostrazione. Dimostriamo ( ) siano a, b, c A, a 0 tale che a b = a c tesi b = c. a b + ( a c) = a c + ( a c) }{{} =0 a b + ( a c) = 0 a (b + ( c)) = 0 }{{} b + ( c) = 0 b = c a 0 Ora dimostriamo ( ). Siano a, b A tali che a b = 0. Supponiamo che a 0, la mia tesi è che b = 0. Siccome valgono le leggi di cancellazione possiamo scrivere a b = a 0 b = Corpo Un corpo è un anello in cui tutti gli elementi diversi da 0 formano un gruppo rispetto a. Sia (A, +, ) anello. Se (A\ {0}, ) è un gruppo allora (A, +, ) è un corpo. Un corpo in cui gode della proprietà commutativa di dice campo. In altre parole se (A\ {0}, ) gruppo abeliano allora (A, +, ) è campo. Teorema. Ogni corpo finito è un campo. Corpo dei quaternioni: vedi dispense Reticolo Si dice reticolo un insieme A con due operazioni binarie e, dette rispettivamente intersezione ed unione che godono entrambe delle proprietà commutativa ed associativa e per le quali valgano le leggi di assorbimento, ossia: a, b A a (a b) = a, a (a b) = a 26

27 9.1.9 Sottostrutture Sia (A, Ω) struttura algebrica. Dato un insieme non vuoto H A, H si definisce sottostruttura se (H, Ω) struttura algebrica dello stesso tipo di (A, Ω). (A, ) semigruppo, (H, ) è sottosemigruppo per verificare devo dimostrare che x, y H x y H (H, ) è sottomonoide se x, y H x y H e H (A, ) gruppo, H A, e elemento neutro (H, ) sottogruppo se 1. x, y H x y H; 2. e H; 3. x H x 1 H. (A, +, ) anello, H A, 0, (H, +, ) sottoanello se 1. x, y H x + y H; 2. 0 H; 3. x H x H; 4. x, y H x y H mi garantisce che (H, ) è un sottogruppo. Le prime tre invece che (H, +) è un gruppo abeliano. 9.2 Criteri Criterio di caratterizzazione di sottogruppi Sia (A, ) gruppo, H A, diciamo che H è un sottogruppo di A se e solo se x, y H x y H e x 1 H C è una versione ancora più compatta: H è un sottogruppo di A se e solo se x, y H x y 1 H Criterio di caratterizzazione dei sottoanelli (A, +, ) anello, H A, H sottoanello di A se e solo se x, y H x y H e x y H 27

28 9.3 Relazioni di congruenza con le operazioni A insieme, ω operazione su A di arità n. Sia ρ A A, ρ relazione d equivalenza su A. La relazione ρ è compatibile con ω se e solo se a 1, b 1, a 2, b 2,..., a n, b n A ((a 1, b 1 ) ρ, (a 2, b 2 ) ρ,..., (a n, b n ) ρ (ω (a 1, a 2,..., a n ), ω (b 1, b 2,..., b n )) ρ) Esempio: (A, ) struttura algebrica con operazione binaria, ρ relazione d equivalenza su A: ρ è compatibile con se e solo se a 1, b 1, a 2, b 2 A ((a 1, b 1 ) ρ, (a 2, b 2 ) ρ (a 1 a 2, b 1 b 2 ) ρ) stavolta abbiamo usato la notazione infissa. Data una struttura algebrica (A, Ω), ρ è una relazione di congruenza su A se e solo se ρ è compatibile con tutte le operazioni di Ω. Esempio: (Z, +, ) anello commutativo unitario (è commutativo ed esiste l elemento neutro). La relazione di congruenza modulo 3 viene definita in questo modo: oppure x, y Z (x y (mod 3) sse 3 x y) x, y Z x y (mod 3) sse k Z x y = 3 k siano n, m, z, s Z tale che n m (mod 3), r s (mod 3); allora esistono h, k Z tale che n m = 3k r s = 3h (1) tesi per dimostrare che è effettivamente una relazione di congruenza: n + r m + s (mod 3) n r m s (mod 3) se sommiamo membro a membro la (1) otteniamo n m + r s = 3k + 3h (n + r) (m + s) = 3 k + h n + r m + s (mod 3) }{{} Z cioè abbiamo verificato che (n + r, m + s) ρ Ora verifichiamo che è anche una congruenza rispetto al prodotto (non lo scrivo, ma il procedimento è identico) Operazione indotta A insieme, ω operazione di arità n su A, ρ relazione d equivalenza su A compatibile con ω. ω è un operazione indotta da ω su A se ω : A /ρ A /ρ A /ρ }{{} A /ρ n-volte a 1, a 2,..., a n A ω ( [a 1 ] ρ, [a 2 ] ρ,..., [a n ] ρ ) = [ω (a 1, a 2,..., a n )] ρ 28

29 Esempio: sia A insieme, operazione binaria, ρ relazione d equivalenza su A compatibile con. è un operazione indotta : A /ρ A /ρ A /ρ a 1, a 2 A [a 1 ] ρ [a 2 ] ρ = [a 1 a 2 ] ρ insomma abbiamo il rappresentante del prodotto e non dipende dalla scelta del rappresentante. La definizione di ω è ben posta, ossia ω ([a 1 ] ρ, [a 2 ] ρ,..., [a n ] ρ ) non dipende dai rappresentanti scelti per le ρ-classi [a 1 ] ρ, [a 2 ] ρ,..., [a n ] ρ Struttura quoziente Sia (A, Ω) struttura algebrica, ρ relazione di congruenza su A. Si definisce struttura quoziente: ( A /ρ, Ω ) avente come sostegno l insieme quoziente di A rispetto a ρ e come insieme di operazioni Ω l insieme delle operazioni indotte dalle operazioni di Ω. Esempio: (Z, +, ) anello commutativo unitario, relazione di congruenza di modulo n N. Otteniamo la struttura quoziente ( Z n, ˆ+,ˆ ) se poniamo x, y Z [x] n ˆ+ [y] n = [x + y] n e [x] nˆ [y] n = [x y] n (è un anello commutativo unitario). In questo caso abbiamo posto sopra le operazioni il cappello per indicare che sono operazioni su classi, ma d ora in poi non useremo questa notazione per non appesantire troppo la trattazione Aritmetica modulare Sia a, b, c Z [a] n X + [b] n = [c] n X è una classe che Z. Sapendo che esiste l opposto di ogni classe: [a] n X + [b] n [b] n = [c] n [b] n [a] n X = [c b] n [a] n è invertibile (e quindi ammette una ed una solo soluzione) se e solo se MCD (a, n) = Strutture simili e omomorfismi (A 1, Ω 1 ), (A 2, Ω 2 ) sono strutture algebriche simili se esiste una funzione biunivoca τ : Ω 1 Ω 2 tale che ω 1 e τ (ω 1 ) hanno la stessa arità per ogni ω 1 Ω 1 (Z, +, ) ( Z, ˆ+,ˆ ) Definizione: (A 1, Ω 1 ), (A 2, Ω 2 ) struttura algebrica simile, f : A 1 A 2 f è un omomorfismo di (A 1, Ω 1 ) in (A 2, Ω 2 ) se e solo se per ogni ω 1 Ω 1 di arità n, ω 2 = τ (ω 1 ) a 1, a 2,..., a n A 1 f (ω 1 (a 1, a 2,..., a n )) = ω 2 (f (a 1 ), f (a 2, ),..., f (a n )) Nelle operazioni binarie abbiamo che (A 1, ), (A 2, ) sono strutture algebriche simili e f : A 1 A 2 omomorfismo se e solo se a 1, a 2 A 1 f (a 1 a 2 ) = f (a 1 ) f (a 2 ) 29

30 9.4.1 Definizioni Monomorfismo: omomorfismo iniettivo. Epimorfismo: omomorfismo suriettivo. Isomorfismo: omomorfismo biettivo. Esempio: (M (n n, R), ), (R, ) f : M (n n, R) R epimorfismo Proposizioni Sia (A 1, Ω 1 ), (A 2, Ω 2 ), (A 3, Ω 3 ) struttura algebrica. f : A 1 A 2 omomorfismo g : A 2 A 3 omomorfismo f g : A 1 A 3 omomorfismo Se f isomorfismo di (A 1, Ω 1 ) in (A 2, Ω 2 ) allora f 1 è isomorfismo di (A 2, Ω 2 ) in (A 1, Ω 1 ). Siano (A 1,, e 1 ), (A 2,, e 2 ) gruppi, e 1, e 2 elementi neutri e f omomorfismo di (A 1, ) in (A 2, ): 1. f (e 1 ) = e 2 ; 2. x A 1 f ( x 1) = (f (x)) 1. Dimostrazione. 1. Sia x A, e 2 f (x) = f (x) = f (e 1 x) = f (e 1 ) f (x) e 2 = f (e 1 ) 2. Sia x A 1. e 2 = f (x) (f (x)) 1 = = f (e 1 ) = f ( x x 1) = f (x) f ( x 1) quindi avremo che (f (x)) 1 = f ( x 1) Sia f omomorfismo di (A 1, Ω 1 ) in (A 2, Ω 2 ), ker f = {(x, y) A 1 A 1 f (x) = f (y)} è una relazione di congruenza di (A 1, Ω 1 ). Dimostrazione. Per dimostrare utilizziamo una definizione meno generale: siano (A 1, ), (A 2, ) strutture algebriche simili, f omomorfismo di (A 1, ) in (A 2, ) ker f relazione di congruenza. Siano (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) ker f la nostra tesi è: Ora dimostriamo (a 1 a 2, b 1 b 2 ) ker f f (a 1 a 2 ) = f (a 1 ) f (a 2 ) = f (b 1 ) f (b 2 ) = f (b 1 b 2 ) (a 1 a 2, b 1 b 2 ) ker f Sia ρ relazione di congruenza di (A, Ω), la struttura (A, Ω) e una sua struttura quoziente ( A /ρ, Ω ) sono sempre simili. La proiezione canonica π ρ : A 1 A1 /ρ è un epimorfismo di (A, Ω) su ( A /ρ, Ω ) cioè è un omomorfismo suriettivo, inoltre si ha che ker π ρ = ρ. 30